初中所有的几何定理和性质A4纸
备考2024初中数学几何公式定理大全
备考2024初中数学几何公式定理大全一、平面几何1.点、线、面的定义和性质-点：没有维度、没有大小、没有形状的，给定时必须指明，记作A、B、C等。
-线：只有一个维度、没有厚度、无限延伸的，用直线符号表示，记作l、m、n等。
-面：有两个维度、有形状、有大小的，用平面符号表示，记作α、β、γ等。
2.点与线的关系-在同一直线上的点：如果两个点在同一直线上，则它们的距离为0。
-在同一平面上的点：如果两个点在同一平面上，则它们的距离为0。
-垂直：如果两条线段相交且相交角为90°，则称它们互相垂直。
3.直线与平面的关系-直线与平面的交点：直线与平面的交点为满足直线上所有点都在平面上的点。
-平行：如果两个平面上的直线没有交点，则称它们互相平行。
-垂直：如果一个直线与一个平面相交，且相交角为90°，则称它们互相垂直。
4.角的定义-角：由两条不同的射线共同起点构成的形状，记作∠ABC（A为顶点，B、C为角的两条边）。
-角的度量：角的度量用度表示，1度等于1/360圆周。
5.角的性质-垂角：两条互相垂直的角叫做垂角，垂角的度数相加等于180°。
-对顶角：有着公共顶点且两对边互相交于同一直线上的两个相邻角，叫做对顶角，对顶角的度数相等。
6.同位角和同旁内角-同位角：两条平行线被一条交线切割，那么同位角互等。
-同旁内角：两条平行线被一条交线切割，那么同旁内角互补。
7.圆的性质-圆：平面上到一个定点的距离相等的点的集合。
-圆心：圆中的一点，到圆上任意一点的距离相等，记作O。
-半径：圆心到圆上任意一点的距离，记作r。
-圆周：圆上所有点组成的曲线。
-弧：圆周上两点间的曲线部分。
-弦：连接圆上两点的线段。
- 弧度：弧长和半径的比值，记作rad。
8.圆的角-圆心角：以圆心为顶点的角。
-弧度制：以半径r所对应的圆心角的弧长l等于r的弧度。
9.相交圆的性质-相切：两个圆只有一个公共切点。
-相交：两个圆有两个公共交点。
初中数学几何所有性质和定理汇总
初中数学几何所有性质和定理1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕??84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
初中数学几何定理总结
初中数学几何定理总结
一、初中数学几何定理
1、直角三角形定理
（1）直角三角形的两条直角边的乘积等于斜边的平方，即a*b=c2；
（2）两条直角边的和大于斜边，即a+b>c；
（3）两条直角边的差小于斜边，即a-b<c。
2、相似三角形定理
（1）两个相似三角形的两个相对应的角等于，即A=A’，B=B’，C=C’；
（2）两个相似三角形的两个相对应的边成比例，即
a:a’=b:b'=c:c’。
3、勾股定理
（1）直角三角形的两边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2；
（2）斜边大于两边之和，即c>a+b；
（3）两边之差小于斜边，即，a-b，<c。
4、周长和面积公式
（1）矩形的面积公式，即S=a*b；
（2）矩形的周长公式，即C=2*(a+b)；
（3）三角形的面积公式，即S=1/2*a*h；
（4）三角形的周长公式，即C=a+b+c；（5）梯形的面积公式，即S=1/2*(a+b)*h；（6）梯形的周长公式，即C=a+b+c+d；（7）椭圆的面积公式，即S=π*a*b；（8）圆的面积公式，即S=π*r2；
（9）圆的周长公式，即C=2π*r。
5、体积公式
（1）正方体的体积公式，即V=a3；
（2）圆柱的体积公式，即V=π*r2*h；（3）圆球的体积公式，即V=4/3*π*r3
6、圆的角度公式。
初中数学高手几何定理大全
初中数学高手几何定理大全
一、相交线定理
1.平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等。
2.平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同
旁内角互补，两直线平行。
3.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
二、三角形定理
1.三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180度。
2.三角形的基本性质：三角形具有稳定性。
3.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的
一半。
4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
5.勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
6.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么
这个三角形是直角三角形。
7.三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第
三边。
三、四边形定理
1.四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360度。
2.对角线性质：四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相
平分。
4.平行四边形的判定：一组对边平行且相等，两组对边分别相等，对角线互
相平分，一组对角相等。
5.矩形的性质：四个角都是直角，对角线相等且互相平分。
6.菱形的性质：四边相等，对角线垂直且互相平分。
7.正方形的性质：四边相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分。
8.等腰梯形的性质：两腰相等，两底平行，对角线相等。
初中数学定理大全完整版
初中数学定理大全完整版一、形状定理1、平行线定理：平行线之间的距离总是相等的；2、垂直线定理：任意两条垂直（直角）线的交点到两条线的距离是一样的；3、平面角定理：两个线段相交时，连接交点和两条线段两端点的角之和为180°；4、直线交角定理：两条直线交于一点，则它们的夹角等于二者的夹角之和。
1、三角形垂直定理：三角形的最长边总是位于与其最短边所成的夹角的对角线上；2、三角形最佳定理：三角形的任意边之和大于另外两边的和；3、勾股定理：三角形的任意一边的平方等于其他两边的平方和；4、海伦定理(三角形面积定理）：三角形的面积等于其他两条边乘以两边之间的距离除以2；5、正三角形三边定理：正三角形的三条边相等；7、三角形平行线定理：在任意三角形内，任何一条对角线上的对应边都是平行的。
