【三维设计,广东(文)苏版】2019高考数学第二轮练习考案：第38课三角函数的性质文
【三维设计,广东(文)人教版】高考数学第一轮复习考案：第38课 三角函数的性质(2)课件 文
A．最小正周期为 的偶函数 B．最小正周期为 的奇函数 C．最小正周期为 的偶函数
2 D．最小正周期为 的奇函数
2
【答案】A
【解析】 f (x) 2 cos2 x 1 cos 2x ，故选 A．
【变式】（2012 全国高考）若函数 f (x) sin x ( [0, 2 ]) 是偶函数，则 （ ）
考点3 三角函数的综合
【例 3】（2012 日照联考）已知向量 m (2 cos2 x,sin x), n (1, 2 cos x) ．
（1）若 m n 且 0 x ，试求 x 的值；
（2）设 f (x) m n ．试求 f (x) 的对称轴方程和对称中心．
【解析】（1）∵ m n ,
28
【变式】（2012 门头沟一模）已知向量 a (sin x, 1) ， b ( 3 cos x, 2) ，
函数 f (x) (a b)2 ．
（1）求函数 f (x) 的最小正周期；
（2）若
x [
,
] ，求函数
f
(x)
的值域．
42
【解析】（1）∵ f (x) (a b)2 (sin x 3 cos x)2 (1 2)2
3
A．关于点 ( ，0) 对称
3
B．关于点 ( ，0) 对称
4
C．关于直线 x 对称
4
D．关于直线 x 对称
3
【答案】A
3．（2012 福建高考）函数 f (x) sin(x ) 的图象的一条对称轴是
4
（）
A． x
4
C． x
4
B． x
2
D． x
【三维设计,广东(文)苏版】2019高考数学第二轮练习考案：第48课数列的综合应用文
【三维设计，广东（文）苏版】2019高考数学第二轮练习考案：第48课数列的综合应用文1．〔2019东城质检〕把数列121n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的所有数按照从大到小，左大右小的原那么写成如右图所示的数表，第k 行有12k -个数，第k 行的第s 个数〔从左数起〕记为(,)A k s ，那么12011这个数可记为A ( ______)【解析】设数表的第一个数的分母为数列{}n a ，∴第k 行的第1个数为121k -， 令11212011k ≥-，且111212011k +<-， ∴第10行的第1个数为11023， ∴201110232(1)s =+-，解得495s =，∴(10,495)A ． 2．〔2019朝阳二模〕在如下图的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)i j i j i j a a a i j *+++=+∈N ，那么此数表中的第2行第7列的数是 ；记第3行的数3，5，8，13，22，39，⋅⋅⋅为数列{}n b ，那么数列{}n b 的通项公式是 ．【答案】65，121n n a n -=++ 【解析】直接写出前两行，由上数表可知第2行第7列的数是65．∵第3行的数3，5，8，13，22，39，⋅⋅⋅为数列{}n b ，3．〔2019江门一模〕某学校每星期一供应1000名学生A 、B 两种菜。
调查说明，凡在这星期一选A 种菜的，下星期一会有%20改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有%30改选A 种菜．设第n 个星期一选A 、B 两种菜分别有n a 、n b 名学生．〔1〕假设5001=a ，求2a 、3a ；〔2〕求n a ，并说明随着时间推移，选A 种菜的学生将稳定在600名附近．【解析】〔1〕550%30)5001000(%)201(5002=⨯-+-⨯=a ， 〔2〕*n N ∀∈，1>n ，∴{}600-n a 是以6001-a 为首项，21为公比的等比数列,第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 … … …第1行 1 2 4 8 16 32 64 …第2行 2 3 5 9 17 33 65 …∙∙∙∙∙∙119117115111191715131随着时间推移，即n 越来越大时，121-n 趋于0, ∴1121)600(-⨯-n a 趋于0，n a 趋于600并稳定在600附近．4．〔2019山东诸城质检〕某少数民族的刺绣有着悠久的历史,以下图〔1〕、〔2〕、〔3〕、〔4〕为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形.〔1〕求出(5)f 的值；〔2〕利用合情推理的〝归纳推理思想〞，归纳出(1)f n +与()f n 之间的关系式，并根据你得到的关系式求出()f n 的表达式；〔3〕求111(1)(2)1(3)1f f f +++-- (1)()1f n +-的值. 【解析】〔1〕(5)41f =．〔2〕(2)(1)41f f -=⨯，(3)(2)42f f -=⨯， 由上式规律，得出(1)()4f n f n n +-=， 上述n 个等式相加可得： 〔3〕当2n ≥时，11111()()12(1)21f n n n n n==----．5．设12,,,,n C C C L 它们的圆心都在x 轴的正半轴上，且都与直线33y x =相切，对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，{}n r 为递增数列．(1)证明：{}n r 为等比数列；〔2〕设11r ={}nn r 的前n 项和．【解析】将直线33y x =的倾斜角记为θ， 那么有31tan ,sin 32θθ==，设n C 的圆心为(,0)n λ，那么由题意可知12n n r λ=，得2n n r λ=；同理112n n r λ++=，将2n n r λ=代入，解得13n n r r +=， ∴{}n r 为公比3q =的等比数列． 〔2〕∵11r =，3q =， ∴13n n r -=，从而13n n n nr -=，记123123n n nS r r r r =+++⋅⋅⋅+，那么有 ①-②得231211111()333333n n n nS -=++++⋅⋅⋅+-6〔2019佛山一模〕设*n N ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M ，与曲线y =(,)n n N x y ，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a ．〔1〕用n x 表示n R 和n a ；〔2〕假设数列{}n x 满足：1143,3n n x x x +=+=． ①求常数p 的值使数列{}1n n a p a +-⋅成等比数列； ②比较n a 与23n ⋅的大小．【解析】(1) y =n C 交于点N ,那么2222,n nn n n n R x y x x R =+=+=,由题可知，点M 的坐标为()0,n R ，从而直线MN 的方程为1n nx ya R +=, 由点(,)n n N x y 在直线MN 上得:1n nn nx y a R +=,将n R =n y =: 1n n a x =+． (2)由143n n x x +=+得：114(1)n n x x ++=+， 又114x +=，故11444n n n x -+=⋅=， ①11142(42)n n n n n n a p a p +++-⋅=+-⋅+ 令211()n n n n a p a q a p a +++-⋅=-⋅得：由等式(164)2(42)(4)2(2)n n p p q p q p -⋅+-=-⋅+-对任意*n N ∈成立得：164(4)842(2)6p q p pq p q p p q -=-=⎧⎧⇔⎨⎨-=-+=⎩⎩，解得：24p q =⎧⎨=⎩或42p q =⎧⎨=⎩． 故当2p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为4的等比数列；当4p =时，数列{}1n n a p a +-⋅成公比为2的等比数列． ②由①知：42n n n a =+，当1n =时，111142632a =+==⋅； 当2n ≥时，4223n n n n a =+>⋅．事实上,令()(1)(0)n n f x x x x =+->,那么11()[(1)]0n n f x n x x --'=⋅+->， 故()(1)(0)n n f x x x x =+->是增函数, 即4223n n n n a =+>⋅．。
【教育资料】【三维设计,广东(文)人教版】高考数学第一轮复习考案：第38课 三角函数的性质(2) 文学习专
第38课 三角函数的性质(2)1．（2019韶关二模）函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+（R x ∈）是（ ） A ． 周期为π的奇函数 B ． 周期为π的偶函数C ． 周期为π2的奇函数D ． 周期为π2的偶函数 【答案】A 【解析】1cos(2)1cos(2)22()22x x f x ππ+-++=- 1sin 21sin 222x x +-=-sin 2x =，故选A ． 2．（2019新课标高考）已知0ω>，πϕ<<0，直线4π=x 和45π=x 是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，则ϕ=（ ）A ．4πB ．3πC ．2π D ．34π 【答案】A 【解析】∵5244T ππ=-，∴2T π=． ∵4π=x 是函数的对称轴， 3．（2019东莞一模）已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+⋅=x x x x f ωωω（其中0>ω），直线1x x =、2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为2π． ⑴求ω的值； ⑵若32)(=a f ，求)465sin(a -π的值． 【解析】⑴)32sin(22cos 32sin )(πωωω+=+=x x x x f ， ⑵)32sin(2)(π+=x x f ，由32)(=a f ，得31)32sin(=+πα， 4．（2019韶关一模）已知函数2()2cos cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π．（1）求()3f π的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间及其图象的对称轴方程。
【解析】（1）()cos 22f x x x ωω=+∵()f x 的最小正周期为π，∴22ππω=，解得1ω=， （2）令222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈． 令2()62x k k Z πππ+=+∈， 解得1()26x k k Z ππ=+∈， ∴函数()f x 的对称轴方程是1()26x k k Z ππ=+∈．5．（2019东莞二模）已知向量(cos sin ,sin )x x x =+a ，(cos sin ,2cos )x x x =-b ，设()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值及最小值． 【解析】（1）()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+a b∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==．（2）∵44x ππ-≤≤，∴32444x πππ-≤+≤，∴1)4x π-≤+≤∴当242x ππ+=，即8x π=时，()f x ； 当244x ππ+=-，即4x π=-时，()f x 有最小值1-．6． (2019珠海质检)已知：(cos ,sin )A x x ，其中02x π≤≤，(1,1)B ，OA OB OC +=，2()f x OC =．（1）求()f x 的对称轴和对称中心；（2）求()f x 的单调递增区间．【解析】（1）∵(cos ,sin )OA x x =， (1,1)OB =．令,42x k k Z πππ+=+∈，得,4x k k Z ππ=+∈．∴对称轴是,4x k k Z ππ=+∈．令,4x k k Z ππ+=∈，得,4x k k Z ππ=-∈． ∴对称中心是(,3)4k ππ-，k Z ∈． （2）令22,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，∴()f x 的单增区间是3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈．。
2019-2020年高考数学专题三：三角函数教案苏教版
32
2
y
sin(3x )
；
2
62
[ 思路分析 ] 略
[ 小结 ] 正弦曲线问题是三角函数性质、 图象问题中的重点内容， 必须熟练掌握。
上述问题的解答可以根据正弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图
来验证答案或得到答案。
cos x sin x sin x cos x sin 2x
∴当时，
分析：在已知条件下， （ 1）、（ 2）两处不能同时取等号。 y a2 (1 tan2 x) b 2(1 cot 2 x) a 2 b 2 ( a 2 tan2 x b 2 cot 2 x)
正解： a2 b2 2ab (a b) 2
2019-2020 年高考数学 专题三： 三角函数教案 苏教版
【考点分析】
1、掌握三角函数概念，其中以三角函数的定义学习为重点。 （理科：兼顾反三
角）
2、提高三角函数的恒等变形的能力， 关键是熟悉诱导公式、 同角关系、 和差角
公式及倍角公式等，掌握常见的变形方法。
3、解决三角函数中的求值问题，关键是把握未知与已知之间的联系。
2x 2k
(k Z)
即 分析：忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了。
正解：即，由得
3
2k
x
2k
(k Z)
4
4
4
∴ 2k x 2k
四、 忽视角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性
例 4． 设、为锐角，且 +，讨论函数的最值。
(k Z) 2
错解 y 1 1 (cos 2 cos 2 ) 1 cos(
[ 思路分析 ] ∵ sin( 2 ) sin( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 )
2019江苏高考数学二轮练习教学案(祥解)--三角函数的图象与性质
