2021-2022学年北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试试题(含详细解析)
2022年北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试试题(含解析)
北师大版九年级数学下册第三章圆单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点A，B，C都在⊙O上，连接CA，CB，OA，OB．若∠AOB=140°，则∠ACB为（）A．40°B．50°C．70°D．80°2、如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）A．16πB．13πC．23πD．π3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，若AC BC=，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（）A ．125°B ．130°C ．135°D ．140°4、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A ．50°B ．100°C ．130°D ．150°5、如图，边长为 ）A ．B ．23π C ． D ．6、若O 是ABC 的内心，当80A ∠=︒时，BOC ∠=（ ）A ．130°B ．160°C ．100°D ．110°7、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外8、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．75°9、如图，点A，B，C在O上，OAB是等边三角形，则ACB的大小为（）A．60°B．40°C．30°D．20°10、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA＝2，∠B＝60°，则CD的长为（）A B．C．D．4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，它是在纸板上剪下的一个半圆和一个圆形，它们恰好能组成一个圆锥模型．已知半圆的半径为1，则该圆锥的侧面积是 _____．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．3、若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．4、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）5、如图，已知P 的半径为1，圆心P 在抛物线2112y x =-+上运动，当P 与x 轴相切时，圆心P 的横坐标为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy中，图形W上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为d．对点P 及图形W给出如下定义：点Q为图形W上任意一点，若P，Q两点间的距离有最大值，且最大值恰好为2d，则称点P为图形W的“倍点”．（1）如图1，图形W是半径为1的⊙O．①图形W上任意两点间的距离的最大值d为_________；②在点1P（0，2），2P（3，3），3P（3-，0）中，⊙O的“倍点”是________；（2）如图2，图形W是中心在原点的正方形ABCD，已知点A（1-，1），若点E（t，3）是正方形ABCD的“倍点”，求t的值；（3）图形W是长为2的线段MN，T为MN的中点，若在半径为6的⊙O上存在MN的“倍点”，直接写出满足条件的点T所构成的图形的面积．2、如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，且2AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，CP 平分BCA ∠交AD 于点P ，PF AC ⊥，PE BC ⊥．（1）求证：四边形CEPF 为正方形；（2）求AC BC ⋅的最大值；（3）求11AC DC+的最小值． 3、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，﹣245），以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m •n 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒一个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．4、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交⊙O 于点F ，连接DF，过B作BG DF⊥，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若30DFA∠=︒，DF=4，求FG的长．5、如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿直线l方向平移，平移过程中抛物线与直线l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在唯一的一点P，使∠EPF＝90°，求m的值．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据圆周角的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB =140°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB =70°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．2、C【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∵OC AB ∥，∴OAB CAB S S =△△．∴S 阴=S 扇形AOB ．∵AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∴AO =BO =CO ．∵AB =CO =2，∴AO =BO =AB =2．∴OAB 是等边三角形．∴60AOB ∠=︒．∴S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=． 故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．3、B【分析】如图所示，连接AC ，由圆周角定理∠BAC =∠BDC =50°，再由等弧所对的圆周角相等得到∠ABC =∠BAC =50°，再根据圆内接四边形对角互补求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ，∴∠BAC =∠BDC =50°，∵AC BC =，∴∠ABC =∠BAC =50°，∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC =180°-∠ABC =130°，故选B．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，熟练掌握相关知识是解题的关键．4、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，=2∠A=100°，由圆周角定理得，BOD故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．5、A【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．【详解】解：正三角形的面积为：162⨯=三个小半圆的面积为：(213182ππ⨯⨯⨯=，中间大圆的面积为：2416ππ⋅=，所以阴影部分的面积为：18162πππ-=，故选：A【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．6、A【分析】由三角形内角和以及内心定义计算即可【详解】∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴100ABC ACB ∠+∠=︒又∵O 是ABC 的内心∴OB 、OC 为ABC ACB ∠∠、角平分线，∴OBC OCB ∠+∠1()502ABC ACB =∠+∠=︒ ∴BOC ∠=180°()OBC OCB -∠+∠=180°-50°=130°故选：A ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．7、D【分析】如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP，CP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AP=3，AB=8，∴BP=AB-AP=5，∵5PD==，∴PB=PD，>=，∴PC PB PD∴点C在圆P外，点B在圆P上，故选D．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．8、C【分析】首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．【详解】解：∵BD是切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，∴∠A＝12∠BOC＝25°，∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9、C【分析】由OAB∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB∆为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴ACB∠=12∠AOB =12×60°=30°．故选C．本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．10、B【分析】先证明OCB 是等边三角形，再证明,CE DE =求解sin 603,CE CO 从而可得答案.【详解】解：2,60,OA OB OC BOCB ∴是等边三角形， 60,BOC,AB CD ∴⊥ 3,sin 6023,2CE DE CE CO 22 3.CD CE故选B【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明OCD 是等边三角形是解本题的关键.二、填空题1、2π 【分析】首先根据题意可确定组成的圆锥侧面刚好为该半圆形，所以求出该半圆形的面积即为该圆锥的侧面积．解：由题意，半圆为该圆锥的侧面，完整的圆形为该圆锥的底面，∴半圆形的面积即为该圆锥的侧面积，∵半圆的半径为1， ∴2122S S ππ⨯===侧面半圆， 故答案为：2π． 【点睛】 本题考查圆锥的侧面积计算，本题中理解组成的圆锥侧面恰好为半圆形是解题关键．2、（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”． 3、3π【分析】根据扇形的面积公式，即可求解．【详解】 解：根据题意得：扇形的面积为212033360ππ⨯⨯= ．故答案为：3π【点睛】 本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于2360n r π （其中n 为圆心角，r 为半径）是解题的关键．4、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒， ∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=． 故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5、2或2-或0【分析】当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的纵坐标为1或-1，根据圆心P 在抛物线上，所以当y 为±1时，可以求出点P 的横坐标．【详解】解：当y =1时，有1=-12x 2+1，x =0．当y =-1时，有-1=-12x 2+1，x =2±．故答案是：2或2-或0．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x 轴相切得到点P 的纵坐标，然后代入抛物线求出点P 的横坐标．三、解答题1、（1）① 2；②3P ；（2）t 的值为3或3-；（3）π【分析】（1）①根据定义解答即可；②分别找出123PQ P Q PQ 、、的最大值，再根据定义判断即可；（2） 如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为E （t ，3）是正方形ABCD的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为 分0t <， 0t >和 0=t 分别讨论即可求解；（3）分线段MN 在O 内部和在O 外部两种情况讨论即可.【详解】（1）①圆上两点之间的最大距离是直径2，根据定义可知d= 2，故答案为：2；②由图可知113PQ ≤≤，故1P 不是图形W 的“倍点”； 2114PQ ≤≤≠，故1P 不是图形W 的“倍点”；324PQ ≤≤，当Q （1，0）时，34PQ ==2d ，故P 为图形W 的“倍点”； 故答案为：3P ；（2）如图所示，正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为依题意，若点E （t ，3）是正方形ABCD 的“倍点”，则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为 当0t <时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为EC 的长． 取点H （1，3），则CH ⊥EH 且CH =4，此时可求得EH =4，从而点E 的坐标为()13,3E -，即3t =-；当0t >时，点E 到ABCD 上的点的最大距离为ED 的长．由对称性可得点E 的坐标为()23,3E ，即3t =． 当0=t 时，显然不符合题意．综上，t 的值为3或3-．（3）MN 上d =2，2d =4，当线段MN 在O 内部时，T 组成的图形为半径为4的圆，216S r ππ==，当线段MN 在O 外部时，T 组成的图形为半径为8的圆，264S r ππ==，故点T 所构成的图形的面积为16π或64π.【点睛】此题考查考查了一次函数的性质，图形上两点间的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．2、（1）见详解；（2）2；（31．【分析】（1）由圆周角定理，得到90ACB ∠=︒，得到四边形CEPF 为矩形，再由角平分线的性质定理，得到PE =PF ，即可得到结论成立；（2）过点C 作CG ⊥AB ，当CG 最大时，AC BC 有最大值，利用三角形的面积公式，即可求出答案；（3）设PE PF CE CF x ====，由相似三角形的判定和性质，得到111AC DC x+=，则x 取最大值时，11AC DC +有最小值，然后求出x 的最大值，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∵PF AC ⊥，PE BC ⊥，∴90PFC PEC ∠=∠=︒，∴四边形CEPF 是矩形，∵CP 平分BCA ∠，∴PF PE =，∴四边形CEPF 为正方形；（2）过点C 作CG ⊥AB ，如图：由1122ABC S AB CG AC BC ∆==可知， 当CG 最大时，AC BC 有最大值， 即112122CG AB ==⨯=； 由三角形的面积公式，则 1122ABC S AB CG AC BC ∆==， ∵2AB =， ∴112122AC BC ⨯⨯=， ∴·2AC BC =； ∴AC BC 的最大值是2；（3）设PE PF CE CF x ====， ∵PE BC ⊥，AC BC ⊥， ∴PE ∥AC ，∴△PED ∽△ACD ，∴PE PD AC AD=①； 同理：PF ∥BC ，△PAF ∽△DAC ， ∴PF AP CD AD =②，由①+②，得1PE PF PD AP AD AC CD AD AD AD+=+==， ∴1PE PF AC CD+=， 即1x x AC CD+=， ∴111AC DC x +=； 当x 取最大值时，11AC DC+有最小值； ∵AD 平分BAC ∠， ∴点P 为△ACB 的内心，∴PE ，PF 为内切圆半径；作PH ⊥AB ，垂足为H ，如图：则易得AF =AH ，BE =BH ，∴AF BE AH BH AB +=+=， ∴2AC BC AB CE CF +-==， 设AC b =，BC a =，2AB c ==， ∴21222a b c a b a b x +-+-+===-， ∵222AC BC AB +=，∴224a b +=，∵222()20a b a b ab -=+-≥，∴2224ab a b ≤+=，∴2ab ≤，∵222()242448a b a b ab ab +=++=+≤+=，∴a b +≤∴a b +的最大值为∴1112a b x +=-==；∴x 1，∴11x ==，∴11AC DC+1； 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质定理，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．3、（1）y 34=x 152-；（2）抛物线的解析式为：y 524=x 22512-x ，顶点坐标为（5，12524-）；（3）m •n ＝25；（4）5013或5或8013． 【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；（3）连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，证得Rt △AOE ≌RT △AME ，求得∠OAE ＝∠MAE ，同理证得∠BAF ＝∠MAF ，进而求得∠EAF ＝90°，然后证明△EMA ∽AMF ，得到EM AM AM FM=,即可求得．（4）分三种情况分别讨论，①当PQ ＝BQ 时，作QH ⊥PB ，得到△BHQ ∽△BOP ，求出直线BC 解析式，得到HB ：BQ ＝4：5；即可求得，②当PB ＝QB 时，则10﹣t ＝t 即可求得，③当PQ ＝PB 时，作QH ⊥OB ，根据勾股定理即可求得．【详解】解：（1）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵直线BC 经过B 、C ， ∴010241855k b k b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩， 解得：34152k b ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为：y 34=x 152-；． （2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-）， ∴20010010241818()555c a b c a b c ⎧⎪=⎪=++⎨⎪⎪-=++⎩， 解得52425120a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：524y x =22512x -； ∴25125212b x a -=-=-=5，524y x =22551224x -=⨯522512-⨯512524=-，∴顶点坐标为（5，12524-）；（3）m •n ＝25；如图2，连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，在Rt △AOE 与Rt △AME 中OA MA AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt △AOE ≌Rt △AME （HL ），∴∠OAE ＝∠MAE ，同理可证∠BAF ＝∠MAF ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAM +∠FAM =90°，∵EF 为⊙A 切线，∴AM ⊥EF ，∴∠EMA =∠FMA =90°，∴∠AEM +∠EAM =90°，∴∠AEM =∠MAF ，∴△EMA∽AMF，∴EM AM AM FM=,∴AM2＝EM•FM，∵AM12=OB＝5，ME＝m，MF＝n，∴m•n＝25；（4）如图3．有三种情况；①当PQ＝BQ时，作QH⊥PB,垂足为H，则△BHQ∽△BOP，设直线BC解析式为y=px+q，∵B、C坐标分别为（10，0）和（185，﹣245）∴1001824 55p qp q+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴34152pq⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BC的解析式为31542y x=-，∴点P坐标为（0，-152），∵△BHQ∽△BOP，∴1532104 OB BHBP HQ===,∴HQ：BQ＝3：5，HB：BQ＝4：5；∵HB＝（10﹣t）12⨯，BQ＝t，∴()110425tt-⨯=，解得；5013t=，②当PB＝QB时，则10﹣t＝t，解得t＝5，③当PQ＝PB时，作QH⊥OB，则PQ＝PB＝10﹣t，BQ＝t，HP45t=﹣（10﹣t），QH35t=；∵PQ2＝PH2+QH2，∴（10﹣t）2＝[45t﹣（10﹣t）]2+（35t）2；解得8013t=．综上所述，求出满足条件的t值有三个：5013或5或8013．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．4、（1）见解析；（2）2FG=【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出12OE DF=，进而依据等边三角形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．【详解】解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，∴ ∠D=∠CAF=90°．∵ AB⊥CE，BG⊥DF，∴ ∠BED=∠G=90°．∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．∴ 半径OB⊥BG．∴ BG是⊙O的切线．（2）连接CF，∵ ∠CAF =90°，∴ CF 是⊙O 的直径．∴ OC =OF ．∵ 直径AB ⊥CD 于E ，∴ CE =DE ．∴ OE 是△CDF 的中位线． ∴ 122OE DF ==．∵ AD AD =，∠AFD =30°，∴ ∠ACD =∠AFD =30°．∴ 9060CAE ACE ∠=︒-∠=︒．∵ OA =OC ，∴ △AOC 是等边三角形．∵ CE ⊥AB ，∴ E 为AO 中点，∴ OA =2OE =4，OB =4．∴ 6BE BO OE =+=．∵ ∠BED =∠D =∠G =90°，∴ 四边形BEDG 是矩形．∴ DG =BE =6．∴ 2FG DG DF =-=．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形性质是解题的关键.5、（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解； （2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解； （3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解．【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，令x =0，解得y =b∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b ∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0） 把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 得22209302ab ab b ab ab b ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3；（2）∵点E 的坐标为（0，7），可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧 ∴△=()224140n --⨯⨯=解得n 1=-2，n 2=6（舍去）∴直线EH 的解析式为y =-2x +7解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5 ∴直线GH 过定点M （2，-5）如图，连接HM∵H （2，3）∴HM ⊥x 轴，MH =8设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x - 故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++ 故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ，∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124x x x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m -3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．。