三、图论定理1、桥接定理：在一个有环的图中，如果删去一条边便使得图变成连通图，则这条边称为桥；2、塔定理：有向图中，任何两个节点都有一条路径相连；3、欧拉定理：一个有向图G中，如果所有顶点的度之和等于该图边数的两倍，则称G是欧拉图，而且图G必然是可以从一个顶点出发，遍历所有边，而只经过每条边一次，而能最终回到原点的图。
四、坐标定理1、点斜式定理：求点斜式的方法是先除以斜率（斜率为小数时，先乘以分子的倒数，然后在除以分母），得出的结果等于两个点之间的横坐标差和纵坐标差的比例；2、两点式定理：由两点确定一条直线，则把这两点坐标代入直线方程可解出直线方程；3、三角形独特性定理：平面上存在唯一一个拥有三个顶点的三角形，它将这三顶点分割为三条等长线段；4、极坐标定理：极坐标下，任意一点都可以用一对数值来表示，它表示该点，绕原点运行某一方向的角距离，以及该角所指的点到原点的距离。
初中所有的几何定理和性质A4纸
平行四边形一．平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2．性质定理：（1）平行四边形的两组对边分别平行.（2）平行四边形的两组对边分别相等.（3）平行四边形的两组对角分别相等.（4）平行四边形的对角线互相平分.3．判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.菱形二．菱形1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质定理：（1）菱形具有平行四边形的一切性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的对角线互相平分且垂直且平分一组对角. 3．判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）四条边都相等的四边形是菱形.（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.矩形三．矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质定理：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.（2）矩形的四个角都是直角.（3）矩形的对角线互相平分且相等.3．判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）四个角都是直角的四边形是矩形.（3）对角线相等的平行四边形是矩形.正方形四．正方形1．定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.2．性质定理：（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质. 3．判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形.（2）对角线相等的菱形是正方形.（3）一组邻边相等的矩形是正方形.（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.梯形五．梯形1．定义：有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.2．性质定理：有一组对边平行.3．等腰梯形定义：有两个腰相等的梯形.4．等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等. （2）对角线相等.5．等腰梯形的判定定理：（1）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.6．直角梯形的判定定理：（1）一腰垂直于底的梯形是直角梯形.（2）有一个角是直角的梯形是直角梯形.平行线一．平行线公理一（平行线判定公理）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.定理（1）（平行线判定定理）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.定理（2）（平行线判定定理）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.公理二（平行线性质公理）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.定理（1）（平行线性质定理）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.定理（2）（平行线性质定理）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.全等三角形二．全等三角形公理三（三角形全等判定公理）：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）公理四（三角形全等判定公理）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）公理五（三角形全等判定公理）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）推论（三角形全等判定）：两角及其中一角对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）公理六（三角形全等性质公理）：全等三角形的对应边相等、对应角相等.相似三角形三．相似三角形1．定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.2．判定定理：（1）定义.（2）两角对应相等的两个三角形相似.（3）三边对应成比例的两个三角形相似.（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.3．性质定理：相似三角形对应高的比、对应角分线的比和对应中线的比都等于相似比.相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.等腰三角形一．等腰三角形1．等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等.简单叙述为：等边对等角.