2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--三角函数的图象与性质注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
1.掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质、2.高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现、因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)、3.三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易、这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查、在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练、1.函数y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数、2.函数f(x)＝x －cosx 在[0，＋∞)内的零点个数为________、3.函数f(x)＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________、4.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，假设f(x)的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，f(x)＝sinx ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6的值为________、【例1】设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.(1)假设点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f(θ)的值； (2)假设点P(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值、【例2】函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如下图、(1)求f(0)的值；(2)假设0<φ<π，求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的取值范围、【例3】函数f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间、【例4】函数f(x)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R .(1)求f(x)的最小正周期；(2)假设h(x)＝f(x ＋t)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值； (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求实数m 的取值范围、1.(2017·江西)角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴、假设P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，那么y ＝________.2.(2017·全国)函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________、3.(2017·全国)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值为________、4.(2017·广东)函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω>0)，y ＝f(x)的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，那么f(x)的单调递增区间是________、(2017·四川)函数f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1(x ∈R )、(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)假设f(x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos2x 0的值、5.(2017·福建)函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2. (1)假设cos π4cos φ－sin 34πsin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，假设函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f(x)的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数、(2017·重庆)(本小题总分值13分)设函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 4－π6－2cos 2πx 8＋1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)假设函数y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43时，y ＝g(x)的最大值、解：(1)f(x)＝sin π4xcos π6－cos π4xsin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x(3分) ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3，(5分)故f(x)的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(7分)(2)(解法1)在y ＝g(x)的图象上任取一点(x ，g(x))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g(x))、由题设条件，点(2－x ，g(x))在y ＝f(x)的图象上，从而g(x)＝f(2－x)＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π42－xπ3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4x －π3＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π3.(10分)当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g(x)max ＝3cos π3＝32.(13分)(解法2)因区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43关于x ＝1的对称区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2，且y ＝g(x)与y ＝f(x)的图象关于x ＝1对称，故y ＝g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为y ＝f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上的最大值，由(1)知f(x)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π3， 当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6，因此y ＝g(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43上的最大值为g(x)max ＝3sin π6＝32.(13分)第7讲三角函数的图象与性质1.假设π4＜x ＜π2，那么函数y ＝tan2xtan 3x 的最大值为________、【答案】－8解析：令tanx ＝t ∈(1，＋∞)，y ＝2t 41－t 2，y ′(t)＝－4t3t ＋2t －21－t22得t ＝2时y 取最大值－8. 2.函数f(x)＝2cos2x ＋sin 2x.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f(x)的最大值和最小值、解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3＝－1＋34＝－14.(2)f(x)＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x)＝3cos 2x －1，x ∈R .因为cosx ∈[－1,1]，所以当cosx ＝±1时，f(x)取最大值2；当cosx ＝0时，f(x)取最小值－1.基础训练1.π奇解析：y ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin2x.2.1解析：在[0，＋∞)内作出函数y ＝x ，y ＝cosx 的图象，可得到答案、3.－2＋1解析：f(x)＝2cos 2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.4.－12解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12. 例题选讲例1解：(1)根据三角函数定义得sin θ＝32，cos θ＝12，∴f(θ)＝2.(此题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π3，从而求出f(θ)＝2)、(2)在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，∴θ＝0，f(θ)min ＝1；θ＝π3，f(θ)max ＝2.(注：注意条件，使用三角函数的定义；一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y ＝Asin(ωx ＋φ)的形式)例2解：(1)由题图可知：A ＝2，T 4＝712π－π3＝π4，ω＝2， 2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ， f(0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π3＝62.(2)φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.即f(x)的取值范围为[0，2]、(注：此题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)变式训练A 为△ABC 的内角，求y ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A 的取值范围、解：y ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A 2＝1＋cos2A 2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3cos2A －sin 4π3sin2A ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos2A ＋32sin2A ＝1＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3.∵A 为三角形内角，∴0＜A ＜π，∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π3≤1，∴y ＝cos 2A ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋A 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.例3解：(1)f(x)＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ωx ＋φ12cos ωx ＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6. 因为f(x)为偶函数，所以对x ∈R ，f(－x)＝f(x)恒成立，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ωx ＋φ－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6. 即－sin ωxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6 ＝sin ωxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＋cos ωxsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6， 整理得sin ωxcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0.因为ω＞0，且x ∈R ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝0. 又因为0＜φ＜π，故φ－π6＝π2. 所以f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝2cos ωx. 由题意得2πω＝2×π2，所以ω＝2. 故f(x)＝2cos2x. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象， 所以g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π≤2x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，g(x)单调递减， 因此g(x)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )、例4解：(1)函数可化为f(x)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f(x)的最小正周期为π.