最新高二数学上学期期末考试试卷含答案

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高中数学选择性必修二高二上学期数学期末测试卷(A卷夯实基础)同步单元AB卷(含答案)

班级姓名学号分数高二上学期数学期末测试卷（A 卷·夯实基础）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．过两点()()5,,3,1A y B -的直线的倾斜角是135°，则y 等于（） A ．2 B ．2- C ．3 D ．3-【答案】D 【详解】因为斜率tan1351k ︒==-，所以1153y k +==--，得3y =-. 故选：D.2．40y --=，经直线10x y +-=反射，则反射光线所在直线的方程是（） A50y ++= B．40x += C．50x += D．0x +=【答案】C 【详解】40y --=，令0x =，解得4y =-，设()0,4A -，关于直线10x y +-=的对称点为(),B m n ，则4141022n mm n +⎧=⎪⎪⎨-⎪+-=⎪⎩，解得51m n =⎧⎨=⎩，即()5,1B ，40y --=，令x =1y =-，设)1C-，关于直线10x y +-=的对称点为(),D a b ，则11102b =--=，解得21a b =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,1D ，BD k ==直线BD：)15y x -=-，即50x =。

故选：C3．已知异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==，则,a b 夹角的大小是（） A ．56πB ．34π C ．3π D ．6π【答案】C 【详解】异面直线,a b 的方向向量分别是()()2,1,3,1,3,2m n --==∴21132371cos ,1424m n m n m n⨯+⨯-+⨯-⋅-====-，异面直线,a b 所成角为范围为02πθ<≤，,a b ∴夹角的大小是3π故选：C4．设数列{}n a 的前n 项和S n =n 2，则a 8的值为（） A ．15 B ．16C ．49D ．64【答案】A 【详解】878644915a S S =-=-= 故选：A5．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【详解】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.6．直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（）A ．BCD ．【答案】C 【详解】由题意可知1CC ⊥平面ABC ，且90BCA ∠=，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则()2,0,0A 、()0,2,0B 、()1,0,2N 、()1,1,2M ，()1,0,2AN =-，()1,1,2BM =-，30cos ,56AN BM AN BM AN BM⋅<>===⨯⋅故BM 与NA 30故选：C.7．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线C 上一点，N (2，2)，则MF MN +的最小值为（） A ．3 B ．2C ．1D ．4【答案】A 【详解】因为抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F (1，0)，准线为1x =-，根据抛物线定义可知MF =1M x +，所以当MN 垂直抛物线准线时，MF MN +最小，最小值为：13N x +=. 故选：A .8．已知椭圆C ：2222x y a b +=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为34，点P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2=π2，且F 1PF 2内切圆的半径为1，则C 的方程为（） A ．22167x y +=1B ．223214x y +=1C ．24x +y 2=1D ．22447x y +=1【答案】A 【详解】易知F 1PF 2中，内切圆半径r =1212-2PF PF F F +=a -c =1，又离心率为34c a =，解得a =4，c =3，所以椭圆C 的方程为22167x y +=1. 故选：A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，316a =，512a =，则（） A ．2d =- B ．124a =C ．2628a a +=D ．n S 取得最大值时，11n =【答案】AC 【详解】解法一：由题可得11216,412a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得120,2,a d =⎧⎨=-⎩故选项A 正确，选项B 错误；易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，则26181028a a +=+=，选项C 正确.因为1020a =>，110a =，1220a =-<，所以当10n =或11时，n S 取得最大值（技巧：由0d <得数列{}n a 递减，进而判断n S 最大时的临界项）选项D 错误. 故选：AC解法二：对于A ：易知53212164d a a =-=-=-，所以2d =-，选项A 正确；对于B ：()132162220a a d =-=-⨯-=，选项B 错误；对于C ：263528a a a a +=+=，选项C 正确；对于D ：易知()()2012222n a n n =+-⨯-=-+，1020a =>，110a =，1220a =-<（技巧：由0d <得数列递减，进而判断n S 最大时的临界项）所以当10n =或11时，n S 取得最大值，所以选项D 错误. 故选：AC10．已知直线:440l kx y k -+-=与圆22:4440M x y x y +--+=，则下列说法中正确的是（）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若0k =，则直线l 与圆M 相切C ．当1k =时，直线l 被圆M 截得的弦最长D ．圆心M 到直线l的距离的最大值为【答案】BCD【详解】22:4440M x y x y +--+=，即()()22224x y -+-=，是以()2,2为圆心，以2为半径的圆，A.因为直线:440l kx y k -+-=，直线l 过()4,4，2244444440+-⨯-⨯+>，则()4,4在圆外，所以直线l 与圆M 不一定相交，故A 错误；B.若0k =，则直线:4l y =，直线l 与圆M 相切，故B 正确；C.当1k =时，直线l 的方程为0x y -=，过圆M 的圆心，即直线l 是直径所在直线，故C 正确；D.由圆的性质可知当直线l 与过点()4,4的直径垂直时，圆心M 到直线l 的距离的最大，此时=故D 正确，故选：BCD.11．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列说法正确的是（） A ．点P 到x 轴的距离为4 B ．12523PF PF += C ．12PF F △为钝角三角形 D ．1260F PF ∠=︒【答案】AC 【详解】由双曲线的方程可得4a =，3b =，则5c =，由12PF F △的面积为20，得112102022P P c y y ⨯⨯=⨯⨯=，解得4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 选项正确；将4P y =代入双曲线方程可得203P x =，根据双曲线的对称性可设20,43P ⎛⎫⎪⎝⎭，则2133PF =，由双曲线的定义知1228PF PF a -==，则11337833PF =+=，则12133750333PF PF +=+=，故B 选项错误；在12PF F △中，12371321033PF c PF =>=>=，则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则12PF F △为钝角三角形，故C 选项正确；()2222121212121212122100cos 22PF PF PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF -+-+-∠==13376410021891331133713372233-+⨯⨯⨯==-≠⨯⨯⨯，则1260F PF ∠=︒错误，故选：AC.12．已知函数()2ln f x x x =，下列说法正确的是（）A ．当1x >时，()0f x >；当01x <<时，()0f x <B ．函数()f x的减区间为(，增区间为)+∞C ．函数()f x 的值域1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1f x x ≥-恒成立【答案】ACD 【详解】对于选项A ，当01x <<时，ln 0x <；当1x >时，ln 0x >，故选项A 正确；对于选项B ，2ln 2ln 1fxx x x x x ，令()0f x '>可得2ln 10x ，有x >知函数()f x 的减区间为⎛⎝，增区间为⎫+∞⎪⎭，故选项B 错误；对于选项C ，由上可知()min 11e 2e f x f ===-，x →+∞时，()f x →+∞，故选项C 正确；对于选项D ，()22111ln 10ln 0f x x x x x x x x ≥-⇔-+≥⇔-+≥，令()211ln g x x x x=-+，有()()()22333121212x x x x x g x x x x x '-++--===+，令()0g x '>可得1x >，故函数()g x 的增区间为()1,+∞，减区间为()0,1，可得()()min 10g x g ==，故选项D 正确．故选：ACD ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．