第十章第1讲 量子统计
量子力学中的统计物理与量子统计
量子力学中的统计物理与量子统计量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观粒子的行为和相互作用。
统计物理是量子力学的一个重要分支，研究的是大量粒子的集体行为。
而量子统计则是在量子力学的框架下研究多粒子系统的统计性质。
本文将介绍量子力学中的统计物理和量子统计的基本概念和应用。
首先，我们来了解一下统计物理的基本原理。
统计物理的核心思想是将微观粒子的运动和相互作用转化为宏观物理量的统计规律。
根据统计物理的理论，我们可以通过统计大量粒子的行为来预测宏观物理现象。
统计物理的基础是热力学，热力学是研究热能转化和能量守恒的学科。
通过热力学的概念和方法，我们可以推导出统计物理的基本公式和定律。
在量子力学中，统计物理的理论需要考虑粒子的波粒二象性和波函数的统计解释。
根据波函数的统计解释，我们可以将粒子分为玻色子和费米子。
玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子；费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子。
根据波函数的对称性，玻色子的波函数在粒子交换下不变，而费米子的波函数在粒子交换下发生符号变化。
在量子统计中，我们使用的是玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。
玻色-爱因斯坦统计适用于玻色子，它描述的是多个玻色子处于同一量子态的概率。
根据玻色-爱因斯坦统计，多个玻色子可以占据同一量子态，它们的波函数是对称的。
而费米-狄拉克统计适用于费米子，它描述的是多个费米子不可能处于同一量子态的概率。
根据费米-狄拉克统计，多个费米子不能占据同一量子态，它们的波函数是反对称的。
量子统计在实际应用中有着广泛的应用。
一个典型的例子是玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation，BEC）。
BEC是指在极低温下，玻色子聚集在一个量子态中形成凝聚态的现象。
这种凝聚态具有超流性和相干性等特殊性质，对于研究超导和超流现象有着重要意义。
BEC的实验观测证实了量子统计的存在，并为研究凝聚态物理提供了新的途径。
另一个重要的应用是费米子的统计行为。
量子统计系综的基本原理[整理]
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一．量子统计系综的基本原理1．近点统计系综理论统计力学研究的对象是大量粒子组成的系统。
它的目的是一物质微观结构的动力学行为作为依据，应用统计的方法，解释物体在宏观上、整体上表现出来的物理性质。
物质微观粒子的动力学状态遵从量子力学的规律，在此基础上建立的统计力学称为量子统计力学。
近点统计力学是量子统计力学的经典极限。
引进系综和系综平均的概念是系综理论主要内容。
我们知道统计力学区别于力学的主要点在于：它不像力学那样，追求系统在一定初始条件下任何时刻所处的确切的动力学状态；而认为系统的动力学状态准从统计规律。
大量处于相同宏观条件下,性质完全相同而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统的集合称为统计系综。
系综理论中重要的物理量是密度函数。
密度函数对于整个像空间的积分应是一个与时间无关的常数，等于相点的总数。
因此引进几率密度函数()t p q ,,ρ是很方便的。
几率密度函数()t p q ,,ρ随时间的变化满足方程{}0,=+∂∂H t ρρ这个方程称为刘伟方程。
它表明，只要给出某一时刻的几率密度函数就可以确定以后任意时刻的几率密度。
容易看出，()t p q ,,ρ的函数形式与系统的宏观状态有关。
