第二章两自由度机构动力学分析
二自由度动力学方程推导
二自由度动力学方程推导一、引言在机械工程领域，动力学方程是研究机械系统的运动规律和相互作用力的重要工具。
本文将介绍如何推导二自由度机械系统的动力学方程，通过此方程可以描述系统的运动行为和相互作用力。
二、二自由度机械系统的建模二自由度机械系统由两个相互连接的质点或刚体组成，例如双杆摆、双摆锤等。
为了推导动力学方程，首先需要对系统进行建模。
2.1笛卡尔坐标系考虑一个二自由度机械系统，我们选择合适的笛卡尔坐标系来描述系统的运动。
假设系统的质点一的坐标为$(x_1,y_1)$，质点二的坐标为$(x_2,y_2)$，则可以用位移矢量$\ve c{r}_1$和$\v ec{r}_2$来表示质点一和质点二的位置。
2.2动力学变量为了研究系统的运动行为，我们引入广义坐标$q_1$和$q_2$来描述系统的状态。
广义坐标可以是位移、角度或者它们的组合。
在本文中，我们选择关节角度作为广义坐标，记为$\th et a_1$和$\th et a_2$。
定义广义坐标的变化率为广义速度$q_1'$和$q_2'$，广义速度的变化率为广义加速度$q_1''$和$q_2''$。
2.3势能和动能系统的能量可以通过势能和动能进行描述。
势能表示系统由于位置而具有的能量，动能表示系统由于运动而具有的能量。
势能$V$和动能$T$可以表示为：$V=V(q_1,q_2)$$T=T(q_1',q_2')$2.4广义力广义力用于描述系统中各个自由度受到的相互作用力。
对于二自由度机械系统，广义力可以表示为：$\ta u_1=Q_1(q_1,q_2,q_1',q_2')$$\ta u_2=Q_2(q_1,q_2,q_1',q_2')$其中，$\t au_1$和$\t au_2$分别表示广义坐标$q_1$和$q_2$的广义力，$Q_1$和$Q_2$为相应的广义力函数。
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
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本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
《机械原理自由度》课件
机械故障诊断
通过运动分析诊断机械故障的原因 和位置。
控制系统设计
利用运动分析结果设计控制系统的 参数和策略。
机构运动分析的实例
平面四杆机构的运动分析
01
通过解析法计算平面四杆机构的自由度，并分析其运动特性。
凸轮机构的运动分析
02
利用实验法测量凸轮机构的位移、速度和加速度，分析其运动
规律。
机器人臂关节的运动分析
03
通过数值法模拟机器人臂关节的运动行为，优化关节的设计参
数。
04
机构动力学分析
机构动力学的基本概念
机构动力学是研究机 械系统中机构运动及 其与力的关系的学科 。
机构动力学的基本概 念包括力、力矩、加 速度、速度和位移等 。
它涉及到系统的平衡 、运动规律、动态响 应等方面的内容。
机构动力学分析的Байду номын сангаас法
空间机构自由度计算
总结词
空间机构自由度计算是机械原理中一个复杂的概念，它涉及到机构在空间中的 运动自由度数。
详细描述
空间机构的自由度计算公式为F=6n-(3PL + Ph)，其中n为活动构件数，PL为低 副数，Ph为高副数。与平面机构不同，空间机构需要考虑三个方向的自由度， 因此计算更为复杂。
特殊机构自由度计算
通过建立平面连杆机构的运动学和动力学模型，分析其运动规律 和动态响应。
凸轮机构的动力学分析
研究凸轮机构的动态行为，包括从动件的运动规律和受力情况等。
齿轮机构的动力学分析
分析齿轮机构的动态特性，如振动、冲击和噪声等，以提高齿轮传 动的平稳性和可靠性。
05
机构优化设计
机构优化设计的目标和方法
目标
结构动力学第二章
∂T ∂V d ∂T ( )− + = Pncj (t ), & dt ∂u j ∂u j ∂u j
其中： T —— 体系的动能；
j = 1,2,L , N
V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj ——与 uj 相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。