2021-2022学年基础强化北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测试试题(含解析)
北师大版九年级数学下册第三章圆专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l距离都为20 m的宋代碑刻A，B，在小路l上有一座亭子P．A，P分别位于B的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A，B原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P到湖岸的最短距离是（）A．20 m B．mC．（ - 20）m D．（m2、已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断3、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（）A．4.8 B．5 C．D．4、如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，且AB∥CD，BO＝3，CO＝4，则OF的长为（）A．5 B．95C．165D．1255、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）A．5厘米B．4厘米C．132厘米D．134厘米6、已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．135°7、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°8、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是菱形，则D∠的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°9、如图，AB为O的直径，C为D外一点，过C作O的切线，切点为B，连接AC交O于D，38C∠=︒，点E在AB右侧的半圆周上运动（不与A，B重合），则AED∠的大小是（）A．19°B．38°C．52°D．76°10）A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、AB 是O 的内接正六边形一边，点P 是优弧AB 上的一点（点P 不与点A ，B 重合）且BP OA ∥，AP 与OB 交于点C ，则OCP ∠的度数为_______．2、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）3、如图，圆锥的底面半径OC ＝1，高AO ＝2，则该圆锥的侧面积等于 _____．4、如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，作OF ⊥BC 交⊙O 于点F ，连接FA ，则∠OFA ＝_____°．5、一个正多边形的中心角是40︒，则这个正多边形的边数为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点D 的坐标为()4,5，与y 轴交于点E ．（1）求A ，B 两点的坐标及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线l 下方抛物线上，过点P 作PM x ⊥轴于点M ，直线PM 与直线l 交于点N ，当点M 是PN 的三等分点时，求点P 的坐标；（3）若点H 是抛物线223y x x =--对称轴上的一点，且45AHD ∠=︒，请直接写出点H 的坐标．2、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC= ．∵AB是直径,∴∠ACB= ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC是等腰直角三角形．3、△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边上的高，如图1，A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC在平面上滑动．如图2，设运动时间表为t秒，当B到达原点时停止运动．（1）当t＝0时，求点C的坐标；（2）当t＝4时，求OD的长及∠BAO的大小；（3）求从t＝0到t＝4这一时段点D运动路线的长；（4）当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．OD AB于O，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB 4、如图，AB为⊙O的直径，半径的延长线于点E．=；（1）求证：EC EF（2）若⊙O的半径长为3，且BF BE=，求DF的长．5、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝2，CH＝4，求EM的值．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．2、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，∴2＜3，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．3、B【分析】连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．【详解】解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，再设⊙O的半径为x．∵AB切⊙O于E，∴EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴∠OFD=90°，在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，∴（8-x）2+42= x2，∴x =5，∴⊙O 的半径为5．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4、D【分析】连接OF ，OE ，OG ，根据切线的性质及角平分线的判定可得OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠，利用平行线的性质及角之间的关系得出90BOC ∠=︒，利用勾股定理得出5BC =，再由三角形的等面积法即可得．【详解】解：连接OF ，OE ，OG ，∵AB 、BC 、CD 分别与O 相切，∴OE AB ⊥，OF BC ⊥，OG CD ⊥，且OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分BCD ∠， ∴12OBC ABC ∠=∠，12BCO BCD ∠=∠，∵AB CD ∥，∴180ABC BCD ∠+∠=︒， ∴119022OBC BCO ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴90BOC ∠=︒，5BC =，∴S SSSS =12SS ·SS =12SS ·SS ， ∴341255OF ⨯==， 故选：D ．【点睛】题目主要考查圆的切线性质，角平分线的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．5、D【分析】根据题意先求出弦AC 的长，再过点O 作OB ⊥AC 于点B ，由垂径定理可得出AB 的长，设杯口的半径为r ，则OB =r -2，OA =r ，在Rt △AOB 中根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC =8-2=6厘米，过点O 作OB ⊥AC 于点B ，则AB=12AC=12×6=3厘米，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r=134厘米．故选：D．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6、A【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．【详解】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A：∠C＝3：1，∴∠C＝11+3×180°＝45°，故选：A．【点睛】本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．7、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．8、B【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC =∠AOC β=；∴ ∠ADC =12β；四边形ABCD 为圆的内接四边形，∴α+β=180°， ∴ 18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC =60°，故选：B ．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.9、B【分析】连接,BD 由AB 为O 的直径，求解903852,CBD ∠=︒-︒=︒ 结合CB 为O 的切线，求解905238,ABD ABC DBC ∠=∠-∠=︒-︒=︒ 再利用圆周角定理可得答案.【详解】解：连接,BD AB 为O 的直径，90,90,ADB BDC ∴∠=︒∠=︒38,C ∠=︒903852,CBD ∴∠=︒-︒=︒ CB 为O 的切线，90,905238,ABC ABD ABC DBC ∴∠=︒∠=∠-∠=︒-︒=︒38,AED ABD ∴∠=∠=︒故选B【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，切线的性质定理，熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.10、B【分析】如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ， 再由等边三角形的性质，可得∠OAB =30°，12AD AB =，然后根据锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，根据题意得：OA，∠OAB =30°，12AD AB =， 在Rt AOD △中，3cos 2AD OA OAB =⋅∠== ， ∴AB =3，即这个正三角形的边长是3．故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．二、填空题1、90°【分析】先根据AB 是O 的内接正六边形一边得60AOB ∠=︒，再根据圆周角性质得30APB ∠=︒，再根据平行线的性质得30OAP ∠=︒,最后由三角形外角性质可得结论．【详解】解：∵AB 是O 的内接正六边形一边∴60AOB ∠=︒∴30APB ∠=︒∵BP OA ∥∴=30OAP APB ∠∠=︒∴603090OCP AOC OAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为90°【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理等知识，熟练掌握相关定理是解答本题的关键2、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒， ∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=． 故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3【分析】根据底面半径和高利用勾股定理得AC =【详解】解：∵1OC =，2OA =，90AOC ∠=︒∴AC =∴圆锥的侧面积为1S rl π===．【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，熟练掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键．4、36【分析】连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出∠AOB ＝72°，∠BOF ＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接OA ，OB ，OB 交AF 于J ．∵五边形ABCDE 是正五边形，OF ⊥BC ， ∴1122BF CF BC AB ===， ∴∠AOB ＝3605︒=72°，∠BOF =12∠AOB ＝36°， ∴∠AOF ＝∠AOB +∠BOF =108°，∵OA ＝OF ，∴∠OAF ＝∠OFA ＝()()11118018010872222AOF ︒-∠=︒-︒=⨯︒＝36°故答案为：36．【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结合来解题．正n 边形的每个中心角都等于360n︒． 5、九9【分析】根据正多边形的每个中心角相等，且所有中心角的度数和为360°进行求解即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，∵这个正多边形的中心角是40°，∴40360n ︒⋅=︒，∴9n =，∴这个正多边形是九边形，故答案为：九．【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，熟知正多边形中心角的度数和为360度是解题的关键．三、解答题1、（1）A （－1，0），B （3，0），1y x =+；（2）点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）点H的坐标为（1，51，－4）.【分析】（1）先令y ＝0时，2230x x --=，x 1＝3，x 2＝－1. ，即可得到A 、B 的坐标，然后设直线l 解析式为y kx b =+，代入A 、D 坐标求解即可；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），然后分PM ＝1233PN PN 或，且P 只能在x 轴的下方，这两种情况讨论求解即可；（3）过点D 作DG ⊥x 轴于G ，可得AG =BG =5，∠AGD =90°，再由∠AHD =45°，则点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），则5G H '==，即可求出H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，由此即可得到答案．【详解】（1）当y ＝0时，2230x x --=，解得x 1＝3，x 2＝－1.∴ A （－1，0），B （3，0）.设直线l 解析式为y kx b =+，∵ l 经过D （4，5），A （－1，0），∴ 045k b k b -+=⎧⎨+=⎩， ∴11k b =⎧⎨=⎩， ∴ 直线l 解析式为1y x =+；（2）根据题意设点P 坐标为（m ，223m m --），则点N （m ，1m +），∵ 点M 是PN 的三等分点，点P 在直线l 下方抛物线上，∴ PM ＝1233PN PN 或,且P 只能在x 轴的下方， ∴ PM ＝22(23)23m m m m -=-+--+,PN ＝221(23)34m m m m m +--=-++-，当PM ＝13PN 时，则()22123343m m m m -++=-++， 解得m 1＝2.5，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（2.5，－1.75）；当PM ＝23PN 时，则()22223343m m m m -++=-++， 解得m 1＝1，m 2＝－1（舍去），∴ P 的坐标为（1，－4） ，综上所述，点P 的坐标为（2.5，－1.75）或（1，－4）；（3）如图所示，过点D 作DG ⊥x 轴于G ，∴G 点坐标为（4，0），∴AG =BG =5，∠AGD =90°，∵∠AHD =45°，∴点H '在以G 为圆心，以5为半径的圆上，且H 在AD 下方，设H '的坐标为（1，n ），∴5G H '=，∴4n =-或4n =（舍去），∴H '的坐标为（1，-4）；同理当H 在AD 上方时，H 在以G '（-1，5）为圆心，5为半径的圆上，设H 的坐标为（1，t ），∴5G H '==，∴5t =+5t =，∴H 的坐标为（1，5；∴综上所述，点H 的坐标为（1，51，－4）．【点睛】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点，求一次函数解析式，圆周角定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2、（1）见解析；（2）BC，90°，直径所对的圆周角是直角【分析】（1）过点O任作直线交圆于AB两点，再作AB的垂直平分线OM，直线MO交⊙O于点C，D；连结AC、BC即可；（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC=BC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°即可．【详解】（1）①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC 就是所求的等腰直角三角形.（2）证明：连接MA ，MB ．∵MA =MB ，OA =OB ，∴MO 是AB 的垂直平分线．∴AC =BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°(直径所对的圆周角是直角) ．∴△ABC 是等腰直角三角形．故答案为：BC ，90°，直径所对的圆周角是直角．【点睛】本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．3、（1）（3，4）；（2）OD ＝4，∠BAO ＝60°；（3）23π；（4）245或325 【分析】（1）先由BC AC =，CD 为AB 边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质得出D 为AB 的中点，则142AD AB ==，然后在Rt ΔCAD 中运用勾股定理求出3CD =，进而得到点C 的坐标； （2）如图2，当4t =时即4AO =，先由D 为AB 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出142OD AB ==，则4OA OD AD ===，判定AOD ∆为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出60BAO ∠=︒；（3）从0=t 到4t =这一时段点D 运动路线是弧1DD ，由130D OD ∠=︒，4OD =，根据弧长的计算公式求解；（4）分两种情况：①C 与x 轴相切，根据两角对应相等的两三角形相似证明ΔΔCAD ABO ∽，得出ABAOCA CD =，求出AO 的值；②C 与y 轴相切，同理，可求出AO 的值．【详解】解：（1）如图1，∵BC ＝AC ，CD ⊥AB ，∴D 为AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝4．在Rt△CAD 中，CD 3，∴点C 的坐标为（3，4）；（2）如图2，当t ＝4时，AO ＝4，在Rt△ABO 中，D 为AB 的中点，OD ＝12AB ＝4，∴OA ＝OD ＝AD ＝4，∴△AOD 为等边三角形，∴∠BAO ＝60°；（3）如图3，从t ＝0到t ＝4这一时段点D 运动路线是弧DD 1，其中，OD ＝OD 1＝4，又∵∠D 1OD ＝90°﹣60°＝30°， ∴130421803DD ππ⨯⨯==；（4）分两种情况：①设AO＝t1时，⊙C与x轴相切，A为切点，如图4．∴CA⊥OA，∴CA∥y轴，∴∠CAD＝∠ABO．又∵∠CDA＝∠AOB＝90°，∴Rt△CAD∽Rt△ABO，∴AB AOCA CD=，即1853t=，解得124 5t=；②设AO＝t2时，⊙C与y轴相切，B为切点，如图5．同理可得，232 5t=．综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的计算，直线与圆相切，切线的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度，其中第（4）问进行分类讨论是解题的关键．4、（1）见解析；（2【分析】（1）连接OC．根据半径相等，利用切线的性质和等角的余角相等证得∠ECF＝∠EFC，即可得到结论；（2）设BF＝BE＝x，在Rt△OCE中，利用勾股定理可求得x＝2，再在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：如图，连接OC．∵CE切⊙O于点C，∴OC⊥CE，∴∠OCF＋∠ECF＝90°，∵OD⊥AB，∴∠D＋∠DFO＝90°，∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD，∴∠ECF＝∠OFD又∵∠OFD＝∠EFC∴∠ECF＝∠EFC，∴EC＝EF；（2）解：∵BF＝BE，设BF＝BE＝x，则EC＝EF＝2x，OE＝3＋x，在Rt△OCE中，OC2＋CE2＝OE2，∴32＋(2x)2＝(3＋x)2，解得x1＝0(舍)，x2＝2，∴OF＝OB－FB＝1，在Rt△ODF中，DF=．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5、（1）见解析；（2）5 2【分析】（1）连接OE ，由FG EG =得GEF GFE AFH ∠=∠=∠，由OA OE =知OAE OEA ∠=∠，根据CD AB ⊥得90AFH FAH ∠+∠=︒，从而得出90GEF AEO ∠+∠=︒，即可得证；（2）连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △OCH 中，利用勾股定理求出r ，证明△AHC ∽△MEO ，可得AH HC EM OE=，由此即可解决问题. 【详解】解：（1）如图，连接OE ，∵GF =GE ，∴∠GFE =∠GEF =∠AFH ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∵AB ⊥CD ，∴∠AFH +∠FAH =90°，∴∠GEF +∠AEO =90°，∴∠GEO =90°，∴GE ⊥OE ，∴EG 是⊙O 的切线；（2）如图，连接OC ．设⊙O 的半径为r ,∵AH =2，HC =4，在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r -2，HC =4，∴()22224r r -+=，∴r =5，∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ,∵∠OEM =∠AHC ,∴△AHC ∽△MEO ∴AH HC EM OE =， ∴245EM = ， ∴EM =52．【点睛】本题考查圆的综合题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题．。
2021-2022学年最新北师大版九年级数学下册第三章 圆月考试题(含详解)