如果系统处于平衡态，则几率密度函数必不显含时间，只能()p q ,是的函数。
在平衡态的系综理论中，经常用到微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系综。
组成微正则系综的系统的特征是系统的能量、体积和总粒子数恒定，满足()E H p q <=,0,ρ和E E H ∆+>与温度恒定的大热源相接触，具有确定粒子数和体积的系统组成的统计系综称为正则系综。
正则系综的宏观状态的特征是系统的体积、粒子数和温度恒定；与温度恒定的大热源和化学势恒定的大粒子源接触，体积一定的系统组成的统计系统系综称为巨正则系统，巨正则系统的宏观状态的特征是系统的体积、化学势和温度恒定巨正则分配函数由下式决定()()[]γβμβμβd N p q H V N ⎰⎰+-∑=Ξ≥,exp ,,0与温度恒定的热源相接触，并通过无摩擦的活塞与恒压强源相接触，粒子数恒定的系统所组成的统计系综称为等温等压系综。
量子统计
N E
e
l
l
l l
粒子按量子态的分布
fs 1 e
s
a
e
s
1
s
a
N
e
s
s
s
a
E
§5.3 热力学量的统计表达式
和 看作已知参量
巨配分函数
N
l
l
e
l
l
a
l
a
U E
l
e l a
能量在 d 范围内的可能状态数
3 1 2πV (2m) 2 2 d h3
p2 2m
p 2m
态密度 单位能量间隔内的可能状态数
3 1 2πV D 3 2m 2 2 h
p
dp
L dpx h
p
px
例2 一维体系中自由粒子的态密度
dp
动量在 px p x dp x 范围内的可能状态数
定域子：固体中的原子、离子，在各自平衡位置附近作 微振动，波函数几乎不交叠，可用位置加以分辨。
例4 2个粒子占据3个单体量子态的微观状态数 定域子 32 9
量子态1
量子态2 量子态3
玻色子 C231 6 2 量子态1 量子态2 量子态3
ln ln V dV d
ln d
ln d
ln ln ln d d dV V
ln ln d ln 1 ln ln dS kd ln kT kT
量子统计学揭示粒子行为的概率规律
量子统计学揭示粒子行为的概率规律量子力学是现代物理学中的一门重要学科，它描述了微观世界中粒子的运动和相互作用规律。
量子统计学则是对这些粒子的统计行为进行研究的分支，它揭示了粒子行为的概率规律。
本文将围绕量子统计学的概念、基本原理以及一些实际应用进行论述，以便更好地理解粒子行为的本质。
一、量子统计学的概念与基本原理1.量子概率与统计学量子统计学是研究微观粒子行为的概率规律的学科。
在宏观世界中，我们通常使用经典概率论来描述事件发生的可能性，但在微观尺度下，经典概率论无法准确描述粒子的行为。
量子统计学通过引入量子概率来描述微观粒子的行为，使得我们能够更好地理解和预测粒子在各种条件下的表现。
2.玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布在量子统计学中，根据粒子的自旋性质，可以分为玻尔兹曼粒子和费米-狄拉克粒子。
玻尔兹曼粒子是具有整数自旋（spin）的粒子，如光子；而费米-狄拉克粒子则是具有半整数自旋的粒子，如电子和质子。
根据这些粒子的统计行为，可以得到玻尔兹曼分布和费米-狄拉克分布，从而揭示了粒子数目分布的概率规律。
3.玻色-爱因斯坦凝聚和费米面根据玻色-爱因斯坦分布，当粒子的自旋为整数时，它们可以聚集在同一个量子态中，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚。
例如，低温下的铯原子气体就可以形成玻色-爱因斯坦凝聚。
而对于费米-狄拉克粒子，根据费米-狄拉克分布，它们受到了泡利不相容原理的限制，不能占据相同的量子态，因此在某一能级以下无法被填满，形成了费米面。