推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 2．等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简单叙述为：等角对等边.60的等腰三角形是等边三角形.3．等边三角形判定定理：有一个角等于0直角三角形二．直角三角形1．直角三角形性质定理：（1）（勾股定理）直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方.30，那么它所对的直角（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于0边等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.2．HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.3．直角三角形判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.线段的垂直平分线三．线段的垂直平分线1．线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2．定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3．线段的垂直平分线判定定理：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 四．角平分线1．角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.2．定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3．角平分线判定定理：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.圆形垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.垂径定理的推论（2）：圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理的推论（3）：直径，平分弦，垂直，平分优弧，平分劣弧，5个中任意2个成立其余都成立.（5选2）圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；所对的弦，所对的弦心距相等，圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都等分别相等. （4选1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.圆周角定理的推论（1）：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角定理的推论（2）：90°的圆周角所对的弦是直径.圆周角定理的推论（3）：直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形圆内接四边形性质（1）：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形性质（2）：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心是圆心.三角形的外接圆、三角形的外心（1）三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心是三角形的三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.三角形的内切圆、三角形的内心（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，它的圆心是三角形的三个角的角平分线的交点，叫做三角形的内心.（2） 三角形的内心到三角形的三边的距离相等.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）.切线的判定定理：(1)经过直径的一端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.(3)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.相切两圆的性质：如果相切两圆相切（内切或外切），那么两圆的连心线（经过两圆圆心的直线）必过切点，即两个圆的圆心、切点三点共线.弧长公式：n ︒的圆心所对的弧长的计算公式为180n R l π=如果扇形的半径为R ,圆心为n ︒那么扇形的面积计算公式为2360n R S π=扇形； 若用弧长来表示扇形的面积为12S Rl =扇形. 圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π，圆锥的侧面积：S rl π=侧，圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即2S rl rππ=+圆锥。
八年级上册数学必背几何定理
八年级上册数学必背几何定理
1. 线段的垂直平分线定理
如果一条线段的中点在另一条线段的垂直平分线上，那么这两条线段互相垂直且等长。
2. 直角三角形的性质
如果一个三角形的一个角是直角，那么它的两条边的平方和等于斜边的平方。
3. 等腰三角形的性质
如果一个三角形的两条边相等，那么它的两个底角也相等。
4. 相关角的性质
如果两条直线被一条直线截断，那么对于截断直线上的任意一点，其对应的相关角是相等的。
5. 平行线的性质
如果两条直线被一条直线截断，并且对应的相关角相等，则这两条直线平行。
6. 七线定理
一个三角形的三条中线、三角形的三条高线和三角形的三条角平分线都会交于同一个点，这个点被称为三角形的重心。
7. 圆的性质
圆的直径是圆上任意两点之间的最长线段，圆的半径与圆上任意两点之间的线段长度相等。
8. 圆的弧和弦的性质
如果在一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所对应的弦的长度也相等。
9. 相交弦定理
如果两条弦在圆的内部相交，那么它们所夹的弧所对应的圆心角相等。
10. 切线定理
如果一条直线与一个圆相切于某个点，那么这条切线与半径所在直线的夹角是直角。