(2)h(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π，k ∈Z . 又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，∴f(x)∈[1,2]、|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m ＜f(x)＋3，∴2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4. 变式训练设函数f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4，x ∈R ，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t)、(1)求g(t)的表达式；(2)讨论g(t)在区间(－1,1)内的单调性并求极值、解：(1)f(x)＝－cos 2x －4tsin x 2cos x2＋4t 3＋t 2－3t ＋4＝sin 2x －2tsinx ＋4t 3＋t 2－3t ＋3 ＝(sinx －t)2＋4t 3－3t ＋3.由于(sinx －t)2≥0，|t|≤1，故当sinx ＝t 时，f(x)达到其最小值g(t)，即 g(t)＝4t 3－3t ＋3.(2)g ′(t)＝12t 2－3＝3(2t ＋1)(2t －1)，－1＜t ＜1. 列表如下：由此可见，g(t)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调减，极小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4.高考回顾1.—8解析：sin θ＝y16＋y 2＝－255，解得y ＝－8或8(舍)、2.π解析：f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－ 2.3.2＋34解析：y ＝cosx ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cosx ＋12sinx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z 解析：f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω＞0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.∵周期为π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，即k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z . 5.解：(1)由f(x)＝23sinxcosx ＋2cos 2x －1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以函数的最小正周期为T ＝2π2＝π. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f(x)为增函数，而在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，函数f(x)为减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2为最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin 7π6＝－1为最小值、(2)由(1)知，f(x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 又由f(x 0)＝65，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.因为x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，那么2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＜0， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，于是cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6， ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6 ＝－45×32＋35×12＝3－4310.6.解：(1)由cos π4cos φ－sin 34πsin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，函数的图像向左平移m 个单位后对应的函数为g(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋mπ4，g(x)是偶函数，当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k∈Z )，从而最小正实数m ＝π12.。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 规范答题示例1 解三角形学案
规范答题示例1 解三角形典例1 (14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．审题路线图 (1)利用同角公式、诱导公式→求得sin A ，sin B →利用正弦定理求b (2)方法一余弦定理求边c →S △ABC ＝12ac sin B方法二用和角正弦公式求sin C →S △ABC ＝12ab sin C评分细则 (1)第(1)问：没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分；写出正弦定理，但b 计算错误，得1分． (2)第(2)问：写出余弦定理，但c 计算错误，得1分；求出c 的两个值，但没舍去，扣2分；面积公式正确，但计算错误，只给1分；若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分．跟踪演练1 (2018·江苏南京师大附中模拟)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，向量m ＝(－1，3)，n ＝(cosA ，sin A )，且m ·n ＝1.(1)求A 的值；(2)若1＋sin 2B cos 2B －sin 2B ＝－3，求tan C 的值．解 (1)因为m ·n ＝1，所以(－1，3)·(cos A ，sin A )＝1， 即3sin A －cos A ＝1， 则2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A ·32－cos A ·12＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由题意知1＋2sin B cos B cos 2B －sin 2B ＝－3，整理得 sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，易知cos B ≠0，所以tan 2B －tan B －2＝0， 所以tan B ＝2或tan B ＝－1，当tan B ＝－1时cos 2B －sin 2B ＝0，不合题意舍去， 所以tan B ＝2，故tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝8＋5311.。
【三维设计,广东(文)苏版】2019高考数学第二轮练习考案：第34课两角和与差及二倍角公式文
【三维设计，广东（文）苏版】2019高考数学第二轮练习考案：第34课两角和与差及二倍角公式文1．〔2019深圳一模〕过点(0,1)的直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，那么tan()αβ+=〔 〕A 、73-B 、73C 、57D 、1【答案】D【解析】∵直线l 的斜率为2，∴tan 2α=．∵直线l 过点(0,1)，∴1tan 3β=-．∴tan()αβ+=tan tan 11tan tan αβαβ+=-． 2．〔2019丰台一模〕向量(sin ,cos )θθ=a ，(3,4)=b ，假设⊥a b ，那么tan 2θ=〔 〕A 、247 B 、67 C 、2425- D 、247- 【答案】A【解析】∵⊥a b ，∴3sin 4cos 0θθ+=，∴4tan 3θ=-，∴2242()2tan 243tan 241tan 71()3θθθ-===---． 3．〔2019韶关二模〕A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记AOB α∠=， 假设点A 的纵坐标为35．那么sin α=_________； tan 2α=_________． 【答案】35，247- 【解析】∵sin α=35，4cos 5α=-，∴3tan 4α=-，∴22tan 24tan 21tan 7ααα==--． 4．〔2019丰台二模〕cos 2sin θθ=，那么cos 2θ= ． 【答案】35 【解析】222222cos sin cos 2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+22224sin sin 34sin sin 5θθθθ-==+． 5．〔2019广州一模〕函数()tan(34f x x π=+）． 〔1〕求()9f π的值； 〔2〕设3(,)2απ∈π，假设()234f απ+=，求cos()4απ-的值． 【解析】〔1〕()9f πtan()34ππ=+ tan tan 341tan tan 34ππ+=ππ-〔2〕∵3(tan 3444f ααπππ+=++）（） ()tan α=+πtan 2α==． ∴sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 由①、②解得21cos 5α=． 6．(2019潍坊模拟)如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，点P 的坐标为34(,)55-． (1)求sin 2cos 211tan ααα+++的值； (2)假设0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，求sin()αβ+．【解析】〔1〕由得：34,si os 5c n 5αα=-=． 〔2〕∵0OP OQ ⋅=u u u r u u u r ，2παβ-=，∴2πβα=-，。
江苏省2019高考数学二轮复习 专题一 三角函数与平面向量 第1讲 三角函数的图象与性质学案
第1讲 三角函数的图象与性质[考情考向分析] 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1 (1)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2，1)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________.答案 －7解析 由角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,1)，可得x ＝2，y ＝1，tan α＝y x ＝12，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝11－14＝43， ∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2αtan π4＝43＋11－43×1＝－7.(2)已知曲线f (x )＝x 3－2x 2－x 在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin(2π－α)·cos(π＋α)的值为________． 答案 85解析 由f (x )＝x 3－2x 2－x 可知f ′(x )＝3x 2－4x －1， ∴tan α＝f ′(1)＝－2，cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－2cos 2α－3sin ()2π－αcos ()π＋α＝(－sin α)2－2cos 2α－3sin αcos α ＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos α＝sin 2α－2cos 2α－3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－3tan α－2tan 2α＋1 ＝4＋6－25＝85.思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系进行化简的过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等． 跟踪演练1 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π3，cos 5π3，则sin(π＋α)＝________. 答案 －12解析 由诱导公式可得， sin 5π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－sin π3＝－32， cos5π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝cos π3＝12， 即P ⎝⎛⎭⎪⎫－32，12， 由三角函数的定义可得，sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin ()π＋α＝－sin α＝－12.(2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝________. 答案 －16解析 ∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则sin (π－α)－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α5sin (2π＋α)＋2cos (2π－α)＝sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝2cos α－4cos α10cos α＋2cos α＝－212＝－16.