二、量子统计学的实际应用1.固体物理学中的巡游子和费米面在固体物理学中，利用量子统计学可以解释巡游子（exciton）的行为。
巡游子是一对电子-空穴复合体，由于电子和空穴具有相反的自旋，因此它们被视为费米-狄拉克粒子。
在半导体中，当一个电子从价带跃迁到导带中，会留下一个空穴，这个空穴可以被看作一个巡游子。
费米面则可以用来描述材料的电子状态分布，对于半导体材料的设计和研究具有重要意义。
物理学中的量子力学中的量子统计
物理学中的量子力学中的量子统计在物理学中，量子力学是一门关于微观物理现象的学科，它描述了物质的微观粒子在量子力学的背景下如何相互作用。
在量子力学中，量子统计是其中一个非常重要而独特的部分。
它是研究如何理解在多个粒子的状态会如何相互作用的问题。
在这篇文章中，我们将探讨量子统计的概念，并了解在物理学中它有哪些应用。
量子统计的基本概念量子统计是量子力学中一个非常有趣和非经典的概念，因为它描述的是“量子”行为的特性。
我们来看二元粒子系统为例。
在经典物理中，二元粒子系统会有三种可能性：两个粒子相距很远，两个粒子相互碰撞或两个粒子以较低的速度一起前进。
然而在量子力学中，这三种情况并不可行，这是因为量子力学描述的是“粒子波函数”代表的概率性质。
换句话说，在量子物理学中，粒子的态是实数空间中的一个向量，他会按照矢量空间的规则进行相互作用。
换句话说，一个粒子可以有正衣荷，但是一个量子是按照向量的规则进行叠加的。
这就是量子统计的本质。
我们知道，湮灭和创造算符对于描述量子态是非常重要的，它们满足反对易和交换关系。
不同类型的粒子有不同的处理方式。
包括费米子和玻色子。
由于玻色子不受排斥力影响，因此它们可以具有相同的量子态，并且可以将它们全部创造在一个单一的态中。
而费米子则不同，因为他们只能拥有单个量子态。
简而言之，费米子是不可以挤在一个量子态中的，比如说电子就是费米子。
量子统计在物理学中的应用理解量子统计的概念在物理学中有着重要的应用。
在凝聚态物理学中，量子统计被广泛应用于描述玻色子比如说超流体，以及费米子，比如说超导材料的特性。
量子统计也被运用于核物理学，以及固体物理的理论计算研究。
在物理学中也有很多其他的应用。
比如说，量子统计在计算机科学中的应用也很常见。
总之，量子统计是物理学中的一个重要组成部分。
虽然它的概念可能比较抽象，但是它是量子力学中的一个非常重要的基础概念。
对于理解粒子在量子层面上行为的知识有着至关重要的作用。
量子统计(统计力学部分)
σ ( E ,V , N ) 其中 σ ( E , V , N ) = σ0
∫
E = H ( qν , pν )
d σ (5.8)
然而,因为要对很高维的空间作复杂的曲面积分,根 据(5.8)直接计算在很多情况下是很不方便的,而对这 样空间计算体积还相对容易些,根据卡伐里尔(cMal蛤)原 理,这对于所需的计算已经足够了. ω(E,V,N)为总的相空间体积,其边界被能量曲面 E=H(qv ,pv) 和容器的空间坐标所给出.然后我们有:
第5章
微观状态数Ω与嫡S
问题:热力学具有很大的普遍性,是因为唯象地描述物质 宏观性质的方程是从经验中获得的,然而从物理学观点来 看,对这些方程的解释并不能令人满意. 解决方法:统计力学——宏观量是微观性质平均的结果. 统计力学的任务:定义取平均值过程的严格方法,指出微 观与宏观的联系.
相空间
对一经典的系统,知道了t时刻所有广义坐标qv(t)与广 义动量pv(t)就已经足够了,这些广义坐标与广义动量唯 一地确定系统的状态,因此,对一力学系统,可以把一 组(qv ,pv)v=1,…,3N理解为系统的微观态,这里我 们简单地对坐标与动量从1到3N记数,只要对坐标与动 量没有限制.一组(qv ,pv)可以理解为6N维空间中的一 个点.这空间称为经典的相空间. 相空间的一个确定点严格对应于整个系统运动的一个 微观态. 系统随时间的演变对应于相空间的一条曲线(qv(t) , pv(t)),称为相空间轨迹.它被哈密顿运动方程所确定:
