巧用伸缩变换解决椭圆问题
ｆ ， ÷一 ， “
。
・
・
Ｉ ．于 在 种 缩 换 ，圆 变 一 是 这 伸 变 下椭 就 成 ｙ
，
． 州是 Ａ
．
了 单 位 圆 ｚ 十 Ｙ 一 ｌ 可 以 很 容 易 地 证 明 这 种 ， 伸缩变换 具有 如下 一些 常用 的性质 ：
２０ ０ ９年 第 ４期
分析 令 一 ， 一 ， ≠ 则椭 圆内接
△Ａ Ｃ 就变 成 了单 位 圆 Ｂ ＋ 一 １的 内 接
注 此 题若 用判别 式 ， 不仅 运算 繁琐 ， 还要 讨论 Ｂ的值． 似地可 以得 到 Ｌ与 Ｃ相切 、 类 相离 的
充 要 条 件 分 别 是 （Ａ） ＋ （ ） 一 Ｃ ， ａ ） ＋ ａ 。 （Ａ 。
的 ．
ａ
ｆ 一．， 三 丁
分 令 析 Ｉ
Ｉ 一ｙ’
则 段Ａ 就 成 线 Ｂ 变 了
３ ．点 分 线 段 的 比 不 变 ． 别 地 ， 段 的 中 点 特 线 变成对应 线段 的 中点． ４ ．三 角 形 仍 变 成 三 角 形 ， 积 为 原 来 的 ． 面
（Ｂ） ＜ （ ． ｂ
△ Ａ Ｂ Ｃ ， 圆 的 内 接 ｊ 角 形 以 内接 正 三 角 形 面 而
积 最 ， △ 的 大 为 ，而ｓ 为 大 故Ｓ ， 最 值 半 从 川
的最 大值是 ．
一
例 ６ 过 椭 圆 Ｃ： ＋ ＝ １“＞ ｂ ０ 的 （ ＞ ）
“ ０
长轴 两端 点 Ａ、 Ｂ分别 作 椭 圆的切 线 与椭 圆的任 注 在 伸缩 变换下 ， △ Ｓ Ｍ 一 ａ 利 Ｓ仙 △ ｂ，
用 圆 内 接 三 角 形 的 性 质 ， 巧 妙 地 解 决 这 个 可
ａ。 Ｄ一
以下通 过 几 个 例 题 说 明 利 用 伸 缩 变 换 解 决
椭 圆问题 的简便性 ．
例 １ 若 Ａ 是过 椭 圆 十 一 １ｎ＞ ｂ Ｂ Ｙ （ ＞
＞ ０ 上 的三 点 ， Ｓ 仙 的最大值 是 ） 则 △
．
４ ４
中 学数 学 教 学
即 得 （ Ａ） ａ ＋ （Ｂ） ｂ ＞ Ｃ ．
ａ Ｄ
轴（ 或在纵 轴上 ）的线段 仍平行 于纵 轴 （ 或在纵 轴
＞ ｂ＞ ０ ）中心 ０ 且 不平 行 于 坐标 轴 的 弦 ， 是 Ｍ
ＡＢ 的 中 点 ， 证 ： ｋ 一一 ｂ 求 ｋ ２
．
上） 长度为原来的÷， 平行于横轴 （ 或在横轴上）
的线段 仍平 行于 横轴 （ 在 横 轴上 ） 长度 为 原来 或 ，
注 在伸缩 变换 下 ， 椭 圆中心 的弦 变成 圆 过
的 直 径 ， 用 直 径 上 的 圆 周 角 是 直 角 即 可 解 决 本 利
１ ．直线 仍变 成直线 ， 斜率 为原 来 的＿ ａ．
２ ．两 条 直 线 的 平 行 性 不 变 ． 别 地 平 行 于 纵 特
题． 当然 ， 题利 用特 例法也 行． 本 例 ２ 若 ＡＢ是任 一不 过椭 圆 ＋ 一 １Ⅱ ｙ （
（ 安徽 省 “ 南 十校 ”０ ９ 高三 素质 测试 卷 ） 江 ２０ 年
ｆ 一 ，
分 析 令 “ 令｛ 则 椭 圆就 变 成 了单
Ｉ 一Ｙ’
位 圆 ＋ 一 ｌ 椭 圆 上 的 点 Ａ、 Ｍ 分 别 变 成 ， Ｂ、 １ ，
了单 位 圆上 的点 Ａ ， Ｍ 且 Ａ Ｂ Ｂ ， ， 是 单位 圆的
２ ０ 年 第 ４期 ０９
中学数 学教 学
４ ３
巧 用 伸 缩 变 换 解 决 椭 圆 问题
安徽 省灵 璧 中学 侯立 刚 （ 邮编 ： ３ ２ ０ ２４０ ）
伸 缩 变换 是 高 中数 学课 程 中新增 内容 ， 普 《 通 高 中数 学课程 标准 》 求 ： 了解 在平 面直 角坐 要 “ 标 系伸缩 变换 作 用 下平 面图 形 的变 化 情 况 ” 在 ． 伸缩 变换 下 ， 面 图形要 发 生相 应 的变 化 ． 圆 平 如
单 位 圆 十 。 １ 一 的弦 Ａ Ｂ ， Ｍ 就变成 了 弦 点
ＡＢ 的 中 点 Ｍ 由 于 ０Ｍ 上 Ａ 于 是 ， Ｂ ，
ｋ ， ＡＢ ｄＭ ｋ ，，一 一 １，
５ ．两 曲线 的位 量关 系不 发生变 化 ， 即公共 点
・ ．
舢 ：一 １ 从 而 是 ， ｃ Ｍ
一一 ｂ ２
．
的个 数不 发生变 化． 如若 直线 与 曲线 相 交 变换 后 它们仍 相交 ．
注 在 伸缩 变换 下 ， 线段 的 中点是 不 变 的 ， 而 在 圆中 ， 圆心 与弦 中点 的连线垂 直于 弦． 例 ３ 若 Ａ、 Ｃ是 椭 圆 ＋ 一 １“＞ ｂ Ｂ、 （．