热点二 三角函数的图象及应用例2 (1)(2018·江苏扬州中学模拟)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，则φ＝________. 答案5π6解析 y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位长度后，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴－π2＋φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又φ∈[－π，π]，∴φ＝5π6. (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)()ω>0，|φ|<π的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]，则θ＝________.答案π3解析 由函数f (x )的图象可知，A ＝2，T 2＝13π12－7π12＝π2，解得T ＝π，所以ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 当x ＝π3时，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝0， 又|φ|<π，解得φ＝－2π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3， 因为函数f (x )的图象向右平移5π12个单位长度后得到函数g (x )的图象，所以g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π12－2π3＝2cos 2x ， 若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，θ上的值域为[－1,2]， 则2cos 2θ＝－1，则θ＝k π＋π3，k ∈Z ，或θ＝k π＋2π3，k ∈Z ，所以θ＝π3.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向． 跟踪演练2 (1)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度后，所在图象对应的函数解析式为________________________． 答案 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析 把函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π4个单位长度，所得图象的解析式是y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________；函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π上的零点为________．答案 27π12解析 从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为π3，－π6，从而求得函数的最小正周期为T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，根据T ＝2πω可求得ω＝2.再结合题中的条件可以求得函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2x －π6＝k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，结合所给的区间，整理得出x ＝7π12.热点三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期是π. (1)求函数f (x )在区间(0，π)上的单调递增区间；(2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝4cos ωx ⎝⎛⎭⎪⎫sin ωx cosπ6－cos ωx sin π6 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1－1 ＝3sin 2ωx －cos 2ωx －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1，因为最小正周期是2π2ω＝π，所以ω＝1，从而f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )，所以函数f (x )在(0，π)上的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，2， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π8上的最大值和最小值分别为1，6－22－1.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用类题目的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 (1)(2018·江苏泰州中学调研)若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象关于坐标原点对称，且在y 轴右侧的第一个极值点为x ＝π6，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝________. 答案22解析 由题意得f (x )为奇函数，∴φ＝0， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±1，∴π6ω＝π2(ω>0)， ∴ω＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＝22. (2)已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，则函数f (x )＝－cos 2x －sin x ·sin π6＋cos 2x ＋1716的最小值为________． 答案1716解析 因为f (x )＝－cos 2x －sin x sin π6＋cos 2x ＋1716，所以f (x )＝2sin 2x －12sin x ＋cos 2x ＋116＝sin 2x －sin x 2＋1716＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋1.设t ＝sin x ，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，所以12≤t ≤1.又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以当t ＝12时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋1取得最小值，且y min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－142＋1＝1716，即函数f (x )的最小值为1716.1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________． 答案 －332解析 f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴当cos x ＝12时，f (x )有最小值．又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－32时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝－332.2．(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是__． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．3．(2018·江苏)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________． 答案 －π6解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z . ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴取k ＝0，得φ＝－π6.4．(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______． 答案 3解析 由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时， f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，19π6，∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3.5．(2018·江苏溧阳中学联考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.答案 23解析 由题图知T 2＝11π12－7π12＝π3，∴T ＝2π3，∴ω＝3.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝A ，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×3π4＋φ＝1，∴9π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π4， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π4＝－23，∴A ＝232，∴f (0)＝232×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝232×22＝23.6．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2 与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为________．答案1633 解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a2，由两点间距离公式，得PM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝25， 解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π6，由P (2,0)及|φ|≤π2，得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，得f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x －π3，从而f (0)＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－8，得A ＝163 3.7．(2018·江苏海安高级中学模拟)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，横坐标分别为1,7.记点P (2，f (2))，点Q (5，f (5))，则MP →·NQ →的值为________．答案3－4解析 由题图知T ＝12，∴ω＝π6，又f (1)＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×1＋φ＝1， ∴π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，∴f (2)＝3，f (5)＝－1，∴P (2，3)，Q (5，－1)， ∴MP →·NQ →＝(1，3－2)·(－2,1)＝3－4.A 组 专题通关1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32解析 设点Q 的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.2．已知tan α＝－2，且π2<α<π，则sin α＋cos α＝________.答案55解析 因为tan α＝－2，且π2<α<π，sin 2α＋cos 2α＝1，故sin α＝25，cos α＝－15， 所以sin α＋cos α＝25－15＝15＝55. 3．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值是________．答案 12解析 ∵T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12.4．(2018·南通市通州区模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，若所得到图象关于原点对称，则φ的最小值为________． 答案π12解析 因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)－π6，所以2φ－π6＝k π(k ∈Z )，所以φ＝π12＋k π2(k ∈Z )，因为φ>0，所以φmin＝π12. 5.已知函数f (x )＝3sin ωx －2cos2ωx2＋1(ω>0)，将f (x )的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，所得函数g (x )的部分图象如图所示，则φ的值为________．答案π12解析 ∵f (x )＝3sin ωx －2cos2ωx 2＋1 ＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6， 则g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω(x －φ)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωφ－π6.由题图知T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π6－2φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2φ＝2，即2π3－2φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝π12－k π，k ∈Z .