椭圆测试题、双曲线2

高二数学同步辅导教材（第20讲）

第八章 圆锥曲线方程专题讲座 一、 二次曲线系 （一）共焦点圆锥曲线系 1tytcx222

当t>0时，表示共焦点（±c,0）的椭圆系； 当-c2当t<-c2时无轨迹。

[例1]已知椭圆的焦点坐标是（0，3），（0，-3），且经过点（1，-2），求椭圆的标准方程。 解：3c,3c2。

又焦点坐标为（0，3），（0，-3），曲线为椭圆，故设所求方程为)0t(1t3ytx22

∵椭圆过点（1，-2），∴1t32t12。 化简整理得 t2-2t-3=0。 ∴t=3或t=-1（舍去）

故所求椭圆方程为16y3x22。 说明 运用共焦点曲线系建立方程时，一是要注意焦点所在的坐标轴，二是应注意参数t的取值范围。

[例2] 求以椭圆13y13x22的焦点为焦点，以直线x21y为渐近线的双曲线方程

解 由椭圆方程13y13x22知a2=13，b2=3，则c2=10，焦点在x轴上。 设共焦点的双曲线系方程为 ),10t0(1tyt10x22

其渐近线方程为,0tyt10x 已知双曲线的渐近线方程为x21y， 41t10t，解得t=2。

故所求双曲线方程为.12y8x22 说明 这里由于出现参数t的二次根式，所以设t>0，但要改变共焦点的二次曲线系方程中相应的符号。

与椭圆1byax2222共焦点的二次曲线系方程也可以设为

1kbykax2222（0k≠b2，k为参数）。

（二）具有相同离心率的圆锥曲线系 [例3]已知椭圆的离心率是21，焦点在x轴上，且被直线2x21y截得的弦长为53，求椭圆的标准方程。

解：43211e1ab22，又其焦点在x轴上，

 设椭圆方程为.03y4x22

即 .012y4x322 将 2x21y代入，整理得 .034x2x2 由韦达定理可知：x1+x2=-2,x1x2=4-3 由弦长公式，有

212212212xx4xxk1xxk153

=344221122 =335 解得4。

故所求椭圆方程为43y4x22，即.112y16x22 说明 应用具有相同离心率的圆锥曲线系方程时，同样要注意其焦点所在的坐标轴及圆 锥曲线的类型。 （三）共渐近线的双曲线系

0byax2222

显然，它们的公共渐近线为.0byax2222 [例4]求与双曲线14y16x22共渐近线且与直线x-y-1=0相切的双曲线方程。 解：设此双曲线方程为,164y16x22 由方程组01yxy4x22 消去x得3y2-2y+（-1）=0。 由双曲线与直线相切知

.34,0)1(344得

将34代入方程组得 所求的双曲线方程为3x2-12y2=4。

二、 求轨迹的几种方法 求轨迹方程是解析几何中主要类型题之一，求轨迹的方法通常有：定义法、参数法、交轨法、转化法、待定系数法。下面我们逐一介绍。 （一）定义法 利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接定出轨迹方程的方法叫做定义法。 [例1]过原点O的一条直线交圆x2+(y-1)2=1于点Q，在直线OQ上取一点P，使点P到直线y=2的距离等于|PQ|，当直线PQ绕点O旋转时，求动点P的轨迹方程。 解：如图所示，设动点P的坐标为(x,y)，作PD垂直于直线y=2，垂足为D。 （1）当点P不在y轴上时，

PQPD

PDARt≌PQARt

从而∠1=∠2。 又PD∥OA，∴∠1=∠3。从而∠2=∠3。 ∴|OP|=|OA|=2。 这时，点P的轨迹方程为 x2+y2=4(x≠0)。 （2）当点P在y轴上时， ∵点Q与D重合于点A，∴y轴上任一点P都满足|PD|=|PQ|。这时，点P的轨迹方程为x=0。 于是由（1），（2）可知，动点P的轨迹方程为x2+y2=4(x≠0)或x=0。 （二）参数法

[例2] 已知∠MON=120°，长为32的线段AB的两段A，B分别在OM，ON上滑动，求AB中点P的轨迹方程。 分析 中点P依赖于A，B两点，设A，B的横坐标为参数，利用|AB|=32消去参数，便可得到P的轨迹方程。 解：如图所示，以O为原点，∠MON的平分线为x轴的正方向，则射线ON，OM的