以上是八年级上册数学必背的几何定理，掌握这些定理可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。
中考数学平面几何六十个定理大全
中考数学平面几何六十个定理大全1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。
6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。
7、三角形的三条高线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线(欧拉线)上。
10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆)圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。
13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有ABCD+ADBC=ACBD20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。
初中经典几何定理
初中经典几何定理整理By David1.勾股定理若a,b,c 分别是一直角三角形的三边长，其中c 为斜边，则222a b c +=证明一如图，将四个全等的直角三角形围成两个正方形，根据正方形与三角形面积的关系，立即得到()22142b a abc -+´=整理即得222a b c +=证明二如图，将两个全等的直角三角形摆成梯形，根据梯形与三角形面积的关系，得()()21112222a b a b ab c +⋅+=´+整理即得222a b c +=注将方法一中相邻两个直角三角形外翻即得到了方法二.勾股定理是证明方法最多的定理之一，其它证明不多说了.2.正弦定理在△ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c.那么sin sin sin 2ABCa b c abc A B C S ===证明考虑三角形的面积公式111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C=⋅=⋅=⋅ 将等式各项取倒数并同乘12abc，即得方法一方法二sin sin sin 2ABCa b c abc A B C S ===证毕.注这显然表示锐角三角形中大角对大边，同时也可以推出钝角三角形中也是如此.3.余弦定理在△ABC 中，A B C 、、所对边长分别为a 、b 、c ，则2222cos c a b ab C=+-⋅(＊)以及2222cos a b c bc A =+-⋅2222cos b a c ac B=+-⋅证明一如图1，作△ABC 中AC 边的高BD ，则易知cos CD a C =⋅，由勾股定理()222222222222 2 2 2cos AB BD AD BD AC CD BD AC CD AC CD BC AC AC CD a b ab C=+=+-=++-⋅=+-⋅=+-⋅即2222cos c a b ab C=+-⋅那么(＊)式得证，则同理其余两式亦得证.注一其中2222AB BC AC AC CD =+-⋅称作“广勾股定理”.证明二如图，将△ABC 绕点C 旋转90°得到△ECD ，由于旋转角为90°，则AB DE ^，对于对角线互相垂直的四边形BEAD ，有21122BEAD S AB DE c =⋅=四边形，而()()()()222222221111sin 90sin 180********sin 902211sin 90221122BCE ACD BCD ACEBEAD S S S S S a b ab C ab C a b ab C a b ab C a b ab =+++éù=++⋅ - +⋅ - - ëû=++⋅ - =+-⋅ - =+-△△△△四边形cos C⋅ 这就得到了2222cos c a b ab C=+-⋅注二本证明没有用到勾股定理，所以事实上，还可以由余弦定理在90C = 时的特殊情况来得到勾股定理.1此处假定了△ABC 是锐角三角形，若是钝角三角形也可类似讨论.方法二则设为钝角三角形，请留意.4.Heron 公式若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且()12p a b c =++，则ABC S △证明设在△ABC 中，AB a =，AC b =，BC c =，BC 上的高AD h =.则c4442222222222240a b c a b b c a c c h ++---+=令444222222222a b c a b b c a c P++---=则()()()()()()()2242222224222222222222222 24 4 22 P a b a a b a b c c b c a b c b c bc a b c bc a b c a b c a b c -=-=--+--+=---+=+---++=++⋅+-åå 而h，可知12S ch =，故得S =得证.5.张角定理若P 为△ABC 的边BC 上一点，使得BAP a =，CAP b =，则()sin sin sin AC AB APa b a b++=证明事实上，由面积关系方法一方法二ABP ACP ABCS S S +=△△△就有()111sin sin sin 222AB AP AC AP AB AC a b a b ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+等式两边同除以12AB AC AP ⋅⋅就得到了()sin sin sin AC AB APa b a b ++=得证.6.Stewart 定理若P 为△ABC 的边BC 上一点，则222PC BPAP AB AC BP PC BC BC=⋅+⋅-⋅证明由余弦定理222222cos 2 cos 2AP BP AB APBAP BPAP CP AC APC AP CP+-= ⋅+-=- =-⋅则()()22222202CP AP BP AB BP AP CP AC AP BP CP+-++-=⋅⋅()()222BP CP AP AB CP AC BP BP CP BP CP +=⋅+⋅-⋅⋅+两边同除以BP CP BC +=即得222PC BPAP AB AC BP PC BC BC=⋅+⋅-⋅得证.