北师大版九年级数学下册第三章 圆月考考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知⊙O 的半径为3cm ，在平面内有一点A ，且OA =6cm ，则点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点A 在⊙O 内 ；B ．点A 在⊙O 上；C ．点A 在⊙O 外；D ．不能确定．2、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（ ）A ．32 B C D 3、如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，OA ，OB ．若∠AOB =140°，则∠ACB 为（ ）A．40°B．50°C．70°D．80°AC=．将ABC绕点A按逆时针方向旋转90︒后4、如图，在ABC中，90∠=，8BAC︒∠=，30ABC︒△，则图中阴影部分面积为（）得到AB C''A．4πB．8π-C．4π-D．5、已知⊙O的半径为3，若PO=2，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断6、下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧C．等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等D．圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径7、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定8、如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．80°9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）A．70°B．50°C．20°D．40°10、如图，直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是（）A．7(,0)3-B．17(,0)3-C．7(,0)3-或17(,0)3-D．（﹣2，0）或（﹣5，0）第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知O 、I 分别是△ABC 的外心和内心，∠BIC ＝125°，则∠BOC 的大小是 ___度．2、已知圆锥的底面半径为7cm ，它的侧面积是35πcm，则这个圆锥的母线长为_____．3、若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 _____．4、Rt ABC 的两条直角边分别是一元二次方程27120x x -+=的两根，则ABC 的外接圆半径为_____．5、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，分别以点A 、C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若6AC =，35CAB ∠=︒，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD 内接⊙O ，∠C ＝∠B ．（1）如图1，求证：AB ＝CD ；（2）如图2，连接BO 并延长分别交⊙O 和CD 于点F 、E ，若CD ＝EB ，CD ⊥EB ，求tan∠CBF ；（3）如图3，在（2）的条件下，在BF 上取点G ，连接CG 并延长交⊙O 于点I ，交AB 于H ，EF ∶BG ＝1∶3，EG ＝2，求GH 的长．2、（1）如图①，AB ，CD 是⊙O 的两条平行弦，OE ⊥CD 交⊙O 于点E ，则弧AC 弧BD （填“>”，“<”或“=”）；（2）如图②，△PAB 是⊙O 的内接三角形，OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，则∠APE ∠BPE （填“>”，“<”或“=”）；（3）如图③，△PAB 是⊙O 的内接三角形，∠QPA 是它的外角，在弧AP 上有一点G ，满足PG 平分∠QPA ，请用无刻度的直尺，画出线段PG ．（不要求证明）3、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，O 与AC 的另一个交点为E ．（1）求证：BO 平分ABC ∠；（2）若30A ∠=︒，1AE =，求BO 的长．4、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，﹣245），以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m •n 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒一个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．5、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线23y ax bx =++，已知OA =OC =3OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的圆的半径；（3）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；-参考答案-一、单选题1、C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上；当d ＜r 时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O 的半径为3cm ，OA =6cm ，∴d ＞r ，∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 外，故选：C ．【点睛】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d ＞r 时，点在圆外；当d =r 时，点在圆上，当d ＜r 时，点在圆内．2、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．3、C【分析】根据圆周角的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB =140°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB =70°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．4、B【分析】阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，根据旋转性质以及直角三角形的性质，分别求出对应扇形的面积以及''ABC ∆的面积，最后即可求出阴影部分的面积．【详解】解：由图可知：阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S ，由旋转性质可知：''90CAC BAB ∠=∠=︒，''ABC ABC ∆∆≌，'AB AB ∴=，'8AC AC ==，在ABC 中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，8AC =，142BC AC ∴==，''60DAB BAB BAC ∠=∠-∠=︒，有勾股定理可知：AB∴阴影部分的面积=扇形'ACC -扇形'ADB -''ABC S2908143602π⨯=--⨯8π=-故选：B．【点睛】本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式，熟练利用旋转性质，得到对应扇形的半径和圆心角度数，利用扇形公式求解面积，这是解决本题的关键．5、A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为3，若PO＝2，∴2＜3，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．6、C【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对AC进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据对称轴的定义对D进行判断．【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以本选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以本选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所以本选项正确；D、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．7、A【分析】圆的半径为,r圆心到直线的距离为,d当d r时，＞时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d r圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d r＜时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O的半径等于r为8，圆心O到直线l的距离为d为6，∴d r＞，∴直线l与O相离，∴直线l与⊙O的公共点的个数为0，故选A．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．8、D【分析】由∠ACB=40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．【详解】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．9、D【分析】首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．【详解】解：连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，∵∠ACB=70°，∴∠AOB=2∠P=140°，∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．10、C【分析】由题意根据函数解析式求得A（-4，0），B（0．-3），得到OA=4，OB=3，根据勾股定理得到AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵直线334y x=--交x轴于点A，交y轴于点B，∴令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-4，∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD=1，∵∠ADP=∠AOB=90°，∠PAD=∠BAO，∴△APD∽△ABO，∴PD AP OB AB=，∴135AP =，∴AP= 53，∴OP= 73或OP=173，∴P7(,0)3-或P17(,0)3-，故选：C．【点睛】本题考查切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意并运用数形结合思维分析是解题的关键．二、填空题【分析】作ABC ∆的外接圆，根据三角形内心的性质可得：12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，再由三角形内角和定理得出：70A ∠=︒，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．【详解】解：如图所示，作ABC ∆的外接圆，∵点I 是ABC ∆的内心，∴BI ，CI 分别平分ABC ∠和ACB ∠， ∴12IBC ABC ∠=∠，12ICB ACB ∠=∠，∵125BIC ∠=︒，∴18012555IBC ICB ∠+∠=︒-︒=︒，∴()2110ABC ACB IBC ICB ∠+∠=∠+∠=︒，∴70A ∠=︒，∵点O 是ABC ∆的外心，∴2140BOC A ∠=∠=︒，故答案为：140．题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．2、5cm【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥的底面周长是扇形的弧长，母线为扇形的半径，结合扇形的面积公式求解即可．【详解】解：圆锥的底面周长为2π×7=14π，设圆锥母线长为l，则12×14π·l=35π，解得：l=5，故答案为：5cm．【点睛】本题考查圆锥的侧面积计算、扇形面积公式，熟练掌握圆锥侧面展开图与扇形之间的关系是解答的关键．3、3π【分析】根据扇形的面积公式，即可求解．【详解】解：根据题意得：扇形的面积为212033360ππ⨯⨯=．故答案为：3π【点睛】本题主要考查了求扇形的面积，熟练掌握扇形的面积等于2360n rπ（其中n为圆心角，r为半径）是解题的关键．4、2.552【分析】根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．【详解】解：27120x x -+=， ()()340x x --=，解得123,4x x ==，∴Rt ABC 的两条直角边分别为3，4，∴，直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，∴ABC 的外接圆半径为52． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键．5、74π##【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形AEO 和扇形CFO 的面积之和．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴6AC BD ==，OA OC OB OD ===，AB CD ∥，∴3OA OC ==，35ACD CAB ∠=∠=︒， ∴图中阴影部分的面积为：2353723604ππ⨯⨯=． 故答案为：74π．【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题1、（1）见解析；（2）12；（3【分析】（1）过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ，由圆内接四边形对角互补可以推出∠B +∠A =180°，证得AD ∥BC ，则四边形ABED 是平行四边形，即可得到AB =DE ，∠DEC =∠B =∠C ，这DE =CD =AB ；（2）连接OC ，FC ，设BE =CD =2x ，OB =OC =OF =r ，则OE =BE -BO =2x -r ，EF =BF -BE =2r -2x ，由垂径定理可得1=2CE DE CD x ==，∠CEB =∠CEF =∠FCB =90°，则∠FBC +∠F =∠FCE +∠F =90°，可得∠FBC =∠FCE ；由勾股定理得222OC OE CE =+，则()2222r x r x =-+， 解得54r x =，则522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠； （3）EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：：则()()222213r x x --=：： 解得4x =，则=5r ，8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ，分别求出G点坐标为⎝⎭，C 点坐标为()；A点坐标为⎝⎭ 然后求出直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，即可得到H 的坐标为），则GH==．【详解】解：（1）如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E，∵四边形ABCD是圆O的圆内接四边形，∴∠A+∠C=180°，∵∠B=∠C，∴∠B+∠A=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，∴DE=CD=AB；（2）如图所示，连接OC，FC，设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x∵CD⊥EB，BF是圆O的直径，∴1=2CE DE CD x==，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，∴∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，∴∠FBC =∠FCE ；∵222OC OE CE =+，∴()2222r x r x =-+，∴222244r x r r x =-++， 解得54r x =， ∴522212tan =tan ==2x x EF r x CBF FCE CE x x --==∠∠；（3）∵EF ：BG =1：3，即()13EF BE GE -=：： ∴()()222213r x x --=：： ，即()122132x x -=：： ∴3222x x =-， 解得4x =，∴=5r ，∴8BE CD AB ===，6BG =，如图所示，以B 为圆心，以BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，分别过点A 作AM ⊥BC 与M ，过点G 作GN ⊥BC 与N ，连接FC ， ∴1tan ===2GN FC CBF BN BC ∠，∴2BN GN =，2BC FC =，∵222BG GN BN =+，222BF BC FC =+∴225GN BG =,225FC BF =，∴GN ==,FC ==∴BN =BC =∴G ，C 点坐标为（0）； ∵1tan ==2CE CBF BE ∠， ∴tan 2BE BCE CE ∠==， ∵∠ABC =∠ECB ， ∴tan 2AM ABM BM∠==， ∴2AM BM =，∵222AB AM BM =+，∴225BM AB =，∴BM AB ==∴AM =，∴A 设直线CG 的解析式为y kx b =+，直线AB 的解析式为1y k x =，∴0b b ⎧+=+=1=∴34k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，12k =， ∴直线CG的解析式为34y x =-+AB 的解析式为2y x =，联立342y x y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴H，∴GH ==．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，垂径定理，勾股定理，两点距离公式，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解．2、（1）=；（2）=；（3）作图见详解．【分析】（1）连接AO ，BO ，CO ，DO ，根据平行线及垂直的性质可得OE AB ⊥，由垂径定理可得OE 平分CD ，AB ，得出COE DOE ∠=∠，AOE BOE ∠=∠，利用各角之间的关系可得AOC BOD ∠=∠，由圆心角相等，即可得出弧相等；（2）连接OA 、OB ，由OE AB ⊥及垂径定理可得AE BE =，AOE BOE ∠=∠，利用圆周角是圆心角的一半即可得；（3）连接AD 、CB 交于点H ，连接HO 并延长交O 于点G ，连接PG ，由APQ PAB PBA ∠=∠+∠，可得BP PA APB +=，由垂径定理可得：点H 在线段AB 、CD 的垂直平分线上，连接HO 并延长交O 于点G ，得出点G 恰好平分APB ，即点G 恰好平分BP 与PA 所对的圆周角的和，由此即可得出．【详解】解（1）如图所示：连接AO ，BO ，CO ，DO ，∵AB CD ∥，OE CD ⊥，∴OE AB ⊥，∴OE 平分CD ，AB ，∴COE DOE ∠=∠，AOE BOE ∠=∠，∴AOE COE BOE DOE ∠-∠=∠-∠，即AOC BOD ∠=∠，∴AC BD =，故答案为：=；（2）如图所示：连接OA、OB，∵OE AB⊥，∴AE BE=，∴AOE BOE∠=∠，∴12APE AOE∠=∠，12BPE BOE∠=∠，∴APE BPE∠=∠，故答案为：=；（3）如图所示：连接AD、CB交于点H，连接HO并延长交O于点G，连接PG，即为所求，∵APQ PAB PBA∠=∠+∠，根据图可得：即BP PA APB+=，由垂径定理可得：点H在线段AB、CD的垂直平分线上，连接HO并延长交O于点G，则点G 恰好平分APB ，即点G 恰好平分BP 与PA 所对的圆周角的和，∴PG 即为所求．【点睛】题目主要考查垂径定理的应用及圆周角定理，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合垂径定理是解题关键．3、（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接OD ，由O 与AB 相切得90ODB ∠=︒，由HL 定理证明Rt BDO Rt BCO ≅由全等三角形的性质得DBO CBO ∠=∠，即可得证；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，得出关系式求出x ，可得出AC 的长，在Rt ACB 中，由正切值求出BC ，在Rt BCO △中，由勾股定理求出BO 即可．【详解】（1）如图，连接OD ，∵O 与AB 相切，∴90ODB ∠=︒，在Rt BDO △与Rt BCO △中，DO CO BO BO =⎧⎨=⎩，∴()Rt BDO Rt BCO HL ≅，∴DBO CBO ∠=∠，∴BO 平分ABC ∠；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，30A ∠=︒，1AE =，∴21x x =+，解得：1x =，∴1113AC =++=，在Rt ACB 中，tan BC A AC =，即tan 303BC AC =⋅︒==在Rt BCO △中，2BO ===．【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．4、（1）y 34=x 152-；（2）抛物线的解析式为：y 524=x 22512-x ，顶点坐标为（5，12524-）；（3）m •n ＝25；（4）5013或5或8013． 【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）应用待定系数法以及顶点公式即可求得；（3）连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，证得Rt △AOE ≌RT △AME ，求得∠OAE ＝∠MAE ，同理证得∠BAF ＝∠MAF ，进而求得∠EAF ＝90°，然后证明△EMA ∽AMF ，得到EM AM AM FM=,即可求得． （4）分三种情况分别讨论，①当PQ ＝BQ 时，作QH ⊥PB ，得到△BHQ ∽△BOP ，求出直线BC 解析式，得到HB ：BQ ＝4：5；即可求得，②当PB ＝QB 时，则10﹣t ＝t 即可求得，③当PQ ＝PB 时，作QH ⊥OB ，根据勾股定理即可求得．【详解】解：（1）设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，∵直线BC 经过B 、C ， ∴010241855k b k b =+⎧⎪⎨-=+⎪⎩， 解得：34152k b ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为：y 34=x 152-；． （2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-）， ∴20010010241818()555c a b c a b c ⎧⎪=⎪=++⎨⎪⎪-=++⎩， 解得52425120a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：524y x =22512x -； ∴25125212b x a -=-=-=5，524y x =22551224x -=⨯522512-⨯512524=-， ∴顶点坐标为（5，12524-）；（3）m •n ＝25；如图2，连接AE 、AM 、AF ，则AM ⊥EF ，在Rt △AOE 与Rt △AME 中OA MA AE AE =⎧⎨=⎩∴Rt △AOE ≌Rt △AME （HL ），∴∠OAE ＝∠MAE ，同理可证∠BAF ＝∠MAF ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAM +∠FAM =90°，∵EF 为⊙A 切线，∴AM ⊥EF ，∴∠EMA =∠FMA =90°，∴∠AEM +∠EAM =90°，∴∠AEM =∠MAF ，∴△EMA ∽AMF ，∴EM AM AM FM=,∴AM2＝EM•FM，∵AM12=OB＝5，ME＝m，MF＝n，∴m•n＝25；（4）如图3．有三种情况；①当PQ＝BQ时，作QH⊥PB,垂足为H，则△BHQ∽△BOP，设直线BC解析式为y=px+q，∵B、C坐标分别为（10，0）和（185，﹣245）∴1001824 55p qp q+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴34152pq⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线BC的解析式为31542y x=-，∴点P坐标为（0，-152），∵△BHQ∽△BOP，∴1532104 OB BHBP HQ===,∴HQ：BQ＝3：5，HB：BQ＝4：5；∵HB＝（10﹣t）12⨯，BQ＝t，∴()110425tt-⨯=，解得；5013t=，②当PB＝QB时，则10﹣t＝t，解得t＝5，③当PQ＝PB时，作QH⊥OB，则PQ＝PB＝10﹣t，BQ＝t，HP45t=﹣（10﹣t），QH35t=；∵PQ2＝PH2+QH2，∴（10﹣t）2＝[45t﹣（10﹣t）]2+（35t）2；解得8013t=．综上所述，求出满足条件的t值有三个：5013或5或8013．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，顶点坐标的求法，圆的切线的性质，数形结合分类讨论是本题的关键．5、（1）y=-x2+2x+3；（2（3）点P（1，4）或（-2，-5）．【分析】（1）3=OC=OA=3OB，故点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（-1，0）、（3，0），即可求解；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），即可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：（1）令x=0，则y=3，则点A的坐标为（3，0），根据题意得：OC=3=OA=3OB，故点B、C的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），把（3，0）代入得-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；（2）圆的圆心在BC的中垂线上，故设圆心R（1，m），则RA=RC，即：1+（m-3）2=4+m2，解得：m=1，故点R（1，1），=（3）过点A、C分别作直线AC的垂线，交抛物线分别为P、P1，设点P(x，-x2+2x+3)，过点P作PQ⊥y轴于点Q，∵OA =OC，∠PAC=90°，∴∠ACO=∠OAC=45°，∵∠PAC=90°，∴∠PAQ=45°，∴△PAQ是等腰直角三角形，∴PQ=AQ=x，∴AQ+AO=x+3=-x2+2x+3，解得：1210x x ==，(舍去)，∴点P (1，4)；设点P 1(m ，-m 2+2m +3)，过点P 1作P 1D ⊥x 轴于点D ，同理得△P 1CD 是等腰直角三角形，且点P 1在第三象限，即m <0，∴P 1D =CD =m 2-2m -3，DO =-m ，∴DO +OC = P 1D ，即-m +3= m 2-2m -3，解得：1223m m =-=，(舍去)，∴点P (-2，-5)；综上，点P （1，4）或（-2，-5）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆的基本知识等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。