与直线3250x y -+=的斜率相等，且过点()4,3-的直线方程为_________ 【答案】392y x =+【详解】直线3250x y -+=的斜率为32，故所求直线方程为()3342-=+y x ，即392y x =+.故答案为：392y x =+. 14．数列{}n a 中，11a =，()*12,2nn n a a n N a +=∈+，则5a =___________ 【答案】13【详解】 122nn n a a a +=+，11a =，则1212223a a a ==+，2322122a a a ==+，3432225a a a ==+，4542123a a a ==+. 故答案为：13.15．若函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行，则实数k =___________. 【答案】2 【详解】∵()ln f x x x =+， ∴1()1f x x '=+，1(1)121f '=+=，又函数()ln f x x x =+在x =1处的切线与直线y =kx 平行， ∴2k =. 故答案为：2.16．设5(4P -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，1(2,0)F -是C 的左焦点，Q 是C右支上的动点，则C 的离心率为______，1PQF △面积的取值范围是_______．【答案】2)+∞ 【详解】双曲线C 的右焦点为2(2,0)F，则13||2PF =，27||2PF ，因点P 在双曲线C 上，则由双曲线定义得2122a PF PF =-=，即1a =，又2c =，所以双曲线C 的离心率为2ce a==；因直线PF 1的斜率1PF k =ba=1PF 与双曲线C 在第一、三象限的渐近线平行，则这条渐近线与直线1PF 0y -+的距离d ==上的点Q 到直线PF 1距离h d >=，于是得11113222PQF SPF h =⋅⋅>⨯所以1PQF △面积的取值范围是)+∞.故答案为：2；)+∞ 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．已知圆()22:20C x y mx y m R ++-=∈，其圆心在直线0x y +=上.（1）求m 的值；（2）若过点()1,1的直线l 与C 相切，求l 的方程. 【答案】（1）2m =（2）20x y +-=或0x y -= 【详解】（1）圆C 的标准方程为：222(1)124m m x y ⎛⎫++-=+⎪⎝⎭，所以，圆心为,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭由圆心在直线0x y +=上，得2m =. 所以，圆C 的方程为：22(1)(1) 2.x y ++-=（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()11y k x -=-，即10,kx y k --+=由于直线l 和圆C解得：1k =±所以，直线方程为：20x y +-=或0x y -=.18．如图，在三棱锥P -ABC 中，△ABC 是以AC 为底的等腰直角三角形，PA =PB =PC =AC =4，O 为AC 的中点.（1）证明：PO ⊥平面ABC .（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M -PA -C 为30°，求直线PC 与平面PAM 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析. （2【详解】（1）证明：连接BO，AB BC ==O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且 2BO =，又 2PA PC PB AC ====，,PO AC PO ∴⊥=222PB PO BO =+，则PO OB ⊥，OB AC O =，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ,（2）解：建立以 O 为坐标原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴的空间直角坐标系如图所示，则()0,2,0A -，(0,0,P ，()0,2,0C ，()2,0,0B ，设(2,2,0)BM BC λλλ==-()01λ≤≤，则()()(2,2,0)2,2,022,22,0AM BM BA λλλλ=-=----=-+，所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为则平面PAC 的法向量为() 1,0,0m =，设平面MPA 的法向量(,,),n x y z =则(0,2,PA =--20,n PA y ⋅=--= ()()22220n AM x y λλ⋅=-++=，令1z =，则y =(11x λλ+=-，二面角M PA C --为30︒，∴3cos302m n m n︒⋅==⋅，即=13λ= 或 3λ=( 舍)，设平面MPA的法向量(23,n =，(0,2,PC =-，设PC 与平面PAM 所成的角为θ，则|sin |cos ,|12PC n θ-=<>==+19．已知椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点1F 、2F ，点P 在椭圆上，12PF PF ⊥，____________①椭圆过点()，②椭圆的短轴长为10，③（①②③中选择一个）（1）求椭圆的标准方程；（2）求12PF F △的面积．【答案】（1）条件选择见解析，椭圆方程为2215025x y += （2）1225PF F S=【详解】（1）解：设椭圆方程()222222210,x y a b c a b a b+=>>=-.因为椭圆与双曲线221169x y -=具有共同的焦点，则225c =.选①：由已知可得a =225b =，椭圆方程为2215025x y +=；选②：由已知可得5b =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=；选③得c a =，则250a =，椭圆方程为2215025x y +=. （2）解：由椭圆定义知122PF PF a +==，又12PF PF ⊥，222124100PF PF c ∴+==②，由①可得2212121221002200PF PF PF PF PF PF ++⋅=+⋅=，解得1250PF PF ⋅=，因此，12121252PF F SPF PF =⋅=. 20．设函数()322f x x x x =--++．（1）求()f x 在2x =-处的切线方程；（2）求()f x 的极大值点与极小值点；（3）求()f x 在区间[]5,0-上的最大值与最小值．【答案】（1）7100x y ++=；（2）极小值点为1x =-，极大值点为13x =；（3）()min 1f x =，()max 97f x =.【详解】（1）由题意得：()2321f x x x '=--+，则()212417f '-=-++=-，又()284224f -=--+=，()f x ∴在2x =-处的切线方程为()472y x -=-+，即7100x y ++=；（2）令()23210f x x x '=--+=，解得：1x =-或13x =，则()(),,x f x f x '变化情况如下表：()f x ∴的极小值点为1x =-，极大值点为3x =；（3）由（2）知：()f x 在[)5,1--上单调递减，在(]1,0-上单调递增；又()5125255297f -=--+=，()02f =，()111121f -=--+=， ()()min 11f x f ∴=-=，()()max 597f x f =-=.21．已知椭圆C 的离心率e =()1A ，)2A （1）求椭圆C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 有且只有一个公共点P ，且与直线2x =相交于点Q ，求证：以PQ 为直径的圆过定点()1,0N ．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）椭圆长轴端点在x 轴上，∴可设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，由题意可得：222a b c c e a a ⎧=+⎪⎪==⎨⎪⎪=⎩，解得：11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的方程为：2212x y +=；（2）由2212x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222124220k x kbx b +++-=，曲线C 与直线l 只有一个公共点，()228120k b ∴=+-=，即2221b k =+，设(),P P P x y ，则()22422212P kb kb k x b b k =-=-=-+， 222221p P k b k y kx b b b b b-∴=+=-+==，21,k P b b ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；由2y kx b x =+⎧⎨=⎩得：22x y k b =⎧⎨=+⎩，即()2,2Q k b +； ()1,0N ，211,k NP bb ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，()1,2NQ k b =+， 2210k k b NP NQ b b+∴⋅=--+=，即NP NQ ⊥， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点()1,0N .22．已知函数()ln xe f x ax a x x=-+．（1）若a e =，求()f x 的极值点；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值点为1，无极大值点（2）(,]e -∞【详解】（1）解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞，222(1)(1)(1)()()x x x x xe e e x e e x x e ex f x e x x x x x -----'=-+=-=，令(),(0,)x g x e ex x =-∈+∞，则()x g x e e '=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，()f x ∴的极小值点为1，无极大值点；（2）由()0f x ≥得ln (ln )x x e a x x --≥，令ln ,(0,)t x x x =-∈+∞，则t e at ≥，111x t x x-'=-=，当01x <<时，0t '<，当1x >时，0t '>，所以函数ln ,(0,)t x x x =-∈+∞在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，所以当1x =时，min 1t =，[1+t ∴∈∞，），te a t∴≤，令(),[1,)te m t t t =∈+∞，则2(1)()0t e t m t t -'=≥，所以函数()t e m t t=在[1,)t ∈+∞上递增，所以min ()(1)m t m e ==，所以a e ≤，所以a 的取值范围为(,]e -∞.。

