三重积分及其计算.ppt
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课件：9.3三重积分
4) 根据2) 3)写出的积分限.
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
注 : xoy面上g j (x, y) 0( j 1,2,, s)的各截痕所围区域 若为闭区域,则不需要考虑Fi (x , y, 0) 0(i 1,2)各截痕.
2. 由曲面Fi (x, y, z) 0(i 1,2)所围
1). 作出F1(x, y, z) 0 的交线在xoy面上的投影L. F2 (x, y, z) 0
2) 确定Dxy :由L所围.
3) 确定z的上下限: 从Fi (x, y, z) 0(i 1,2)中解出 z fi (x, y)(i 1,2), 在Dxy中比较fi (x, y)(i 1,2)的
大小, 大的即为上限, 小的即为下限. 4) 根据2) 3)写出的积分限.
例 4 化三重积分 I f ( x, y, z)dxdydz为三
i1
f
(xi , yi , zi )Vi
其中 “ ” 称为三重积分号, 称为积分区域, f (x, y, z) 称为被积函数, dv称为体积元素, 直角坐标系下三重积分也
记为 f (x, y, z)dxdydz.
三重积分的性质与二重积分性质完全类似,
比如若 f (x, y, z)在上连续, 则 f (x, y, z)在上
含有x2+y2,则可考虑用
2
或z 1 r 2
柱面坐标积分.
2
o
y
令x=rcos, y=rsin, z=z,
则z 2, z 1 (x2 y2 )
x x2+y2=4 或 r=2
2
的柱面坐标方程分别为z 2, z 1 r 2 ,
且
1 r 2 z 2, 0 r 2,
2
0 2.
2
(x2 y2)dxdydz
三重积分的概念与计算
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,球面
关于xoy面对称
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
例 计算 ( x y z)2dxdydz其中是由抛物面
z x2 y2和球面 x2 y2 z2 2所围成的空间闭 区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz是关于 y的奇函数,
在球面坐标系中
体积元素为
化为三次积分， 从小到大，从边界到边界。
例6.求 的体积，它由球心在(0,0, a), 半径为a 的球面
顶点在原点，半顶角为 的锥面围成，如图.
解： 球面方程为 x2 y2 (z a)2 a2
z
2a
在球坐标系下方程为r 2a cos
锥面方程为 所以
且关于zox面对称, ( xy yz)dv 0,
同理 zx是关于 x 的奇函数,
且关于 yoz面对称, xzdv 0,
由 x,y 位置对称性知 x2dv y2dv,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
dx
2
1 2
x
d
y
2
f (x, y, z)dz
01
x
3. 设
计算
提示: 利用对称性
《高等数学教学课件》2011 第三节 三重积分的计算法
2a cos
2 2 d
0
2
3 2a cos
4a 2 r 2 rdr
2
2 3
(4a
2
r
2)2
d
2
0
2 3
3
2 [8a 3 (4a 2 4a 2 cos 2 ) 2 ]d
4 3
2 (8a3 8a3 sin3 )d
0
2
32 3
a
3
(
2
2 sin3 d )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
2 sind )
0
32 3
a
3
(
2
2 3
).
例10、将直角坐标形式的二次积分
2
4 x x2
4
4 x x2
I dx
f ( x, y)dy dx
0
2 x x2
2
0
f ( x, y)dy
化为极坐标形式的二次积分.
解
4 cos
I 2 d rf (r cos , r sin )rdr.
D3 : x 2 y 2 2a 2 , x 0, y 0
( a e x2 dx)2 a e x2 dx a e y2 dy e ( x2 y2 )dxdy
0
0
e ( x2 y2 )dxdy
e
0
(
x
2
y
2
)
D2
dxdy
e ( x2 y2 )dxdy
D1
D2
( )
a 0
e x2 lim
a
dx)2
4
(1
4
(1
三重积分的先二后一积分法(课堂PPT)
椭圆
x2 a2
y2 b2
1
的面积:
A ab
b
a
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
10.3 三重积分 7
Dz
{(x,
y) |
x2 a2 (1
z2 c2
)
y2 b2 (1
z2 c2
)
1}
dxdy
Dz
a2
(1
z2 c2
)
b2
(1
z2 c2
)
ab(1
z2 c2
)
椭圆的面积
z
2
dxdydz
Dz
d
z
DzLeabharlann c截面的质量 “切片法”
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
10.3 三重积分 4
适合“先二后一”积分法的一种特殊情形
d
f (x, y, z)dV c dz f (x, y, z)dxdy
Dz
d
D(z)
如果被积函数仅为 z 的函数，则
z
d
c
f (z)dV c dz f (z)dxdy
Dz
{(x,
y) |
x2 a2
y2 b2
1
z2 c2 }
椭圆域
四川大学数学学院 徐小湛
May 2012
例2 计算三重积分
z 2 dxdydz
10.3 三重积分 6
z
Dz
解 用“先二后一”的方法
o
y
x
{(x,
y, z) | c
z
c,
x2 a2
y2 b2
1
z c
2 2
}
三重积分的计算
f (x, y, z)dxdydz
b
dx
y2 ( x)dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz
a y1 ( x) z1 ( x, y)
上式是先对 z，次对 y，最后对 x 的三次积分.
注: 类似地，空间区域 还有 yz 型和 zx 型的.
当 是 xy 型或 yz 型或 zx 型空间区域时，都 可以把三重积分按先“定积分”后“二重积分” 的步骤来计算.
y, z）dV
lim
0
i
1
f（
i
,
i
,
i）
Vi
其中dV 称为体积元素.
若 f ( x, y,z) 在有界闭区域上连续，则 f ( x, y,z) 在上 的
三重积分必定存在.