注本定理有许多特殊情况可以产生许多有用的公式，如：(1)当AP 为BC 上的中线时，有2222111224AP AB AC BC =+-(中线长公式)(2)当AP 为BC 上的角平分线时，有2AP AB AC PB PC=⋅-⋅(角平分线长公式)(3)当AB AC =时22AP AB BP PC=-⋅(圆幂定理)7.共边比例定理如图1，△XAB 和△YAB 具有公共边AB ，△XYA 和△XYB 具有公共边XY ，XY 交AB 于P.那么就有1当X 、Y 在AB 的两则时，结论同样成立，证明与之类似.XYA XYB S APS BP=，ABX ABY S XP S YP = 证明事实上，显然同高三角形面积之比等于其高所在底边之比，那么XAP YAP XBP YBP S S APS S BP== 由等比定理，就有XYA XAP YAP YXB XBP YBP S S S APS S S BP-==- 类似地，也有YAP YBP XAP XBP S S YPS S XP== YAB YAP YBP XAB XAP XBP S S S YPS S S XP+==+ 于是命题得证.8.Menelaus 定理及其逆定理在△ABC 的边AB 、AC 及BC 的延长线上分别取点D 、E 、F.若D 、E 、F 共线，则1BD AE CFAD CE BF⋅⋅=证明连AF 、BE 就容易由共边比例定理知道BEF AEF S BD AD S = ，ABE AFE BEF S S AE CE S +=，AEF AEF AEBS CFBF S S =+ 那么就有1BEF ABE AFEAEF AEF BEF ABE AFES S S S BD AE CF AD CE BF S S S S +⋅⋅=⋅⋅=+ 于是命题即得证.反之，当1BD AE CFAD CE BF⋅⋅=时，可延长DE 交BC 的延长线于F’，那么由Menelaus 定理'1'BD AE CF AD CE BF ⋅⋅=可知''CF CF BF BF =1''''''CF BF CF BF BF CF BC CF BF CF BF BF CF BC- = ====-即F 与F’重合，D 、E 、F 共线得证.9.Ceva 定理及其逆定理在△ABC 的边AB 、AC 及BC 上分别取点F 、E 、D.若AD 、BE 、CF 共点P ，则1AF BD CE BF CD AE⋅⋅=证明同样由共边比例定理，知1BPC APCABP APC BCP ABPS S S BF AE CD AF CE BD S S S ⋅⋅=⋅⋅= 其逆定理亦由同一法可证，此处不再赘述.10.Ptolemy 定理以及Ptolemy 不等式在凸四边形ABCD 中(四点顺次)，有AB CD AD BC AC BD⋅+⋅³⋅当且仅当四边形ABCD 为圆的内接四边形时，等号成立1.证明以BC 为边向内作BEC BAD ，则知亦有ABE DBC ，于是AD BD CE BC =，AB AEBD CD=于是知AD BC CE BD ⋅=⋅，AB CD BD AE⋅=⋅从而() AB CD AD BC BD AE CE BD AE CE BD AC BD⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅³⋅其中等号成立时，有AE CE AC+=180180AEB BEC BCD BAD + = + =即等价于四边形ABCD 为圆的内接四边形.命题得证.1等号成立时称作“Ptolemy 定理”.注对矩形使用Ptolemy 定理，可以得到勾股定理.11.圆幂定理在O 所在平面内有一点P ，过点P 的直线与O 交于A 、B .则()()()2222 R PA PB P OP R P R PA PB P ìï-⋅ïïïï=íïïï+⋅ïïî当在圆内当在圆上当在圆外证明作OK AB ^于K ，连OB ，则由垂径定理知BK AK =，当P 在圆内时，()()222222R OP BO OP BK PK BK PK AK PK BP AP-=-=-=-+=⋅以及P 在圆外时，()()222222OP R PO BO PK BK PK BK PK AK BP AP-=-=-=-+=⋅这就得到了证明.圆幂定理包含了相交弦定理和割线定理，分别是：(1)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AC 、BD 交于圆内一点P ，则PA PC PB PD ⋅=⋅(2)A 、B 、C 、D 都是圆上的点，若直线AB 、DC 交于圆外一点P ，则PA PB PD PC ⋅=⋅12.弦切角定理如图，直线MN 与O 切于K ，A 、B 是O 上不同于K 的两点，则1BKM BAK = ，AKN ABK = .证明作过K 的直径PK ，由切线定义知90PKN = ，而PK 是直径，所以APK AKP + =90°，即AKP AKN AKP APK + = + ，故AKN APK ABK = = ，得证.另一1其中AKN 、BKM 分别称作“弦切角”.组角的关系同理亦可证.13.鸡爪定理AD 平分△ABC 中的A ，交其外接圆于D .I 、P 分别为△ABC 的内心和A-旁心.则DI DB DC DP ===证明事实上，通过导角即易得DIC DAC ACI ICB BAD ICB BCD = + = + = + =∠ICD ，于是DI DC =，同理DI DB =.由90IBP ICP = = ，又知I 、B 、P 、C 共圆，而D 即为圆心，故得证.注由同一法亦不难证，若在角平分线AD 所在直线截取DI DP DB ==，则所得I 、P 分别为内心和旁心.14.定差幂线定理在四边形ABCD 1中，等式2222AB BC AD CD -=-被满足的充要条件是AC BD ^.证明先证明充分性.设对角线AC 、BD 交于E.若AC BD ^，则易知222222AB BC AE CE AD CD -=-=-，充分性得证.再证必要性.若2222AB BC AD CD -=-，作1BE AC ^于1E ，2DE AC ^于2E ，则知222222221122AE CE AB BC AD CD AE CE -=-=-=-而1本定理对凸四边形和凹四边形都适用.1122AE CE AE CE +=+这表明1122AE CE AE CE -=-1212,AE AE CE CE ==即1E 、2E 重合为一点，易知这点就是四边形对角线之交点，必要性得证.15.Euler 线定理△ABC 的垂心H ，外心O ，重心G 共线.此线称为Euler 线.证明首先，我们证明一个引理.在△ABC 中，OK BC ^于K ，则2AH OK=事实上，作△ABC 的高AD 和BE ，则知CHE BAC KOC = = ，于是Rt OKC Rt HEC而AHE BCA = ，就又有Rt AHE Rt BCE那么2OK HE AH AHCK CE BC CK===2AH OK=这就使引理得到了证明.