北京市海淀区2023-2024学年高二上学期期末练习数学试卷含答案

海淀区高二年级练习数学（答案在最后）2024.01考生须知1．本试卷共7页，共3道大题，19道小题．满分100分．考试时间90分钟．2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名．3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，请将本试卷交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.椭圆C ：2222x y +=的焦点坐标为（）A.(1,0)-，(1,0) B.(0,1)-，(0,1)C.()，)D.(0,，(【答案】B 【解析】【分析】先化为标准方程2212y x +=，求得222,1,1a b c ====，判断焦点位置，写焦点坐标.【详解】因为椭圆C ：2222x y +=，所以标准方程为2212y x +=，解得222,1,1a b c ===，因为焦点在y 轴上，所以焦点坐标为(0,1)-，(0,1).故选：B【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.2.抛物线2y x =的准线方程是（）A.12x =-B.14x =-C.12y =-D.14y =-【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程及性质，直接求解.【详解】由抛物线方程2y x =可知1212p p ==，，故准线方程为：124p x =-=-.故选：B.3.直线310x ++=的倾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为310x +=，所以斜率k ==设倾斜角为θ，所以tan θ=，所以120θ=°，故选：C.4.已知点P 与(0,2),(1,0)A B -共线，则点P 的坐标可以为（）A.(1,1)- B.(1,4)C.1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.(2,1)-【答案】B 【解析】【分析】三点共线转化为向量共线，利用共线条件逐个判断即可.【详解】设(,)P x y ，则(,2),(1,2)AP x y AB =-=--，由,,P A B 三点共线，则//AP AB，所以2(2)0x y -+-=，则220x y -+=.选项A ，21(1)250⨯--+=≠，不满足220x y -+=，故A 错误；选项B ，21420⨯-+=，满足220x y -+=，故B 正确；选项C ，12(1)2202⎛⎫⨯---+=≠ ⎪⎝⎭，不满足220x y -+=，故C 错误；选项D ，2(2)1230⨯--+=-≠，不满足220x y -+=，故D 错误.故选：B.5.已知P 为椭圆222:14x y C b+=上的动点．(1,0),(1,0)A B -，且||||4PA PB +=，则2b =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆的定义，得到点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，进而求得2b 的值.【详解】因为(1,0),(1,0)A B -，可得2AB =，则||||42A PA PB B +>==，由椭圆的定义，可得点P 的轨迹表示以,A B 为焦点的椭圆，其中24,21a c ==，可得2,1a c ==，所以2223b a c =-=，又因为点P 在椭圆222:14x y C b+=，所以23b =.故选：C.6.已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由面面垂直的性质定理可证明“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件，由底面为正三角形的直三棱柱模型，可知“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.【详解】①已知侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A 底面ABC AB =，又BC ⊂平面ABC ，若BC AB ⊥，则由面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，则1CB BB ⊥，所以则“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要条件；②若三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，底面ABC 是正三角形，则1BB ⊥底面ABC ，1BB ⊂平面11ABB A ，则满足条件侧面11ABB A ⊥底面ABC .又BC ⊂平面ABC ，则1CB BB ⊥，但BC 与AB 不垂直.所以“1CB BB ⊥”不是“CB AB ⊥”的充分条件.综上所述，“1CB BB ⊥”是“CB AB ⊥”的必要不充分条件.故选：B.7.在空间直角坐标系O xyz -中，点(2,3,1)-P 到x 轴的距离为（）A.2B.3C.D.【答案】D 【解析】【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点(2,3,1)-P 到x 轴的距离.【详解】在空间直角坐标系O xyz -中，过P 作PH ⊥平面xOy ，垂足为H ，则PH x ⊥轴，在坐标平面xOy 内，过H 作1HP x ⊥轴，与x 轴交于1P ，由(2,3,1)-P ，则1(2,0,0)P -，(2,3,0)H -，由1PH HP H = ，PH ⊂平面1PHP ，1HP ⊂平面1PHP ，则x 轴⊥平面1PHP ，1PP ⊂平面1PHP ，则x 轴1PP ⊥，故1PP即点(2,3,1)-P 到x 轴的距离，则1PP ==故选：D.8.已知双曲线222:1y C x b-=的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，以1A F 为直径作圆，与双曲线C 的右支交于两点,P Q ．若线段PF 的垂直平分线过2A ，则2b 的数值为（）A.3B.4C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由双曲线方程得1a =，结合圆的性质及线段垂直平分线的性质得2A 是1A F 的中点，得到,a c 关系求c ，进而求出2b .【详解】由双曲线222:1y C x b-=，得1a =，12(1,0),(1,0),(,0)A A F c -，由题意，点P 在以1A F 为直径的圆上，则1A P PF ⊥，取PF 的中点M ,由线段PF 的垂直平分线过2A ，则2A M PF ⊥，则12//A P A M ，故2A 是1A F 的中点，122A A A F=且12222,1A A a A F c a c ===-=-，所以12c -=，解得3c =，故222918b c a =-=-=.故选：C.9.设动直线l 与()22:15C x y ++= 交于,A B 两点．若弦长AB 既存在最大值又存在最小值，则在下列所给的方程中，直线l 的方程可以是（）A.2x y a +=B.2ax y a +=C.2ax y +=D.x ay a+=【答案】D 【解析】【分析】由动直线恒与圆相交得直线过圆内一定点，再验证弦长取最值即可.【详解】()22:15C x y ++= ，圆心(1,0)C -，半径5r =，选项A ，由直线2x y a +=斜率为12-，可得动直线为为平行直线系，圆心(1,0)C -到直线20x y a +-=的距离15a d --=当6a ≤-或4a ≥时，5d ≥A 错误；选项B ，由直线2ax y a +=可化为(2)0a x y -+=，则直线恒过(2,0)，因为()2215+>，点(2,0)在圆外，故直线不一定与圆相交，故B 错误；选项C ，由直线2ax y +=恒过(0,2)，点(0,2)在圆上，当12a =时，直线方程可化为240x y +-=，此时圆心(1,0)C -到直线240x y +-=的距离1455d r --===，圆与直线相切，不满足题意，故C 错误；选项D ，由直线方程x ay a +=可化为(1)0x a y +-=，则直线恒过(0,1)M ，且点M 在圆C 内，故直线恒与圆C 相交，当直线过圆心C 时，弦长最长，由(1,0)-在直线(1)0x a y +-=上，可得1a =-，AB 取到最大值；如图，取AB 中点T ，则CT AB ⊥，圆心到直线的距离d CT CM=≤AB ==，当d 取最大值CM 时，弦长最短，即当直线与CM 垂直时，弦长最短，由CM 的斜率为01110CM k -==--此时直线斜率为11k a==，即当1a =时，AB 取到最小值.