复杂网络简介
复杂网络简介
1引言
两百多年来, 对这个问题的研究经历了三个阶段。在最初 的一百多年里, 科学家们认为真实系统各因素之间的关系可以 用一些规则的结构表示, 例如二维平面上的欧几里德格网, 它 看起来像是格子体恤衫上的花纹; 又如最近邻环网, 它总是会 让你想到一群手牵着手、围着篝火跳圆圈舞的姑娘.
到了20 世纪50 年代末, 数学家们想 出了一种新的构造网络的方法, 在这种方 法下, 两个节点之间连边与否不再是确定 的事情, 而是根据一个概率决定. 数学家 把这样生成的网络叫做随机网络, 它在接 下来的40 年里一直被很多科学家认为是描 述真实系统最适宜的网络.
3复杂网络模型
小世界网络
上述的构造过程有可能破坏网络的连通，因此Newman和 Watts稍后提出了通过随机化加边的方法构造小世界网络的模型， 即NW 模型。还有许多改进的模型：加点、加边、去点、去边 以及不同形式的交叉，产生多种形式的小世界模型。
小世界网络具有高的聚类系数，WS小世界网络的聚类系 数为：
3复杂网络模型
小世界网络
许多现实网络如技术网络、生物网络和社会网络等，既不 是完全规则的，也不是完全随机的，而是介于两者之间。Watts 和Strogatz基于这些观察, 提出了WS模型，是指对一个具有n个 节点的环格，初始时每个节点有k个邻居，将每条边以概率p进 行随机重绕的过程。由于该模型生成的网络具有较短的特征路 径，即网络具有小世界效应，故称为小世界网络，WS模型也因 此常称为小世界网络(模型)。
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整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类系数C i的平均值, 且有0≤ C≤ 1。
对于一些无标度网络, 局部聚类系数Ci 随着节点i的度下降而下降。随 机网络的聚类系数为O(n‐1) ，当网络规模极大时趋于零，而多数现实网络 的聚类系数显著大于零，a即具有明显的聚类特性。
复杂网络简介
复杂网络简介概念：复杂网络（Complex Network），具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络。
表现：复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网络。
其复杂性主要表现在以下几个方面：1）结构复杂，表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特征。
2）网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。
例如world-wide network，网页或链接随时可能出现或断开，导致网络结构不断发生变化。
3）连接多样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方向性。
4）动力学复杂性：节点集可能属于非线性动力学系统，例如节点状态随时间发生复杂变化。
5）节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人际关系构成的复杂网络节点代表单独个体，万维网组成的复杂网络节点可以表示不同网页。
6）多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以预料的结果。
例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网络的进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。
当两个节点之间频繁进行能量传输时，他们之间的连接权重会随之增加，通过不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
内容：复杂网络研究的内容主要包括：网络的几何性质，网络的形成机制，网络演化的统计规律，网络上的模型性质，以及网络的结构稳定性，网络的演化动力学机制等问题。
其中在自然科学领域，网络研究的基本测度包括：度（degree）及其分布特征，度的相关性，集聚程度及其分布特征，最短距离及其分布特征，介数(betweenness)及其分布特征，连通集团的规模分布。
特性：复杂网络一般具有以下特性：第一，小世界。
它以简单的措辞描述了大多数网络尽管规模很大，但是任意两个节（顶）点间却有一条相当短的路径的事实。
以日常语言看，它反映的是相互关系的数目可以很小但却能够连接世界的事实，例如，在社会网络中，人与人相互认识的关系很少，但是却可以找到很远的无关系的其他人。