2022年最新北师大版九年级数学下册第三章 圆综合练习试题(含解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（ ）A ．5厘米B ．4厘米C ．132厘米D ．134厘米 2、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）C DA．1 B．123、矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点P在边AB上，且AP＝3，如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）A．点B、C均在⊙P内B．点B在⊙P上、点C在⊙P内C．点B、C均在⊙P外D．点B在⊙P上、点C在⊙P外4、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝1，将Rt△ABC延直线l由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（）AB C D．（π5、已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法确定6、如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则∠AOB的度数为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7、如图，O 中的半径为1，ABC 内接于O ．若50A ∠=︒，70B ∠=︒，则AB 的长是（ ）A ．32 B C D 8、若正六边形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）A ．6，B ．6，C ． 6D ．6，39、如图，O 的半径为10cm ，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于D ，交O 于点C ，且CD =4cm ，弦AB 的长为（ ）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm10、一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角45ACB ∠=︒，则这个人工湖的直径AD 为（ ）m ．A．502B．1002C．503D．200第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，点D为边长是ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是 ____．2、16.如图，平行四边形ABCD中，∠ACB= 30°，AC的垂直平分线分别交AC，BC，AD于点O，E，F，点P在OF上，连接AE，PA，PB.若PA = PB，现有以下结论：①△PAB为等边三角形；②△PEB∽△APF；③∠PBC - ∠PAC= 30°；④EA = EB + EP其中一定正确的是______（写出所有正确结论的序号）3、用一个半径为2的半圆作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______．4、一个扇形的半径为4，圆心角为135°，则此扇形的弧长为 _____．5、如图，在Rt ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，已知等边ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连接DB，DC，过点C作AB的平行线，交BD 的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AB的长为6，求CE的长．2、如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，连接AC ，过A 作AF AC ⊥，交⊙O 于点F ，连接DF ，过B 作BG DF ⊥，交DF 的延长线于点G ．（1）求证：BG 是⊙O 的切线；（2）若30DFA ∠=︒，DF =4，求FG 的长．3、已知矩形ABCD ，6AB =，8AD =，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0360a a ︒<<︒，得到矩形AEFG ．（1）当点E在BD上时，求证：AF BD∥；=时，求a值；（2）当GC GB（3）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90︒的过程中，求CD绕过的面积．4、如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB 的长．5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．【详解】解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，∴AC=8-2=6厘米，过点O作OB⊥AC于点B，则AB=12AC=12×6=3厘米，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，解得r =134厘米． 故选：D ．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．3、D【分析】如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP，CP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AP=3，AB=8，∴BP=AB-AP=5，∵5PD==，∴PB=PD，>=，∴PC PB PD∴点C在圆P外，点B在圆P上，故选D．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．4、C【分析】根据题意，画出示意图，确定出点A 的运动路径，再根据弧长公式即可求解．【详解】解：根据题意可得，Rt △ABC 的运动示意图，如下：Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴60ACB ∠=︒，2BC =，AB =由图形可得，点A 的运动路线为，先以C 为中心，顺时针旋转120︒，到达点1A ，经过的路径长为120121803ππ⨯=，再以1B 为中心，顺时针旋转150︒，到达点2A ，顶点A 所经过的路径的长为23π=故选：C【点睛】 此题考查了旋转的性质，圆弧弧长的求解，解题的关键是根据题意确定点A 的运动路线．5、A【分析】圆的半径为,r 圆心到直线的距离为,d 当d r ＞时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d r =时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，d r ＜时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案．【详解】解：∵⊙O 的半径等于r 为8，圆心O 到直线l 的距离为d 为6，∴d r ＞，∴直线l 与O 相离，∴直线l 与⊙O 的公共点的个数为0，故选A ．【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．6、D【分析】由∠ACB =40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB 的度数．【详解】解：∵∠ACB =40°，∴∠AOB =2∠ACB =80°．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．7、B【分析】连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，由三角形内角和求出C ∠，由圆周角定理可得2AOB C ∠=∠，由OA OB =得AOB 是等腰三角形，即可知12AOD AOB ∠=∠，12AD BD AB ==，根据三角函数已可求出AD ，进而得出答案．【详解】如图，连接OA 、OB ，过点O 作⊥OD AB ，∵50A ∠=︒，70B ∠=︒，∴180507060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴2120AOB C ∠=∠=︒，∵OA OB =，∴AOB 是等腰三角形， ∴1602∠=∠=︒AOD AOB ，12AD BD AB ==， ∴30DAO ∠=︒，∴12OD =，AD ==∴2AB AD ==故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握圆周角定理．8、B【分析】如图1，⊙O 是正六边形的外接圆，连接OA ，OB ，求出∠AOB =60°，即可证明△OAB 是等边三角形，得到OA=AB=6；如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，先求出∠AO1B＝60°，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：（1）如图1，⊙O是正六边形的外接圆，连接OA，OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=360°÷6=60°，∵OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=6；（2）如图2，⊙O1是正六边形的内切圆，连接O1A，O1B，过点O1作O1M⊥AB于M，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AO1B＝60°，∵O1A= O1B，∴△O1AB是等边三角形，∴O1A= AB=6，∵O1M⊥AB，∴∠O1MA＝90°，AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝BM，∴O1M故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知正多边形与圆的知识是解题的关键．9、A【分析】如图所示，连接OA，由垂径定理得到AB=2AD，先求出6cm=-=，即可利用勾股定理求出OD OC CDAD，即可得到答案．8cm【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AB=2AD，∠ODA=90°，CD=，∵4cm∴6cm=-=，OD OC CD∴8cmAD==，∴216cm==，AB AD故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．10、B【分析】连接BD，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证ADB∆为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD即可．【详解】解：连接BD，如下图所示：ACB ∠与ADB ∠所对的弧都是AB ．45ADB ACB ∴∠=∠=︒．ABD ∠所对的弦为直径AD ，90ABD ∴∠=︒．又45ADB ∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，在ADB ∆中，100AB DB ==，∴由勾股定理可得：AD ===故选：B ．【点睛】本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．二、填空题1、【分析】根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，分别求出两个三角形的面积，相加即可．【详解】解：根据题意作等边三角形ABC 的外接圆，D 在运动过程中始终保持∠ADB ＝120°不变，D ∴在圆上运动，当点D 运动到AB 的中点时，四边形ADBC 的面积S 的最大值，过点D 作AB 的垂线交于点E ，如图：4120AB ADB =∠=︒，30,DBE BE ∴∠=︒=12DE BD ∴=， 在Rt BDE 中，222BD DE BE =+，解得：2DE =，12ABDS AB DE ∴=⋅= 过点A 作BC 的垂线交于F ，12BF BC ∴==6AF ∴=， 162ABC S ∴=⨯⨯==4ABC ABD ADBC S S S ∴+=四边形故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形，外接圆、勾股定理、动点问题，解题的关键是，作出图象及掌握圆的相关性质．2、①③④【分析】根据等边三角形的性质、垂直平分线的性质逐项进行分析即可．【详解】连接PC①∵AC 的垂直平分线分别交AC ，BC ，AD 于点O ，E ，F∴PA =PC ，EF ⊥AC ，EA =EC∵PA =PB ，∴PA =PB =PC∴点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上∴260APB ACB ∠=∠=︒∴△PAB 为等边三角形；故①正确；②∵∠ACB = 30°，EF ⊥AC ，EA =EC∴60AEO CEO ∠=∠=︒∴=120PEB ∠︒∵△PAB 为等边三角形∴60APB ABP ∠=∠=︒∴180120APF APB BPE BPE ∠=-∠-∠=︒-∠∴PEB APF ∠≠∠，故②错误；③∵平行四边形ABCD 中∴AD ∥BC∴60AFE CEO ∠=∠=︒，180ABC BAD ∠+∠=︒,30ACB CAD ∠∠==︒ ∴△AEF 为等边三角形∵60APB BAP ∠=∠=︒,180ABC BAD ∠+∠=︒∴PBC ABC ABP ∠=∠-∠18060BAD =︒-∠-︒120()BAP FAP =︒-∠+∠120(60)FAP =︒-︒+∠60FAP =︒-∠∵30FAP CAD PAC PAC ∠=∠-∠=︒-∠∴60(30)30PBC PAC PAC ∠=︒-︒-∠=∠+︒即∠PBC - ∠PAC = 30°，故③正确；∵△AEF 、△PAB 为等边三角形∴(ABE APF SAS ≅∴BE PF =∵EF =EP +PF =EA∴EA =EB +EP ，故④正确；综上，一定正确的是①③④故答案为：①③④【点睛】本题综合考查等边三角形的性质与判定、相似三角形的判定、圆周角定理、平行四边形的性质，解题的关键是根据PA =PB =PC 得到点A 、B 、C 在以P 为圆心的圆上．3、1【分析】先求出扇形的弧长，然后根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥的底面圆的半径为r ，列出方程求解即可得．【详解】解：∵半径为2的半圆的弧长为：12222ππ⨯⨯=，∴围成的圆锥的底面圆的周长为2π设圆锥的底面圆的半径为r，则：22rππ=，解得：1r=，故答案为：1．【点睛】题目主要考查圆锥与扇形之间的关系，一元一次方程的应用，熟练掌握圆锥与扇形之间的关系是解题关键．4、3π【分析】根据弧长的计算公式计算即可．【详解】解：扇形弧长为：1354180π︒⋅⋅︒＝3π．故填：3π．【点睛】本题主要考查了扇形的弧长计算，牢记扇形的弧长公式成为解答本题的关键．5、6【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．【详解】解：连接DO，EO，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∴OE⊥AC，OD⊥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∵∠C=90°，∴四边形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt△ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∴BC=3，AC=4，×3×4=6.∴S△ABC=12故答案为：6．【点睛】本题主要考查三角形内切圆与内心，根据题意得出四边形OECF是正方形以及运用方程思维和勾股定理进行分析是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）3【分析】（1）由题意连接OC，OB，由等边三角形的性质可得∠ABC=∠BCE=60°，求出∠OCB=30°，则∠OCE=90°，结论得证；BC＝3．（2）根据题意由条件可得∠DBC=30°，∠BEC=90°，进而即可求出CE=12【详解】解：（1）证明：如图连接OC 、OB ．∵ABC ∆是等边三角形∴ 60A ABC ∠=∠=∵//AB CE∴ 60BCE ABC ︒∠=∠=又 ∵OB OC =∴30OBC OCB ︒∠=∠=∴90OCE OCB BCE ︒∠=∠+∠=∴OC CE ⊥∴CE 与⊙O 相切；（2）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴180A BCD ︒∠+∠=∴120BDC ︒∠=∵D 为BC 的中点，∴30DBC BCD ∠=∠=︒∴90ABE ABC DBC ∠=∠+∠=︒∵//AB CE∴90E ∠=︒ ∴11322CE BC AB === 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、切线的判定以及直角三角形的性质等知识．解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行求解．2、（1）见解析；（2）2FG=【分析】（1）由题意根据切线的判定证明半径OB⊥BG即可BG是⊙O的切线；（2）根据题意连接CF，根据圆周角定理和中位线性质得出12OE DF=，进而依据等边三角形和四边形BEDG是矩形进行分析即可得出FG的长．【详解】解：（1）证明：∵ C，A，D，F在⊙O上，∠CAF=90°，∴ ∠D=∠CAF=90°．∵ AB⊥CE，BG⊥DF，∴ ∠BED=∠G=90°．∴ 四边形BEDG中，∠ABG=90°．∴ 半径OB⊥BG．∴ BG是⊙O的切线．（2）连接CF，∵ ∠CAF=90°，∴ CF是⊙O的直径．∴ OC =OF ．∵ 直径AB ⊥CD 于E ，∴ CE =DE ．∴ OE 是△CDF 的中位线． ∴ 122OE DF ==．∵ AD AD =，∠AFD =30°，∴ ∠ACD =∠AFD =30°．∴ 9060CAE ACE ∠=︒-∠=︒．∵ OA =OC ，∴ △AOC 是等边三角形．∵ CE ⊥AB ，∴ E 为AO 中点，∴ OA =2OE =4，OB =4．∴ 6BE BO OE =+=．∵ ∠BED =∠D =∠G =90°，∴ 四边形BEDG 是矩形．∴ DG =BE =6．∴ 2FG DG DF =-=．【点睛】本题考查圆的综合问题，熟练掌握切线的判定和圆周角定理和中位线性质以及等边三角形和矩形性质是解题的关键.3、（1）见解析；（2）旋转角α为 60°或者 300°；（3）9π【分析】（1）由旋转的性质及等腰三角形性质得∠AEB ＝∠ABE ，由△AEF ≌△BAD 可得∠EAF ＝∠ABD ，从而有∠AEB ＝∠EAF ，故由平行线的判定即可得到结论；（2）分点G 在AD 的右侧和AD 的左侧两种情况；均可证明△GAD 是等边三角形，从而问题解决；（3）由S 阴影＝S 扇形ACF －S 扇形ADG ，分别计算出两个扇形的面积即可求得阴影部分面积．【详解】（1）连接AF ，由旋转可得，AE ＝AB ，EF =BC ，∠AEF =∠ABC =90゜∴∠AEB ＝∠ABE ，又∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =∠BAD =90゜，BC =AD∴EF =AD ，∠AEF =∠BAD =90゜在△AEF 和△BAD 中AE AB AEF BAD EF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△BAD （SAS ），∴∠EAF ＝∠ABD ，∴∠AEB ＝∠EAF ，∴AF ∥BD（2）如图，当GB＝GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝BH＝12AD＝12AG，∴GM垂直平分AD，∴GD＝GA＝DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°﹣60°＝300°．∴旋转角α为60°或者300°（3）如图3，∵S 扇形ACF＝22909010360360AC＝25π，S扇形ADG＝2290908360360ADππ⋅⋅⋅⋅=＝16π，∴S阴影＝S扇形ACF－S扇形ADG＝25π－16π＝9π．即阴影部分的面积为9π【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积，线段垂直平分线的判定等知识，涉及的知识点较多，灵活运用这些知识是解题的关键，（2）小问注意分类讨论．4、16AB=【分析】连接OA，根据⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2可求出OM的长，由勾股定理求出AM的长，再由垂径定理求出AB的长即可．【详解】解：如图，连接OA．∵OM：MC＝3：2，OC＝10，∴OM＝331055OC=⨯=6．∵OC⊥AB，∴∠OMA＝90°，AB＝2AM．在Rt△AOM中，AO＝10，OM＝6，∴AM=8．∴AB＝2AM =16．【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．5、（1）作图见解析；（2【分析】（1）由于D点为⊙O的切点，即可得到OC=OD，且OD⊥AB，则可确定O点在∠A的角平分线上，所以应先画出∠A的角平分线，与BC的交点即为O点，再以O为圆心，OC为半径画出圆即可；（2）连接CD和OD，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB的度数，然后进一步求出∠COD的度数，并结合三角函数求出OC的长度，再运用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，先作∠A的角平分线，交BC于O点，以O为圆心，OC为半径画出⊙O即为所求；（2）如图所示，连接CD和OD，由题意，AD为⊙O的切线，∵OC⊥AC，且OC为半径，∴AC为⊙O的切线，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即：3∠DCB=90°，∴∠DCB=30°，∵OC=OD，∴∠DCB=∠ODC=30°，∴∠COD=180°-2×30°=120°，∵∠DCB=∠B=30°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO=30°，∴在Rt△ACO中，tan6=∠==OC AC CAO∴CD==．【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．。