在 伸 缩 变 换 下 可 变 成 椭 圆 ， 椭 圆 在 伸 缩 变 换 下 而
０ ）中 心 的 一 条 弦 ， 是 椭 圆 上 异 于 Ａ 、 的 任 一 Ｍ Ｂ
点 ， Ａ 、 Ｍ 与坐标 轴不 平行 ， ， 且 Ｍ Ｂ 是 是州分别 表
示 直线 Ａ 、 Ｍ 的斜 率 ， 是Ｍ 』 （ Ｍ Ｂ 则 Ａ 志｛ Ｍ
Ａ ．一 ２ Ｃ
＆
）
Ｄ．一 ａ２
扫
Ｂ
～
ｂ ２
ｄ
Ｃ
一
Ｃ２
．
．
扫
又可 变成 圆． 圆是 我们 相 当熟 悉 的 图形 ， 的许 它
多 性 质 的 推 导 和 证 明 都 比较 容 易 ， 圆 中 研 究 图 在 形 的 某 种 性 质 然 后 再 还 原 到 椭 圆 中 ， 而 得 到 椭 从 圆 的 相 应 性 质 ， 往 往 要 比直 接 在 椭 圆 中 进 行 计 这 算 和证 明简单 得多 ． 设椭 圆 ＋ 西 一 １ “＞ ｂ＞ ｏ ， 变 换 ｙ （ ）作
椭圆的仿射变换（伸缩变换）
椭圆的仿射变换（伸缩变换）本⽂转⾃奇趣数学苑注：本⽂为个⼈的笔记，例题为⾃⼰整理。
⼀、定义仿射变换，⼜称仿射映射，是指在⼏何中，⼀个向量空间进⾏⼀次线性变换并接上⼀个平移，变换为另⼀个向量空间。
以下称变换，为圆锥曲线标准变换。
在经过标准变换后，椭圆变为平⾯内的单位圆。
经过标准变换后，椭圆变为单位圆在椭圆转化为圆后，可以通过研究圆的性质来研究椭圆的性质，此处可以适当结合平⾯⼏何的知识。
⼆、性质1. 同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线2. 结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上3. 其它不变关系a. 直线与圆锥曲线的位置关系不变（相切、相交）例1 (⼀般情况下的标准椭圆与标准直线)已知直线，椭圆，讨论直线与椭圆的位置关系。
解标准变换后，，由直线与圆的位置关系易得答案。
推⼴标准变换后，直线变为。
此结论可以作为公式背下，提⾼平时做题的速度。
b. 对应图形的⾯积⽐不变例2 (椭圆的⾯积与单位圆的⾯积⽐)已知椭圆，经过变换，得到图形，求：椭圆的外接矩形的⾯积与经过变换后的图形的外接矩形的⾯积之⽐；椭圆⾯积与经过变换后的图形的⾯积之⽐．解易得 ;，，；，，；推⼴标准变换后，对应图形的⾯积变为原来的。
在平⾯直⾓坐标系中，图形的⾯积可理解作是，其中为常量。
c. 对应直线的斜率⽐不变例3 (变换前后的直线)已知直线，求经过变换，后得到的直线的斜率。
解易得，。
推⼴标准变换后，对应直线的斜率变为原来的。
在平⾯直⾓坐标系中，直线的斜率可理解作是，其中为常量。
d. 两平⾏线段或共线线段的⽐不变（三点共线的⽐不变）例4 (长度经过变换)已知向量，，记，经过变换，后⽐值为，求。
解易得，，推⼴标准变换后，向量变为，点变为。
此处易和直线混淆，可从矩阵变换的⾓度理解．。
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式
椭圆的伸缩变换公式是指，对于一个椭圆，如果我们对它进行伸缩变换，那么它的面积和周长会如何变化。
具体来说，设椭圆的长轴和短轴分别为a和b，而伸缩因子分别为k1和k2，那么经过伸缩变换后，椭圆的面积和周长分别变为：
面积：S' = πabk1k2
周长：L' = 2πb√((k1^2 + k2^2)/2)
其中，π是圆周率。
这个公式对于许多涉及到椭圆的问题都有很大的用处，例如在图像处理中，对椭圆进行伸缩变换可以实现图像的拉伸或压缩，从而达到改变图像尺寸和形状的目的。
此外，在数学教学和研究中，椭圆的伸缩变换公式也是一个重要的基础知识，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关概念和定理。
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伸缩变换--兼谈化椭圆为圆问题
伸缩变换--兼谈化椭圆为圆问题
侯宝坤
【期刊名称】《《中学数学研究》》
【年(卷),期】2004(000)004
【摘要】我们在研究三角函数图象关系时，用到了伸缩变换．比如由y=sinx得到y=2sinx时，可以将y=sinx上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍；要得到y=sin2x时，则可以将y=sinx图象上所有点纵坐标不变，横坐标压缩为原来的1/2．这种变换方法就是伸缩变换．