注: 1． f ( x, y, z)dV f ( x, y, z) dxdydz ，
直角坐标系下的体积元素
2. dxdydz 的体积 ( f ( x, y, z) 1 ).
xdxdydz
0
dx 0
2
dy 0
xdz
1
xdx
0
1 x
2 (1
0
x 2 y)dy
1 4
1
(x
2x2
x3
)dx
0
1. 48
例 2. 计算三重积分 I ycos( x z)dxdydz ，
其中 是由抛物柱面 y
x z 所围成的区域.
2
x 及平面 y 0, z 0,
z
2
n
m
lim
0
i
( i
1
,i
,
i
)Vi
三重积分的定义
[理学]三重积分习题课ppt课件
![[理学]三重积分习题课ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/4ee4da0b856a561253d36fa0.png)
2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
2
d
3 d
R
r
2
cos
2
r
2
s
in
dr
0
0
0
59 R5 480
解法2：利用柱面坐标计算。
由于 在 x平oy面的投影区域
故在柱面坐标下，
D xy
:
x2
；y 2
3R2 4
: R R2 r2 z R2 r2 , 0 r 3R , 0 2 2
主要内容
三重积分
一、三重积分的概念
n
1．定义:
f (x,
y,
z)dv lim 0 i1
f (i ,
i ,
i )vi
2．物理意义: M (x, y, z)dv
表示体密度为 ( x, y, z) 的空间物体 的质量。
二、三重积分的性质
三、三重积分的计算方法
1．利用直角坐标计算
f (x, y, z)dv f ( x, y, z)dxdydz
e z tan(x 2 y3 )dv 3dv
0 3dv 3
[e z tan(x 2，y 3 ) 3]dv z 1
o
y
1
x
于是有
z2dxdydz
2
d
3R
2 dr
R2 r2 z2 rdz
0
0
R R2 r2
2
3R
2 r[( R2 r 2 )3 2 ( R R2 r 2 )3 ]dr
30
59 R5 480
解法3：用“先二后一”法计算。
用平面 z R将积分区域
2
划分为两部分：
课件：三重积分的计算(柱坐标和球面坐标)
9
旋转面方程为 x2 y2 2z,
I 28dz ( x2 y2 )dxdy
Dz
28dz ( x2 y2 )dxdy x2 y22z
28dz 02 d 0 2z r 3dr
282
4z2 dz 4
336。
例 3．一形体 是由平面yz4, z0和圆柱面
x2 y2 16 所围成，已知其上任一点的密度与该
点到 z 轴的距离 成正比，求其质量 m 。
解：密度函数 ( x, y,z)k x2 y2 (k0) ，则 z
m k x2 y2 dxdydz 。
x2 y2 16
yz4
4
在 xoy 平面上的投影区域为 Dxy {( x, y) x2 y2 16} ，
o 4y
x
10
在柱面坐标下
{(,,z) 02, 04, 0 z4sin } ，
x sincos rcoscos rsinsin
∵ J ( x, y,z) sinsin rcossin rsincos r 2sin
( r ,,)
cos rsin
0
∴ f (x, y,z)dxdydz
f (rsincos,rsinsin,rcos)r2 sindrdd
24
sincos rcoscos rsinsin
奇函数， 有 xdv 0.
( x z)dv zdv 利用球面坐标
2
d
4 d
1 r cos r2 sin dr
.
0
0
0
8
例6 计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
解 被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
10-球面坐标系下计算三重积分PPT
球面坐标下计算三重积分一、球面坐标介绍xyzoϕr∙∙θAπθ≤≤0的球面坐标．就叫做点，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设M r xoy M P OP x z z OM M O r r M z y x M ϕθϕθϕθ),,(,r +∞<≤0.20πϕ≤≤,0πθ≤≤),,(z y x M )0,,(y x P⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin θϕθϕθr z r y r x 球面坐标与直角坐标的关系为如图，Pxyzo ),,(z y x M ϕr∙∙θzyxA，轴上的投影为在点，面上的投影为在设点A x P P xoy M .,,z PM y AP x OA ===则为常数r 为常数θ为常数ϕ如图，三坐标面分别为圆锥面；球面；半平面．二、直角坐标到球面坐标的变换公式⎰⎰⎰Ω=dxdydz z y x f ),,(⎰⎰⎰Ω.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2ϕθθθϕθϕθd drd r r r r f 球面坐标系中的体积元素为,sin 2ϕθθd drd r dV =ϕd rxyzodrϕθd r sin θrd θd θϕϕd θsin r三、例题例1 计算 ⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I )(22，其中Ω是锥面222z y x =+，与平面a z =)0(>a 所围的立体.a z = ,cos θa r =⇒222z y x =+,4πθ=⇒,20,40,cos 0:πϕπθϕ≤≤≤≤≤≤Ω∴a r 解采用球面坐标：⎰⎰⎰Ω+=dxdydzy x I )(22drr d d a ⎰⎰⎰=40cos 03420sin πθπθθϕθθθππd a)0cos (51sin 255403-⋅=⎰.105a π=。
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三重积分是将二重积分的概念推广到三维空间，其中被积函数是三元函数，积分区域是空间区域。其物理背景可以理解为以(x, y, z)为体密度函数的空间物体的质量。在角坐标系中，三重积分可以通过将空间区域分割成许多小长方体来进行计算，体积元素为dxdydz。具体计算时，三重积分可以化成三次积分，有先单后重和先重后单两种类型。先单后重方法是先对z进行积分，得到的结果再作为xoy平面上的二重积分进行计算。通过投影和穿越法定限，可以确定三次积分的上下限。文档还通过两个例子详细展示了如何将三重积分化成三次积分，并进行了具体计算。这些步骤包括投影得到平面区域，穿越法定限确定积分的上下限，最后按照指定的顺序进行三次积分计算。