2022年精品解析北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测评试题(含详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）A ．1B ．12CD 2、矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，点P 在边AB 上，且AP ＝3，如果⊙P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）A ．点B 、C 均在⊙P 内B ．点B 在⊙P 上、点C 在⊙P 内 C ．点B 、C 均在⊙P 外D ．点B 在⊙P 上、点C 在⊙P 外3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若∠BCD ＝36°，则∠ABD 等于（ ）A．54°B．56°C．64°D．66°4、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（）A．4.8 B．5 C．D．5、如图，点A、B、C在⊙O上，∠BAC＝56°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．102°C．112°D．128°6、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）7、如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是AE的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8、如图，点A，B，C在O上，OAB是等边三角形，则ACB∠的大小为（）A．60°B．40°C．30°D．20°9、在半径为6cm的圆中，120︒的圆心角所对弧的弧长是（）A．12πcm B．3πcm C．4πcm D．6πcm10、如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数是（）A．30°B．60°C．80°D．90°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，点C，D在半圆上，OC⊥AB，2=，点P是OC上的一个BD CD动点，则BP＋DP的最小值为______．2、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．OA=，绕点O顺时针旋转45°，则点A走过的路径长为______．3、线段44、一个圆锥的底面半径为5，高为12，则这个圆锥的全面积是___________．（结果保留π）5、如图，已知P 的半径为1，圆心P 在抛物线2112y x =-+上运动，当P 与x 轴相切时，圆心P 的横坐标为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC求作：一点P ，使得∠APC ＝∠BAC作法：①以点A 为圆心， AB 长为半径画圆；②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点C ，D 两点；③连接DA 并延长交⊙A 于点P点P 即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC2、如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，点A、C在O上，过点A作⊥的延长线于点E，已知DA平分BDEAE CD∠．（1）求证：AE是O切线；（2）若4AE=，6CD=，求O的半径和AD的长．3、如图，在半⊙O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．4、新定义：在一个四边形中，若有一组对角都等于90°，则称这个四边形为双直角四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD就是双直角四边形．（1）若四边形ABCD是双直角四边形，且AB＝3，BC＝4，CD＝2，求AD的长；（2）已知，在图2中，四边形ABCD内接与⊙O，BC＝CD且∠BAC＝45°；①求证：四边形ABCD是双直角四边形；②若AB＝AC，AD＝1，求AB的长和四边形ABCD的面积．5、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，弦CD⊥AB于点E，且DC＝AD，过点A作⊙O的切线，过点C作DA的平行线，两直线交于点F，FC的延长线与AB的延长线交于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）求证：四边形AFCD是菱形．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．2、D【分析】如图所示，连接DP ，CP ，先求出BP 的长，然后利用勾股定理求出PD 的长，再比较PC 与PD 的大小，PB 与PD 的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP ，CP ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠B =90°，∵AP =3，AB =8，∴BP =AB -AP =5，∵5PD ==，∴PB =PD ，∴PC PB PD >=，∴点C 在圆P 外，点B 在圆P 上，故选D ．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．3、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、B【分析】连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，设半径为x．构建方程即可解决问题．解：设⊙O与AB相切于点E．连接EO，延长EO交CD于F，连接DO，再设⊙O的半径为x．∵AB切⊙O于E，∴EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∴∠OFD=90°，在Rt△DOF中，∵∠OFD=90°，OF2+DF2=OD2，∴（8-x）2+42= x2，∴x=5，∴⊙O的半径为5．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5、C【分析】直接由圆周角定理求解即可．解：∵∠A＝56°，∠A与∠BOC所对的弧相同，∴∠BOC＝2∠A＝112°，故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．6、A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【详解】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A【点睛】此题考查了三角形外心的知识．注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点．解此题的关键是数形结合思想的应用．7、B【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；【详解】解：如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD＝3605︒＝72°，∴∠CPD＝12∠COD＝36°，故选：B【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8、C【分析】由OAB∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB∆为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴ACB∠=12∠AOB =12×60°=30°．故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．9、C【分析】直接根据题意及弧长公式可直接进行求解．【详解】解：由题意得：120︒的圆心角所对弧的弧长是12064 180180n rπππ⨯==；故选C．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．10、B【分析】延长AO交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，由直角三角形的性质可推得AB=BO=AO，然后根据等边三角形的判定与性质可以得解．【详解】解：如图，延长AO交⊙O于点D，连接BD，∵∠P=30°，∴∠D=∠P=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴AB=12AD=AO=BO，∴三角形ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°，故选B．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、圆直径的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质是解题关键．二、填空题1、【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．∵OC⊥AB，OA=OB，∴PA=PB，∠COB=90°，∵2BD CD，∴∠DOB=23×90°=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD=60°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD=AB•sin∠ABD∵PB+PD=PA+PD≥AD，∴PD+PB∴PD+PB的最小值为故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．【分析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 分的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中， AH =22AB BH - =22231-=，∴AC =23 ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴()260?232360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．3、π【分析】直接根据题意及弧长计算公式可进行求解．【详解】解：由题意得：点A 走过的路径长为454180180n r πππ⨯==； 故答案为π．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．4、90π【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，先求得母线长，再分别求得面积，最后相加即可求得全面积．【详解】解：∵一个圆锥的底面半径为5，高为12，13=1=1325=652S ππ∴⨯⨯⨯侧，2=5=25S ππ⨯底 则这个圆锥的全面积是652590πππ+=故答案为：90π【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．侧面积＝π×底面半径×母线长，圆锥的表面积＝底面积＋侧面积．5、2或2-或0【分析】当⊙P与x轴相切时，圆心P的纵坐标为1或-1，根据圆心P在抛物线上，所以当y为±1时，可以求出点P的横坐标．【详解】x2+1，x=0．解：当y=1时，有1=-12x2+1，x=2±．当y=-1时，有-1=-12故答案是：2或2-或0．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，利用圆与x轴相切得到点P的纵坐标，然后代入抛物线求出点P的横坐标．三、解答题1、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2、（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．（1）证明：如图，连接OA，∵AE⊥CD，∴∠DAE+∠ADE=90°．∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ADO，又∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠DAE+∠OAD=90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O切线；（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，∴OF⊥CD于点F．∴四边形AEFO是矩形，∵CD=6，∴DF=FC=3．在Rt△OFD中，OF=AE=4，∴5OD=，在Rt△AED中，AE=4，ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2，∴AD=∴AD的长是【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．3、（1）见解析；（234π-【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）根据S阴＝S△AOD﹣S扇形﹣S△AOC计算即可．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠A+∠ABC＝90°∵DO⊥AB，∴∠A+∠D＝90°∴∠D＝∠ABC；（2）解：设∠B ＝α，则∠BCO ＝α，∵OE ＝CE ，∴∠EOC ＝∠BCO ＝α，在△BCO 中，α+α+90°+α＝180°，∴α＝30°∴∠A ＝60°，D ABC ∠=∠，∵OA ＝12AB ＝3，∴OC ＝OA ＝3，又ACB AOD ∠=∠ACB AOD ∴≌ ABC ADO S S ∴=AO BO = 12AOC ABC S S ∴=∴OD=∴S 阴＝S △AOD ﹣S 扇形﹣S △AOC ＝12⨯2303360π⋅⋅﹣11322⨯⨯⨯34π． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，求扇形面积公式，根据S 阴＝S △AOD ﹣S 扇形﹣S △AOC 求解是解题的关键．4、（1（2）①见解析；②32【分析】（1）连接BD ，运用勾股定理求出BD 和AD 即可；（2）①连接OB ，OC ，OD ，证明BD 是O 的直径即可；②过点D 作DE AC ⊥于点E ，设圆的半径为R ，由勾股定理求出AB ，AD ，BC ，CD 的长，再根据ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+运用三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）连接BD ，如图，在Rt BCD ∆中，BC ＝4，CD ＝2，∵222=BD BC CD +∴BD ==在Rt ABD ∆中，AB ＝3，BD ＝，∵222=BD BA AD +∴AD =（2）连接OB ，OC ，OD ，如图，∵45BAC ∠=︒∴90BOC ∠=°在BOC ∆和DOC ∆中OB OD OC OC BC CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴BOC ∆≌DOC ∆∴90DOC BOC ∠=∠=︒∴O 是线段BD 的中点，∴BD 为O 的直径∴90BCD BAD ∠=∠=︒∴四边形ABCD 是双直角四边形；（3）过点D 作DE AC ⊥于点E ，∵45,90BAC BAD ∠=︒∠=︒∴45EAD ∠=︒∴AED ∆是等腰直角三角形在Rt AED ∆中，AE ED =，222AE ED AD +=∵1AD =∴AE ED == 设圆的半径为R ，∵BOC ∆和DOC ∆均为等腰直角三角形，∴BC CD =在Rt ADC ∆中，EC在Rt ABD ∆中，AB =∵AB AC =，AC AE EC =+=解得，21R =∴ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+1122AB AD BC CD =⨯+⨯12=2R =132=【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形面积计算等知识，灵活添加辅助线是解答本题的难点．5、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC 、AC ，证明△ACD 为等边三角形，得出∠ADC =∠DCA =∠DAC =60°，∠OCD =30°，由FG ∥DA ，得出∠DCF =180°-∠ADC =120°，则∠OCF =∠DCF -∠OCD =90°，即FG ⊥OC ，即可得出结论；（2）证明AF ∥DC ，由FG ∥DA ，得出四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）证明：连接OC 、AC ，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE，AD=AC，∵DC=AD，∴DC=AD=AC，∴△ACD为等边三角形，∴∠ADC=∠DCA=∠DAC=60°，∠DAB=∠BAC=30°，∴∠BOC=2∠BAC=60°，∴∠OCD=90°-60°=30°，∵FG∥DA，∴∠D=∠DCG=60°，∴∠OCG=∠DCG+∠OCD=60°+30°=90°，∴FG⊥OC，∵OC为⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线；（2）证明：∵AF与⊙O相切，∴AF⊥AG，∵DC⊥AG，∴AF∥DC，∵FG∥DA，∴四边形AFCD为平行四边形．∵DC＝AD，∴四边形AFCD是菱形．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质，证明FG是⊙O的切线是解题的关键．。
2022年北师大版九年级数学下册第三章 圆专项测试试题(含详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章圆专项测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．135°⊥于D，交O于点C，且CD=4cm，弦AB的2、如图，O的半径为10cm，AB是O的弦，OC AB长为（）A．16cm B．12cm C．10cm D．8cm3、已知⊙O的半径为3cm，在平面内有一点A，且OA=6cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内；B．点A在⊙O上；C．点A在⊙O外；D．不能确定．4、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（）A．8πB．172πC．192πD．12π5、如图，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，点C是⊙O上一点，连接AC并延长，交BD于点D，连接OC，BC，若∠BOC＝50°，则∠D的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．75°6、如图，点A，B，C在O上，OAB是等边三角形，则ACB的大小为（）A．60°B．40°C．30°D．20°7、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30°，BC＝6，则⊙O的直径等于（）A．10 B．C．D．128、直角三角形△PAB一条边为AB，另一顶点P在直线l上，下面是三个学生做直角三角形的过程以及自认为正确的最终结论：甲：过点A作l的垂线，垂足为P1；过点B作l的垂线，垂足为P2；作AP3⊥BP3．故符合题意的点P 有三处；乙：以AB为直径作圆O，⊙O与交l于两点P1、P2，故符合题意的点P有两处；丙：过点A作P1A⊥AB，垂足为A，交l于点P1；过点B作P2B⊥AB，垂足为B，交l于点P2．故符合题意的点P有两处．下列说法正确的是（）A．甲的作法和结论均正确B．乙、丙的作法和结论合在一起才正确C．甲、乙、丙的作法和结论合在一起才正确D．丙的作法和结论均正确9、如图，AB是半圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形，其中点C，D，E在AB上，点AB ，则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是（）F，N在半圆上．若10A ．25B ．50C ．30π-D ．502π-10、下列说法中，正确的是（ ）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．过任意三点可以画一个圆C ．周长相等的圆是等圆D ．平分弦的直径垂直于弦第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝4，点C ，D 在半圆上，OC ⊥AB ，2BD CD =，点P 是OC 上的一个动点，则BP ＋DP 的最小值为______．2、一个圆锥的底面半径为5，高为12，则这个圆锥的全面积是___________．（结果保留π）3、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________4、若一个扇形的半径是18cm ，且它的弧长是6cm π，则此扇形的圆心角等于______．5、在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，4AC AB ==，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE △绕点A 逆时针旋转，得到等腰11Rt AD E ，记直线1BD 与1CE 的交点为P ，则点P 到AB 所在直线的距离的最大值为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在ABC 中，90BAC ∠=，点F 在BC 边上，过,,A B F 三点的⊙O 交AC 于点D ，作直径AE ，连结EF 并延长交AC 于点G ，连结,BE BD ，此时BD EG ∥．（1）求证：AB BF =；（2）当F 为BC 的中点，且3AC =时，求⊙O 的直径长．2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC= 30°，求CD的长．3、如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知CAD B∠=∠．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若OB＝2，∠CAD＝30°，则BD的长为．4、下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，ABC．∥．求作：直线BD，使得BD AC作法：如图，①分别作线段AC，BC的垂直平分线1l，2l，两直线交于点O；②以点O为圆心，OA长为半径作圆；③以点A为圆心，BC长为半径作孤，交AB于点D；④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD，=，∵点A，B，C，D在O上，AD BC∴AD=______．∠=∠（______）（填推理的依据）．∴DBA CAB∥．∴BD AC5、如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D．（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求AC长．-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出∠C即可．【详解】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A：∠C＝3：1，∴∠C＝11+3×180°＝45°，故选：A．【点睛】本题考查了元内接四边形对角互补的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2、A【分析】如图所示，连接OA，由垂径定理得到AB=2AD，先求出6cm=-=，即可利用勾股定理求出OD OC CDAD，即可得到答案．8cm【详解】解：如图所示，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AB=2AD，∠ODA=90°，CD=，∵4cm∴6cm=-=，OD OC CD∴8cmAD==，∴216cm==，AB AD故选：A．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．3、C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，OA=6cm，∴d＞r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O外，故选：C．【点睛】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．4、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒，则图中扇形的弧长总和150********322 18018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=，故选：C．【点睛】本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n r l π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．5、C【分析】 首先证明∠ABD ＝90°，由∠BOC ＝50°，根据圆周角定理求出∠A 的度数即可解决问题．