这个引理在做其它的几何问题时也常常用到，十分有用.接下来用引理证明原命题.现在，我们设OH 与中线AK 交于G ，注意到OK ∥AH ，由引理我们就知道了12KG OK AG AH ==而重心也恰好把中线(由顶点到对边中点)分为2:1两部分，这说明了G 即为△ABC 的重心，这就证明了O 、H 、G 共线.16.Euler 定理设△ABC 的外心为O ，内心为I ，外接圆、内切圆半径分别为R 、r ，则222OI R Rr=-证明设直线AI 交△ABC 外接圆于D ，作直径DE ，连结CD 、CE .容易知道Rt AIF Rt ECD 这是由于12IAF DEC BAC= = 于是即有AI IF AI CD DE IF DE CD= ⋅=⋅而由鸡爪定理CD ID =，又由圆幂定理22R OI AI ID -=⋅，于是222R OI AI CD IF DE Rr-=⋅=⋅=命题得证.17.九点圆定理H 为△ABC 的垂心，AD 、BE 、CF 为△ABC 的高，X 、Y 、Z 分别为AB 、BC 、AC 的中点，R 、S 、T 分别为AH 、BH 、CH 的中点，则△XYZ 的外接圆还通过D 、E 、F 、R 、S 、T.此圆称作△ABC 的九点圆.证明我们先说明△XYZ 的垂心就是△ABC 的外心.事实上，注意到XZ 、XY 、YZ 都是△ABC 的中位线，均平行于△ABC 的三边.设△XYZ 的垂心为XYZ H ，那么XYZ H X YZ ^，即是XYZ H X AB ^，从而XYZ H 事实上也是△ABC 三边中垂线的交点，即其外心.我们再说明△XYZ 的重心与△ABC 的重心重合.事实上，注意到四边形AXYZ 、BYZX 、CZXY 都是平行四边形，对角线互相平分，所以△XYZ 的中线都在△ABC 的中线上，结论就显然了.这样，就容易知道G 、O 、XYZ H 都在△XYZ 的Euler 线上，而G 、H 、XYZ H 又在△ABC 的Euler 线上，而且122XYZ H G GH OG==我们取△ABC 的中线AY ，交XZ 于N ，显然122XYZ H Y ON AH AR===而1,2YN AY NO AR=于是YNO YAR知NYO AYR= 故Y 、O 、R 共线且O 成为YR 之中点，所以YR 就是⊙O 的一条直径.设⊙O 交BC 于D’，那么RD’就垂直于BC ，故D’与D 重合，这就证明了⊙O 通过D 与R.同理可证⊙O 还通过E 、S 和F 、T ，于是命题就得到了证明.18.蝴蝶定理如图，M 为⊙O 中的弦AB 的中点，过M 任意两条不与AB 重合的不同直线分别交圆于C 、D 以及E 、F ，连结CF 、DE 交弦于P 、Q .则MP MQ =.证明一作K 与F 关于OM 对称，显然K 在⊙O 上，且KMB FMA = ，对⊙O 上的弧进行运算，知：m m KMB FMA BE AFBEBK EK QDK= =+=+== 故M 、D 、K 、Q 共圆，于是知QKM QDM PFM = = ，而MF MK =，故PMF QMK@ 故MP MQ =.证毕.证明二连结OM 、OP 、OQ.作OR CF ^，OS DE ^于R 、S .易知OM AB ^，故M 、P 、R 、O 共圆，Q 、M 、O 、S 共圆，则MOP MRP = ，MOQ MSQ = ，而由CMF EMD而R 、S 恰是对应边的中点，那么显然CRM ESM故CRM ESM = ，那么MOP MOQ = ，这就显然证明了MP MQ =.证毕.注改变观察⊙O 的视角，将其“压缩”成一个椭圆，可以知道本定理在椭圆中也成立，但这不是一个严密的证明，只是一个理解方式，这个证明超出了本文档的范围，就不给出了.19.Simson(Wallace)1定理如图，P 为△ABC 的外接圆上一点，过P 作△ABC 三边所在直线的垂线，垂足分别为X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 三点共线2.证明由于90BXP BYP CZP = = = ，容易知道X 、B 、P 、Y 以及Y 、P 、Z 、C 分别四点共圆，于是导角得：()180180XYP ZYP ABP PCZ PCA PCZ + = - + = + =故知X 、Y 、Z 共线，证毕.反之，若X 、Y 、Z 共线，则P 在外接圆上.这个逆定理也成立.事实上，以同样的方法倒过来证明就可以了(即用180ABP ACP + = 来得到结论).20.Fermat 点定理以最大角小于120°的△ABC 的三边向外作三个正三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，连结CD 、AE 、BF ，则这三条直线交于一点P ，这点P 是三角形中到三顶点距离之和最小的点.证明首先证明CD 、AE 、BF 交于一点.事实上，设BF 、AE 交于P ，那么容易得到1把本定理说成是Simson 定理实际上是张冠李戴了，这是由Wallace 首先发现的.2此直线叫“Simson 线”.ACE FCB@ 则知PAC PFC = ，于是A 、P 、C 、F 共圆，可知ACP AFB = ，而由ACD AFB@ 得到ACD AFB = ，这就表明ACD ACP = ，即D 、P 、C 共线，这就证明了结论.然后证明点P 可以使得该点到三顶点的距离之和最小，即若△ABC 中有另一点Q ，则PA PB PC QA QB QC++£++在PF 上截取PL 使AP PL =，而易知60APF = ，故有正△APL ，那么容易得到APC ALF@ 于是PC LF =，那么即有PA PB PC PL PB LF BF ++=++=.而对于点Q ，我们作正△AQK ，这也很快得到AQ QK =，CQ KF =，而显然QB QK KF BF++³那么即有QA QB QC PA PB PC++³++得证.21.Newton 线定理如图，△ABC 被一条截线DEF 所截，其中D 在AB 上，E 在BC 上，F 在AC 之延长线上，分别取CD 、BF 、AE 的中点N 、M 、K .则N 、M 、K 共线.证明一如图，构造△BDE 的中点三角形XYZ ，可知ZX 经过K ，YZ 经过M ，YX 经过N .并知ZM EF YM DF=，YN BC XN EC =，XK AD ZK AB =而对△BDE 以及截线FCA 运用Menelaus 定理，知1AD BC EF AB CE DF⋅⋅=这恰表明1ZM YN XK YM XN ZK⋅⋅=再由Menelaus 逆定理，即得到了M 、N 、K 共线.