概率最大的状态,即平衡态,是微观态数目最大的状态, 即 = max以及d =o 若我们将(5.15)表示为全微分, 则有: d = 2 d 1 + 1d 2 (5.16) 再用(5.15)除,得 (5.17) d ln = d ln 1 + d ln 2 平衡条件为: d ln = 0 ln = ln max (5.18) 从纯粹热力学观点来考虑同样的系统.当闭合系 统的内能U与总能量E一致时,熵由下式给: S ( E , V , N ) = S ( E , V , N ) + S ( E , V , N ) (5.19) 全微分为: d S = d S 1 + d S 2 (5.20)
量子统计学
量子统计学
量子统计学：
1. 什么是量子统计学？
量子统计学是一个新兴的研究领域，它融合了量子物理学、统计力学和信息论，研究非常复杂的量子体系动态变化，量化研究系统的动荡状态。
它可以帮助我们更好地理解量子系统和量子现象，从而探索新物质、新能源和新能量。
2. 量子统计学的重要性
量子统计学具有重要的数学原理，为解决和研究复杂的物理现象提供了另一种独特的视角。
它被广泛应用于物理系统的稳定性分析、分子动力学，以及细胞生化反应的动力学模拟等领域。
因此，量子统计学的研究对物理、化学、材料科学、生物学、医学等学科都有重要的重大影响。
3. 量子统计学的应用
量子统计学在多种研究领域都有应用。
在材料科学中，它可以用于研究新薄膜、非晶材料、量子点等新材料的性质；在生物医学研究中，它可以发掘大量的相关数据，从而为药物研发、基因疗法研究、再生医学研究、肿瘤治疗研究等fieldsの提
供有力的支持；在金融保险领域，量子统计学还可以应用于金融风控、投资决策和资产管理等领域。
总之，量子统计学在科学研究和产业发展中都扮演着重要的角色。
4. 量子统计学的未来发展
量子统计学正迅速发展着，将成为现代物理学、材料科学、化学和生物科学研究的基础和前沿技术。
同时，随着计算科学发展，量子统计学受到了计算机模拟的支持，它将更全面地改变与量子现象有关的科学研究和产业应用。
未来，应用量子统计学将带来巨大的发展和机遇，为我们更好地理解量子物理现象和量子统计学的奥秘提供有力的支持。
量子统计法(共15张PPT)
=ln(gi /Ni)
(14)
∂y1/∂Ni = 1
(15)
∂y2/∂Ni
=
∈ i
(16)
第9页，共15页。
由拉格朗日条件极值求算法, 将(15)式乘以常数, (16) 式乘以常数(-), 与(14)式相加, 并令其为零:
∴ lngi/Ni +α－β∈i = 0 lngi/Ni = -α+β∈i lnNi/gi =α－β∈i Ni/gi = eα-β∈i
W =∏i (gi Ni / Ni!)
二、Fermi－Dirac统计 满足： ΣiNi = N
∵
Ni = (N/q) gi e-∈i/kT
∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
eα= N/Σgie－β∈i
(18)
自条然件界 ：的费微观米粒∑i子N子i分∈为i =遵两E大; 守类: 保利不相容原理, 每个量子态只能容纳一个∑i粒Ni =子N .
Ni = gi /(eα+β∈i +1)
(6)
β=1/kT; α由Ni = N可求出.
第7页，共15页。
三、Boltzmann统计：
当gi >> Ni时：Bose-Einstein统计 Fermi-Dirac 统计
趋于同一极限
能级的量子态数:
∵gi >>Ni，gi >>1
∴Ni+ gi－1≈gi
Wi = (gi + Ni－1)!/Ni!(gi－1)!
= (gi + Ni－1)(gi + Ni－2)…gi ·(gi-1)! / Ni!(gi-1)!
= gi ·gi … gi / Ni!
= gi Ni / Ni!