【总页数】3页(P31-33)
【作者】侯宝坤
【作者单位】江苏省建湖高级中学 224700
【正文语种】中文
【中图分类】O63
【相关文献】
1.巧用伸缩变换妙解椭圆问题 [J], 程涛;刘少平;邹鹏
2.“圆”来如此话椭圆——例谈伸缩变换在解决椭圆问题中的应用 [J], 张文海
3.巧用伸缩变换妙解椭圆问题 [J], 程涛;刘少平;邹鹏
4.活用伸缩变换巧解高考椭圆问题——以2015年全国部分省市高考试题为例 [J], 杨瑞强
5.例谈伸缩变换在高考椭圆问题中的“五个巧用” [J], 陈启南
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椭圆与圆的伸缩变换
《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，今天我要给你们讲讲椭圆和圆的伸缩变换，这可有趣啦！你们看，圆就像一个超级圆滚滚的皮球，每一处到中心点的距离都一样长。
那椭圆呢？它有点特别，不像圆那么圆圆的，而是有点扁扁的或者长长的。
比如说，我们有一个圆，然后像变魔术一样把它拉长或者压扁，它就变成椭圆啦。
就好像我们吹气球，本来气球是圆圆的，要是我们轻轻拉一拉，它就不再是标准的圆，有点像椭圆了呢。
再想想，我们吃的甜甜圈，有的就是椭圆形状的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？其实，在我们的生活中，也能看到很多椭圆和圆的伸缩变换哦。
比如马路上的井盖，大多数是圆的，但有时候也能看到一些椭圆形的井盖呢。
小朋友们，你们记住椭圆和圆的伸缩变换了吗？《椭圆与圆的伸缩变换》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊椭圆与圆的伸缩变换。
圆，大家都很熟悉吧？就像我们玩的皮球，圆圆的，可好看啦！那椭圆呢？它就像是被人轻轻捏了一下的圆。
比如说，我们画一个圆，然后把它的左右两边往中间挤一挤，或者把上下两边拉长，它就变成椭圆啦。
想象一下，妈妈做的煎饼，如果是圆圆的，那就是圆。
要是不小心被压了一下，变得有点扁，那就成了椭圆。
还有我们的操场跑道，外圈是椭圆的，内圈的足球场有时候就是圆的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很有意思？以后我们看到椭圆和圆，就可以想想它们是怎么变来变去的啦！《椭圆与圆的伸缩变换》小朋友们，咱们一起来认识椭圆与圆的伸缩变换哟！圆，就像一个完美的小太阳，到处都一样圆。
椭圆呢，就像是圆变了个样子。
比如说，有一个大大的圆气球，我们抓住两边轻轻拉一拉，它就不再是原来的圆，变成椭圆啦。
还有我们用的镜子，有的是圆圆的，有的是椭圆的。
就好像镜子也会变魔术一样。
再想想看，公园里的湖，有的是圆圆的，有的是椭圆的。
椭圆和圆的伸缩变换是不是很神奇呀？希望小朋友们以后能多多发现生活中椭圆和圆的伸缩变换哟！。
椭圆与圆的伸缩变换教学设计-高二上学期数学人教A版选择性
椭圆及其标准方程——椭圆与圆的伸缩变换教学设计如图2.2-5，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，DP在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解：设点M的坐标为(x,y),,点P的坐标为(x0,y0),则x=x0,y=y0.2因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上，所以,,,,,,,,,,,,,,x02+y02=4,,,,,,,,,①,,,,,,,,把x0=x,y0=2y,带入方程①，得x2+4y2=4,,即,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+y2=1,,,,,,,x24所以点M的轨迹是一个椭圆.思考：通过这道题你能发现椭圆与圆之间的关系吗？（圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.）二、新知探究如何将椭圆与圆进行相互转化？