证明二取BD 、CF 的中点Y 、P ，容易证明14NPM NYP ABCD S S S == (请读者自证)，用它来进行面积的推导，知()()()()()()1111 244211 44111 44411 44ANM ADN DYN YMN BYM ABMADC DBCF BCD BFD ADC BDCF BCD BFD BDCF BCDF BFC BDCF CDF BDCF BDCF DCF BCF S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S =+++-=+++-+=+-=-+--=-+ NEMS = 若设直线MN 交AE 于K’，那么由共边比例定理知'1'ANM MENS AK EK S == 这即表明K’为AE 之中点，故K’与K 重合，得证.22.Archimedes 定理如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，D 为 BAC之中点，过D 向AB 、AC 中较长的一条引垂线，垂足为E ，则E 平分折线AB AC +之长.证明连BD 、CD 、AD ，并在AB 上取K 使EK AE =，那么易知DK AD =.而由于D 为 BAC之中点，则BD CD =，而它们的底角DAB DCB = ，知两个等腰三角形相似.那么就有BDC KDA BDK CDA = = ，且由等腰可推知DKB DAC @ ，这即表明BK AC =，那么就有BE BK KE AE AC =+=+，得证.23.Apollonius 圆定理设平面上有不同的两点A 、B ，那么该平面上使得PB k PA=为定值()1k k ¹的P 的轨迹是一个圆1.证明我们将之放入平面直角坐标系中，设A 为原点，()1,0B k +2，(),P x y .作△ABP 的高PC ，则()22222BC PC k AC PC +=+()()222221k x y k x y +-+=+处理得222111k x y k k æöæö÷÷çç++=÷÷çç÷÷ççèøèø--这表明P 在一个圆上，且圆心为1,01k æö÷ç-÷ç÷çèø-，半径为1k k -.[主要参考文献][1]沈文选.数学奥林匹克小丛书(第二版)之三角形与四边形[M].上海:华东师范大学出版社.2012.[2]柯新立.数学奥林匹克小丛书(第二版)之圆[M].上海:华东师范大学出版社.2012.[3]单墫.平面几何中的小花[M].上海:华东师范大学出版社.2011.[4]沈康身.历史数学名题赏析[M].上海:上海教育出版社.2010.1该圆称作“Apollonius 圆”.2不失一般性.。
(完整word版)中学几何定理大全,推荐文档
等腰三角形：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.性质：1.等腰三角形的两条腰相等；2.等腰三角形的两个底角相等；3.等腰三角形是轴对称图形；4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合,它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.判定：1.有两条边相等的三角形是等腰三角形；2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.等边三角形：定义：三边都相等的三角形是等边三角形,也叫正三角形.性质：1.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,任意边的垂直平分线都是它的对称轴；2.等边三角形的三个角都相等,每个角都是60°.判定：1.三条边都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；3.有两个角是60°的三角形是等边三角形.直角三角形：定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.其中,构成直角的两边叫做直角边,直角边所对的边叫做斜边.性质：1.直角三角形的两个余角互余；2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.勾股定理.判定：1.有一个角是直角的三角形是直角三角形；2.有两个角互余的三角形是直角三角形；3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半,那么这个三角形是直角三角形；4.如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形.15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆.110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所有的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上135①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n兀R／180145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))积化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)和差化积sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角诱导公式sin(-a)=-sin(a)cos(-a)=cos(a)sin(pi/2-a)=cos(a)cos(pi/2-a)=sin(a)sin(pi/2+a)=cos(a)cos(pi/2+a)=-sin(a)sin(pi-a)=sin(a)cos(pi-a)=-cos(a)sin(pi+a)=-sin(a)cos(pi+a)=-cos(a)tgA=tanA=sinA/cosA万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2其他非重点三角函数csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行四边形
一．平行四边形
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．性质定理：（1）平行四边形的两组对边分别平行.