又0<φ<π2，∴φ的值为π12.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2，f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，若|x 1－x 2|的最小值为12，且f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则f (x )的单调递增区间为________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z 解析 由f (x 1)＝2，f (x 2)＝0，且|x 1－x 2|的最小值为12，可知T 4＝12，∴T ＝2，∴ω＝π，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，则φ＝±π3＋2k π，k ∈Z ， ∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.令－π2＋2k π≤πx ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56＋2k ≤x ≤16＋2k ，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－56＋2k ，16＋2k ，k ∈Z .7．(2017·全国Ⅲ改编)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论正确的是________．(填序号)①f (x )的一个周期为－2π；②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称；③f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减． 答案 ①②③解析 因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，①正确；因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，②正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )， 得x ＝k π－5π6，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，③正确；因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，④错误． 8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x －π)＝f (x )－sin x ，当－π<x ≤0时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝________. 答案32解析 ∵f (x －π)＝f (x )－sin x ， ∴f (x )＝f (x －π)＋sin x ，则f (x ＋π)＝f (x )＋sin(x ＋π)＝f (x )－sin x . ∴f (x ＋π)＝f (x －π)，即f (x ＋2π)＝f (x )． ∴函数f (x )的周期为2π， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫672π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋sin 2π3. ∵当－π<x ≤0时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 018π3＝0＋sin 2π3＝32.9．(2018·扬州质检)已知函数f (x )＝1＋4cos x －4sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，则f (x )的值域为________． 答案 [－4,5]解析 f (x )＝1＋4cos x －4sin 2x ＝1＋4cos x －4(1－cos 2x ) ＝4cos 2x ＋4cos x －3 ＝4⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－4，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－4∈[－4,5]，故函数的值域为[－4,5]．10．已知向量m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，设函数f (x )＝m ·n ＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且当ω∈[0,3]时，求函数f (x )的单调增区间；(2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围．解 m ＝(3sin ωx,1)，n ＝(cos ωx ，cos 2ωx ＋1)，f (x )＝m ·n ＋b ＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＋1＋b＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＋b ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋32＋b .(1)∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝3k ＋1(k ∈Z )，∵ω∈[0,3]，∴ω＝1， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32＋b ， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，4π3，∴当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减．又f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>0≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12或f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点， 即sin 4π3≤－b －32<sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. B 组 能力提高11.如图，单位圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，∠AOC ＝α，若BC ＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案 35解析 ∵点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，设∠AOB ＝θ，∴sin(2π－θ)＝－35，cos(2π－θ)＝45，即sin θ＝35，cos θ＝45，∵∠AOC ＝α，BC ＝1，∴θ＋α＝π3，则α＝π3－θ，则3cos2α2－sin α2cos α2－32＝32cos α－12sin α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＝35. 12．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．答案 2＋ 3解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取得最大值，即y max＝2×1＝2.当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3取得最小值，即y min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3，因此y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.13．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.14．(2018·株洲质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，若f (x )>2对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，π3恒成立，则φ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6解析 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为π，所以函数周期为T ＝π，ω＝2， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π24，π3时，2x ＋φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋φ，2π3＋φ，且|φ|≤π2，由f (x )>2知，sin(2x ＋φ)>12，所以⎩⎪⎨⎪⎧π6≤π12＋φ，2π3＋φ≤5π6，解得π12≤φ≤π6.。
江苏省2019高考数学二轮复习专题一三角1.4大题考法_三角函数讲义含解析201905231130
第四讲大题考法——三角函数题型(一)结合三角函数定义进行化简求值主要考查以三角函数定义为背景的三角函数的化简和求值问题.[典例感悟][例1]如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单2 5位圆交于点B，AB＝.5(1)求cos β的值；5(2)若点A的横坐标为，求点B的坐标．132 5( 5 )12＋12－2OA2＋OB2－AB2 3 3 [解](1)在△AOB中，cos∠AOB＝＝＝，即cos β＝.2OA·OB 2 × 1 × 1 5 53 π (2)因为cos β＝，β∈0，，5 ( 2 )3 4所以sin β＝1－( ＝.5 )255因为点A的横坐标为，135由三角函数定义可得cos α＝，135 12因为α为锐角，所以sin α＝1－( ＝.13 )2135 3 12 4 33所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－，sin(α＋13 5 13 5 6512 3 5 4 56β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.13 5 13 5 6533 56( .所以点B－，65)65[方法技巧]结合三角函数定义化简求值问题的解题策略(1)利用三角函数的定义求一个角的三角函数值需明确三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)当求角α的终边上点的坐标时，要根据角的范围，结合三角公式进行求解．1(3)同角三角函数间的关系应注意正确选择公式，注意公式应用的条件．[演练冲关]如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横2 2 5坐标分别为，.10 519π(1)求tan( 的值；－＋α＋β)4(2)求α＋2β的值．2 2 5解：(1)由条件得cos α＝，cos β＝，α、β为锐角，10 57 2故sin α>0且sin α＝.105同理可得sin β＝，51∴tan α＝7，tan β＝.217＋tan α＋tan β 2∴tan(α＋β)＝＝＝－3.1－tan αtan β 11－7 ×219π3π∴tan( ＋α＋β)＝tan( 4 )－α＋β－43πtanα＋β－tan4 1＝＝－.3π 21＋tanα＋βtan4(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]1－3＋2＝＝－1，11－－3×2ππ∵0<α< ，0<β< ，2 23π3π∴0<α＋2β< ，从而α＋2β＝.2 4题型(二)三角函数求值问题主要考查在给定三角函数值的条件下，求其他角的三角函数值或角.2[典例感悟]4 5 [例2](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.3 5(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．4 sin α[解](1)因为tan α＝，tan α＝，3 cos α4 所以sinα＝cos α.3因为sin2α＋cos2α＝1，9所以cos2α＝，257所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.25(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．5又因为cos(α＋β)＝－，52 5所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝，5所以tan(α＋β)＝－2.4因为tan α＝，32tan α24所以tan 2α＝＝－.1－tan2α7所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]tan 2α－tanα＋β 2＝＝－.1＋tan 2αtanα＋β11[方法技巧]三角函数求值问题的类型及解题方法给出某些式子的值，求其他式子的值．解此类问题，一般应先将所给式子变给式形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条求值件的形式给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“给值变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已求值知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关3系，并根据这些关系来选择公式给值解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“求角所求角”的范围，最后借助三角函数图象、诱导公式求角[演练冲关]π1．