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+1
≤1
上式称为费米分布函数，其意义是：费米系统处于平衡态时， 各单粒子态（能量为ε）上的平均粒子占有数都小于等于1。
3. 费米能级
fFD (ε )
=
1 e(ε -µ )/kT
+1
令μ=εf ，称为费米能级
0,
ε
>εf
当= ：T 0, = fFD (ε ) = 1 2, ε ε f
1, ε < ε f
1. 光子气体的化学势
理想气体通过三个状态参量进行描述，如（T，V，N）。但对
于黑体来说，不断地吸收和发射光子，光子数并不守恒，因而
黑体中光子气体的化学势为零。所以描述光子气体的玻色分布
应写成：
= fBE (ε )
1 e(ε −µ )/kT
µ =0
⇒ −1
f BE
(ε
)
=
1 eε /kT
−1
2. 光子气体的状态数：
=
V π2c3
ω 2dω
这些光子的总能量：即辐射的能量
= dE
ε= dN
ω= dN
V ω3
π2c3
1 eω /kT
dω
−1
这就是著名的普朗克公式！
= dE
E= (ω)dω
V ω3
π2c3
1
eω
/
kT
dω
−1
∴
E(ω)
= Vπ2ωc33
1 eω /kT
−1
dE(ω) = 0 ⇒ dω
此上式不适用的条件，就是发生玻色凝聚的条件。
∫ N
c= 0∞ e(ε −εµ )1//k2T −1dε , c
1 4
V
π2
3
(2m)3/2
设上式中，N不变（粒子数守恒），温度T下降，因为能级ε与T 无关，所以化学势μ必须随着T的下降而增大（以至于(ε-μ)/kT保 持不变，满足N不变的要求）。
设T下降到Tc时，化学势μ增大到其最大值( μ ＝0)
玻色
Satyendra Nath Bose，1894-1974, 印度.西孟加拉邦人 1924年，玻色在达卡大学讲课，讲到光电效应
时，错把掷两枚钱币两个都正面向上的概率看成是 三分之一，却很好地解释了相关实验！
玻色发现他的这个错误揭示了量子粒子的根本 特性（全同性）。据此，他用统计方法推导出普朗 克量公式！但没地方可发表，于是他把论文直接寄 给身爱因斯坦。爱因斯坦亲自把论文翻译成德语， 并以玻色的名义发表在《德国物理学刊》。他发明 的这个统计方法就是：玻色-爱因斯坦统计。后来， 爱因斯坦把它应用到粒子物理学，又发现了玻色-爱 因斯坦凝聚态
N
= − ∂ ln ξ ∂α
= eα +1βε -1
α = − µ , β = 1
kT
kT
fBE (ε )
=
1 e(ε −µ )/kT
-1
(0 ~ +∞)
上式称为玻色分布函数，其意义是：玻色系统处于平衡
态时，各单粒子态（能量为ε）上的平均粒子占据数可以 是任意的非负数。
3. 玻色分布的性质
= fBE (ε )
光子的静止质量为零，但我们常用到的以能量为自变量的状 态数公式含质量m项，所以不能用。应转换为其他自变量
Ω (ε )dε
=
1 4
V π23
(2m)3/2ε 1/2dε
ε = p2
2m
Ω ( p)dp =
4πV h3
p2dp
光子存在两 种极化状态
Ω
(
p)dp
=
8πV h3
p2dp
= Ω ( p)dp 8= hπ3V p2dp, h 2π
cp= ε= ω
Ω
(ω)dω
=
V π2c3
ω 2dω
(1)
上式是光子气体在ω~ ω+dω 范围内的单粒子状态数
3. 普朗克公式：
光子气体在ω~ ω+dω范围内的粒子数
dN = fBE (ω)Ω (ω)dω
=
V π2c3
ω2
e ω /kT
dω
−1
fBE (ω)
=
1 eω /kT
−1
Ω
(ω)dω
3
3
求压强：=P
T
∂∂VS= U
1= U 3V
1 AT 4 3
辐射场的压强与体系的体积无关，只是温度的函数
（四）声子气体
1. 声子的概念：
温度不高时，晶格上的原子在平衡位置做热振动。既 然黑体中的电磁波可视为一个盒中的光子气体。德拜认为 这些原子的振动波也可视为盒中的声子（热振动）体系。
=
1 e(ε −µ )/kT
, −1
玻色子体系的总粒子数
∫ N = fBE (ε )Ω (ε )dε