（2）平行四边形的两组对边分别相等.
（3）平行四边形的两组对角分别相等.
（4）平行四边形的对角线互相平分.
3．判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
菱形
二．菱形
1．定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2．性质定理：（1）菱形具有平行四边形的一切性质.
（2）菱形的四条边都相等.
（3）菱形的对角线互相平分且垂直且平分一组对角. 3．判定定理：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.
（2）四条边都相等的四边形是菱形.
（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
矩形
三．矩形
1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2．性质定理：（1）矩形具有平行四边形的一切性质.
（2）矩形的四个角都是直角.
（3）矩形的对角线互相平分且相等.
3．判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）四个角都是直角的四边形是矩形.
（3）对角线相等的平行四边形是矩形.
正方形
四．正方形
1．定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.
2．性质定理：（1）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质. 3．判定定理：（1）有一个角是直角的菱形是正方形.
（2）对角线相等的菱形是正方形.
（3）一组邻边相等的矩形是正方形.
（4）对角线互相垂直的矩形是正方形.
梯形
五．梯形
1．定义：有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
2．性质定理：有一组对边平行.
3．等腰梯形定义：有两个腰相等的梯形.
4．等腰梯形性质定理：（1）等腰梯形同一底上的两个内角相等. （2）对角线相等.
5．等腰梯形的判定定理：（1）同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.
6．直角梯形的判定定理：（1）一腰垂直于底的梯形是直角梯形.
（2）有一个角是直角的梯形是直角梯形.
平行线
一．平行线
公理一（平行线判定公理）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
定理（1）（平行线判定定理）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
定理（2）（平行线判定定理）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
公理二（平行线性质公理）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
定理（1）（平行线性质定理）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
定理（2）（平行线性质定理）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
全等三角形
二．全等三角形
公理三（三角形全等判定公理）：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）
公理四（三角形全等判定公理）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）
公理五（三角形全等判定公理）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）
推论（三角形全等判定）：两角及其中一角对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）公理六（三角形全等性质公理）：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
相似三角形
三．相似三角形
1．定义：三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形.
2．判定定理：（1）定义.
（2）两角对应相等的两个三角形相似.
（3）三边对应成比例的两个三角形相似.
（4）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
3．性质定理：相似三角形对应高的比、对应角分线的比和对应中线的比都等于相似比.
相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
等腰三角形
一．等腰三角形
1．等腰三角形性质定理：等腰三角形的两个底角相等.简单叙述为：等边对等角.
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 2．等腰三角形判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.简单叙述为：等角对等边.
60的等腰三角形是等边三角形.
3．等边三角形判定定理：有一个角等于0
直角三角形
二．直角三角形
1．直角三角形性质定理：（1）（勾股定理）直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方.
30，那么它所对的直角
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于0
边等于斜边的一半.
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
2．HL定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
3．直角三角形判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是
直角三角形.
线段的垂直平分线
三．线段的垂直平分线
1．线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2．定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 3．线段的垂直平分线判定定理：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 四．角平分线
1．角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2．定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
3．角平分线判定定理：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
圆形
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论（2）：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
垂径定理的推论（3）：直径，平分弦，垂直，平分优弧，平分劣弧，5个中任意2个成立其余都成立.（5选2）
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；所对的弦，所对的弦心距相等，圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都等分别相等. （4选1）
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理的推论（1）：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
圆周角定理的推论（2）：90°的圆周角所对的弦是直径.
圆周角定理的推论（3）：直径所对的圆周角是直角.
圆内接四边形
圆内接四边形性质（1）：圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形性质（2）：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.
圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
三角形的外接圆、三角形的外心
（1）三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，它的圆心是三角形的三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.
（2）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
三角形的内切圆、三角形的内心
（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，它的圆心是三角形的三个角的角平分线的交点，叫做三角形的内心.
（2） 三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径（或半径）.
切线的判定定理：(1)经过直径的一端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.
(3)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
相切两圆的性质：如果相切两圆相切（内切或外切），那么两圆的连心线（经过两圆圆心的直线）必过切点，即两个圆的圆心、切点三点共线.
弧长公式：n ︒的圆心所对的弧长的计算公式为180n R l π=
如果扇形的半径为R ,圆心为n ︒那么扇形的面积计算公式为2360n R S π=扇形； 若用弧长来表示扇形的面积为12
S Rl =扇形. 圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r
，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2r π，圆锥的侧面积：S rl π=侧，圆锥的侧面积与底面积的和称为圆锥的全面积，即
2
S rl r
ππ=+圆锥。