正如麦克卢汉所说，地球变得越来越小，变成一个地球村，也就是说，变成一个小世界。
数学中的复杂网络
数学中的复杂网络在数学领域中，复杂网络是指由大量节点和连接它们的边组成的网络结构。
这些节点和边的关系可以用数学模型来描述和分析，从而揭示网络的特性和行为。
复杂网络广泛应用于各个领域，如社交网络、生物网络、物流网络等。
它们的研究对于了解和解决实际问题具有重要意义。
一、复杂网络的定义和组成1. 节点：复杂网络的节点代表网络中的个体、物体或者事件等，可以是人、动物、物品等。
节点是网络的基本单位，每个节点可以有自己的属性和特征。
2. 边：复杂网络的边代表节点之间的连接关系，可以是直接或间接的连接。
边可以是有向或无向的，代表了节点之间的关系强度和方向性。
3. 度：节点的度是指与该节点相连接的边的数量。
节点的度可以衡量它在网络中的重要性和影响力，具有重要的拓扑属性。
二、复杂网络的特性和行为1. 小世界性：复杂网络具有小世界性质，即任意两个节点之间的平均路径长度较短。
这意味着网络中的节点之间可以通过较短的路径进行传递信息和交流。
2. 无标度性：复杂网络的节点度分布呈幂律分布，即只有少数节点具有非常高的度。
这些高度连接的节点被称为“关键节点”，对网络的鲁棒性和稳定性起到重要作用。
3. 聚类性：复杂网络中存在着节点的聚类现象，即相互连接的节点倾向于形成集群或社区。
这些聚类结构可以揭示网络中节点之间的相似性和密切关系。
4. 随机性：复杂网络中节点和边的连接关系具有一定的随机性，这导致了网络的不确定性和复杂性。
对随机网络的建模和分析有助于理解和预测现实世界中的复杂系统。
三、复杂网络的应用1. 社交网络：复杂网络理论被广泛应用于社交网络的研究中。
通过对社交网络的节点和边进行分析，可以揭示出个人之间的联系和社交群体的结构，对信息传播、社会动态等方面具有重要影响。
2. 生物网络：复杂网络在生物学领域有着广泛的应用。
生物网络可以表示蛋白质相互作用、基因调控等生物系统中的网络结构。
通过研究和模拟生物网络，可以洞察生物系统的功能和演化规律。
复杂网络：探索从信息到生态的深度互联世界
复杂网络：探索从信息到生态的深度互联世界复杂网络是指由大量节点和连接所组成的网络结构，这些节点之间的联系不仅仅是简单的线性连接，而是呈现出一种复杂的非线性关联关系。
复杂网络不仅存在于社会关系网络、通讯网络、互联网等信息网络中，还可以在生态系统中找到许多类似的结构。
本文将探索复杂网络在信息和生态领域的深度互联世界，首先从复杂网络的基本特征开始，然后探讨复杂网络在信息领域的应用以及在生态领域的应用，最后讨论复杂网络在信息和生态之间的相互作用与影响。
一、复杂网络的基本特征1.1节点和连接复杂网络由大量节点和连接组成，节点表示网络中的个体或者元素，连接表示节点之间的关系。
节点和连接的多样性使得复杂网络呈现出多样性和复杂性。
1.2小世界性质复杂网络中存在小世界性质，即网络中的节点之间距离较短，通过较短的路径就可以互相到达。
这种小世界性质使得信息在网络中的传播速度较快。
1.3无标度性质复杂网络的节点度数分布呈现出无标度性质，即存在少数节点的度数非常高，而大多数节点的度数相对较低。
这种无标度性质使得网络中存在着少数节点能够对整个网络产生重要影响的“关键节点”。
1.4社团结构复杂网络中存在着社团结构，即节点之间存在着密集的内部联系，而不同社团之间的连接较弱。
这种社团结构使得网络中存在着不同的子网络，这些子网络在信息传播和生态交互中扮演着重要的角色。
二、复杂网络在信息领域的应用2.1社交网络社交网络是复杂网络的一个重要应用领域，人们通过社交网络来建立和维护人际关系，进行信息交流和传播。
社交网络中的节点表示个体，连接表示个体之间的社交关系。
研究发现，社交网络中存在少数的“意见领袖”和“信息传播者”，他们能够对整个网络的信息传播产生重要影响。
2.2互联网互联网是大规模复杂网络的代表，互联网中存在着海量的网站和页面，它们之间通过超链接建立了复杂的连接关系。
互联网的无标度性质使得少数的核心网站对整个网络的结构和信息传播产生了重要影响。
复杂网络及其应用分析
复杂网络及其应用分析随着信息科技的快速发展，复杂网络成为了研究者们探究网络结构与行为规律的有力工具。
从物理学到社会学、生态学，从生命科学到信息科学，复杂网络在各领域都是十分重要的研究对象。
本文将介绍复杂网络的概念及其应用分析。
一、复杂网络的概念复杂网络是指由大量节点和链接组成的网络。
网络中的节点代表着各种社会实体（例如人、公司、国家等），链接则表示各个节点之间的互动、联系或者关联。
网络中的节点和链接是互相依存的，两者共同构成了整个网络的结构。
大多数复杂网络具有以下几个特点：1.节点数量众多。
2.节点之间存在复杂的关系，而非简单的线性结构。