圆x 2+y 2=a2转化为椭圆x′2a2+y′2b2=1(a>b>0）椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)转化为圆x’2+y’2=1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,xyO设变换{x′=xy′=aby即{x=x′y=bay′带入圆方程为：x′2a2+y′2b2=1设变换{x′=xay′=yb得圆方程为：x′2+y′2=1 xy O伸缩变换的性质1.伸缩变换将点映射到点，直线对应直线；A、B、C在直线l上，伸缩变化后对应点A′、B′、C′在对应直线l′;3.共线三点的相对位置不变，即同一直线上两线段的长度之比不变；X轴，则变换后仍垂直X轴，否者变换将直线的斜率变成原来的ba倍；5.两条平行直线变换后任为平行直线；6.两相交（相切、相离）曲线仍变为两相交（相切、相离）曲线；7.三角形变为三角形，面积由S变为abs′.三、实例演练例1、利用伸缩变换证明关于椭圆x 2a2+y2b2=1，a>b>0的性质:设A,B为椭圆上两点，线段AB中点为C，则一般地，有k OC∙k AB=−b2a2.方法一:点差法设A(x1，y1),B(x2，y2),AB中点C(x0，y0)，则有：2x0=x1+x2,y0=y1+y2又A(x1，y1),B(x2，y2)在椭圆上，所以有x12a2+y12b2=1,,,,,,x22a2+y22b2=1两式相减得：b2(x12−x22)+a2(y12−y22)=0即y12−y22x12−x12=(y1−y2)(y1+y2)(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)∙2y0(x1−x2)∙2x=k AB∙k OC=−b2a2,(x1≠x2)所以k OC∙k AB=−b2a2方法2：伸缩变换证明C’y′x′O′证明：设变换{x ′=xa y′=y b得圆方程为：x′2+y′2=1在圆当中根据垂径定理有：k O′C′∙k A′B′=−1 所以ab k OC ∙ab k AB =-1所以有k OC ∙k AB=−b 2a2例2、已知A 、B 为椭圆x 22+y 2=1上不同的两点，求①AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）.解：设变换{x ′=x√2y′=y得圆方程为：x′2+y′2=1S △A‘O‘B’=12|O’A′|∙|O’B′|∙sin∠A′O′B′≤12, 当∠A′O′B′=90°时取等.S △AOB =abS △A‘O‘B’≤√22所以△AOB 面积的最大值为√22.变式：已知椭圆方程为x 22+y 2=1，若P 点为直线l :x =2,过点P 做直线l 0切椭圆于点A ，求△AOP 面积S 的最小值.B ’A′x yOABB ’ y ′x ′O′ A ’l 0l′l′0A ’y ′x ′O′H ′ xyOAPl解：设变换{x ′=x√2y′=y得圆方程为：x′2+y′2=1，l′：x′=√22=√2如图,O′A′⊥P′A′S △P‘O‘A’=12|P’A′|∙|O’A′|=12√|O′P′|2−1≥12√(√2)2−1=12 当O′P′⊥l′于H′时取等. 所以S △AOP =abS △A‘O‘P’≥√22 所以△AOP 面积的最小值为√22.P ’。
高考数学深度总结：伸缩变换观点下的椭圆
利用伸缩变换
解决圆锥曲线中的
线性问题
作者：赵呈海
天津市第一〇二中学
指导教师：马萍天津市第一〇二中学
严虹天津市第一〇二中学
纪洪伟天津市第一〇二中学
张倩天津市第一〇二中学
利用伸缩变换解决圆锥曲线中的线性问题
赵呈海天津市第一〇二中学
摘要：本文结合线性代数中线性变换的视角，深入剖析高考解析几何中圆锥曲线的相关问题，并试图使用高中知识理解线性变换的本质。
利用线性变换中的伸缩变换（缩放变换），可以系统地解决高考圆锥曲线中的线性问题，并且有效地“回避”了解析几何运算复杂的难题。
深刻揭示了，数学各分支领域间互相渗透，互相扶持的数学精神，给予学生一个思考问题的新视角，给高中教学带来新的启示。
关键词：线性变换；圆锥曲线；伸缩变换。
我们在初中数学就开始研究平面几何的相关内容，这是著名的“欧几里得公理几何体系”的重要组成部分。
对于高度对称的几何图形（例如：圆），我们选用公理化证明会显得十分优美。
但是，随着几何图形的变化，其“几何特征”开始降低。