– 红色部分为引入动力自由度概念的目的，蓝色部分为实 现此目的的手段。 – 概念中的“全部”、“独立”两个条件非常关键。
• 严格来说，所以结构体系质量都是连续分布的，为无限自 由度体系，研究比较困难。但许多情况下，可以作一定的 简化，变为有限自由度体系。 • 简化并确定结构动力自由度最典型的方法：集中质量法
动能
1 & mu 2 转动质量 2
T =
1 &2 Jθ 2
1 2 V = ku 转动弹簧 2
1 &2 V = kθ θ 2
位能
1 1 & & &j T = ∑ ∑ mij u i u j = ∑ m j u 2 2 i j 2 j
V =
1 ∑ ∑ kij ui u j 2 i j
∫
1 体系的动能：T = mu 2 & 2
粘滞(性)阻尼力可表示为：
& f D = -cu
D — 表示阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient）
k c
u m
f S(t) m f D(t) f I (t)
& u — 质点的运动速度
阻尼系数 c 的确定：
• 不能像结构刚度 k 那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等 来获得，因为 c 是反映了多种耗能因素综合影响的系数， 阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。 • 粘性（滞）阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。 • 其它常用的阻尼：
二自由度机械臂动力学分析
平面二自由度机械臂动力学分析姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程相关介绍机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日(Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。
欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。
在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。
在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类：1)给出已知轨迹点上•••θθθ、及、，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动•••θθθ、及、。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ⋅⋅⋅=θ。
2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。
系统动力学：两自由度刚性动力学
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
虚位移原理：对于具有理想约束的质点系，平衡的 充分必要条件是作用于质点系的主动力在任何虚位 移中所作虚功的和等于零，又称虚功原理。即
δWF = Fi δ ri = 0
i 1 n
( F δx
ix
i
Fiyδyi Fiz δzi ) 0
i 1
由， FIi mi ai mi ri得
δW = ( Fi mi ri ) δri = 0
i 1 n
——动力学普遍方程
第五节 拉格朗日方程
动力学普遍方程的主动力虚功用广义坐标表示：
F δr = Q δq
i 1 i i j 1 j
n
k
j
惯性力虚功用广义坐标表示：
第五节 拉格朗日方程
当系统为非有势力作用时： 非有势力的虚功为：
δW Qj δq j
j 1 n
Qj 为对应于非有势力的广义力。
非保守系统的拉格朗日方程式为：
d L dt q j L Qj q j
第五节 拉格朗日方程
说明 1）L氏方程是解决具有理想约束的系统动力学的 普遍方程。 2） L氏方程是从能量观点出发研究机械系统的运动， 通过系统E、V、W间的标量关系表征运动规律。 3） L氏方程是广义坐标以时间为自变量的几个二阶 场微分方程组，其数目与系统自由度数目相等。