3.不同节点之间的联系具有明确的方向性和权重。
4. 网络中的某些节点可能拥有特殊的作用，例如网络中心节点、关键节点等。
5. |网络的结构及其演化可能受到多个因素的影响，例如节点数量、节点连接方式、节点权重、外部环境等。
二、复杂网络的应用1.社会学：复杂网络在社会学领域的应用较为广泛，例如研究人际关系、组织结构、信息传播等。
将人们的社会行为用网络的形式进行建模，可以更加深入地理解人类社会的本质和规律。
2.生命科学：复杂网络在生命科学领域的应用主要包括生物网络和脑神经网络等。
通过对生物网络的研究，可以揭示生命系统的演化与调节机理，为生物工程和医学研究提供新的思路。
而对脑神经网络的研究则有助于我们更加深入地了解人类认知和行为规律。
3.物理学：复杂网络在物理学领域的应用主要包括纳米科学、凝聚态物理学、量子信息等。
例如，通过构建复杂网络来模拟在纳米领域中物质输运和信息传递的规律，有望推动纳米科学和纳米技术的发展。
4.信息科学：网络技术已经成为当代信息科学的核心，而复杂网络则为人们研究网络结构和各类网络问题提供了新的思路。
例如，在互联网中，复杂网络的研究可以帮助我们更好地理解包括搜索引擎优化、社交媒体营销等在内的网络营销策略。
三、信息社会中的复杂网络引发的问题在信息社会中，复杂网络的研究不仅限于理论领域，更是直接涉及到人类社会的稳定和发展。
复杂网络介绍（NetworkAnalysis）
复杂⽹络介绍（NetworkAnalysis）⼀、复杂⽹络的进化史⽹络，数学上称为图，最早研究始于1736年欧拉的哥尼斯堡七桥问题，但是之后关于图的研究发展缓慢，直到1936年，才有了第⼀本关于图论研究的著作。
1960年，数学家Erdos和Renyi建⽴了随机图理论，为构造⽹络提供了⼀种新的⽅法。
在这种⽅法中，两个节点之间是否有边连接不再是确定的事情，⽽是根据⼀个概率决定，这样⽣成的⽹络称作随机⽹络。
随机图的思想主宰复杂⽹络研究长达四⼗年之久，然⽽，直到近⼏年，科学家们对⼤量的现实⽹络的实际数据进⾏计算研究后得到的许多结果，绝⼤多数的实际⽹络并不是完全随机的，既不是规则⽹络，也不是随机⽹络，⽽是具有与前两者皆不同的统计特征的⽹络。
这样的⼀·些⽹络称为复杂⽹络，对于复杂⽹络的研究标志着⽹络研究的第三阶段的到来。
1998年，Watts及其导师Strogatz在Nature上的⽂章《Collective Dynamics of Small-world Networks》，刻画了现实世界中的⽹络所具有的⼤的凝聚系数和短的平均路径长度的⼩世界特性。
随后，1999年，Barabasi及其博⼠⽣Albert在Science上的⽂章《Emergence of Scaling in Random Networks》提出⽆尺度⽹络模型(度分布为幂律分布)，，刻画了实际⽹络中普遍存在的“富者更富”的现象，从此开启了复杂⽹络研究的新纪元。
随着研究的深⼊，越来越多关于复杂⽹络的性质被发掘出来，其中很重要的⼀项研究是2002年Girvan和Newman在PNAS上的⼀篇⽂章《Community structure in social and biological networks》，指出复杂⽹络中普遍存在着聚类特性，每⼀个类称之为⼀个社团(community)，并提出了⼀个发现这些社团的算法。
从此，热门对复杂⽹络中的社团发现问题进⾏了⼤量研究，产⽣了⼤量的算法。
复杂网络的名词解释
复杂网络的名词解释随着互联网的迅猛发展，我们的世界正变得越来越复杂。
在数字时代，网络已经成为了人们日常生活和工作中不可或缺的一部分。
然而，网络的本质是什么，它是如何运作的？这些问题引发了学者们对复杂网络的研究和解释。
复杂网络是网络科学中的一个重要概念，用来描述由许多相互连接的节点组成的系统。
在复杂网络中，节点可以表示个体、物体或者观察对象，而边则表示节点之间的连接或关系。
这些连接可以是社交媒体中的关注关系，互联网中的网页链接，或者是生物体内蛋白质之间的相互作用。
复杂网络的一个显著特征是其非均匀分布的拓扑结构。
相比于简单网络，如正则网络或随机网络，复杂网络的拓扑结构更加复杂多样。
大规模复杂网络常常呈现出具有高度聚集性和短平均路径长度的特点。
也就是说，网络中的节点倾向于组成局部紧密相连的群组，而通过少数边连接的节点之间的距离则很短。
在复杂网络中，节点的连接方式和模式对网络的功能和行为起着决定性的影响。
例如，一些节点连接非常多的其他节点，被称为“中心节点”或“关键节点”，它们在信息传播、网络稳定性和攻击扩散等方面起到至关重要的作用。
此外，复杂网络还具有小世界特性，即任何两个节点之间可以通过少量的中间节点快速建立联系。
这种性质使得复杂网络具有高效的信息传递能力和鲁棒性。