所以，对于圆锥曲线的相关问题如果再去使用公理化方法证明就会较为复杂。
于此，利用笛卡尔的坐标方法，反而会显得简单、明晰。
这就是解析几何（坐标几何）。
解析几何，高考永恒的重点、难点。
圆锥曲线作为高中解析几何的重要组成部分，在高考中有着举足轻重的地位。
圆锥曲线的核心难点可以大致分为两点：第一，“数”与“形”之间的“沟通、翻译”能力；第二，计算。
伸缩变换视角下的压轴题
伸缩变换视角下的压轴题山东省莱州市第一中学 (261400) 史胜江2013年山东文科数学压轴题是一道有良好区分度的高考题，题目条件简单，易于上手，但考生要获得满分还是比较困难的，因为本题既考查了考生的分类讨论思想，又深度地考查了运算能力. 本文中笔者首先给出标准答案和两种简洁解法，然后对此题的命题背景进行了深层次的分析，应用伸缩变换解答本题和2011年山东理科第22题，简洁清晰的解题过程犹如一道亮丽的风景呈现在我们的眼前. 1 原题与标准答案（2013年山东文科数学第22题） 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）B A ,为椭圆C 上满足AOB ∆的面积为46的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设t =，求实数t 的值.标准答案 （Ⅰ）椭圆C 的方程1222=+y x （省略过程）； （Ⅰ）（Ⅰ）当B A ,两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为m x =，由题意02<<-m 或20<<m ，把m x =代入1222=+y x 得22||2m y -=，根据4622||2=-=∆m m S AOB得232=m 或21，此时)0,26(±=或)0,22(±，而)0,2(±=，所以332=t 或2. （Ⅰ）当B A ,两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为h kx y +=，和1222=+y x 联立得0224)21(222=-+++h khx x k ，设),(),,(2211y x B y x A .由判别式0>∆可得2221h k >+，此时22212212122,214k h x x k kh x x +-=+-=+，221212k hy y +=+，所以22222121122||k h k kAB +-++=.点O 到直线AB 的距离21||kh d +=，所以46||21212||21222=+-+==∆h k h k d AB S AOB. 令221k n +=，代入上式整理得016163422=+-h n h n ，解得234h n =或24h n =.又),2()2,2(2121nhtn kht y y x x t t -=++==，代入椭圆方程1)()2(21222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n h n kh t ，即122=t n h ，又因为234h n =或24h n =，且0>t ，故332=t 或2. 经检验，适合题意. 综合（Ⅰ）（Ⅰ）得332=t 或2. 以上解法是官方答案，属于通法，思路简单，只要想到讨论，便是复杂的运算了，解法中令221k n +=，使式子简洁了许多. 总之此题深度地考察了考生的运算能力. 2 简洁解法简解法一 设),(),,(2211y x B y x A ，因为46||211221=-=∆y x y x S AOB ，平方得232212221212221=+-y x y y x x y x ，把212121x y -=，212222x y -=代入得342)(2212122212221=--+y y x x x x x x Ⅰ.)2,2(2121y y x x t t ++==代入椭圆1222=+y x 得14)(8)(22122212=+++y y t x x t ，2212212)(2)(8y y x x t +++=2121212122222121424842228y y x x y y x x y x y x ++=+++++=，而2121222122212212116164)42(y y x x y y x x y y x x ++=+1616)(88212122212221+++-=y y x x x x x x ，把Ⅰ式代入得416)4(3)42(22121=+-⨯=+y y x x ，所以2422121±=+y y x x ，得342=t 或4，因为0>t ，故332=t 或2. 