故D 正确.故选：D.10.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，且60,,A E F ∠=︒分别为棱,AB DC 中点．将BCF △和ADE V 分别沿,BF DE 折叠，若满足//AC 平面DEBF ，则线段AC 的取值范围为（）A. B. C.2,⎡⎣ D.2,⎡⎣【答案】A 【解析】【分析】借助空间直观想象，折叠前在平面图形中求出AC 的长度，折叠过程中证明平面//EAB 平面FDC ，面面距离即为AC 的最小值，由此得到AC 的范围.【详解】折叠前，连接,AC BD .由题意，在菱形ABCD 中，2AB BC ==，18060120ABC ∠=-= ，则由余弦定理得，22212cos 44222122AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以，AC =，故在折叠过程中，AC ≤.折叠后，若//AC 平面DEBF ，则AC ⊄平面DEBF ，则AC <BD 项错误；折叠前，在菱形ABCD 中，2BA BD ==，60DAB ∠= ，则ABD △是正三角形，由,E F 分别为棱,AB DC 中点，则,,//DE AB BF DC AB DC ⊥⊥，所以//DE BF .折叠后，,,DE AE DE EB AE EB E ⊥⊥= ，又AE ⊂平面EAB ，且EB ⊂平面EAB ，则DE ⊥平面EAB ，同理BF ⊥平面FDC ，所以平面//EAB 平面FDC ，则平面EAB 与平面FDC 的距离即为22DE =⨯=，由点A ∈平面EAB ，点C ∈平面FDC ，则AC ≥.在折叠过程中，当60DFC AEB ∠=∠= 时，由,AE EB DF FC ==，则,EBA DFC 均为正三角形，可构成如图所示的正三棱柱DFC EBA -，满足//AC 平面DEBF ，此时AC DE ==.所以AC A 正确，C 项错误.故选：A.第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.双曲线22:14y C x -=的渐近线方程为_________．【答案】2y x =±【解析】【分析】利用双曲线的性质即可求得渐近线方程.【详解】由双曲线的相关知识可知：1a =，2b =所以焦点在x 轴双曲线的渐近线方程为：2by x x a=±=±故答案为：2y x=±12.如图，已知E ，F 分别为三棱锥D ABC -的棱,AB DC 的中点，则直线DE 与BF 的位置关系是__________（填“平行”，“异面”，“相交”）．【答案】异面【解析】【分析】假设共面推出矛盾.【详解】假设直线,DE BF 共面，EB ⊂平面DEBF ，由A EB ∈，则AB ⊂平面DEBF ，同理，DC ⊂平面DEBF ，故,AB CD 共面，这与D ABC -是三棱锥矛盾，故假设错误，故直线,DE BF 异面.故答案为：异面.13.经过点(0,1)A 且与直线:210l x y +-=垂直的直线方程为_______________．【答案】210x y -+=【解析】【分析】求出所求直线的斜率，利用点斜式方程可得出所求直线的方程.【详解】直线:210l x y +-=的斜率为12-，则与直线:210l x y +-=垂直的直线的斜率为2，则直线方程为12(0)y x -=-，即210x y -+=.故答案为：210x y -+=14.作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为12cm ，两个底面内棱长分别为18cm 和9cm ，则估计该米斗的容积为__________3cm ．【答案】2268【解析】【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解.【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下：由题意可知，高112cm OO h ==，下底面正方形的变长9cm AB =，其面积()219981cmS =⨯=，上底面正方形的变长18cm AB =，其面积()221818324cm S =⨯=，由台体的体积公式可得，该正四面体的体积:()()()3121181324122268cm 33V S S h =++=⨯++⨯=.故该米斗的容积为32268cm .故答案为：2268.15.已知四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，其对角线AC 和BD 交于原点O ，且斜率之积为13-．给出下列四个结论：①四边形ABCD 是平行四边形；②存在四边形ABCD 是菱形；③存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒；④存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=．其中所有正确结论的序号为__________．【答案】①③④【解析】【分析】利用椭圆的对称性判断①；利用菱形的对角线互相垂直可判断②；利用正切函数的和差公式与性质判断③；利用斜率关系得到22||||OA OB +的表达式，然后利用基本不等式求22||||AC BD +的最大值，可判断④.【详解】因为四边形ABCD 是椭圆22:12x M y +=的内接四边形，AC 和BD 交于原点O ，由椭圆的对称性可知OA OC =且OB OD =，所以四边形ABCD 是平行四边形，故①正确；假设对角线AC 和BD 的斜率分别为12,k k ，若四边形ABCD 是菱形，则其对角线互相垂直，即121k k ×=-，而这与1213k k ⋅=-矛盾，所以不存在四边形ABCD 是菱形，故②错误；不妨设直线AC 的倾斜角为α，直线BD 的倾斜角为β，且αβ>，则12tan ,tan 0k k αβ==>，又1213k k ⋅=-，则1213k k =-，则()122122tan tan 31tan tan 1tan tan 123k k AOD k k k k αβαβαβ⎛⎫--∠=-===-- ⎪++⎝⎭3tan1202≤-⨯=︒，又0180AOD ︒<∠<︒，则90120AOD ︒<∠<︒，所以存在四边形ABCD 使得91AOD ∠=︒，故③正确；直线AC 的方程1y k x =，直线BD 的方程2y k x =，由12212y k xx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22122x k x +=，即122122k x =+，可得1222212A C x k x =+=，同理可得2222212B D x k x =+=，则()()22122222221212212111||221212121k kOA OB k k k k +++=+=++++++，由1213k k ⋅=-，得222119k k =，令()22121,09k t k t t==>，则22211119||||222221199t t t ttOA OB +=+++++=+++()()()92221123321922192t t t t t t +-+-=++=+++++2552181321813116333355t t t t t ++++=+=+≤++=，当且仅当218t t =，即221211,33t k k ===时，等号成立；于是()()()22222264||224||5AC BD OA OB OA OB +=+=+≤，当且仅当221213k k ==，即四边形ABCD 矩形时，等号成立，所以存在四边形ABCD 使得2264||||5AC BD +=，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点睛：本题结论④的解决关键是利用弦长公式得到22||||AC BD +关于t 的表达式，从而利用基本不等式即可得解.三、解答题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16.已知圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切．（1）直接写出圆心C 的坐标及r 的值；（2）直线:3410l x y --=与圆C 交于两点,A B ，求||AB ．【答案】（1）圆心(2,0)C ，2r =（2）【解析】【分析】（1）由圆的方程得圆心坐标，结合图形，圆与y 轴相切得半径；（2）法一由弦长公式求解；法二利用几何法勾股定理求解.【小问1详解】圆222:(2)(0)C x y r r -+=>，则圆心(2,0)C ，因为圆222:(2)(0)C x y r r -+=>与y 轴相切，则半径2r =.【小问2详解】由（1）知，圆的方程为22:(2)4C x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为2.法一：设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22341024x y x y --=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得2257010x x -+=，2(70)42548000∆=--⨯=>，则1212141,525x x x x +==，所以12AB x=-===法二：圆心(2,0)C到直线:3410l x y--=的距离12d==<，则AB===故AB=.17.已知直线:1l y kx=+经过抛物线2:2C x py=的焦点F，且与C的两个交点为P，Q．（1）求C的方程；（2）将l向上平移5个单位得到,l l''与C交于两点M，N．若24MN=，求k值．【答案】（1）24x y=（2）k=【解析】【分析】（1）由直线l与y轴交点得焦点F，待定p可得方程；（2）联立直线l'与抛物线C的方程，由已知弦长利用弦长公式建立关于k的方程，求解可得.