研究复杂网络有助于我们更好地理解和解释真实世界中许多复杂系统的行为。
它在社会学、生物学、物理学、经济学以及信息科学等领域中都有广泛的应用。
例如，在社交网络中，可以利用复杂网络的分析方法来揭示人们之间的社会关系、信息传播的路径和影响力；在生物网络中，通过研究蛋白质相互作用网络可以了解生命体系中蛋白质调控的机制和疾病的发生；在经济学中，分析金融市场网络可以评估系统的脆弱性和风险传播。
此外，复杂网络的研究不仅限于静态结构的探索，还包括网络动力学的研究。
网络动力学研究网络中节点的状态或行为随时间变化的规律。
例如，在传染病传播的研究中，网络动力学的分析可以帮助我们理解疾病传播的机制和采取相应的干预措施。
复杂网络基础8课件
复杂网络的重要性
揭示现实世界的内在规律
解决实际问题
复杂网络理论可以用于揭示各种自然 现象和社会现象的内在规律，如生态 系统的食物链、社交网络中的人际关 系等。
复杂网络理论可以用于解决许多实际 问题，如网络安全、交通拥堵、疾病 传播等，为政策制定和工程实践提供 理论支持。
推动跨学科研究
复杂网络理论涉及到数学、物理、计 算机科学等多个学科，可以促进这些 学科之间的交叉融合，推动科学技术 的进步。
提高网络鲁棒性的方法
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增加冗余节点和边 在网络中增加冗余的节点和边可以提高网络的容 错性和恢复力，从而提高网络的鲁棒性。
优化节点和边的连接结构 优化节点和边的连接结构可以提高网络的连通性 和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
引入超边和超节点 在网络中引入超边和超节点可以提高网络的连通 性和稳定性，从而提高网络的鲁棒性。
技术网络分析
技术网络分析的概
念
技术网络分析是对技术系统中各 种要素之间相互作用的研究，包 括计算机网络、交通网络等。
技术网络分析的应
用
技术网络分析在计算机网络管理、 交通规划、故障诊断等领域有重 要作用，有助于提高技术系统的 可靠性和效率。
技术网络分析的工
具
技术网络分析工具包括Wireshark、 Gephi等，这些工具提供了丰富 的可视化功能和统计分析方法， 方便研究者进行深入分析。
复杂网络的应用领域
社会学
研究社交网络中的人际 关系、信息传播、群体
行为等。
生物学
研究生物体内的分子相 互作用、生态系统的食
物链等。
计算机科学
研究计算机网络的结构 和演化、计算机病毒的
传播等。
物理学
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平均路径长度可以做为网络信息传递效率的度量, 网络的效率定义为：
复杂网络Complex Network
计算机学院
目录
1 引言
本文目录 结构
2复杂网络的统计特性
3 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形 形色色的网络加以描述。一个典型的网络是由许 多节点与连接两个节点之间的一些边组成的, 其 中节点用来代表真实系统中不同的个体, 而边则 用来表示个体之间的关系, 通常是当两个节点之 间具有某种特定的关系时连一条边, 反之则不连 边。有边相连的两个节点在网络中被看作是相邻 的。。
社区结构
社区结构是许多现实网络具有的一个共同的特征, 即网络的节点可以 分成几个组, 每个组内部的节点连接稠密, 而组之间的节点连接稀疏，下图 是一个包含三个社区的一个简单网络。
社区结构的发现具有重要的意义，例如在WWW 中的社区对应着一组 关于某个主题的网页；社会网络中的社区对应着有着共同爱好或背景的一 群人；生化网络中的社区则对应着某个复合体或某种功能。因此，社区发 现是当前复杂网络研究的一个热点方向，并且已经提出了各种方法，如基 于介数度量的方法、随机游走方法、电阻网络方法、拉普拉斯特征值方法、 极值优化方法、派系过滤算法等。
4总结
参考文献：
[1]刘涛，陈忠，陈晓荣。复杂网络理论及其应用研究概述。上海交通大 学安泰管理学院，上海 200030) [2]詹卫华, 关佶红, 章忠志。复杂网络研究进展：模型与应用。同济大学 计算机科学与技术系, 上海 201804，复旦大学计算机学院, 上海 200433。 [3]周涛，柏文洁，汪秉宏，刘之景，严钢。复杂网络研究概述。中国科 学技术大学近代物理系，合肥 230026。
这里, n表示节点数，dij为两个节点i和j之间的最短路径长度。网络的平均最 短路径长度较小的现象称为小世界效应。许多现实网络具有小世界效应， 如电影演员网络( 平均最短路径为3.48)，对等网络(平均最短路径为4.28)， 代谢网络(平均最短路径是2.56).