已知向量a＝(sin θ，2)，b＝(cos θ，1)，且a，b共线，其中θ∈(0，.2 )π(1)求tan( 的值；θ＋4 )π(2)若5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，0＜φ＜，求φ的值．2解：(1)由a∥b，得sin θ＝2cos θ.π因为θ∈( 2)，所以cos θ≠0，0，所以tan θ＝2.πtan θ＋1( ＝＝－3.所以tanθ＋4 )1－tan θπ(2)由(1)知tan θ＝2，又因为θ∈( 2)，0，2 5 5所以sin θ＝，cos θ＝.5 5由5cos(θ－φ)＝3 5cos φ，得5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝3 5cos φ，即5cos φ＋2 5sin φ＝3 5cos φ，从而tan φ＝1.ππ因为0＜φ＜，所以φ＝.2 4π 2 π2．(2018·南通二调)已知sin( ＝，α∈.α＋4) 10 ( ，π)2(1)求cos α的值；π(2)求sin( 4)的值．2α－π解：(1)因为α∈( ，π)，2π3π5π所以α＋4∈( ，4 )，4π 2又sin( ＝，α＋4 )10π所以cos( ＝－α＋4 )π1－sin2(α＋4 )42 7 2＝－1－(10 )＝－.210ππ所以cos α＝cos [( 4) 4 ]α＋－ππππ ＝cos( 4)cos4＋sin(α＋4)sinα＋47 2 2 2 2 3＝－×＋×＝－.10 2 10 2 5π 3(2)因为α∈( ，π)，cos α＝－，2 53 4所以sin α＝1－cos2α＝1－(－5 )＝.254 3 24 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，5 (－5 )253 7cos 2α＝2cos2α－1＝2×(－5 )2－1＝－.25πππ24 2 7 2 17 2 所以sin(2α－＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.4) －4 (－25 ) 2 ( 25 )4 2 50题型(三)向量与三角函数的结合主要考查以向量为载体的三角函数性质的综合应用问题.[典例感悟][例3](2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．[解](1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，a∥b，所以－3cos x＝3sin x.3则tan x＝－.35π又x∈[0，π]，所以x＝.6π(x＋6).(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－3)＝3cos x－3sin x＝2 3cos5π π 7π 因为 x ∈[0，π]，所以 x ＋ ∈， ，6[6]6π3从而－1≤cos(≤ .x＋ 6)2π π于是，当 x ＋ ＝ ，即 x ＝0时，f (x )取到最大值 3；6 6 π 5π当 x ＋ ＝π，即 x ＝ 时，f (x )取到最小值－2 3. 6 6[方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立 的条件，得到三角函数的关系式，然后求解；(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求解的是向量的模或者其他向量的表达式，经过 向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性求得值域等．[演练冲关]π1．已知向量 a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(6)＋sin x ，cos x )，函数 f (x )＝a ·b .cos (x ＋(1)求 f (x )的单调递增区间；ππ1(2)若 α∈(且 cos＝ ，求 f (α)．0，2) (α＋12)3 π 解：(1)f (x )＝sin x cos(＋1x ＋ 6)3 1＝ sin x cos x － sin 2x ＋1 2 2 3 1 3 ＝ sin 2x ＋ cos 2x ＋ 4 4 4 1 π 3＝ sin 6)＋ ，2(2x ＋4π π π令 2k π－ ≤2x ＋ ≤2k π＋ ，k ∈Z ， 2 6 2ππ得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，3 6ππ[ ，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为kπ－，kπ＋6 ]31 π 3( 6)＋(2)f(α)＝2sin2α＋4ππ 3( cos ＋，＝sinα＋12) ( 12)α＋4π 1 ππ 2 2∵cos(α＋12)＝3且α∈(0，2)，∴sin(α＋12)＝，362 23 ∴f (α)＝ ＋ . 9 42．已知向量 a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cosα)，其中 0＜α＜x ＜π.π(1)若 α＝ ，求函数 f (x )＝b ·c 的最小值及相应 x 的值；4 π(2)若 a 与 b 的夹角为 ，且 a ⊥c ，求 tan 2α 的值．3π 解：(1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝ ， 4∴f (x )＝b·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x ·cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cosx ＋ 2(sin x ＋cos x )．π令 t ＝sin x ＋cos x( ＜x ＜π)，4则 2sin x cos x ＝t 2－1，且－1＜t ＜ 2. 23则 y ＝f (x )＝t 2＋ 2t －1＝(2－，－1＜t ＜ .t ＋ 2)222 3 2 ∴t ＝－ 时，y min ＝－ ，此时 sin x ＋cos x ＝－ .2 2 2 π 11π由于 ＜x ＜π，故 x ＝ . 4 123 11π ∴函数 f (x )的最小值为－ ，相应 x 的值为 . 2 12 π π a ·b (2)∵a 与 b 的夹角为 ，∴cos ＝ ＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －3 3 |a |·|b |α)．π ∵0＜α＜x ＜π，∴0＜x －α＜π，∴x －α＝ .3∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0， ∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，π即 sin(3)＋2sin 2α＝0.2α＋5 3∴ sin 2α＋ cos 2α＝0， 2 2 3∴tan 2α＝－ .5[课时达标训练]A组——大题保分练71 1 π π1．(2018·南通模拟)已知 cos α＝ ，cos(α＋β)＝－ ，且 α∈，β∈2) 3(0，2)(0，3.(1)求 sin 2α 的值； (2)求 cos(α－β)的值．π解：(1)∵α∈(0， ，∴2α∈.2)(0，π)1 7 ∵cos α＝ ，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－ ， 3 9 4 2∴sin 2α＝ 1－cos 22α＝. 9 ππ (2)∵α∈(2)，β∈(，0，2 )0，1 ∴α＋β∈(0，π)，又 cos(α＋β)＝－ ，32 2∴sin(α＋β)＝ 1－cos 2α＋β＝ ，3∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)71 42 2 2 23 ＝(×－＋× ＝ . －9) ( 3 )93 272．设函数 f (x )＝6cos 2x －2 3sin x cos x . (1)求 f (x )的最小正周期和值域；(2)在锐角三角形 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 f (B )＝0且 b ＝2，cos 4A ＝ ，求 a 和 sin C 的值． 51＋cos 2x解：(1)因为 f (x )＝6× － 3sin 2x2 ＝3cos 2x － 3sin 2x ＋3π＝23cos(＋3，)2x＋62π 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，2f(x)的值域为[3－2 3，3＋2 3 ]．π 3( 6)＝－.(2)由f(B)＝0，得cos2B＋2ππ7ππ5ππ因为B为锐角，所以<2B＋< ，所以2B＋＝，所以B＝.6 6 6 6 6 384因为cos A＝，A∈(0，π)，54 3所以sin A＝1－(5 )＝.2532 ×b sin A 5 4 3在△ABC中，由正弦定理得a＝＝＝.sin B 3 522πsin C＝sin(π－A－B)＝sin( －A)33 1 3＋4 3＝cos A＋sin A＝.2 2 10ππ3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)( 2 )ω＞0，－＜φ＜2π7π分图象如图所示，直线x＝，x＝是其相邻的两条对称轴．12 12的部(1)求函数f(x)的解析式；α 6 2π7π(2)若f(2 )＝－，且＜α＜，求cos α的值．5 3 6T7πππ解：(1)由题意知，＝－＝，所以T＝π.2 12 12 22π又T＝，所以ω＝2，ω所以f(x)＝2sin(2x＋φ)．π因为点( ，2)在函数图象上，12ππ所以2sin( ＝2，即sin ＝1.2 ×＋φ) ( ＋φ)12 6ππππ2π因为－＜φ＜，即－< ＋φ< ，2 23 6 3ππ所以φ＝，所以f(x)＝2sin 3).3 (2x＋α 6 π 3(2) 由f( ＝－5，得sin( 3)＝－.2 ) α＋52π7ππ3π因为＜α＜，所以π＜α＋＜，3 6 3 2ππ 4所以cos(α＋＝－＝－.3) 1－sin2(α＋3 )5ππππππ 4 1所以cos α＝c os [( 3) 3]＝c os( 3)cos3＋s in( 3)sin ＝－×＋α＋－α＋α＋3 5 23 3 3 3＋4( 5 )－×＝－.2 1094．在平面直角坐标系 xOy 中，若角 α，β 的顶点都为坐标原点 O ，始边为 x 轴的正半1―→轴，角 α 的终边经过点 P( ，cos 2θ)，角 β 的终边经过点 Q (sin2θ，－1)，且·OP21＝－ . 2―→OQ(1)求 cos 2θ 的值； (2)求 tan(α＋β)的值． ―→ ―→1解：(1)由 OP · OQ ＝－ ，2 1 1 得 sin 2θ－cos 2θ＝－ ， 2 2 ∴sin 2θ＝2cos 2θ－1， 1－cos 2θ 即 ＝cos 2θ，2 1 解得 cos 2θ＝ . 31－cos 2θ 1 2 (2)由(1)，知 sin 2θ＝ ＝ ，则 cos 2θ＝ ， 2 3 31 21 得 P(，Q，，3) ( ，－1)234∴tan α＝ ，tan β＝－3，34 －3tan α＋tan β 3 1 故 tan(α＋β)＝ ＝ ＝－ . 1－tan αtan β 4 3 1－ × －33B 组——大题增分练ππ 1 π π1．已知 cos(cos＝－4，α∈(2). ＋α) ( －α)， 633(1)求 sin 2α 的值； 1 (2)求 tan α－ 的值． tan αππ 解：(1)cos( ＋α)·c os ( －α)6 3 ππ1 π1＝cos(·sin＝ sin3)＝－ ，＋α) ( ＋α) 2 (2α＋6 6 4π 1即sin( ＝－.2α＋3)2πππ4π∵α∈( ，2)，∴2α＋3∈(π，3 )，310π 3∴cos(2α＋3)＝－，2ππ∴sin 2α＝sin[( 3) 3 ]2α＋－ππππ 1( cos －cos 3)sin ＝.＝sin) 3 (2α＋2α＋33 2ππ2π(2)∵α∈( 2)，∴2α∈( ，π)，，3 31 3又由(1)知sin 2α＝，∴cos 2α＝－.2 21 sin αcos αsin2α－cos2α∴tan α－＝－＝tan αcos αsin αsin αcos α3－－2cos 2α 2＝＝－2×＝2 3.sin 2α 123( ，b＝(cos x，－1)．2．已知向量a＝)sin x，4(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，6 ππ若a＝3，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos 2A＋0，的取值范围．3 ( 6)(x∈[ 3])3 3解：(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－.4 4cos2x－2sin x cos x1－2tan x8∴cos2x－sin 2x＝＝＝.sin2x＋cos2x1＋tan2x 5π 3(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝2sin(2x＋4)＋.2a b 2由正弦定理，得＝，可得sin A＝，sin A sin B 2πππ 12A＋( ＝sin2x＋－.∴A＝4.∴f(x)＋4cos6) 24 2π∵x ∈[ ，0， 3 ]π π 11π∴2x ＋ 4∈[ .， 12 ]4 3 π 1∴ －1≤f (x )＋4cos 2A ＋ 6)≤ 2－ .2 (2π 31∴f (x )＋4cos (2A ＋ 6)的取值范围为[ －1， 2－2].2113.已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0，π))的图象如图所示．(1)求 f (x )的解析式；(2)求函数 g (x )＝f (x )＋ 3f (x ＋2)在 x ∈[－1,3]上的最大值和最小值．2π π 解：(1)由图可得 A ＝3，f (x )的周期为 8，则 ＝8，即 ω＝ . ω 4πf (－1)＝f (3)＝0，则 f (1)＝3，所以 sin ( ＋φ)＝1，4π π π 即 ＋φ＝ ＋2k π，k ∈Z .又 φ∈[0，π)，故 φ＝ . 4 2 4ππ 综上所述，f (x )的解析式为 f (x )＝3sin ( 4).x ＋4 (2)g (x )＝f (x )＋ 3f (x ＋2)ππ π π ＝3sin ( x ＋ 4)＋3 3sin [ 4 ] x ＋2＋4 4 π π ππ ＝3sin (＋3 cos x ＋ 4)3 (4 ) x ＋ 4 41 π π ＝6[sin (4 ) x ＋ ＋ 2 4π 7π ＝6sin ( 12).x ＋ 43 π π cos (x ＋ 4)] 2 4 π 7π π 4π当 x ∈[－1,3]时， x ＋ 12∈[ ， 3 ]. 43 π 7π π1 π 7π 故当 x ＋ ＝ ，即 x ＝－3时，sin ( 12)取得最大值 1，则 g (x )的最大值为 gx ＋ 412 24 1 ( 3 ) － ＝6；π 7π 4π π 7π 3当x ＋ ＝ 3即，x ＝3时s ，i n ( x ＋ 12)取得最小值－ 则，g (x )的最小值为 g (3)＝6× 4 12 4 2 ( － 3 2 ) ＝－3 3.4.如图所示，角 θ 的始边 OA 落在 x 轴的非负半轴上，其始边、终边分别与单位圆交于π点 A ，C ，θ∈( ，△AOB 为正三角形．0， 2 )3 4(1)若点 C 的坐标为( ，求 cos ∠BOC ；，5 )5(2)记 f (θ)＝BC 2，求函数 f (θ)的解析式和值域．3 4解：(1)因为点 C 的坐标为( ，5 )，512根据三角函数的定义，4 3得sin∠COA＝，cos∠COA＝.5 5π 因为△AOB为正三角形，所以∠AOB＝.3π所以cos∠BOC＝cos ( 3 ) ∠COA＋ππ＝cos∠COA cos －sin∠COA sin3 33 14 3 3－4 3＝×－×＝.5 2 5 2 10π(2)因为∠AOC＝θ( ，0 < θ< 2 )π 所以∠BOC＝＋θ.3在△BOC中，OB＝OC＝1，由余弦定理，可得f(θ)＝BC2＝OC2＋OB2－2OC·OB·cos∠BOCππ＝12＋12－2×1×1×cos( ＝2－2cos 3).θ＋3) (θ＋π因为0<θ< ，2ππ5π所以<θ＋< .3 3 63 π 1所以－2 <cos (θ＋3)< .2π所以1<2－2cos( <2＋.θ＋3) 3所以函数f(θ)的值域为(1,2＋3)．1314。