2） δ 是变分符号，表示在时间不变的情况下，线 位移或角位移的无穷小变化，其运算规则与微分算 子 d 相同。
第三节 虚位移原理与广义力
虚位移原理
理想约束：如果在质点系的任何虚位移上， 质点系的所有约束反力的虚功之和等于零， 则称这种约束为理想约束。
二自由动力学方程推导
二自由动力学方程推导二自由度动力学方程推导引言：动力学是研究物体运动的科学，而动力学方程则是描述物体运动的数学表达式。
在机械系统中，我们经常需要推导出物体的运动方程，从而使我们能够预测和控制物体的运动。
本文将围绕着“二自由度动力学方程推导”展开详细阐述，希望能够引起读者的兴趣和共鸣。
一、二自由度动力学方程的概念在机械系统中，如果一个物体在空间中的运动可以由两个独立的坐标来描述，那么我们称这个系统为二自由度系统。
对于一个二自由度系统，我们需要推导出它的动力学方程，以描述物体的运动规律。
二、拉格朗日方程的基本原理拉格朗日方程是描述二自由度系统运动的重要工具，它是通过对系统的动能和势能进行数学表达来推导出的。
拉格朗日方程的基本原理可以概括为：系统的运动是使作用在系统上的拉格朗日函数取极值的路径。
三、二自由度动力学方程的推导步骤1.确定广义坐标和坐标速度在推导二自由度动力学方程之前，首先需要确定系统的广义坐标和坐标速度。
广义坐标是描述系统状态的变量，坐标速度是广义坐标对时间的导数。
2.动能的计算根据系统的几何特征和物体的运动状态，我们可以计算出系统的动能。
对于一个二自由度系统，系统的动能可以表示为两个广义坐标和广义速度的函数。
3.势能的计算同样地，根据系统的几何特征和物体的位置，我们可以计算出系统的势能。
势能是描述系统中物体相互作用的能量。
4.拉格朗日函数的建立拉格朗日函数是系统动能与势能之差的函数，它可以表示为系统广义坐标、广义速度和时间的函数。
5.拉格朗日方程的求解通过对拉格朗日函数求导，我们可以得到系统的拉格朗日方程。
对于一个二自由度系统，我们可以得到两个拉格朗日方程，分别对应两个广义坐标。
四、实例分析：双摆的动力学方程推导为了更好地理解二自由度动力学方程的推导过程，我们以双摆系统为例进行详细分析。
双摆系统由两个摆锤组成，摆锤可以绕两个固定点进行旋转。
我们可以选择两个摆锤的摆角作为广义坐标，然后根据摆锤的运动状态计算出动能和势能。
二自由度机械臂动力学模型
二自由度机械臂的动力学模型通常涉及到两个主要的方面：几何构型和运动方程。
在建立动力学模型之前，首先需要确定机械臂的几何参数，包括每个关节的转动惯量以及各连杆的长度。
动力学模型可以分为两部分：静力学模型和动力学模型。
静力学模型关注的是力的平衡问题，即在机械臂的任意位置上，作用在机械臂上的所有外力之和等于零，所有外力矩之和也等于零。
动力学模型则进一步考虑了机械臂的运动情况，即在给定的力和力矩作用下，机械臂的运动如何变化。
为了建立动力学模型，我们通常采用牛顿-欧拉方法或者拉格朗日方法。
牛顿-欧拉方法从关节坐标出发，逐步推导出各关节的力和力矩，再结合连杆的长度，得到整个机械臂的动力学方程。
拉格朗日方法则是从能量的角度出发，利用动能和势能的关系来建立动力学方程。
具体来说，对于二自由度机械臂，其动力学方程可以表示为：
M(q)q'' + C(q, q', t)q' + G(q, t) = T(q, q', t)
其中：
- M(q) 是机械臂的质量矩阵，q是关节变量；
- q' 是关节变量的速度；
- q'' 是关节变量的加速度；
- C(q, q', t) 是由关节速度引起的科氏力和离心力等构成的矩阵；
- G(q, t) 是重力矩阵；
- T(q, q', t) 是外部施加的力和力矩。
在实际应用中，还需要对上述方程进行求解，这通常需要借助计算机模拟或数值积分方法。
通过求解动力学方程，可以预测机械臂在特定输入下的动态响应，这对于机械臂的控制系统的设计至关重要。
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3Байду номын сангаас
则系统动能：
惯性系数
说明： 对于J11 ：件i 的运动必须与 q1 有关， 即与 q1 相关件的质量和转动惯量才能计入，
J11 为正； 对于 J12 ： 与 q1 和 q2 均相关件的质量和转动惯量才能计入， J12 可为正、为负、为零。
4