【详解】解：∵BD 是切线，∴BD ⊥AB ，∴∠ABD ＝90°，∵∠BOC ＝50°，∴∠A ＝12∠BOC ＝25°，∴∠D ＝90°﹣∠A ＝65°，故选：C ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6、C【分析】由OAB ∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB ∆为等边三角形，∴∠AOB =60°，∴ACB=12∠AOB =12×60°=30°．故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．7、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．8、B【分析】根据三个学生的作法作出图形即可判断【详解】解：甲的作图如下，12,ABP ABP 不是直角三角形，故甲的不正确乙：如图，根据直径所对的圆周角是直角可知，乙的作法正确，但不完整，丙的作法如下，丙的作法也正确，但不完整，乙、丙的作法和结论合在一起才正确故选B【点睛】本题考查了直角三角形的判定，直径所对的圆周角是直角，根据题意作出图形是解题的关键．9、A【分析】连接ON，OF，根据题意可得：ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，然后①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，从而得到y-DO=x，再代入②，即可求解．【详解】解：如图，连接ON，OF，AB ，∵直径10∴ON=OF=5，设CN=x，EF=y，由勾股定理得：x2+(x+DO)2=25①，y2+(y-DO)2=25②，①-②化简得：（x＋y)（x＋DO-y)=0，因为x+y＞0，所以x+DO-y=0，即y-DO=x，代入②，得x2+y2=25，即正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是25．故选：A【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的基本性质，勾股定理等知识是解题的关键．10、C【分析】根据确定圆的条件，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理和圆周角定理逐个判断即可．【详解】A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；故选：C．【点睛】本题考查的是对圆的认识，圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理，利用相关的知识逐项判断是基本的方法．二、填空题1、【分析】如图，连接AD，PA，PD，OD．首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PA≥AD，求出AD即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD，PA，PD，OD．∵OC⊥AB，OA=OB，∴PA=PB，∠COB=90°，∵2BD CD，∴∠DOB=23×90°=60°，∵OD=OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠ABD=60°∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD=AB•sin∠ABD∵PB+PD=PA+PD≥AD，∴PD +PB∴PD +PB 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2、90π【分析】根据圆锥的侧面展开图是扇形，底面是圆，先求得母线长，再分别求得面积，最后相加即可求得全面积．【详解】解：∵一个圆锥的底面半径为5，高为12，13=1=1325=652S ππ∴⨯⨯⨯侧，2=5=25S ππ⨯底 则这个圆锥的全面积是652590πππ+=故答案为：90π【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．侧面积＝π×底面半径×母线长，圆锥的表面积＝底面积＋侧面积．3、【分析】122S l r rl=⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为．【详解】∵ABC是一个圆锥在某平面上的正投影∴ABC为等腰三角形∵AD⊥BC∴122CD BD BC===在Rt ADC中有A C=即AC由圆锥侧面积公式有2S rl==⨯=ππ．故答案为：。
2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试试题(含答案解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，O 是正方形ABCD 的外接圆，若O 的半径为4，则正方形ABCD 的边长为（ ）A ．4B ．8C ．D ．2、如图，已知O 中，50AOB ∠=︒，则圆周角ACB ∠的度数是（ ）A ．50°B ．25°C ．100°D ．30°3、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中不成立是（ ）A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．CE＝DE D．OE＝BE4、如图，四边形ABCD内接于O，若四边形ABCO是菱形，则D∠的度数为（）A．45°B．60°C．90°D．120°5、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角45∠=︒，ACB则这个人工湖的直径AD为（）m．A．502B．1002C．503D．2006、如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3πB ．34πC ．πD ．3π7、下列说法正确的是（ ）A ．弧长相等的弧是等弧B ．直径是最长的弦C ．三点确定一个圆D ．相等的圆心角所对的弦相等8、矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，点P 在边AB 上，且AP ＝3，如果⊙P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）A ．点B 、C 均在⊙P 内B ．点B 在⊙P 上、点C 在⊙P 内 C ．点B 、C 均在⊙P 外D ．点B 在⊙P 上、点C 在⊙P 外9、如图，O 中，90AOC ︒∠=，则ABC ∠等于（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒10、如图，四边形ABCD 内接于O ，若130C ∠=︒，则BOD ∠的度数为（ ）A．50°B．100°C．130°D．150°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的侧面积是______2cm．2、如图，A是⊙O上的一点，且AB是⊙O的切线，CD是⊙O的直径，连接AC、AD．若∠BAC＝30°，CD＝2，则AD的长为 _____．3、如图，将Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与零刻度线的一端重合，∠ABC＝38°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是 ___．4、已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是______．5、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线212y x bx =+． （1）求抛物线顶点Q 的坐标；（用含b 的代数式表示）（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，经过点（0，2）的直线与抛物线交于点A ，B ，与x 轴交于点K ．①判断△AOB 的形状，并说明理由；②已知E （2，0），F （4，0），设△AOB 的外心为M ，当点K 在线段EF 上时，求点M 的纵坐标m 的取值范围．2、已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 为弧BC 的中点．（1）如图①，连接AC ，AD ，OD ，求证：OD ∥AC ；（2）如图②，过点D 作DE ⊥AB 交⊙O 于点E ，直径EF 交AC 于点G ，若G 为AC 的中点，⊙O 的半径为2，求AC 的长．3、如图1，在ABC 中，90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，且AD BD ⊥于点D ．（1）判断ABD △的形状；（2）如图2，在（1）的结论下，若3,75BQ DQ BQD ==∠=︒，求AQ 的长；（3）如图3，在（1）的结论下，若将DB 绕着点D 顺时针旋转()090αα︒<<︒得到DP ，连接BP ，作DE BP ⊥交AP 于点F ．试探究AF 与DE 的数量关系，并说明理由．4、抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的纵坐标为a b c ++．（1）求a ，b 应满足的数量关系；（2）若抛物线上任意不同两点()11,A x y ，()22,B x y 都满足：当的12c x x a <<时，()()12120x x y y --<；当12cx x a <<时，()()12120x x y y -->．直线y c =与抛物线交于M 、N 两点，且PMN 为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式②若直线AB 恒过定点()1,1，且以AB 为直径的圆与直线y m =总有公共点，求m 的取值范围．5、如图，圆O 是ABC 的内切圆，其中7,5AB BC ==，8AC =，求其内切圆的半径．-参考答案-一、单选题1、D【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE =BE ，由垂径定理可知BC =2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∴OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，45BOE ∠=︒∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴BE =∴BC =2BE =ABCD 的边长是故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．2、B【分析】根据圆周角定理，即可求解．【详解】 解：∵1,502ACB AOB AOB ∠=∠∠=︒ ， ∴25ACB ∠=︒ ．故选：B【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握同圆（或等圆）中，同弧（或等弧）所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．3、D【分析】根据垂径定理解答．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于点E ，∴弧AC ＝弧AD ，弧BC ＝弧BD ，CE ＝DE ，【点睛】此题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，熟记定理是解题的关键．4、B【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得18012，求出β即可解决问题．【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；∵四边形ABCO是菱形，∴∠ABC=∠AOCβ=；∴∠ADC=12β；四边形ABCD为圆的内接四边形，∴α+β=180°，∴18012，解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，故选：B．【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.5、B连接BD ，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证ADB ∆为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD 即可．【详解】解：连接BD ，如下图所示：ACB ∠与ADB ∠所对的弧都是AB ．45ADB ACB ∴∠=∠=︒．ABD ∠所对的弦为直径AD ，90ABD ∴∠=︒．又45ADB ∠=︒，ADB ∴∆为等腰直角三角形，在ADB ∆中，100AB DB ==，∴由勾股定理可得：AD === 故选：B ．【点睛】本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．6、D【分析】阴影面积为旋转后'A B 为直径的半圆面积加旋转后扇形面积减去旋转前AB 为直径的半圆面积，则阴影面积为旋转后的扇形面积，由扇形面积公式计算即可．【详解】∵直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°∴A'B ABA'AB S S S S =+-阴影为直径的半圆扇形为直径的半圆又∵'AB A B =∴A'B AB S S =为直径的半圆为直径的半圆∴ABA'S S =阴影扇形∵AB =6，∠ABA ’=30° ∴223063360360ABA'n r S S π︒⋅π⋅====π︒︒阴影扇形 故答案为：D ．【点睛】 本题考查了扇形面积公式的应用，扇形面积公式为2360n r π︒，由旋转的性质得出阴影面积为扇形面积是解题的关键．7、B【分析】利用圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、能够完全重合的弧是等弧，故错误，是假命题，不符合题意；B、直径是圆中最长的弦，正确，是真命题，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题，不符合题意；D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关性质、等弧的定义、确定圆的条件及圆心角定理，难度不大．8、D【分析】如图所示，连接DP，CP，先求出BP的长，然后利用勾股定理求出PD的长，再比较PC与PD的大小，PB与PD的大小即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接DP，CP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∵AP=3，AB=8，∴BP=AB-AP=5，∵5PD==，∴PB=PD，>=，∴PC PB PD∴点C在圆P外，点B在圆P上，故选D．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，熟知用点到圆心的距离与半径的关系去判断点与圆的位置关系是解题的关键．9、C【分析】由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.【详解】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，90∠=，AOC︒∴∠ABC=1∠AOC=45︒.2故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．10、B【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB=180°，∵∠DCB=130°，∴∠A=50°，由圆周角定理得，BOD∠=2∠A=100°，故选：B．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．二、填空题1、8π【分析】设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式即可列出等式：18022180Rππ⨯⨯=，然后解方程即可得母线长，最后利用扇形的面积公式即可求出结果．【详解】解：设圆锥的母线长为R，即其侧面展开图的半径为R．根据题意得18022180Rππ⨯⨯=，解得：R＝4．则圆锥的侧面积是22 1801804==8 360360Rπππ⨯，故答案是：8π．【点睛】本题考查了圆锥的有关计算．掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长及熟记弧长公式和扇形的面积公式是解答本题的关键．2、2 3π【分析】连接OA，由切线的性质得出AO⊥AB，得出△OAC是等边三角形，求出∠AOD＝120°，由弧长公式可得出答案．【详解】解：连接OA，∵AB是⊙O的切线，∴AO⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠OAC＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形，∴∠C＝∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°，∵CD＝2，∴AD的长为1201180⋅⨯π＝23π．故答案为23π．【点睛】本题考查了切线的性质以及弧长公式，切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；弧长公式：180n R l π=（n ︒为圆心角的度数，R 表示圆的半径）． 3、76°或142°【分析】设AB 的中点为O ，连接OD ，则∠BOD 为点D 在量角器上对应的角，根据圆周角定理得∠BOD =2∠BCD ，根据等腰三角形的性质分BC 为底边和BC 为腰求∠BCD 的度数即可．【详解】解：设AB 的中点为O ，连接OD ，则∠BOD 为点D 在量角器上对应的角，∵Rt△ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，∴A 、C 、B 、D 四点共圆，圆心为点O ，∴∠BOD =2∠BCD ，①若BC 为等腰三角形的底边时，如图射线CD 1，则∠BCD 1=∠ABC =38°，连接OD 1，则∠BOD 1=2∠BCD 1=76°；②若BC 为等腰三角形的腰时，当∠ABC 为顶角时，如图射线CD 2，则∠BCD 2=（180°-∠ABC ）÷2=71°，连接OD 2，则∠BOD 2=2∠BCD 2=142°，当∠ABC 为底角时，∠BCD =180°-2∠ABC =104°，不符合题意，舍去，综上，点D 在量角器上对应的度数是76°或142°，故答案为：76°或142°．【点睛】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理，利用分类讨论思想解决问题是解答的关键．4、六【分析】设这个正多边形的边数为n，根据题意可知OA=OB=AB，则△OAB是等边三角形，得到∠AOB=60°，则︒⋅=︒，由此即可得到答案．60360n【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵正多边形的半径与边长相等，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴60360n︒⋅=︒，n=，∴6∴正多边形的边数是六，故答案为：六．【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 5、103π 【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°， ∴扇形的弧长＝120510=1803ππ︒⨯⨯︒． 故答案为：103π． 【点睛】 此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．三、解答题1、（1）（-b ，-12b 2）；（2）①直角三角形，见解析；②94≤m ≤3【分析】（1）y=12x2+bx=12（x+b）2-12b2，即可求解；（2）①求出抛物线的表达式为y=12x2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，证明△ADO∽△OEB，即可求解；②△AOB的外心为M，则点M是AB的中点，MP是梯形BADG的中位线，则m=k2+2，进而求解．【详解】解：（1）∵y=12x2+bx=12（x+b）2-12b2，∴抛物线的顶点Q坐标为（-b，-12b2）；（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=b2-4×12×0=0，解得b=0，∴抛物线的表达式为y=12x2，如下图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、G，设经过点（0，2）的直线的表达式为y=kx+2，联立y=12x2和y=kx+2并整理得：x2-2kx-4=0，则x1+x2=2k，x1x2=-4，∴y1=12x12，y2=12x22，则y1y2=14x12x22=4=-x1x2，∵AD=y1，DO=-x1，BE=y2，OE=x2，∴AD OD OE BE，∴∠ADO=∠BEO=90°，∴△ADO∽△OEB，∴∠AOD=∠OBE，∵∠OBG+∠BOG=90°，∴∠BOG+∠AOD=90°，即AO⊥BO，∴△AOB为直角三角形；②过点A作x轴的平行线交EB的延长线于点H，过点M作MN与y轴平行，交AH于N，∵△AOB的外心为M，MN∥y轴∥BH，∴点M是AB的中点，MP是梯形ABGD的中位线，∴MP=12（AD+BG）=12（y2+y1），则m=MP=12（y1+y2）=12（kx1+2+kx2+2）=12[k（x1+x2）+4]=k2+2，令y=kx+2=0，解得x=-2k，即点K的坐标为（-2k，0），由题意得：2≤-2k≤4，解得-1≤k≤12且k≠0，∴94≤k2+2≤3，即点M的纵坐标m的取值范围94≤m≤3．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2、（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接BD ，由D 为AC 的中点，得BD CD =，则BAD CAD ∠=∠，由等腰三角形的性质得∠=∠DAB ADO ，推出CAD ADO ∠=∠，即可得出结论；（2）由垂径定理得OF AC ⊥，由平行线的性质得DO EF ⊥，则DOE △是等腰直角三角形，45OED ∠=︒，易证OGA △是等腰直角三角形，得BG ，再由2BC BG =，即可得出结果． 【详解】（1）证明：D 为BC 的中点，∴BD CD =， ∴DAB CAD ∠=∠，OD OB =，∴∠=∠DAB ADO ，∴CAD ADO ∠=∠，//OD AC ∴；（2）解：G 为AC 中点，OF AC ∴⊥，2AC AG =由（1）得：//OD AC ，DO EF ∴⊥，DOE ∴△是等腰直角三角形，45OED ∴∠=︒，DE AB ∵⊥，45EOB AOG ∴∠=∠=︒，OGA ∴是等腰直角三角形，2AG ∴==2AC AG ∴==．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理和平行线的判定与性质是解题的关键．3、（1）ABD △是等腰直角三角形，证明见解析；（2（3）,AF =证明见解析【分析】（1）先求解45,ACD BCD ∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG 再证明,,,A C B D 在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，从而可得答案.（2）如图， 把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F 证明45,DQQ QQ ''∠=︒= 证明120,60,BQQ FQQ ''∠=︒∠=︒ 求解3236cos 60,sin 60,22QF QQ FQ QQ '''=︒==︒= 再利用勾股定理可得答案； （3）如图，连接,BF 证明 ,DPE ABF ∽ 可得,DP DE AB AF= 结合（1）问的结论可得答案. 【详解】解：（1） 90,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，45,ACD BCD ∴∠=∠=︒取AB 的中点,G 连接,,CG DG90,ACB ADB ∠=∠=︒,CG AG BG DG ∴===,,,A C B D ∴在以G 为圆心，GC 为半径的同一个圆上，45,ABD ACD ∴∠=∠=︒ABD ∴为等腰直角三角形.