【小问1详解】抛物线2:2C x py=的焦点F在y轴上，直线:1l y kx=+，令0x=，得1y=，则焦点(1,0)F，所以12p=，即2p=，所以抛物线C的方程为24x y=；【小问2详解】直线:1l y kx=+向上平移5个单位得到:6l y kx'=+，由246x y y kx ⎧=⎨=+⎩，消y 得24240x kx --=，设直线l '与C 交于两点1122(,),(,)M x y N x y ，则216960k ∆=+>，且12124,24x x k x x +==-，MN =====，由24MN =，化简整理得427300k k +-=，解得210k =-（舍）或23k =，所以k =.18.如图，四棱锥E ABCD -中，⊥AE 平面,,,2,1ABCD AD AB AD BC AE AB BC AD ⊥====∥，过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于点M ，N ．（1）求证：AD MN ∥;（2）记二面角A DN E --的大小为θ，求cos θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面平行判定定理与性质定理可证；（2）建立空间直角坐标系，设[],0,1BM BE λλ=∈，利用法向量方法，用λ表示两平面法向量夹角的余弦，再由向量夹角与二面角大小关系求cos θ最大值.【小问1详解】因为//AD BC ，AD ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以//AD 平面BCE .因为过AD 的平面分别与棱,EB EC 交于,M N ，所以//AD MN ；【小问2详解】因为⊥AE 平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，又因为AB AD ⊥，如图，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,0,0),(2,0,2),(0,2,0),(0,0,1)B C E D ，所以(0,2,1),(2,2,2),(2,2,0),(0,0,1)ED EC BE AD =-=-=-=，设[],0,1BM BE λλ=∈，则(2,0,0)(2,2,0)(22,2,0)AM AB BM λλλ=+=+-=-，设平面AND 即平面AMND 的法向量为111(,,)m x y z =，则1110(22)20m AD z m AM x y λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x λ=，则11y λ=-，于是(,1,0)m λλ=-；设平面END 即平面ECD 的法向量为222(,,)n x y z =，则22222202220n ED y z n EC x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，则222,1z x ==-，于是(1,1,2)n =-，所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅，因为[]0,1λ∈，所以cos ,,36m n ⎡∈--⎢⎣⎦，由二面角A DN E --的大小为θ，根据(,1,0),(1,1,2)m n λλ=-=- 的方向判断可得π,m n θ=-，所以，当12λ=时，cos θ的最大值为33.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率()()0001,,02e P x y y =≠为椭圆上的动点，直线,PA PB 分别交动直线x t =于点C ，D ，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．（1）求椭圆E 的方程；（2）HC HD ⋅是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．【答案】19.22143x y +=20.存在；12【解析】【分析】（1）由离心率及顶点坐标结合222b c a +=即可求解；（2）结合两点式得直线,PA PB 方程，进而得到点,C D 坐标，由直线CH 与直线PB 垂直得到直线CH 的斜率，结合点斜式得直线CH 的方程，进而的到点H 坐标，结合数量积的坐标运算及二次函数的最值即可求解.【小问1详解】由12ce a==，又两个顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，则2,1a c ==，2223b a c =-=，故椭圆E 的方程为22143x y +=；【小问2详解】()()000,0P x y y ≠为椭圆上的动点，则02x ≠±，故直线,PA PB 的斜率存在且不为0，则直线PA ：0022y x y x +=+，即00(2)2y y x x =++，则点00(,(2))2y C t t x ++，则直线PB ：0022y x y x -=-，即00(2)2y y x x =--，则点00(,(2))2y D t t x --，则直线CH 的斜率为002x y -，故直线CH ：00002(2)()2y x y t x t x y --+=-+，令0y =,得2020(2)4H t y x t x +=+-，又()00,P x y 在椭圆上，则2200143x y +=，整理得()2020344x y -=，所以36(2)44H t x t t -=-+=，则6,04t H -⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22200020004(2)(2)3636(36),,4242164t y t y t y t t t HC HD x x x -⎛⎫⎛⎫+-+++⋅=⋅=+ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭ ()22234(36)3(6)1216416t t t -+-=-=-+综上，存在6t =，使得HC HD ⋅有最大值12.确，运算要细心，是中档题.。

高二上学期期末考试数学试卷含答案(word版)

新高考地区高二上学期期末考试试题数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（） A ．4B ．8C ．16D ．322．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π33．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（）A ．2B ．5C ．D ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（） A ．53B ．8C ．112D ．56．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（）A ．97B C D ．1877．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．[)2,∞+D ．[)1,+∞8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）A B C ．1D ．12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（） A ．790a a += B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠ B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABCD D ．若直线AE平面1BFD ，则14λ=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（）A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF为定值12D ．PKF QKF ∠∠=第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 14．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．15．在直三棱柱111ABC A B C中，CA =CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值.19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围.21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N .22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.新高考地区高二期末考试参考答案第I 卷（选择题）一、单选题1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【分析】根据3423()a a q a a +=+求出q ，再根据4534()a a q a a +=+可得答案. 【详解】设等比数列的公比为q ，由3423()a a q a a +=+，可得q ＝2，所以4534()4a a q a a +=+=. 故选：A.2．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【分析】根据弦长公式可得弦长，根据ABC 的边长关系，确定圆心角的大小，可得2(x +CA CB ==π3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=【详解】由双曲线的离心率为22，得22222122c a b b e a a a +⎛⎫⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7b a =，又双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为7y x =±，即70x y ±=．故选:A ．4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（） A ．2 B ．5C ．42D ．