m1 , m2 , J s1 , J s 2 , l1 , l2 , ls1 , ls 2 例1：已知：
d T T ) Qj 拉格朗日方程：dt ( q j q j
一、惯性系数
求1个构件动能：
2 2 2 2 1 1 2 2 2 m i u is q u q 2 u u q q J is ii2 1 1 is 2 2 is 1 is 2 1 2 1 q1 ii 2 q 2 2 ii1ii 2 q1 q 2 2 2
上式也可以表示为：
1
ui1 , ui 2 的物理意义： 2 0, q 1 1 时， ui1 : 当 q
量纲由广义坐标决定
ui1的大小、方向即为 vi 的大小方向
i ) 2.构件角速度 i (
注意：角速度在平面机构中为标量，在空间机构中为矢量
如研究杆2、杆3： i
则拉氏方程为：
两个自由度的 拉氏方程
10
例3：已知：
，F
求：建立运动方程
分析：选广义坐标:
q1 1 , q 2 2
则：
求类线速度:
11
ls1 1 m1 l1
M1
y
ls 2
2
m2
l2
F
M2
x
常数
12
求广义力：
ls1 1 m1 l1
M1
y
ls 2
2
m2
l2
F
M2
x
方程：
i ( q1 , q2 )
不是传动比
ii1 , ii 2 —第i个件对广义坐标1，2的类角速度（标量） ii1 , ii 2 的物理意义？
2
§2-2 利用拉格朗日方程建立两自由度机构 的动力学方程 1 2 vi ui1q 1 ui 2 q2
11 ii 2 q 2 q i ii1q
则：
r
17
F2 s2
M1
r
计算广义力：
动力学方程：
r 1 2m2 r Q1 J11q 2 J q m r Q2 2 22 2
18
例2：已知差动轮系
z1 z3 20, z2 z4 40, J1 J 3 0.1, J 2 J 4 0.25
轮2、3质量略，H转动惯量略。 求： J11 , J12 , J 22 分析：广义坐标可以设为： q1 1 , q2 H
则：
i11 1, i12 0
方法1：
1 2 1 3 i21 , i22 2 2
2 0, 即H不动，则： 方法2： 令q
同理
1 0, 令q
1 i 即1轮不动，则： 2 H i22
3 i22 2
求：i31 , i32
1 1 ( ) 8
15
2 J H iH 2
计算广义力：
此为二阶非线性微分方程，用数值解法求解。
13
例4：已知差动轮系中：
，各轮质量略。
1 , H 求：
分析：取广义坐标： q1 1 , q 2 H
1 q1 2, 2 ', 3 q1 , q2
H q2
则：
1 H
14
求：i21 , i22
7
8
二、计算动能
用惯性系数表示的动能：
T 1 J12 q 2 J11q 1 q
T 1 J11 2 1 J 22 2 J12 1 2 1 q 2 q q q q1 2 q1 2 q1 q1
9
T 1 J11 2 1 J 22 2 J12 1 2 1 q 2 q q q q1 2 q1 q1 2 q1
则：
5
ls21 ,
l12 ls22 2l1 ls 2 cos q2
J11 m1ls21 J s1 m2 (l12 ls21 2l1ls 2 cos q2 ) J s 2
2 2 m2u 2 J i s2 s 2 22
J12 m2u2 s1 u2 s 2 J s 2i21i22 m2 (ls22 l1ls 2 cos q2 ) J s6 2
求：J11 , J12 , J 22
分析：广义坐标可以设为： q1 1 , q2 2
1 1 q1 , 1 1 q 1 0 q 2 1
则：
2 1 2 q1 q2 , 1 2 q 1 q 2 , 2
1 J12 q 2 Q1 J11q 动力学方程： J q 2 Q2 21 1 J 22 q
差动轮系动力学方程，可以直接应用此结论式。
16
例5：已知：J1 A , m2 , J s 2 , M 1 , F2
重力略，建立运动方程。
s2
M1
F2
分析：选广义坐标： q1 , q2 r
第二章 两自由度机构动力学分析
§2-1 两自由度机构的运动分析 例：五杆机构，取 q1 1 , q2 S 4
分析：构件1由 q1 (1 ) 控制，q2 0
构件4由 q2 ( s4 ) 控制，q1 0 件2、3由
ri
q1 , q2 共同控制。
称为类线速 度（矢量）
1.构件上某点速度：