此法能避免讨论，运算量较小.简解法二 设)sin ,cos 2(),sin ,cos 2(ββααB A ，46||211221=-=∆y x y x S AOB ，即46|)sin(|22|sin cos 2sin cos 2|21=-=-βααββα，所以23|)sin(|=-βα，21)cos(±=-βα. 把)2sin sin ,2)cos (cos 2(βαβα++==t t 代入椭圆1222=+y x 得14)sin (sin 4)cos (cos 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++βαβαt ，所以34)cos(2242=-+=βαt 或4，因为0>t ，故332=t 或2. 利用椭圆的参数方程，也能避免讨论，且运算量更小. 3 渊源与推广我们知道椭圆和圆之间可以通过伸缩变换进行相互转化.例如：椭圆12222=+by a x 在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100a b，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a 1001的作用下变换为圆222''b y x =+和圆1''22=+y x ，反之亦成立. 在变换⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a 001，⎪⎪⎭⎫⎝⎛100a b ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛b a 1001等的作用下，直线变换为直线，原点变换为原点，椭圆的切线变换为切线；直线和直线之间的关系不变（平行直线仍平行，相交直线仍相交），点与直线关系不变，同一直线上的两线段长度之比不变；变换前后两个三角形的面积之比不变；两直线的斜率之比不变，等等.关于变换前后两个三角形的面积之比不变，证明如下：设),(),,(2211y x B y x A ，),(33y x C ，则11121332211y x y x y x S ABC =∆的绝对值，在伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==by y a xx ''（b a ,为常数）下ABC C B A S abS ∆∆=1''''，所以ab S S ABC C B A 1''''=∆∆不变. 利用上述伸缩变换中诸多不变的性质，椭圆1222=+y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x '2'后为单位圆1''22=+y x ，由211'''==∆∆ab S S AOB OB A ，得43'''=∆OB A S . 在单位圆1''22=+y x 中，设半径'''B A OP ⊥，垂足为'E （即''B A 的中点），则43|'||'|1'2''=⋅-=∆OE OE S OB A ，解得21|'|=OE 或23，此时2|'||'|=OE OP 或332. 由同一直线上两线段长度之比在伸缩变换下不变，所以在椭圆1222=+y x 中2|'||'|||||===OE OP OE OP t 或332.这也是本题的一种解法.事实上，在单位圆中当''OB A ∆的面积为定值（]21,0(''∈∆OB A S ）时，其高'OE 为定值，进一步高与半径之比为定值. 在伸缩变换下，单位圆转化为椭圆，相应AOB ∆面积也为定值，相应||||OP OE 的值也是定值. 这便有本题的推广： 推广 B A ,为椭圆C ：12222=+b y a x 上满足AOB ∆的面积为定值（范围]2,0(ab）的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P . 设OE t OP =，则实数t 为定值.图一 图二上述推论的逆命题也成立.由于椭圆与圆是紧密联系的，利用变换的性质，结合圆的某些性质，许多问题可以轻松解决，既能避免大量的运算，节省了宝贵的考试时间，又能减少出错的机会. 