210【答案】B【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解a ，求出A 的坐标，画出示意图，利用勾股定理求解AB 即可．【详解】解：圆224210x y x y +--+=即22(2)(1)4x y -+-=，圆心为()2,1C ，半径为2r =，由题意可知:10l x ay +-=过圆的圆心()2,1C ，则210a +-=，解得1a =-，点A 的坐标为()3,1--，作示意图如图所示：225229,2AC BC r =+===，切点为B ，则AB BC ⊥，所以225AB AC BC =-=．故选：B ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.D ，连接P PD PQ +6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（）A ．97B C D ．187为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为(2,2,3)，(1,2,0),M D ，所以11(0,2,3),(1,2,0),(2,0,3)AB AM AD ==-=-的法向量为(,,)n x y z =00=，可取(6,3,2)n =-，的距离为112187||364AD n n ⋅-==+．故选：D7．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞ C ．[)2,∞+ D ．[)1,+∞【答案】C【分析】本题首先可根据516a =、434a a -=得出12n n a -=，然后根据n n b na =得出12n n b n -=⋅，再然后根据错位相减法求出()121nn S n =-⨯+，最后根据题意得出对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立，根据()*1222n n n N S b n-=-∈<即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为516a =，434a a -=，所以413211164a q a q a q ⎧=⎨-=⎩，解得2q ，11a =，12n n a -=，因为n n b na =，所以12n n b n -=⋅，0n b >，则01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12112222222212112n nn n nn n n nS S S n n n ，对任意*n ∈N 不等式1n n S mb -≤恒成立，即对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立，因为()*11(1)22222n n n n S n b n n N n ---⋅==-<⋅∈，所以2m ≥，m 的取值范围为[)2,∞+. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题. 8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（）ABC ．1D ．12二、多选题9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（）A ．790a a +=B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】CD【分析】对A 将直线化成(3)(343)0m x x y +++-=，则303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解出即为定点；对B 直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B ，对C ，直接将m 代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D ，设点(,94)P t t --，利用两点直径式方程写出以PC 为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数t 的方程，即可求出定点坐标.【详解】由直线l :(3)4330m x y m ++-+=,(R)m ∈,整理得:(3)(343)0m x x y +++-=,故303430x x y +=⎧⎨+-=⎩,解得33x y =-⎧⎨=⎩,即经过定点()3,3-,故A 错误; 当0m =时,直线l 为3430x y +-=,∴圆心(0,0)到直线3430x y +-=的距离11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABC DD ．若直线AE平面1BFD ，则14λ= 【答案】ACD 【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)A B E D 1(1,0,2),(1,0,1),(1,0,22)F BE D F λλ=-=-1(1,1,1),(0,1,2),(1,1,2)AE BF BD λ=-=-=--对于A ：若直线BE 与1D F 异面，则12211λ-≠-，则12λ≠，故A 正确；对于B ：若,0AE A BF E BF ∴⊥⋅=，(1,1,1)(0,1,2)0λ∴-⋅-=，12λ∴=，故B 错误；对于C ：1(0,1,0),(1,0,2)AB D A ==-，设平面11ABC D 的法向量为()111,,n x y z =则100AB n D A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111020y x z =⎧⎨-=⎩，取(2,0,1)n = 直线AE 与平面11ABC D 所成角θ满足(1,1,1)(2,0,1)15sin |cos ,|1535AE nAE n AE n θ⋅-⋅=〈〉===⨯⋅，故C 正确；对于D ：设平面1BFD 的法向量()222,,m x y z =1100BD m D F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220(22)0x y z x z λ--+=⎧⎨+-=⎩，取(22,2,1)m λλ=- 若直线AE平面1BFD ，则22210AE m λλ⋅=-++=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（） A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF 为定值12D ．PKF QKF ∠∠=所以()()222161||441m MN PF QF m +==+，所以C 不正确；对于D ，()()()1122,,,,1,0P x y Q x y K -，111PK y k x =+，221PQ y k x =+， ()()()()()()222112122112121212+1+1+1+144++==1+11+11+1PK KQ y y y y y x y x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+++ ()()()()()2221121212121212121+++4441+11+1y y y y y y y y y y y y x x x x +++==++()214444044m m m -⋅+==+ 所以PKF QKF ∠∠=，故D 正确.故选：ABD.第II 卷（非选择题）三、填空题13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 【答案】15##0.2 【分析】根据递推关系可通过计算前面2345n ,,,，发现数列{}n a 是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.【详解】由112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =得2131212155a a =-=⨯-=，23222155a a ==⨯=，32242255a a ，4243212155a a ，543122155a a ，，故数列{}n a 是周期为4的周期数列，故2022215a a ，故答案为：1514．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．【答案】4【分析】根据题意分析可得12π2F PF ∠=，利用勾股定理结合椭圆定义求12PF PF ，进而可求四边形12PFQF 的面积.【详解】由椭圆22142x y +=可得：2212122,2,2,24,222a b c a b PF PF a F F c ===-=+====，由题意可得：12||,||OP OQ OF OF ==，则12PFQF 为平行四边形， ∵12||PQ F F =，则121||2OP F F =， ∴12π2F PF ∠=，则22212128PF PF F F +==，又 ()222121212216PF PF PF PF PF PF +=++=，∴124PF PF =，则四边形12PFQF 的面积121212242PF F S S PF PF △==⨯=. 故答案为：4.15．在直三棱柱111ABC A B C 中，33CA =32CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．【答案】8215【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出CM 与1A B 的坐标，利用向量法解决.【详解】由已知可得，1,,CA CB CC 两两垂直，可如图建立空间直角坐标系. 则，()133,0,6A ，()10,32,6B ，()0,0,0C ，()0,32,0B ，由112AM MB =可得，1122CM CA CB CM -=-，则()()()11212133,0,60,32,623263333CM CA CB =+=+=，，， ()133326A B =--，，，()()222232652CM ==++，()()()2221333269A B =--=++，11863648CM A B ⋅=-+-=-，所以，111cos ,CM A BCM A B CM A B ⋅=488215952-==-⨯. 