方程分别为)0x(x3y)0x(x3y和。

设0x,0xx3,xA),x3,x(B,y,xP212211，则









2121xx23y2xx

x

,32AB ,32xx3xx22121

即(x1-x2)2+3(x1+x2)2=12 把式①②代入式③中，得

,12x23y3222





即 .19yx22 解方程组







19yxx3y

22

故动点P的轨迹方程为 )23x(19yx22。

① ②

23x0x得注意 （三）交轨法 当动点P是两条动直线（或动曲线）的交点时，求动点P的轨迹方程，可选择适当的参数，表示这两条动直线（或动曲线）的方程，从而解方程组消去参数，便得动点P的轨迹方程。 [例3]如图8—24所示，在直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的边长|OA|=a,|OC|=b，

点D在AO的延长线上，且|DO|=a，设M，N分别是OC，BC边上的动点，且0NCBNMCOM，求直线DM与AN的交点P的轨迹方程。 解 如图所示，点A，D的坐标分别为(a,0),(-a,0)。

设)at0(tBN，则点N的坐标为(a-t,b)。

NCBNMCOM，

.BCBNOCOM 从而 .abtOCBCBNOM 

abt,0M的坐标为点。

直线DM的方程为1btayax 直线AN的方程为taxby 设动点P的坐标为(x,y)，则从式①②中消去参数t，得P的轨迹方程为

).0y,0x(1byax2222 （四）代入法 对于已知曲线C:F(x,y)=0上的各点M，按照某种法则，同一平面上的点P与它对应，

当点M在曲线C上移动时，点P的轨迹是曲线*C，则称*C为C的伴随曲线。求伴随曲线*C的方程一般用代入法。其步骤如下：设点P，M的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则F(x1,y1)=0。

由点M与点P的关系，求得x1=f(x,y),y1=g(x,y),然后用代入法，即可得到点P的轨迹方程为F(f(x,y,),g(x,y))=0。

[例4] 从原点O作圆(x-2)2+y2=4的动弦OP，把OP延长到M，使PM21OP，求动点M的轨迹方程。 解 如图所示，设点M，P的坐标分别为(x,y),(x1,y1)，则

4y2x2121

① ② .21PMOP,PM21OP 从而.211y21y,211x21x11 即3yy3xx11 把式②③代入式①中，得 ,43y23x22 于是，动点M的轨迹方程为 .36y6x22

（五）待定系数法 当曲线的议程的类型已知时，求这曲线方程的具体表达式，可用待定系数法。

[例5] 求以直线0y5x4和040y5x4为渐近线，焦点在直线04y上且

焦距是414的双曲线方程。 解 如图所示，解方程组

040y5x40y5x4

得 4y5x 即两直线的交点坐标为（5，-4）。 又双曲线的中心为O’（5，-4）。 由已知条件可设这双曲线的方程为

)0b,ba(1b4ya5x2222

为0b4ya5x 即：0)4y(a)5x(b 结合已知渐近线方程54ab 从而可设).0k(k4b,k5a

412c,414c2。

.2k,414k41bac2222 于是a=10，b=8。故所求的双曲线方程为 .1644y1005x22

三、求最值方法总结 解析几何中的最值涉及代数、三角、几何诸方面的知识，问题复杂，解法灵活。现把这类问题的解法总结如下： （一）利用综合几何法求最值 利用平面几何中的极值定理求解最值问题的方法叫做综合几何法。这种解法如果运用得当，往往显得非常简捷、明快。 [例1]如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B是y轴正方向上给定的两点，试在x轴正方向上求一点C，使∠ACB取得最大值。 解：如图所示，过A，B两点作圆与x轴正方向相切于点C。设C’是x轴正方向上异于点C的任一点，连结BC，AC，BC’，AC’，则由平面几何知识，易得∠ACB＞∠AC’B，从而点C即为所求。

设aOA,bOB，则由切割线定理，得

abOAOBOC2，

abOC。

即所求的点C的坐标为0,ab。 （二）利用二次函数的性质求最值

[例2]过点B（0，-b）作椭圆)0ba(1byax2222的弦，求这些弦长的最大值。 解：如图所示，设点M(x,y)是椭圆上任一点，则

1byax2222，