数学思想方法三：分类讨论思想课件
思想方法 第3讲 分类讨论思想
思想方法第3讲分类讨论思想 思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为( )A ．x ＝0B ．15x －8y －8＝0C ．3x －4y ＋4＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －4＝0或x ＝0________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则下列选项不正确的是( )A ．{a 2n －1}是等比数列B.∑i ＝15(a 2i －1＋2)＝－10C ．{a 2n }是等比数列D.∑i ＝110a i ＝52________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n 需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二 由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． 例2设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (x )[f (x )]2＋a的最大值为25，则正实数a ＝________.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．。
中考数学专题复习课件：数学思想方法ppt 通用
此时C(0，2)或C(0，-2). 如图，②当点C位于x轴上时，设C(a，0).
则|- -a|+|a- |=6，即2a=6或-2a=6，
解得a=3或a=-3，
5
5
此时C(-3，0)或C(3，0).
综上所述，点C的坐标是(0，2),(0，-2),(-3，0),(3，0). 答案：(0,2)(0，-2)(-3,0)(3,0)
【解析】(1)当x=0时,
3-1的偶数次方等于1， (2)当x≠0时,只有1x=1和
所以
(
0 =(-2) =1成立. x x
2)
x ①当 -2=1 时,解得x=27. 3 x 此时( -2)x=127=1成立, 3 x 3
-2=±1.
②当 x-2=-1时ຫໍສະໝຸດ 解得x=3.3x 3 此时( -2) =(-1) =-1≠1,不成立. x
专题一 数学思想方法
考点 一
分类讨论思想 分类讨论思想常见的五种类型
1.二次根式中的分类讨论思想:对于二次根式
的化简,往
往需要对字母的取值情况进行分类讨论.当a≥0时, 当a<0时,
2
a2
=a;
=-a.
a2
a 2.方程中的分类讨论思想 :若含有字母系数的方程有实数根
时,要考虑二次项系数是否等于0,进行分类讨论.
3.三角形问题中的分类讨论思想:在直角三角形中,如果没有 指明哪条边是直角边、斜边,这需要分类讨论;在等腰三角形 中,无论边还是顶角与底角不确定或底边与腰不确定的情况下 , 都需要分类讨论;与三角形的高有关的问题,有时要分钝角三 角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决. 4.相似三角形中的分类讨论思想:如果题目中出现两个三角形
高三数学专题三 分类整合的思想方法课件
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4.直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的 单位向量.在直角三角形ABC中，若 AB =2i+j, AC =3i+kj，则 k的可能值个数是 A.1 B.2 ( ) C.3 D.4
［解析］ ∵ AB =(2,1), AC =(3,k)，则 BC ＝(1,k－1).
若 AB AC , 则AB· AC 0, 即有6＋k＝0,即k＝－6；
第一部分 常用数学思想方法 专题三 分类整合的思想方法
专题概览 ……………………………………………（3） 模拟训练 ……………………………………………（5） 规律总结 ……………………………………………（17）
专题概览
在研究与解答某些数学问题时，数学对象的本质属性存
在相同点与不同点，或研究问题时出发点的原因，情况进行讨论 .有关几何问题
中，由于几何元素的形状、位置关系不确定常常需要讨论. ［答案］ B
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模拟训练
5. 设集合 I={1,2,3,4,5}, 选择 I 的两个非空子集 A 和 B ， 要使B中最小的数大于 A中最大的数，则不同的选择方法 共有 ( )
A. 50种
应对数函数的单调性有影响，因此，应就a的不同取值进行
分类求解. ［答案］ C 返回目录
模拟训练
3.求和Sn =a+a2+…+an= .
［解析］ 当a=0时，Sn=0;当a≠0时，为等比数列求和.
a(1 a n ) ①若a≠1，则由求和公式得 S n ； 1 a
a(1 a n ) (a 1), ②若a=1时，Sn=n.综合得 S n 1 a n (a 1).
时出现不定性，这样，对象就划分为不同的种类或多种情况， 不同种类或不同情况的解法又不完全相同，必然要对不同种
分类讨论思想转化与划归思想ppt课件
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
2.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为 零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数 运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三 角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单 调性、基本不等式等.
思想概述·应用点拨
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
综上所述：当 m≥0 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
当 m≤－1 时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，当－1＜m＜0 时，f(x)
在 0，－1＋m1－m2 和 －1－m1－m2，＋∞ 上 单 调 递 减 ， 在
分类讨论思想ppt课件演示文稿
1 cos 2 x 2 | sin x | 解析：f x cos x cos x 2 tan x, x [2k ,2k ) [2k ,2k ) 2 2 . 2 tan x, x [2k ,2k 3 ) [2k 3 ,2k 2 ) 2 2
2．引入分类讨论的主要原因
1由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、
直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；
2 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算
中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；
3由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； 4 由图形的不确定引起的分类讨论； 5由参数的变化引起的分类讨论； 6 按实际问题的情况而分类讨论．
考点1 由数学概念引起的分类讨论
例1.设a为实数，函数f x 2x 2 x a x a .
1 若f 0 1，求a的取值范围； 2 求f x 的最小值．
分析：由f 0 1，知 a a 1，然后根据 绝对值的定义解此不等式可解得第 1 小题； 而第 2 小题利用绝对值的定义化函数为分 段函数，然后分别求其最值．
【思维启迪】由数学运算性质类型、公式和定理、 法则有范围或者条件限制，或者是分类给出 的，在解答中注意分类讨论思想的应用．本题 Sn 中利用an Sn S n1 n 1与n 2讨论． n 1 n 2 求出an 就须分
分析：分两类n 1与n 2进行解答，但须注
解析：当n 2时，an Sn S n 1
2 2n 2n 2 n 1 2 n 1 4n， 所以an 4n(n 2，n N* )． 2
数学分类讨论思想与“零点分段法”(8班)精品PPT课件
③当 1＜m1 ＜e，即1e＜m＜1 时，
函数 f (x)在 (1，m1 )上单调递增，在(m1 ，e)上单调递减，
则 f (x) max＝f (m1 )＝－lnm－1．…………………………7 分1，e)， f ′(x)＜0，函数 f (x)在(1，e)上单调递减，
即 3x2 3a 1 0 无解……………4 分
0 4 3(3a 1) 0
a 1 3
………………6 分
法 2： f / (x) 3x2 3a 3a ，……………4 分
要使直线 x y m 0 对任意的 mR 都不是曲线
y f (x) 的切线，当且仅当 1 3a 时成立，
（2）若直线 x y m 0 对任意的 m R 都不是曲线 y f (x)
的切线，求 a 的取值范围；
（3）设 g(x) | f (x) |, x [1,1]，求 g(x) 的最大值 F (a) 的
解析式． （惠州市 2013 届高三上学期期末）
解：（1）当a 1时, f ' (x) 3x2 3,令f ' (x) 0,得x 1或x 1……1 分 当 x (1,1) 时 ， f ' (x) 0,当x (,1] [1,) 时 ，
x a ex
…2 分
因为 x 0 为 f x 的极值点,
所以由 f 0 ae0 0 ,解得 a 0 ……………3 分
检验,当 a 0 时, f x xex ,当 x 0 时, f x 0 ,当 x 0
时, f x 0.
所以 x 0 为 f x 的极值点,故 a 0 .……………4 分
(Ⅱ) 当 a 0 时,不等式
f
x
x
1
1 2
x2
x
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由