所以，异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为8215. 故答案为：8215. 16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.【答案】53##213【分析】设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，由题意可得1122AF F F c ==，12F M AF ⊥，由双曲线的定义可得222F A c a =-，2MF c a =-，244BF c a =-，142BF c a =-，2121BF F MF F π∠+∠=，2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，在12MF F △和12BF F △中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出,a c 的关系，从而可得双曲线C 的离心率.【详解】解：如图：设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，因为1221F AF AF F ∠=∠，所以1122AF F F c ==，因为M 为2AF 的中点，所以12F M AF ⊥，由122AF F A a =-，得222F A c a =-，所以2212F A M F c a ==-，在12MF F △中，22112cos 2MF c a MF F F F c-∠==，因为22244BF AF c a ==-，所以12242BF a BF c a =+=-，在12BF F △中，()()()22222212212112241642cos 2224F F BF BF c c a c a BF F F F BF c c a +-+---∠==⨯⨯⨯-()224121616c a ac c c a +-=-，因为2121BF F MF F π∠+∠=，所以2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，即()22412160216c a c a ac c c c a -+-+=-，整理可得221616120a ac c -+=，即225830a ac c -+=，所以()()530a c a c --=，所以53a c =或a c =（舍），所以离心率53c e a ==，故答案为：53. 四、解答题17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)()21N n a n n +=-∈(2)321n n + 【分析】（1）等差数列通项公式和求和公式列方程求解；（2）利用裂项相消法11221231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，可求和. 【详解】（1）根据题意，设等差数列{}n a 公差为()0d d ≠，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =，所以221424S S S S ⎧=⋅⎨=⎩，整理得：()()2111146224a a d a d a d ⎧⋅+=+⎪⎨+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩. 故()21N n a n n +=-∈.（2）由（1）得：()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 311111313112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值. ）建立空间直角坐标系，利用110B M C E ⋅=求得1AEC 所成角的余弦值）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，),02t t ≤≤， ()(112,0,2,1,1B M t C E =--=-若11B M C E ⊥，则112B M C E ⋅=--则棱1AA 上存在一点M ，满足1B M （2）()()(2,0,0,0,2,0,2,2,0B C BC =-的法向量为(),,n x y z =12n AC y n AE x y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，故可取()1,1,1n =-设直线BC 与平面所成角为,0θθ≤≤22n BC n BCθ⋅==⋅，所以cos BC 与平面AEC19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．【答案】(1)212y x = (2)8【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出p 即可.（2）用横截式设出直线MN 的方程以及M N ，的坐标，联立直线与抛物线方程，得到0∆>及韦达定理，再利用线段MN 的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段MN 的长度，用点到直线的距离公式求出点F 到直线MN 的距离，进而可求出MNF 的面积. 【详解】（1）由抛物线的定义知02522p pAF x =+=+=，解得6p ，则抛物线的方程为212y x =故：答案为212y x =.（2）由线段MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭知直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN x my b =+：，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线方程，有212x my b y x=+⎧⎨=⎩，即212120y my b --=，所以有()()2212484830m b m b ∆=+=+>，且12121212y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，则()212122122x x m y y b m b +=++=+ 所以2124101223m m b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，即131m b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线:33MN y x =-+，21281013MN m y y =+-=，点F 到直线MN 的距离233361013d -⨯+==+. 所以182MNFSMN d ==. 故：答案为8.20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）首先证明1A C DE ⊥，然后证明BD ⊥平面11AAC C ，可得1BD A C ⊥，即可证明；（2）首先证明1C D ⊥平面ABC ，然后以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设()111,,,(01)P x y z C P C B λλ=<<，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.【详解】（1）连接1AC ，由题设知四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，11,DE AC AC DE ∴∴⊥∥；又D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，因为二面角1C AC B --为直二面角，即平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面,ABC AC BD =⊂平面,ABCBD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面111,AAC C BD AC ∴⊥；又,,BD DE D BD DE =⊂平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . （2）112,60CA CC ACC ∠===，1ACC ∴△为等边三角形，1C A D C ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1C D ⊂平面11,ACC A1C D ∴⊥平面ABC ，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()11130,0,0,3,0,0,0,,,0,0,3,3,1,3,0,1,022D BE C B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,3A ，()()()111133,0,0,0,,,3,1,0,0,3,322DB DE C B CA ⎛⎫∴==-== ⎪ ⎪⎝⎭111,(0C P C B λλ=<(3DP λ∴=的一个法向量(10,3,m CA ==的法向量(),,n a b c =30330DB n a DP n a b c λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩3，则(,0,3,a n λ==-∴=-33cos ,233m nm n m n -⋅==⋅⨯， ()2,3t λ-=∈，则113,126212m n λ==-+211112613,,1,,3222m n t t t ⎛⎛⎫⎛∈∴-+∈∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎝即锐二面角的余弦值的取值范围为1,2⎛ ⎝21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N . 