（2）如图，,90,AD BD ADB =∠=︒把ADQ △顺时针旋转90︒得到,BDQ ' 连接,QQ ' 过Q '作,Q F BQ '⊥ 交BQ 的延长线于,F3,90,,DQ DQ QDQ AQ BQ '''∴==∠=︒=45,DQQ QQ ''∴∠=︒=75,BQD ∠=︒120,60,BQQ FQQ ''∴∠=︒∠=︒ 3236cos 60,sin 60,22QF QQ FQ QQ '''∴=︒==︒=BF BQ QF ∴=+==BQ '∴==AQ BQ '∴=（3）,AF =理由如下：如图，连接,BF,90,45,BD AD BD ADB ABD BAD AB =∠=︒∠=∠=︒= ,,,DB DP BDP DE BP α=∠=⊥11,,90,,22BE PE BDE PDE DBE FB FP αα∴=∠=∠=∠=︒-= ,90,AD DP ADP α=∠=︒+145,2DAP DPA α∴∠=∠=︒- 114545,22BAP PDE αα⎛⎫∴∠=︒-︒-==∠ ⎪⎝⎭ 11180459045,22APB αα⎛⎫∴∠=︒--︒-︒-=︒ ⎪⎝⎭ ,FB FP =45,90,FBP FPB BFP BFA ∴∠=∠=︒∠=︒=∠90,BFA DEP ∴∠=∠=︒,DPE ABF ∴∽,DP DE AB AF∴=DE DB AF AB ∴== 即.AF 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆的确定，圆周角定理的应用，是典型的综合题，熟练的运用图形的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键.4、（1）2b a =-；（2）①221y x x =-+；②02m ≤≤【分析】（1）当x =1时，y =a +b +c ，确定P 的坐标为（1，a +b +c ），确定函数的对称轴为x =1即b -12a=，关系确定；（2）①由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y --<，得120y y -＞， 得到x c a<时，y 随x 的增大而减小；由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y -->，得120y y -<，得到x c a＞时，y 随x 的增大而增大，判定直线x c a =是抛物线的对称轴，且a ＞0；得到1c a=，从而确定P （1，0），线y c =与抛物线交于M 、N 两点，其中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），根据PMN 为等腰直角三角形，可证△OPM 是等腰直角三角形，从而得到PO =OM =1即M （0，1），故c =a =1，b =-2a =-2即确定函数解析式；②由直线AB 恒过定点()1,1，得到直线AB 为y =1；结合抛物线与y 轴的交点为（0，1），不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，根据对称轴为x =1，确定B 的坐标为（2，1），故AB =2，所以AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围．【详解】（1）（1）当x =1时，y =a +b +c ，∴P 的坐标为（1，a +b +c ），∴函数的对称轴为x =1， ∴b -12a=， ∴b =-2a ；（2）①∵12c x x a<<时， ∴120x x -<，∵()()12120x x y y --<，∴120y y -＞， ∴x c a <时，y 随x 的增大而减小； ∵12cx x a <<时，∴120x x -<，∵()()12120x x y y -->，∴120y y -<， ∴x c a＞时，y 随x 的增大而增大， ∴直线x ca=是抛物线的对称轴，且a ＞0；∵函数的对称轴为x =1， ∴1c a=， ∴a +b +c =2a -2a =0，∴P （1，0），PO =1，∵（0，c ）是抛物线与y 轴的交点，∴直线y =c 与抛物线交于M 、N 两点中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），则OM =c ，∵PMN 为等腰直角三角形，∴∠NMP =45°，∴∠OMP =45°，∴△OPM 是等腰直角三角形，∴PO =OM =1，∴c =a =1，b =-2a =-2，∴函数解析式为221y x x =-+； ②∵直线AB 恒过定点()1,1，∴直线AB 为y =1；∵抛物线与y 轴的交点为（0，1），∴不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，∵对称轴为x =1，∴B 的坐标为（2，1），∴AB =2，∴AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点（1，1），作图如下，∵y =0时，直线与圆相切；y =2时，直线与圆相切；∴圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围为0≤m ≤2．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键．5【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，切点分别为E 、F 、G ，连结OE ，OF ，OG ，根据勾股定理BD =ABC 面积两种求法列等式得出()AC BD AB BC AC r ⋅=++⋅即可．【详解】解：过B 作BD ⊥AC 于D ，切点分别为E 、F 、G ，连结OE ，OF ，OG ，设AD =x ，CD =8-x , 其内切圆的半径为r ，根据勾股定理2222-=-AB AD BC CD ，即()2222758x x -=--， 解方程得112x =， ∴BD= ∵圆O 是ABC 的内切圆，∴OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，OG ⊥BC ，OE =OF =OG =r ，∴S △ABC =()1111122222AC BD AB OF BC OG AC OE AB BC AC r ⋅=⋅+⋅+⋅=++⋅， ∴()AC BD AB BC AC r ⋅=++⋅，∴8220AC BD r AB BC AC ⋅===++【点睛】本题考查三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积，掌握三角形内切圆的性质，勾股定理，三角形面积公式是解题关键．。
2022年北师大版九年级数学下册第三章 圆章节测评试题(含详细解析)
北师大版九年级数学下册第三章 圆章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在△ABC 中，CA CB =，点O 为AB 中点．以点C 为圆心，CO 长为半径作⊙C ，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2、若O 是ABC 的内心，当80A ∠=︒时，BOC ∠=（ ）A ．130°B ．160°C ．100°D ．110°3、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（ ）A．8πB．172πC．192πD．12π4、如图，正方形ABCD的边长为8，若经过C，D两点的⊙O与直线AB相切，则⊙O的半径为（）A．4.8 B．5 C．D．5、如图，⊙O中，半径OC⊥AB于D，且CD＝2，弦AB＝8，则⊙O的半径的长等于（）A．3 B．4 C．5 D．66、如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝37°，则∠AOB的度数是（）A．73°B．74°C．64°D．37°7、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）A．22.5°B．45°C．90°D．67.5°8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，BC＝3 cm，△ABC绕AC所在直线旋转一周，所形成的圆锥侧面积等于（）A．4πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．15πcm29、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（）A．54°B．56°C．64°D．66°10、如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠ACB ＝40°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、线段4OA =，绕点O 顺时针旋转45°，则点A 走过的路径长为______．2、Rt ABC 的两条直角边分别是一元二次方程27120x x -+=的两根，则ABC 的外接圆半径为_____．3、如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长为8π，则正六边形的边长为________．4、如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，8CD =，5OA =，则AH 的长为________．5、在半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长等于_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、抛物线2y ax bx c =++的顶点P 的纵坐标为a b c ++．（1）求a ，b 应满足的数量关系；（2）若抛物线上任意不同两点()11,A x y ，()22,B x y 都满足：当的12c x x a <<时，()()12120x x y y --<；当12cx x a <<时，()()12120x x y y -->．直线y c =与抛物线交于M 、N 两点，且PMN 为等腰直角三角形．①求抛物线的解析式②若直线AB 恒过定点()1,1，且以AB 为直径的圆与直线y m =总有公共点，求m 的取值范围．2、下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，ABC ．求作：直线BD ，使得BD AC ∥．作法：如图，①分别作线段AC ，BC 的垂直平分线1l ，2l ，两直线交于点O ；②以点O为圆心，OA长为半径作圆；③以点A为圆心，BC长为半径作孤，交AB于点D；④作直线BD．所以直线BD就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD，=，∵点A，B，C，D在O上，AD BC∴AD=______．∠=∠（______）（填推理的依据）．∴DBA CAB∥．∴BD AC3、已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；③连接DA并延长交⊙A于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∴∠BAC＝1∠CAD2∵点D，P在⊙A上，∠CAD（______________________）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；O的半径．（2）若AD＝5、如图，射线AB和射线CB相交于点B，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），且AB＝CB．点D是射线CB 上的动点（点D不与点C和点B重合），作射线AD，并在射线AD上取一点E，使∠AEC＝α，连接CE，BE．（1）如图①，当点D在线段CB上，α＝90°时，请直接写出∠AEB的度数；（2）如图②，当点D在线段CB上，α＝120°时，请写出线段AE，BE，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°，tan∠DAB＝13时，请直接写出CEBE的值．-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一即可得CO AB⊥，根据三角形切线的判定即可判断AB是C的切线，进而可得⊙C与AB的位置关系【详解】解：连接CO,CA CB=，点O为AB中点．CO AB∴⊥CO 为⊙C 的半径，AB ∴是C 的切线，∴⊙C 与AB 的位置关系是相切故选B【点睛】本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．2、A【分析】由三角形内角和以及内心定义计算即可【详解】∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴100ABC ACB ∠+∠=︒又∵O 是ABC 的内心∴OB 、OC 为ABC ACB ∠∠、角平分线，∴OBC OCB ∠+∠1()502ABC ACB =∠+∠=︒ ∴BOC ∠=180°()OBC OCB -∠+∠=180°-50°=130°故选：A ．【点睛】本题考查了三角形内心的定义，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．3、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒， 则图中扇形的弧长总和1503603151932218018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=， 故选：C ．【点睛】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n r l π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．4、B【分析】连接EO ，延长EO 交CD 于F ，连接DO ，设半径为x ．构建方程即可解决问题．【详解】解：设⊙O 与AB 相切于点E ．连接EO ，延长EO 交CD 于F ，连接DO ，再设⊙O 的半径为x ．∵AB 切⊙O 于E ，∴EF ⊥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ⊥CD ，∴∠OFD =90°，在Rt △DOF 中，∵∠OFD =90°，OF 2+DF 2=OD 2，∴（8-x ）2+42= x 2，∴x =5，∴⊙O 的半径为5．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．5、C【分析】根据垂径定理得出AD =BD =118422AB ，设⊙O 的半径的长为x ，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解方程即可．【详解】解：∵半径OC ⊥AB 于D ，弦AB ＝8，∴AD =BD =118422AB ， 设⊙O 的半径的长为x ，∴OD =OC -CD =x -2，在Rt△ODB 中，根据勾股定理222OB OD BD =+，即()22224x x =-+，解得x =5，∴⊙O 的半径的长为5．故选择C ．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程，掌握垂径定理，勾股定理，解拓展一元一次方程是解题关键．6、B【分析】根据圆中同弧或等弧多对应的圆周角是圆心角的一半，可知∠AOB =2∠ACB =74°，即可得出答案．【详解】解：由图可知，∠AOB 在⊙O 中为AB 对应的圆周角，∠ACB 在⊙O 中为AB 对应的圆心角，故：∠AOB =2∠ACB =74°．故答案为：B ．【点睛】本题主要考查的是圆中的基本性质，同弧对应的圆周角与圆心角度数的关系，熟练掌握圆中的基本概念是解本题的关键．7、B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．【详解】解：∵OA OB ⊥，∴90AOB ∠=︒， ∴1452C AOB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．8、D【分析】圆锥的侧面积S rl π=侧，确定r l 、的值，进而求出圆锥侧面积．【详解】解：S rl π=侧，35r BC l AB ====、 23515cm S rl πππ∴==⨯⨯=侧故选D ．【点睛】本题考察了圆锥侧面积．解题的关键与难点在于确定r l 、的值．9、A【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝36°，然后利用互余计算∠ABD的度数．【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故选：A．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10、D【分析】由∠ACB=40°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．【详解】解：∵∠ACB=40°，∴∠AOB=2∠ACB=80°．故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．二、填空题1、π【分析】直接根据题意及弧长计算公式可进行求解．【详解】解：由题意得：点A 走过的路径长为454180180n r πππ⨯==； 故答案为π．【点睛】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．2、2.552【分析】根据题意先解一元二次方程，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．【详解】解：27120x x -+=， ()()340x x --=，解得123,4x x ==，∴Rt ABC 的两条直角边分别为3，4，∴，直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，∴ABC 的外接圆半径为52． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知直角三角形的外心是斜边的中点是解答此题的关键． 3、4【分析】由周长公式可得⊙O 半径为4，再由正多边形的中心角公式可得正六边形ABCDEF 中心角为60︒，即可知正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的，则可求得六边形ABCDEF 边长．【详解】∵⊙O 的周长为8π∴⊙O 半径为4∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O∴正六边形ABCDEF 中心角为360606︒=︒ ∴正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的∴正六边形ABCDEF 边长为4.故答案为：4．【点睛】本题考查了正多边形的中心角公式，正n 边形的每个中心角都等于360n︒，由中心角为60︒得出正六边形ABCDEF 为6个边长为4的正三角形组成的是解题的关键．4、8【分析】如图所示，连接OC ，由垂径定理可得1=42CH DH CD ==，再由勾股定理求出OH ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，CD=8，∴1=42CH DH CD==，∠OHC=90°，∵OC=OA=5，∴OH，∴AH=OA+OH=8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理．5、π【分析】弧长公式为l＝n180rπ，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．【详解】解：半径为3的圆中，60°的圆心角所对的劣弧长＝603180π⨯＝π，故答案为：π．【点睛】本题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．三、解答题1、（1）2b a =-；（2）①221y x x =-+；②02m ≤≤【分析】（1）当x =1时，y =a +b +c ，确定P 的坐标为（1，a +b +c ），确定函数的对称轴为x =1即b -12a=，关系确定；（2）①由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y --<，得120y y -＞， 得到x c a<时，y 随x 的增大而减小；由12c x x a <<时，得120x x -<，结合()()12120x x y y -->，得120y y -<，得到x c a＞时，y 随x 的增大而增大，判定直线x c a =是抛物线的对称轴，且a ＞0；得到1c a=，从而确定P （1，0），线y c =与抛物线交于M 、N 两点，其中一点必是抛物线与y 轴的交点，设为M （0，c ），根据PMN 为等腰直角三角形，可证△OPM 是等腰直角三角形，从而得到PO =OM =1即M （0，1），故c =a =1，b =-2a =-2即确定函数解析式；②由直线AB 恒过定点()1,1，得到直线AB 为y =1；结合抛物线与y 轴的交点为（0，1），不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点，根据对称轴为x =1，确定B 的坐标为（2，1），故AB =2，所以AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点，从而确定出圆，利用数形结合思想，可以确定圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围．【详解】（1）（1）当x =1时，y =a +b +c ，∴P 的坐标为（1，a +b +c ），∴函数的对称轴为x =1， ∴b -12a=， ∴b =-2a ；（2）①∵12c x x a<<时，∴120x x -<，∵()()12120x x y y --<，∴120y y -＞， ∴x c a <时，y 随x 的增大而减小； ∵12cx x a <<时，∴120x x -<，∵()()12120x x y y -->，∴120y y -<， ∴x c a＞时，y 随x 的增大而增大， ∴直线x ca=是抛物线的对称轴，且a ＞0；∵函数的对称轴为x =1， ∴1c a=， ∴a +b +c =2a -2a =0，∴P （1，0），PO =1，∵（0，c ）是抛物线与y 轴的交点， ∴直线y =c 与抛物线交于M 、N 两点中一点必是抛物线与y 轴的交点， 设为M （0，c ），则OM =c ，∵PMN 为等腰直角三角形， ∴∠NMP =45°，∴∠OMP =45°，∴△OPM 是等腰直角三角形， ∴PO =OM =1，∴c =a =1，b =-2a =-2，∴函数解析式为221y x x =-+； ②∵直线AB 恒过定点()1,1， ∴直线AB 为y =1；∵抛物线与y 轴的交点为（0，1）， ∴不妨设点A 是抛物线与y 轴的交点， ∵对称轴为x =1，∴B 的坐标为（2，1），∴AB =2，∴AB 为直径的圆的半径为1，圆心是AB 的中点（1，1）， 作图如下，∵y =0时，直线与圆相切；y =2时，直线与圆相切；∴圆与直线y m =总有公共点时m 的取值范围为0≤m ≤2．【点睛】本题考查了抛物线的解析式，对称性，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，熟练掌握抛物线的对称性，灵活判定直线与圆的位置关系是解题的关键．2、（1）作图见解析；（2）,BC 在同圆中，等弧所对的圆周角相等【分析】（1）根据题干的作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得AD BC =，证明AD BC =，利用圆周角定理可得DBA CAB ∠=∠，从而可得答案.【详解】解：（1）如图，直线BD 就是所求作的直线（2）证明：连接AD，=，∵点A，B，C，D在O上，AD BC∴AD BC=．∠=∠（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．∴DBA CAB∥．∴BD AC故答案为：,BC在同圆中，等弧所对的圆周角相等【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌握“圆周角定理”是理解作图的关键.3、（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【详解】解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4、（1）见详解；（2）4．【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=23，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH =BC∴OA =sin 60OH ︒=4， ∴ ⊙O 的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、（1）45°；（2）AE +CE ，理由见解析；（3【分析】（1）连接AC ，证A 、B 、E 、C 四点共圆，由圆周角定理得出∠AEB ＝∠ACB ，证出△ABC 是等腰直角三角形，则∠ACB ＝45°，进而得出结论；（2）在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，证△ABF ≌△CBE （SAS ），得出∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，由等腰三角形的性质得出FH ＝EH ，由三角函数定义得出FH ＝EH ，进而得出结论；（3）分两种情况，由（2）得FH ＝EH ，由三角函数定义得出AH ＝3BH ＝32BE ，分别表示出CE ，进而得出答案．【详解】解：（1）连接AC ，如图①所示：∵α＝90°，∠ABC ＝α，∠AEC ＝α，∴∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A 、B 、E 、C 四点共圆，∴∠AEB ＝∠ACB ，∵∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB ＝45°，∴∠AEB ＝45°；（2）AE+CE ，理由如下：在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示：∵∠ABC ＝∠AEC ，∠ADB ＝∠CDE ，∴180°﹣∠ABC ﹣∠ADB ＝180°﹣∠AEC ﹣∠CDE ，∴∠A ＝∠C ，在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△CBE （SAS ），∴∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴∠ABF +∠FBD ＝∠CBE +∠FBD ，∴∠ABD ＝∠FBE ，∵∠ABC ＝120°，∴∠FBE ＝120°，∵BF ＝BE ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝11(180)(180120)3022FBE ︒︒︒︒⨯-∠=⨯-=， ∵BH ⊥EF ，∴∠BHE ＝90°，FH ＝EH ，在Rt△BHE 中，1,2BH BE FH EH ====，∴22EF EH ===， ∵AE ＝EF +AF ，AF ＝CE ，∴.AE CE =+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图②所示，由（2）得：FH ＝EH ， ∵tan∠DAB ＝13BH AH =， ∴332AH BH BE ==，∴32CE AF AH FH BE ==-==，∴CE BE =； ②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF ＝CE ，连接BF ，过点B 作BH ⊥EF 于H ，如图③所示，同①得：3,32FH EH AH BH BE ====，∴32CE AF AH FH BE ==+==，∴CE BE综上所述，当α＝120°，1tan 3DAB ∠=时，CE BE 【点睛】 本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、三角函数定义等知识；本题综合性强，构造全等三角形是解题的关键．。