2复杂网络的统计特性
最短路径长度、平均最短路径长度、介数
3复杂网络模型
小世界网络
上述的构造过程有可能破坏网络的连通，因此Newman和 Watts稍后提出了通过随机化加边的方法构造小世界网络的模型， 即NW 模型。还有许多改进的模型：加点、加边、去点、去边 以及不同形式的交叉，产生多种形式的小世界模型。 小世界网络具有高的聚类系数，WS小世界网络的聚类系 数为： 而NW小世界网络的聚类系数为：
3复杂网络模型
小世界网络
许多现实网络如技术网络、生物网络和社会网络等，既不 是完全规则的，也不是完全随机的，而是介于两者之间。Watts 和Strogatz基于这些观察, 提出了WS模型，是指对一个具有n个 节点的环格，初始时每个节点有k个邻居，将每条边以概率p进 行随机重绕的过程。由于该模型生成的网络具有较短的特征路 径，即网络具有小世界效应，故称为小世界网络，WS模型也因 此常称为小世界网络(模型)。
1引言
直到最近几年，由于计算机数据处理和运算能力的飞速发 展, 科学家们发现大量的真实网络既不是规则网络，也不是随 机网络, 而是具有与前两者皆不同的统计特征的网络。这样的 一些网络被科学家们叫做复杂网络（Complex Network)，对于 它们的研究标志着第三阶段的到来。
大规模复杂网络
1引言 复杂网络的定义
如果度高的节点倾向于连接其它度高的节点, 称为同配混合；如果度 高的节点倾向于连接其它度低的节点称为异配混合。网络的同配性(异配性) 影响网络的结构和行为. 按照度同配混合的网络比对应的异配网络更利于渗 流；对于节点删除, 同配混合的网络要比异配和中性的网络更具有鲁棒性.
2复杂网络的统计特性
最短路径长度、平均最短路径长度、介数
3复杂网络模型
BA模型
1999年, Albert-LászlóBarabási 和Réka Alber受WWW 形 成的启发, 提出了构造无标度网络的演化模型，常称为BA模型。 该模型考虑了现实网络的两个重要特性：增长特性和择优连接 特性。该模型的构成过程如下： 初始时刻有m0个孤立的节点, 在每一个时间步t= 1,2,3, …, n-m0 加上一个新的节点j，同时加上从此节点出发的m条边, 将 新节点j连接到网络中已经存在的节点，i是按照正比于i的度的规 律来选择边的另一端节点：
其中pk 表示度为k的节点在网络中的比例.