Ω (ε )dε
=
1 4
V
π
23
(2m)3/2ε 1/2dε
∫ =
1 4
V
π
23
(2m)3/2
∞
ε 1/2
e 0 (ε −µ )/kT
dε
−1
由于上式含能量项 ε 1/2 ，不能对能量为零的基态进行积分。因
1926年8月，狄拉克发表费米狄拉克统计理论，把服从费米狄拉克统 计的粒子成为费米子，服从波色爱因斯坦统计的粒子命名为玻色子。
但是在系里要评教授时，玻色还不是PhD没希望。爱因斯坦想起了自 己早年买不起奶粉钱的屌丝岁月，写信推荐了他，玻色被破格提升为教授。
现在，全同性原理，玻色子，玻色-爱因斯坦统计，玻色-爱因斯坦凝聚 成为物理经典。虽然很多做这个领域的学者都获得了诺贝尔物理学奖，但 这个概念的提出者却没有！为什么呢？
量子力学与统计物理
Quantum mechanics and statistical physics
光电科学与工程学院 王智勇
玻色统计和费米统计
（２学时）
玻色统计
（一）玻色分布
1. 玻色子系统
玻色子是指体系波函数具有交换对称性的 一类粒子，其自旋量子数为整数（自旋投影 是整数个ħ）。
由波色粒子组成的气体遵守波色-爱因斯坦 统计规律
可能的微观态 (N,E) : (0, 0), (1, ε )
吉布斯因子 e−α N −β E : 1,
e−α −βε
巨配分函数 ξ = 1+ e−α −βε
单个量子态上的平均粒子占有数
N
= − ∂ ln ξ ∂α
= eα +β1ε +1
α = − µ , β = 1
kT kT
f FD
(ε
)
=
1 e(ε −µ )/kT
1= , ε
2
εf 时
f FD
<
1 2
,ε
>εf
时
εf 的大小
fFD (ε )
e= (ε −ε f 1)/kT +1 , Ω (ε )dε
1 V (2m)3/2ε 1/2dε
4 π23
= N ∫= dN ∫ fFD (ε )Ω (ε )dε
付出任何代价。从而代表系统粒子数不守恒。例如黑体辐
射中的平衡态光子气体就是这样。
化学势小于零：与玻色凝聚有关。
（二）玻色凝聚
玻色子组成的理想气体，当温度T降低到某个临界值 Tc 以 下时，有宏观数量的粒子聚集到动量为零的状态，这种现象， 称为玻色-爱因斯坦凝聚。
1. 求转变温度Tc
fBE (ε )
玻色统计主要应用于处理简并气体、光子 气体、声子气体和低温玻色凝聚等问题：
= Sˆ 2 χsms
s= (s +1)2χsms , Sˆz χsms
ms
χ
sms
,
自旋量子数 s = 0,1, 2,...
自旋投影量子数或自旋磁量子数 ms= 0, ±1,... ± s
2. 玻色分布函数
1+ x + x2 + ... = (1− x)−1
1995年，美国青年学者康奈尔、维曼以及德国科学家克特勒第一次直 接观测到了玻色-爱因斯坦凝聚态，获2001年度诺贝尔物理学奖
物理学前沿 超导，超流源于玻色-爱因斯坦凝聚！
（三）光子气体
黑体辐射达到平衡时，腔内的高低频电磁波（光子）相互转换， 所以辐射场就是一个光场（光子气体）。光子是玻色子，服从 玻色分布。
ωmax = 2.82kT
这就是维恩位移定律：它表明随着温度的升高，辐射能 密度的峰位向短波方向移动。
∫ ∫ = U
= dE
V π2c3
∞ 0
ω3
e ω /kT
dω
−1
∫ =
V (kT )4
π
2
3c3
∞ 0
x3 ex −1 dx
=
AVT 4
这就是斯特藩-玻尔兹曼定律：黑体辐射能只与温度有 关，（成四次方正比），而与黑体的具体材料无关。
U= U0 + 3NkTD(x)
讨论：(1)
T θD,
x 1,
D(x) = 1,Cv = 3Nk
(2)
T θD,
x 1,
D(
x)
=
π4 5x3
,
Cv
=
3Nk
4π4 5
T (
θD
)3
=
AT 3
很好地描述了固 体热容在高温和 低温的行为
费米统计
1. 费米子系统
费米子是指体系波函数具有交换反对称 性的一类粒子，它是自旋量子数为半奇数的 粒子. 费米分布主要应用于处理电子系统
考虑玻色子系统：它含有众多的单粒子态。现考虑其中一个单