江苏省2019高考数学二轮复习考前回扣3三角函数解三角形平面向量学案
3.三角函数、解三角形、平面向量1．α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2k π(k ∈Z )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (x ，y )是α的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r ＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x ≠0)，x 2＋y 2y r x r yx 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关．[问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________．答案 －152．同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝.sin αcos α(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限角－απ－απ＋α2π－α－απ2正弦－sinsin α－sin α－sincos ααα余弦cos α－cos α－cos αcos αsin α[问题2] cos＋tan ＋sin21π的值为9π4(－7π6)______________________________________．答案 －22333．正弦、余弦和正切函数的常用性质函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域R R {x |x ≠＋k π，k ∈Z }π2值域{y |－1≤y ≤1}{y |－1≤y ≤1}R单调性在Error! ，k ∈Z 上递增；在Error!，k ∈Z 上递减在[(2k －1)π，2k π]，k ∈Z 上递增；在[2k π，(2k ＋1)π]，k ∈Z 上递减在Error!，k ∈Z 上递增最值x ＝＋2k π(k ∈Z )时，π2y max ＝1；x ＝－＋2k π(k π2∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝π＋2kπ(k ∈Z )时，y min ＝－1无最值奇偶性奇偶奇对称中心：(k π，0)，k ∈Z对称中心：(k π＋π2，0)，k ∈Z对称中心：(k π2，0)，k ∈Z对称性对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称轴：x ＝k π，k ∈Z无周期性2π2ππ[问题3] 函数y ＝sin的单调减区间是________________．(－2x ＋π3)答案 (k ∈Z )[k π－π12，k π＋5π12]4．三角函数化简与求值的常用技巧解答三角变换类问题要灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值．常用到切化弦、降幂、拆角拼角等技巧．如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]．12α＋＝(α＋β)－，α＝－.π4(β－π4)(α＋π4)π4[问题4] 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则(3π4，π)35(β－π4)1213cos＝________.(α＋π4)答案 －56655．解三角形(1)正弦定理：＝＝＝2R (R 为三角形外接圆的半径)．注意：①正弦定理的a sin Ab sin B csin C 一些变式：(ⅰ)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(ⅱ)sin A ＝，sin B ＝，sina 2R b2R C ＝；(ⅲ)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(ⅳ)＝2R .c 2R a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ②已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .(2)余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，cos A ＝等，常选用余弦定理判定三角形b 2＋c 2－a 22bc 的形状．[问题5] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝，b ＝，A ＝60°，则32B ＝________.答案 45°6．求三角函数最值的常见类型、方法(1)y ＝a sin x ＋b (或a cos x ＋b )型，利用三角函数的值域，须注意对字母a 的讨论．(2)y ＝a sin x ＋b sin x 型，借助辅助角公式化成y ＝·sin(x ＋φ)的形式，再利用a 2＋b 2三角函数有界性解决．(3)y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 型，配方后转化为二次函数求最值，应注意|sin x |≤1的约束．(4)y ＝型，反解出sin x ，化归为|sin x |≤1解决．a sin x ＋bc sin x ＋d (5)y ＝型，化归为A sin x ＋B cos x ＝C 型或用数形结合法(常用到直线斜率的几何a sin x ＋bc cos x ＋d意义)求解．(6)y ＝a (sin x ＋cos x )＋b sin x ·cos x ＋c 型，常令t ＝sin x ＋cos x ，换元后求解(|t |≤)．2[问题6] 函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为________．答案 [－54，1]解析 ∵y ＝2－，又sin x ∈[－1,1]，(sin x ＋12)54∴当sin x ＝－时，y min ＝－；1254当sin x ＝1时，y max ＝1.∴函数的值域为.[－54，1]7．向量的平行与平面向量的数量积(1)向量平行(共线)的充要条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ⇔(a·b )2＝(|a||b |)2⇔x 1y 2－y 1x 2＝0.(2)a·b ＝|a ||b |cos θ，变形：|a |2＝a 2＝a·a ，cos θ＝.a·b |a||b |注意：〈a ，b 〉为锐角⇔a·b >0且a ，b 不同向；〈a ，b 〉为钝角⇔a·b <0且a ，b 不反向．[问题7] 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，＝3，·＝2，CP → PD → AP → BP→ 则·的值是________．AB → AD→答案 22解析 由题意，＝＋＝＋，AP → AD → DP → AD → 14AB→ ＝＋＝＋＝－，BP → BC → CP → BC → 34CD → AD → 34AB → 所以·＝·AP → BP → (AD → ＋14AB → )(AD → －34AB → )＝2－·－2，AD → 12AD → AB → 316AB → 即2＝25－·－×64，12AD → AB→ 316解得·＝22.AD → AB→8．向量中常用的结论(1)＝λ＋μ (λ，μ为实数)，若λ＋μ＝1，则三点A ，B ，C 共线．反之也成立．OA → OB → OC→ (2)在△ABC 中，若D 是BC 边的中点，则＝(＋)．AD → 12AB → AC→ (3)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内．若||＝||＝||，则O 为△ABC 的外心；若＋OA → OB → OC → NA→ ＋＝0，则N 为△ABC 的重心；若·＝·＝·，则P 为△ABC 的垂心．NB → NC → PA → PB → PB → PC → PC → PA → [问题8] 在△ABC 中，D 是边AB 的中点，E 是边AC 的中点，CD 与BE 交于点F ，设＝a ，AB→＝b ，＝x a ＋y b ，则x ，y 的值分别为______________．AC → AF → 答案 ，1313解析 由题意知，点F 为△ABC 的重心，如图，设H 为BC 的中点，则＝＝×(＋)＝a ＋b ，AF → 23AH → 2312AB → AC→1313所以x ＝，y ＝.1313易错点1 忽视角的范围例1 已知方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0(a 为大于1的常数)的两根为tanα，tan β，且α，β∈，则tan 的值是________．(－π2，π2)α＋β2易错分析 本题易忽略隐含条件tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根，α，β∈，从而导致错误．(－π2，π2)解析 ∵a >1，∴tan α＋tan β＝－4a <0，tan α·tan β＝3a ＋1>0，∴tan α，tan β是方程x 2＋4ax ＋3a ＋1＝0的两个负根．又α，β∈，(－π2，π2)∴α，β∈，即∈.(－π2，0)α＋β2(－π2，0)由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝＝，－4a 1－(3a ＋1)43可得tan ＝－2.α＋β2答案 －2易错点2 图象变换方向或变换量把握不准例2 已知函数f (x )＝sin，为了得到函数g (x )＝cos 2x 的图象，只要将y ＝f (x )(2x ＋π4)的图象向__________平移________个单位长度．易错分析 (1)没有将f (x )，g (x )化为同名函数；(2)平移时看2x 变成了什么，而没有认识到平移过程只是对“x ”而言．解析 g (x )＝sin＝sin ，(2x ＋π2)[2(x ＋π8)＋π4]∴y ＝f (x )的图象向左平移个单位长度即可得到y ＝g (x )的图象．π8答案 左 π8易错点3 三角函数单调性理解不透例3 求函数y ＝3sin 的单调区间．(π4－2x )易错分析 对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数，如果ω<0，要求其单调区间，必须先提出负号，然后去求解，否则单调区间正好相反．解 y ＝3sin ＝－3sin.(π4－2x )(2x －π4)由2k π－≤2x －≤2k π＋，k ∈Z ，π2π4π2得k π－≤x ≤k π＋，k ∈Z .π83π8∴函数的单调减区间为，k ∈Z .[k π－π8，k π＋3π8]同理，函数的单调增区间为，k ∈Z .[k π＋3π8，k π＋7π8]易错点4 解三角形时漏解或增解例4 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝.3(1)若角C ＝，则角A ＝________；π3(2)若角A ＝，则b ＝________.π6易错分析 在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a 边大，在求得sin A ＝＝后，得出角A ＝或；在第(2)问中没有考虑角Ca sin C c 12π65π6有两解，由sin C ＝＝，只得出角C ＝，所以角B ＝，解得b ＝2，这样就出现c sin A a 32π3π2漏解的错误．解析 (1)由正弦定理＝，a sin A csin C 得sin A ＝＝，a sin C c 12又a <c ，所以A <C .所以A ＝.π6(2)由正弦定理＝，a sin A csin C 得sin C ＝＝，得C ＝或，c sin A a 32π32π3当C ＝时，B ＝，可得b ＝2；π3π2当C ＝时，B ＝，此时得b ＝1.2π3π6答案 (1) (2)2或1π6易错点5 忽视题目中的制约条件例5 已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ，若在△ABC 中，满足f (A )＝，b ＋c ＝2，求(2x －7π6)32边长a 的取值范围．易错分析 本题中有两点易错：确定角A 时忽视范围；求边长a 的取值范围时，忽视三角形中两边之和大于第三边的条件．解 f (x )＝2cos 2x －sin(2x －7π6)＝1＋cos 2x －(－32sin 2x ＋12cos 2x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋13212＝sin＋1.(2x ＋π6)由题意，f (A )＝sin＋1＝，(2A ＋π6)32化简得sin＝.(2A ＋π6)12因为A ∈(0，π)，所以2A ＋∈，π6(π6，13π6)所以2A ＋＝，所以A ＝.