2复杂网络的统计特性
度、度分布和度相关性
在随机图模型中, 任意两个节点间相连的概率为p, 即任意节点连接到 任意的其它节点的概率都是相同的. 但在许多现实网络中, 存在着一定的混 合模式，即一个节点倾向于连接到某一些节点。研究者也发现，许多网络 边的两节点间的度也存在依赖关系, 即度-度相关性。
Clauset等人建立了一种层次随机图模型，利用该模型对现实网络进 行拟合，发现网络的层次结构可以解释网络的许多其它特征，如平均度、 聚类系数和最短路径等。发现网络中的连接往往需要在实验室或现场付出 高昂的费用，这就使得许多现实网络是不完备的， 在这种情形下预测网络 中丢失的连接具有重要的意义。Clauset进一步利用建立的模型设计了一个 丢失连接的预测器，它与传统的方法相比, 能够应用于更广泛类型的网络结 构。
2复杂网络的统计特性
社区结构
一个广泛使用的度量网络的社区结构的量是模块度，它定义为：设网 络分为n个社区，则定义一个n * n的矩阵e，每一行和每一列都代表一个社 区，矩阵元素eij表示社区i和j间的边数占网络总边数的比例，eii就表示社区 i内部边所占的比例，ai =∑eij表示第i行或第i列元素之和, 即与第i个社区的 节点相连的边的总比例, 则模块度定义为:
即社区内部边的比例减去具有同样社区划分但节点间是随机连接的网络的 这一值的期望。Q的值在-1与1之间，Q 越接近1( 这是最大值)预示着具有 越强的社区结构。
2复杂网络的统计特性
层次性
按层次组织是许多复杂系统的一个共同特征。在代谢网络中，有许多 小的连接密集的簇，它们会相互结合形成较大较稀疏的簇，而这些簇又可 能进一步形成更大更稀疏的簇。这种自相似地嵌套形成了我们现实网络的 严格而又精细的结构。有趣地是，网络的层次性特性, 可以通过简单的量来 捕获，即C ( k)曲线满足C(K)~ k﹣¹ 。
复杂网络模型
3复杂网络模型
小世界 网络 随机图
无标度 网络 BA 模型
复杂网 络模型
3复杂网络模型
随机图
随机图是图论中最年轻的分支之一，对它的系统研究起源 于1959年保罗· 埃尔德什和阿尔弗雷德· 雷尼的工作，他们发表了 一系列的论文，建立了丰富的随机图理论的基础。现实网络具有 复杂的拓扑结构和未知的组织原理，总是呈献出某种随机性，因 此用随机图作为网络的模型是最直接的一种选择。 一个随机图实际上是将给定的顶点之间随机地连上边。边 的产生可以依赖于不同的随机方式，这样就产生了不同的随机 图模型。一个典型的模型是埃尔德什和雷尼共同研究的ER模型。 ER模型是指在给定 n 个顶点后，规定每两个顶点之间都以 p 的概率连起来（0 ≤ p ≤ 1），而且这些判定之间两两无关。这 样得到的随机图一般记作 或 ERn(p)。
为了度量节点在网络中的重要性——中心性，引进了节点介数概念， 定义如下：
边介数是经过这条边的节点对的最短路径数，它在社区发现中为区分一个 社区的内部边和社区之间的边提供了一种有效的度量标准.
2复杂网络的统计特性
聚类系数
二元关系R, 如果aRb, bRc, 那么aRc, 则称R是传递的。熟人网络中， 也有类似的特性，即拥有一个共同朋友的两个人他们也彼此熟悉，这种性 质称为网络的聚类性，也称为传递性。传递性意味着出现三角形，定义节 点i 聚类系数如下：
小世界网络的典型特征是平均最短路径满足对数标度，但 是到目前为止还没有精确的解析表达式。小世界网络的度分布 与多数现实网络并不能很好匹配，对于NW模型和WS模型，其 表达式都比较复杂。
3复杂网络模型
无标度网络
节点度服从幂律分布，是指具有某个特定度的节点数目与 这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示，幂函 数曲线是一条下降相对缓慢的曲线，这使得度很大的节点可以 在网络中存在。对于随机网络和规则网络，度分布区间非常狭 窄，几乎找不到偏离节点度均值较大的点，故其平均度可以被 看作其节点度的一个特征标度。在这个意义上，我们把节点度 服从幂律分布的网络叫做无标度网络
1引言
例如, 神经系统可以看作是大量神经细胞通过神经纤 维相互连接形成的网络；计算机网络可以看作是自主工作 的计算机通过通信介质如光缆、双绞线、同轴电缆等相互 连接形成的网络。类似的还有电力网络、社会关系网络、 交通网络等等。
神经网络
计算机网络
1引言
数学家和物理学家在考虑网络的时候, 往往只关心节点之 间有没有边相连, 至于节点在什么位置, 边长还是短, 是弯曲 还是平直, 有没有相交等等都是他们不在意的。因此, 我们把 网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的 性质叫做网络的拓扑性质, 相应的结构叫做网络的拓扑结构. 那么, 什么样的拓扑结构比较适用于描述真实的系统呢?
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整个网络的聚类系数C就是所有节点i的聚类系数C i的平均值, 且有0≤ C≤ 1。 对于一些无标度网络, 局部聚类系数Ci 随着节点i的度下降而下降。随 机网络的聚类系数为O(n‐¹ ，当网络规模极大时趋于零，而多数现实网 ) 络的聚类系数显著大于零，a即具有明显的聚类特性。
2复杂网络的统计特性
3复杂网络模型
BA模型
BA无标度网络的聚类系数为：