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北师大版九年级数学下册第三章 圆单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，O 中，90AOC ︒∠=，则ABC ∠等于（ ）A ．35︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒2、如图，在圆内接五边形ABCDE 中，425C CDE E EAB ∠+∠+∠+∠=︒，则CDA ∠的度数为（ ）A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒3、如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上两点，30CDB ∠=︒，3BC =，则AB 的长度为（ ）A ．6B ．3C ．9D ．124、如图，点A ，B ，C 在O 上，OAB 是等边三角形，则ACB ∠的大小为（ ）A ．60°B ．40°C ．30°D ．20°5、如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角50C ∠=︒，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船到两个灯塔A ，B 的张角ASB ∠应满足的条件是（ ）A ．sin sin 25ASB ∠>︒B ．sin sin50ASB ∠>︒C ．sin sin55ASB ∠>︒D ．cos cos50ASB ∠>︒6、下列说法正确的是（ ）A ．等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．相等的圆心角所对的弧相等D ．过弦的中点的直线必过圆心7、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以CD 为直径的圆交BD 于点E ．若AB 长为4，则线段AE 长的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D 8、已知⊙O 的半径为5，若点P 在⊙O 内，则OP 的长可以是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝30°，BC ＝6，则⊙O 的直径等于（ ）A ．10B ．C ．D ．1210、小明设计了如图所示的树型图案，它是由4个正方形、8个等边三角形和5个扇形组成，其中正方形的边长、等边三角形的边长和扇形的半径均为3，则图中扇形的弧长总和为（ ）A．8πB．172πC．192πD．12π第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为________．2、已知某扇形的半径为5cm，圆心角为120°，那么这个扇形的弧长为 _____cm．3、如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800 mm，则此圆弧所在圆的半径为________mm．4、在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，4AC AB ==，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，若等腰Rt ADE △绕点A 逆时针旋转，得到等腰11Rt AD E ，记直线1BD 与1CE 的交点为P ，则点P 到AB 所在直线的距离的最大值为________．5、如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，则ODC ∠的度数是____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知：如图，ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点P ，PD AC ⊥于点D ．（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若120CAB ∠=︒，6AB =，求BC 的值．2、如图，AB 为⊙O 的切线，B 为切点，过点B 作BC ⊥OA ，垂足为点E ，交⊙O 于点C ，连接CO 并延长CO 与AB 的延长线交于点D ，连接AC ．（1）求证：AC 为⊙O 的切线；（2）若⊙O 半径为2，OD ＝4．求线段AD 的长．3、已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC求作：一点P ，使得∠APC ＝∠BAC作法：①以点A 为圆心， AB 长为半径画圆；②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点C ，D 两点；③连接DA 并延长交⊙A 于点P点P即为所求（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠_________＝∠_________∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∴∠CPD＝1∠CAD（______________________）（填推理的依据）2∴∠APC＝∠BAC4、如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A、点B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；O的半径．（2）若AD＝5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为边BC上一点．以O为圆心，OC为半径的⊙O与边AB相切于点D．（1）尺规作图：画出⊙O，并标出点D（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）所作的图中，连接CD，若CD＝BD，且AC＝6．求劣弧CD的长．-参考答案-一、单选题1、C【分析】由题意直接根据圆周角定理进行分析即可得出答案.【详解】解：∵∠ABC和∠AOC是弧AC所对的圆周角和圆心角，90∠=，AOC︒∴∠ABC=1∠AOC=45︒.2故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，注意掌握同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半．2、B【分析】先利用多边的内角和得到540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，可计算出115B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质求出CDA ∠的度数即可.【详解】解：∵五边形ABCDE 的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∵425EAB C CDE E ∠+∠+∠+∠=︒，∴540425115B ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 为O 的内接四边形，∴180B CDA ∠+∠=︒，∴18011565CDA ∠=︒-︒=︒.故选：B.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键.3、A【分析】连接AC ，利用直角三角形30°的性质求解即可．【详解】解：如图，连接AC ．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=∠CDB=30°，∴AB=2BC=6，故选：A．【点睛】本题考查圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．4、C【分析】由OAB∆为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．【详解】解：∵OAB∆为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴ACB∠=12∠AOB =12×60°=30°．故选C．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．5、D【分析】本题利用了三角形外角与内角的关系和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．【详解】如图，AS交圆于点E，连接EB，由圆周角定理知，∠AEB=∠C=50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区．所以，两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°．∴cos∠ASB＞cos50°，故选：D．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6、A【分析】根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可．【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；B.平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C 、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C 选项错误；D .圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以D 选项错误.故选A.【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点．灵活运用相关知识成为解答本题的关键．7、D【分析】如图，连接,CE 由CD 为直径，证明E 在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AEAO OE 最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解,AO OE ，即可得到答案.【详解】解：如图，连接,CE 由CD 为直径，90,CED BECE ∴在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AE AO OE 最小，90ACB ∠=︒，AC BC =，4,AB =45,ABC BAC ∴∠=∠=︒AC BC AB OB OC OEsin4522,2,22AO22210,AE10 2.故选D【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键.8、A【分析】根据点与圆的位置关系可得5OP<，由此即可得出答案．【详解】解：O的半径为5，点P在O内，∴<，5OP观察四个选项可知，只有选项A符合，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系（圆内、圆上、圆外）是解题关键．9、D【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB=OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC=30°，∴∠BOC=60°．∵OB=OC，BC=6，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=6．∴⊙O的直径等于12．故选：D．【点睛】本题考查的圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．10、C【分析】如图（见解析），先分别求出扇形①、②、③、④和⑤的圆心角的度数，再利用弧长公式即可得．【详解】解：如图，扇形①、③和⑤的圆心角的度数均为360906060150︒-︒-︒-︒=︒，扇形②和④的圆心角的度数均为180606060︒-︒-︒=︒，则图中扇形的弧长总和150********322 18018022πππππ⨯⨯⨯+⨯=+=，故选：C．【点睛】 本题考查了求弧长，熟记弧长公式（180n r l π=，其中l 为弧长，n ︒为圆心角的度数，r 为扇形的半径）是解题关键．二、填空题1、2π【分析】由正六边形ABCDEF 的边长为2，可得AB =BC =2，∠ABC =∠BAF =120°，进而求出∠BAC =30°，∠CAE =60°，过B 作BH ⊥AC 于H ，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH =CH ，BH =1，在Rt △ABH 中，由勾股定理求得AH AC 分的面积【详解】解：∵正六边形ABCDEF 的边长为2，()6218021206AB BC ABC BAF -⨯︒∴==∠=∠==︒， =120°，∵∠ABC +∠BAC +∠BCA =180°，∴∠BAC =12（180°-∠ABC ）=12×（180°-120°）=30°，过B 作BH ⊥AC 于H ，∴AH =CH ，BH =12AB=12×2=1，在Rt △ABH 中， AH =22AB BH - =22231-=，∴AC =23 ，同理可证，∠EAF =30°，∴∠CAE =∠BAF -∠BAC -∠EAF =120°-30°-30°=60°，∴()260?232360CAE S ππ==扇形∴图中阴影部分的面积为2π，故答案为：2π．【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．2、103π 【分析】根据弧长公式代入求解即可．【详解】解：∵扇形的半径为5cm ，圆心角为120°，∴扇形的弧长＝120510=1803ππ︒⨯⨯︒． 故答案为：103π．【点睛】 此题考查了扇形的弧长公式，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式：180n r π，其中n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径．3、900【分析】由弧长公式l =180n R π得到R 的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，800π=160180R π，解得，R =900（mm ）． 答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l =180n R π，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角的度数．4、1##【分析】首先作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，则D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形AD 1PE 1是正方形，进而求出PG 的长．【详解】解：如图，作PG ⊥AB ，交AB 所在直线于点G ，∵D 1，E 1在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当BD 1所在直线与⊙A 相切时，直线BD 1与CE 1的交点P 到直线AB 的距离最大，此时四边形AD 1PE 1是正方形，∵∠CAB =90°，AC =AB =4，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴AD =AE 1=AD 1=PD 1=2，则BD1=故∠ABP =30°，则PB∴PG =12PB =1，故点P 到AB 所在直线的距离的最大值为：PG =1故答案为：1+【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的性质等知识，根据题意得出PG 的最长时P 点的位置是解题关键．5、54︒【分析】根据圆内接正五边形的定义求出∠COD ，利用三角形内角和求出答案．【详解】解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，∴∠COD=360725︒=︒， ∵OC=OD ，∴ODC ∠=(180)5412COD ︒-∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】此题考查了圆内接正五边形的性质，三角形内角和定理，同圆的半径相等的性质，熟记圆内接正五边形的性质是解题的关键．三、解答题1、（1）见解析；（2）BC =【分析】（1）根据等腰三角形的性质证得OPB C ∠=∠，进而证得OP ∥AC ，再根据平行线的性质和切线的判定即可证得结论；（2）连接AP ，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可得90APB ∠=︒，BP CP =，30B ∠=︒，再根据含30°角的直角三角形性质求出BP 即可求解．【详解】（1）证明：AB AC =，B C ∴∠=∠，OP OB =，B OPB ∴∠=∠，OPB C ∴∠=∠，∴OP ∥AC ，PD AC ⊥，OP PD ∴⊥，又OP 是半径， PD ∴是O 的切线；（2）解：连接AP ，如图， AB 为直径，90APB ∴∠=︒，∵AB=AC ，∠CAB =120°， BP CP ∴=，(180120)230B ∠=-÷=︒， 在Rt△APB 中，6AB =，30B ∠=︒， 132AP AB ∴==，BP ∴=2BC BP ∴==【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、含30°角的直角三角形性质、三角形内角和定理，熟练掌握这些知识的联系与运用是解答的关键．2、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB，证明△AOB≌△AOC（SSS），可得∠ACO＝∠ABO＝90°，即可证明AC为⊙O的切线；（2）在Rt△BOD中，勾股定理求得BD，根据sin D＝OBOD＝ACAD，代入数值即可求得答案【详解】解：（1）连接OB，∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，即∠ABO＝90°，∵BC是弦，OA⊥BC，∴CE＝BE，∴AC＝AB，在△AOB 和△AOC 中，AB AC AO AO BO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△AOB ≌△AOC （SSS ），∴∠ACO ＝∠ABO ＝90°，即AC ⊥OC ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）在Rt△BOD 中，由勾股定理得，BD∵sin D ＝OB OD ＝AC AD ，⊙O 半径为2，OD ＝4． ∴24解得AC ＝∴AD ＝BD +AB ＝【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正弦的定义，三角形全等的性质与判定，勾股定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．3、（1）见解析；（2）BAC =BAD ，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半【分析】（1）根据按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可解：（1）如图所示，（2）证明：连接PC，BD∵AB＝AC，∴点C在⊙A上∵BC＝BD，∴∠BAC=∠BAD∠CAD∴∠BAC＝12∵点D，P在⊙A上，∠CAD（圆周角定理）（填推理的依据）∴∠CPD＝12∴∠APC＝∠BAC故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．4、（1）见详解；（2）4．【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC=∠D=60°，求得∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO=∠OAB=30°，于是得到结论；，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角（2）根据平行四边形的性质得到BC=AD三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D=60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∵BE=AB，∴∠E=∠BAE，∵∠ABC=∠E+∠BAE=60°，∴∠E=∠BAE=30°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴∠OBC=30°+60°=90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC =AD，过O 作OH ⊥AM 于H ，则四边形OBCH 是矩形，∴OH =BC∴OA =sin 60OH ︒=4， ∴ ⊙O 的半径为4．【点睛】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．5、（1）作图见解析；（2 【分析】（1）由于D 点为⊙O 的切点，即可得到OC =OD ，且OD ⊥AB ，则可确定O 点在∠A 的角平分线上，所以应先画出∠A 的角平分线，与BC 的交点即为O 点，再以O 为圆心，OC 为半径画出圆即可；（2）连接CD 和OD ，根据切线长定理，以及圆的基本性质，求出∠DCB 的度数，然后进一步求出∠COD 的度数，并结合三角函数求出OC 的长度，再运用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，先作∠A 的角平分线，交BC 于O 点，以O 为圆心，OC 为半径画出⊙O 即为所求；（2）如图所示，连接CD 和OD ，由题意，AD 为⊙O 的切线，∵OC⊥AC，且OC为半径，∴AC为⊙O的切线，∴AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∵CD=BD，∴∠B=∠DCB，∵∠ADC=∠B+∠BCD，∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，即：3∠DCB=90°，∴∠DCB=30°，∵OC=OD，∴∠DCB=∠ODC=30°，∴∠COD=180°-2×30°=120°，∵∠DCB=∠B=30°，∴在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∵AO平分∠BAC，∴∠CAO=∠DAO=30°，∴在Rt△ACO中，tan6=∠==OC AC CAO∴CD==．【点睛】本题考查复杂作图-作圆，以及圆的基本性质和切线长定理等，掌握圆的基本性质，切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键．。