π65π6π3在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ＝(b ＋c )2－3bc .π3由b ＋c ＝2知，bc ≤2＝1，即a 2≥1，(b ＋c2)当且仅当b ＝c ＝1时取等号．又由b ＋c >a ，得a <2，所以a 的取值范围是[1,2)．易错点6 忽视向量共线例6 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是________________________________________________________________________．易错分析 误认为θ为锐角⇔cos θ>0，没有排除θ＝0，即两向量同向的情况．解析 由θ为锐角，可得Error!∴Error!∴λ的取值范围是Error!.答案 Error!1．已知点P 落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(sin3π4，cos 3π4)________．答案 7π4解析 tan θ＝＝＝－1，cos3π4sin 3π4－cos π4sinπ4又sin >0，cos <0，3π43π4所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝.7π42．已知tan ＝3，则sin θcos θ－3cos 2θ的值为________．(π4＋θ)答案 －2解析 由题意得tan ＝＝3，(π4＋θ)1＋tan θ1－tan θ解得tan θ＝.12∴sin θcos θ－3cos 2θ＝sin θcos θ－3cos2θsin2θ＋cos2θ＝＝＝－2.tan θ－3tan2θ＋112－3(12)2＋13．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝，则tan α＝________.102答案 3或－13解析 因为sin α＋2cos α＝，102所以sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝，52所以3cos 2α＋4sin αcos α＝，32所以＝，3cos2α＋4sin αcos αsin2α＋cos2α32即＝，3＋4tan α1＋tan2α32即3tan 2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－.134．已知函数f (x )＝3sin(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相(ωx －π6)同．若x ∈，则f (x )的取值范围是________．[0，π2]答案 [－32，3]解析 由对称轴完全相同知，两函数周期相同，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin .(2x －π6)由x ∈，得－≤2x －≤，[0，π2]π6π65π6∴－≤f (x )≤3.325．在斜△ABC 中，若＋＋tan C ＝0，则tan C 的最大值是________．1tan A 1tan B 答案 －22解析 在斜△ABC 中，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－(A ＋B )，∴tan C ＝tan(π－(A ＋B ))＝－tan(A ＋B )＝－，tan A ＋tan B1－tan A tan B 又∵＋＋tan C ＝0，1tan A 1tan B ∴tan C ＝－＝－，(1tan A ＋1tan B )tan A ＋tan B tan A tan B ∴－＝－tan A ＋tan B tan A tan B tan A ＋tan B1－tan A tan B ∴tan A tan B ＝1－tan A tan B ，∴tan A tan B ＝，12∵tan A tan B ＝>0，tan A 与tan B 同号，12又∵在△ABC 中，tan A >0，tan B >0，∴tan C ＝－2(tan A ＋tan B )≤－2×2tan A tan B＝－2×2×＝－2，222当且仅当tan A ＝tan B ＝时“＝”成立，22∴tan C 的最大值为－2.26．(2018·苏州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝，(a ＋b )·c ＝，则552a ，c 的夹角大小为________．答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝，52∴a ·c ＝－，52∴cos θ＝＝＝－，a ·c |a |·|c |－525·512∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.7．已知f 1(x )＝sin cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，(3π2＋x )则f (x )的单调增区间是____________．答案 (k ∈Z )[k π，k π＋π2]解析 由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ，f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，令2x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，得x ∈(k ∈Z )，[k π，k π＋π2]故f (x )的单调增区间为(k ∈Z )．[k π，k π＋π2]8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝，则AB ＋2BC 的最大值为________．3答案 27解析 由正弦定理知，＝＝，ABsin C 3sin 60°BC sin A ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C )＝2(sin C ＋cos C ＋sin C )3＝2(2sin C ＋cos C )＝2sin(C ＋α)，37其中tan α＝，α是第一象限角，32由于0°<C <120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值2.79．已知tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，则的值为________．sin 2αcos 2β答案 1解析 tan(α＋β)＝1，tan(α－β)＝2，＝sin 2αcos 2βsin[(α＋β)＋(α－β)]cos[(α＋β)－(α－β)]＝，sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)分式同除以cos(α＋β)cos(α－β)，＝＝1.tan (α＋β)＋tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)1＋21＋1×210．在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝1，AD ＝，P 为平行四边形内一点，且3AP ＝，若＝λ＋μ(λ，μ∈R )，则λ＋μ的最大值为________．32AP → AB → AD → 3答案 1解析 ∵＝λ＋μ，AP → AB → AD → ∴||2＝(λ＋μ)2，AP → AB → AD → 即2＝λ2||2＋μ2||2＋2λμ·.(32)AB → AD → AB → AD → 又AB ＝1，AD ＝，∠BAD ＝60°，3∴·＝||||cos 60°＝，AB → AD → AB → AD → 32∴＝λ2＋3μ2＋λμ，343∴(λ＋μ)2＝＋λμ≤＋2，334334(λ＋3μ2)∴(λ＋μ)2≤1，∴λ＋μ的最大值为1，33当且仅当λ＝，μ＝时取等号．123611．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －.12(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈时，求函数f (x )的值域；[0，π4](3)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的解析π8式．解 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝sin 2x ＋－＝sin .121＋cos 2x 21222(2x ＋π4)(1)所以最小正周期T ＝＝π.2π2(2)当x ∈时，2x ＋∈，sin ∈，[0，π4]π4[π4，3π4](2x ＋π4)[22，1]所以f (x )的值域为.[12，22](3)将函数f (x )的图象向右平移个单位长度，π8得到g (x )＝sin ＝sin 2x .22[2(x －π8)＋π4]2212．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin A ＝a cos B .3(1)求角B 的值；(2)若cos A sin C ＝，求角A 的值．3－14解 (1)因为＝，所以b sin A ＝a sin B ，a sin A bsin B 又b sin A ＝a cos B ，3所以a cos B ＝a sin B ，即tan B ＝，33因为B ∈(0，π)，所以B ＝.π3(2)因为cos A sin C ＝，所以cos A sin ＝，3－14(2π3－A )3－14cos A ＝cos 2A ＋sin A ·cos A(32cos A ＋12sin A )3212＝·＋sin 2A ＝＋cos 2A ＋sin 2A ＝＋sin＝，321＋cos 2A 2143434143412(2A ＋π3)3－14所以sin ＝－，因为B ＝，所以0<A <，所以2A ＋∈，(2A ＋π3)12π32π3π3(π3，5π3)所以2A ＋＝，A ＝.π37π65π12。
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【三维设计，广东（文）苏版】2019高考数学第二轮练习考案：第38课三角函数的性质文
1．〔2019韶关二模〕函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ
=--+〔R x ∈〕是〔 〕 A 、 周期为π的奇函数 B 、 周期为π的偶函数 C 、 周期为π2的奇函数 D 、 周期为π2的偶函数
【答案】A 【解析】1cos(2)1cos(2)22()22x x f x ππ+-++=- 1sin 21sin 222x x +-=-sin 2x =，应选A 、 2．〔2019新课标高考〕0ω>，πϕ<<0，直线4π=x 和4
5π=x 是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，那么ϕ=〔 〕
A 、4π
B 、3π
C 、2π
D 、34π 【答案】A 【解析】∵5244
T ππ=-，∴2T π=． ∵4π
=x 是函数的对称轴， 3．〔2019东莞一模〕函数3cos 32cos sin 2)(2-+⋅=x x x x f ωωω〔其中0>ω〕，直线1x x =、2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为2π
． ⑴求ω的值； ⑵假设32)(=a f ，求)465sin(a -π的值． 【解析】⑴)32sin(22cos 32sin )(πωωω+=+=x x x x f ， ⑵)32sin(2)(π+=x x f ，由32)(=a f ，得31)
2sin(=+πα， 4．〔2019韶关一模〕函数2()2cos cos 1(0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π．
〔1〕求()3f π的值；
〔2〕求函数()f x 的单调递增区间及其图象的对称轴方程。
【解析】〔1〕()cos 22f x x x ωω=
∵()f x 的最小正周期为π，∴22ππω=，解得1ω=， 〔2〕令222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， 解得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，
∴函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈． 令2()62x k k Z πππ+=+∈， 解得1()26x k k Z ππ=+∈， ∴函数()f x 的对称轴方程是1()26x k k Z ππ=+∈． 5．〔2019东莞二模〕向量(cos sin ,sin )x x x =+a ，(cos sin ,2cos )x x x =-b ， 设()f x =⋅a b ．
〔1〕求函数()f x 的最小正周期；
〔2〕当[,]44x ππ
∈-时，求函数()f x 的最大值及最小值． 【解析】〔1〕()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x x x x x x x =⋅=+-+a b
∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==． 〔2〕∵
44x ππ-≤≤，∴32444x πππ-≤+≤，∴1)4x π-≤+≤ ∴当
242x ππ+=，即8x π=时，()f x ； 当244x ππ+=-，即4x π=-时，()f x 有最小值1-． 6． (2019珠海质检)：(cos ,sin )A x x ，其中02x π≤≤，(1,1)B ，OA OB OC +=u u u r u u u r u u u r ，
2()f x OC =u u u r ． 〔1〕求()f x 的对称轴和对称中心；
〔2〕求()f x 的单调递增区间．
【解析】〔1〕∵(cos ,sin )OA x x =u u u r ， (1,1)OB =u u u r ． 令,42x k k Z πππ+=+∈，得,4x k k Z ππ=+∈． ∴对称轴是,4x k k Z ππ=+∈． 令,4x k k Z ππ+=∈，得,4x k k Z ππ=-∈． ∴对称中心是(,3)4k ππ-，k Z ∈． 〔2〕令22,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈， ∴()f x 的单增区间是3[2,2],44k k k Z ππππ-+∈．。