再举一例： 4 神通的变换(2011年山东理科数学第22题) 已知动直线l 与椭圆123:22=+y x C 交于),(),,(2211y x Q y x P 两不同点，且OPQ ∆的面积26=∆OPQ S ，其中O 为坐标原点. （1） 证明：2221x x +和2221y y +均为定值；（2）、（3）略.这道理科压轴题的难点就在第（1）问，按照常规做法运算量很大，难坏了当年的考生，考后统计数据显示全省只有2名考生得到该题的满分.解 椭圆123:22=+y x C 在伸缩变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'3'y y x x 下变为单位圆1''22=+y x ，由61231''==∆∆OPQ Q OP S S ，得21''=∆Q OP S . 而单位圆中21''sin |'||'|21''=∠=∆OQ P OQ OP S Q OP ，得︒=∠90''OQ P .设)','(),','('2211y x Q y x P ，因为|'||'|OQ OP =，不妨设i y x i i y x 2211'')''(+=⋅+（i 为虚数单位），即⎩⎨⎧-==1221''''y x y x ，由1''2121=+y x 得1''2221=+x x ，即32221=+x x ，同理22221=+y y 均为定值.上面证明中复数乘法几何意义的应用是一大亮点. 本题利用椭圆的参数方程解答也很简单，留给读者证明. 通过证明，细心的读者就会体会出伸缩变换与参数方程的紧密关系了，限于篇幅，不再赘述.孟子曰：孔子登东山而小鲁,登泰山而小天下.只有站在更高的地方才能看清问题的本质，做到一览无余，融会贯通.参考文献：[1] 胡典顺. 解析几何中的问题解决：变换的视角 [J]. 数学通讯，2013（1）（下半月）.图三。
椭圆化圆优化解题
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椭圆化圆优化解题
作者：徐才銮
来源：《理科考试研究·高中》2013年第10期
新课标数学选修4-4P4介绍了坐标的伸缩变换。
通过伸缩变换可以把曲线的方程化为简单形式，从而方便解题。
本文介绍用伸缩变换化椭圆为圆，来简化几类问题的求解。
一、最值问题
例1求椭圆x214+y2=1上的点到直线x+2y-4=0的最近距离和最远距离，并求出相应点的坐标。
解作伸缩变换x′=112x，
y′=y，则椭圆图1化为圆x′2+y′2=1，直线化为x′+y′-2=0。
如图1，过原点作与直线x′+y′-2=0垂直的直线y′=x′，交圆于A′和B′两点，可知点A′、B′到直线的距离分别最近、最远。
易得A′（212，212），B′（-212，212）。
那么由伸缩变换知原坐标系中，A（2，212），B（-2，-212）。
A、B两点到直线x+2y-4=0的距离dA=|2+2-4|15=2（2-2）15，dB=|-2-2-
4|15=2（2+2）15。
从而最近距离是2（2-2）15，最远距离是2（2+2）15，相应的两点分别是（2，212）和（-2，-212）。
点评本例的常规解法是设出与已知直线平行的椭圆的切线，代入椭圆方程，令判别式为零，解出参数，得到切线方程；再联立切线与椭圆的方程，解出切点；然后求出两个切点到直线的距离。
这种方法运算复杂。
而本文解法化为圆上两点到直线的距离问题，易得所求两点，回避了解复杂的方程（组），简捷获解。
伸缩变换解高考解析几何压轴题
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伸缩变换解高考解析几何压轴题
作者：张宏斌
来源：《新课程·中学》2017年第08期
摘要：借助伸缩变换，将椭圆化为圆，利用圆的几何性质，避免繁难的代数运算，简化
椭圆问题的解题过程。
关键词：解析几何；伸缩变换；转化；圆的几何性质；简化
历年各地高考试题均将解析几何作为压轴题之一，着重考查有关椭圆的问题，学生往往被复杂的转化过程、艰难的运算过程所吓倒，望而却步，或是因解题过程中细微的失误而前功尽弃。
本文通过实例，利用伸缩变换将椭圆问题转化为圆的问题，借助圆的几何性质避开复杂的运算。
限于篇幅，仅举以上实例。
伸缩变换能解决几乎所有涉及椭圆的问题，过程简洁明了，不失为一条做解析几何压轴题的有效途径。
参考文献：
林国夫.用伸缩变换赏析2015年高考解析几何题[J].中学数学，2015（7）.
作者简介：张宏斌，大学本科学历，中学数学一级教师，从教17年，长期担任高三数学教学工作，擅长数理思维培养。
重要荣誉：本文收录到教育理论网。
借力坐标伸缩 简化椭圆问题
借力坐标伸缩简化椭圆问题孟锋【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】3页(P20-22)【作者】孟锋【作者单位】311800 浙江省诸暨中学【正文语种】中文解析几何处于几何和代数的结合部，是高中数学的主干内容，也是高中数学各种思想方法的应用交汇之地.在历年高考中占到重要地位，既有考查基本概念的基础题，也有考查各种能力的具有选拔功能的压轴题.解析几何试题对逻辑思维能力、数形结合能力和运算能力都提出了较高要求.在实际教学中，学生普遍反映解析几何问题的运算量大，题目解析不到位.事实上，解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理时，除了运用代数方程，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，往往可以减少计算量，优化运算.人教A版选修4-4中学习了平面直角坐标系中的伸缩变换，通过伸缩变换，可以将椭圆变为圆，将圆变为椭圆.圆在平面几何中占有重要的地位，应用也很广泛，圆锥曲线中的椭圆如果借助坐标伸缩变为圆，能让学生避免解题过程繁杂冗长而陷入困境，使问题轻而易举得到解决，笔者通过举例说明通过坐标伸缩如何简化椭圆运算.利用坐标放缩将椭圆变为圆，利用圆的特殊性质，弦与半径的垂直关系巧解直线的斜率问题.优势：利用圆中的特殊“直角三角形”，即半径、圆心到弦的距离与弦长一半所构成的三角形所成立的勾股定理.变式2 如图4，经过点P（2，3），且中心在坐标原点中，焦点在x轴上的椭圆M离心率为.（1）求椭圆方程；（2）若椭圆M的弦PA，PB所在直线分别交x轴于点C、D，且PC＝PD，求证：直线AB的斜率为定值.优势：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等.利用这个性质得到OP′的斜率，从而解得AB斜率，解答过程非常简单.练习已知线段AB两个端点A，B分别在x轴，y轴上滑动|AB|＝3，点M满足（1）求动点M的轨迹方程E；（2）若曲线E的所有弦都不能被直线l：y＝k（x -1）垂直平分，求k的取值范围.（2）如图6，新建坐标系xOy′，使得y′＝2y，则l′：y＝2k（x-1），设弦PQ与l′交于R点，存在l′时：R为PQ中点，（1）求椭圆方程；（2）△AOB面积是否为定值？若是，给予证明；若不是，请说明理由.（1）求椭圆方程；（2）已知P、Q为x轴上原点两侧的两点，过P的直线l交椭圆于A、B两点，当P、Q均在椭圆内且PO＝QO时，求△ABQ面积的最大值.练习如图11，已知M（-1，0），N（1，0），△MNQ周长为6，动点Q的轨迹为曲线C，P是圆x2+y2＝4上任一点（不在x轴上），（1）求C的轨迹方程；（2）直线PA、PB与曲线C相切于A、B两点，求△AOB面积最大值.（1）求C1，C2方程；（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB中点，当直线OM与C2交于P，Q两点，求四边形ABPQ面积最小值.在解决解析几何问题时，方法选择不当往往导致计算量过大，哪怕具备较强的解析几何运算能力，在有限的考试时间内，也很难得到正确的运算结果.解题时，如果善于应用圆锥曲线的定义，数形结合，借力坐标放缩，不失为一种简单、快捷的解题思路，同时，将解题构筑在较高的水平上也有助于高中数学的学习能力培养.。