【答案】(1)21nn a =-(2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）推导出数列{}1n a +为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式；（2）由已知条件变形可得出()12322n n b b b b n nb ++++-=，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由()12322n n b b b b n nb ++++-=可得()()()123112211n n b b b b n n b --++++--=-，两式作差结合等差中项法可证得结论成立；(114n b a --=)2n b ++-1b ，解得b )232n n b b b nb +++-=可得)1n b -++-上述两个等式作差可得(22n n b nb -=-)11n b --=-，故())11n n b b --，，因此，数列{）解：122n n n a a +=1n n a a +++<(111211122122232nn n n a a ++-==≥--⋅所以，12221111116212322221n n n a a a n n a a a +- ⎛⎫⎝+++≥-+++=- ⎪⎝⎭-因此，对任意的N n *∈，122311232n n a a a n n a a a +-<+++<. 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出和结合不等式进行推导，从而证得结论成立.22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在⊥，证明：存在定点T，使得QT为定值．直线MN上，PQ MN。

北京市石景山区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷含答案

石景山区2023—2024学年第一学期高二期末试卷数学（答案在最后）第一部分一､选择题共10小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为() A.B. C.33D.33-【答案】A 【解析】【详解】因为直线的倾斜角为60︒，所以直线的斜率tan 60k == A.2.直线21y x =+关于x 轴对称的直线方程为（）A.112y x =- B.112y x =+C.21y x =-+ D.21y x =--【答案】D 【解析】【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x 轴交于点可得.【详解】直线21y x =+的斜率为2，与x 轴交于点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，则与21y x =+关于x 轴对称的直线斜率为2-，并过点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，所以，所求方程为1022y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即21y x =--.故选：D3.已知α，β是两个不同的平面，直线m 满足m α⊂，则“αβ∥”是“m β∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分必要条件定义判断．【详解】充分性：根据面面平行的定义知充分性成立；必要性：设n αβ= ，当m n ∥，且m β⊄，m α⊂，此时m β∥，但是α与β相交，故必要性不成立．故选：A ．4.已知双曲线()222104x y b b-=>的离心率是2，则b =（）A.12B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线离心率公式即可求出结果.【详解】由题意可得2ce a===，解得b =故选：B.5.用0,1,2,3,4可以组成无重复数字的两位数的个数为（）A.25B.20C.16D.15【答案】C 【解析】【分析】利用间接法，结合排列数公式，即可求解.【详解】从0,1,2,3,4中任选两个数字，组成两位数的个数有25A 20=个，其中数字0排首位的有4个，所以满足条件的两位数有20416-=个.故选：C6.在空间直角坐标系O xyz -中，点()()1,2,1,1,2,1A B --，则（）A.直线AB 坐标平面xOyB.直线AB ⊥坐标平面xOyC.直线AB 坐标平面xOzD.直线AB ⊥坐标平面xOz【答案】C【解析】【分析】首先求向量AB 的坐标，再判断向量AB与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项.【详解】由题意可知，()2,0,2AB =--，平面xOy 的法向量为()0,0,1m =，因为AB m λ≠ ，且0AB m ⋅≠ 所以AB 与m既不平行也不垂直，所以直线AB 与坐标平面xOy 既不平行也不垂直，故AB 错误；坐标平面xOz 的法向量为()0,1,0n =，0AB n ⋅= ，所以AB n ⊥，且AB ⊄平面xOz ，故C 正确，D 错误.故选：C7.已知直线1:370l x y +-=，直线2:20l kx y --=.若12l l ⊥，则实数k =（）A.3- B.13-C.13D.3【答案】D 【解析】【分析】代入两直线垂直的公式12120A A B B +=，即可求解.【详解】因为12l l ⊥，所以()1310k ⨯+⨯-=，得3k =.故选：D8.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 中点，则异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是（）A.6B.26C.33D.23【答案】A 【解析】【分析】11A C 的中点为O ，有1//PO A B ，余弦定理求cos DPO ∠即可；或建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线所成的角.【详解】解法一：连接11A C ，取11A C 的中点O ，连接,PO DO ，如图所示，,O P 分别是111,AC BC 的中点，1//PO A B ，则DPO ∠是异面直线PD 与1A B 所成角或其补角.正方体棱长为2，面对角线长为22Rt DCP △中，2DC =，2PC =，则226DP DC PC =+=，同理6DO =，在DPO 中，6DO DP ==1122OP A B ==由余弦定理可知2223cos 26262DP OP DO DPO DP OP ∠+-==⋅⨯⨯.所以异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是36.解法二：以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()12,2,0,0,0,0,2,0,2,1,2,1B D A P ，有()()10,2,2,1,2,1A B DP =-= ，1113cos ,6226DP A B DP A B DP A B ⋅===⋅，所以异面直线PD 与1A B 所成角的余弦值是36.故选：A.9.P 为直线2y kx =-上一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，则k 的最小值（）A.B.3C.3-D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到直线2y kx =-与圆221x y +=相切或相离，结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由题意，点P 为直线2y kx =-上一点，过P 总能作圆221x y +=的切线，可得直线2y kx =-与圆221x y +=相切或相离，则满足圆心到直线的距离1d =≥，解得23k ≤，即k ≤≤所以k的最小值为.故选：D.10.庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD 是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．A.AB BC EF =+B.2BCAB EF =+C.2EFAB BC =+ D.2AB BC EF=-【答案】A 【解析】【分析】设点E 在底面ABCD 上的射影为G ，作GM BC ⊥，GN AB ⊥，垂足分别为M ，N ，设四个侧面与底面的夹角为θ，即可得到EMG ENG θ=∠=∠，根据三角形全等得到方程，整理即可.【详解】如图所示，设点E 在底面ABCD 上的射影为G ，作GM BC ⊥，GN AB ⊥，垂足分别为M ，N ．则EMG ∠为侧面EBC 与底面ABCD 的夹角，ENG ∠为侧面EBAF 与底面ABCD 的夹角，设四个侧面与底面的夹角为θ，则在Rt EMG 和Rt ENG △中，EMG ENG θ=∠=∠，又GE 为公共边，所以GN GM =，即22AB EF BC-=，整理得AB BC EF =+．故选：A第二部分二､填空题共5小题．11.在()42x -的展开式中，3x 的系数为_________．【答案】8-【解析】【分析】利用二项展开式求通项，再求对应项的系数即可.【详解】设()42x -展开式中通项为：()414C 2,kk kk T x -+=⋅⋅-令3k =，则()3343344C 28T x x -=⋅⋅-=-.故答案为：8-12.直线1:210l x y -+=与直线2:210l x y --=之间的距离为__________.【答案】55【解析】【分析】代入平行线间的距离公式，即可求解.【详解】直线12l l //，则1l 与2l 之间的距离()()221125521d --==+-.故答案为：5513.已知圆22240x y x ay ++--=的半径为3，则a 的值为__________.【答案】4±【解析】【分析】首先将圆的一般方程，写成标准方程，再利用半径为3，即可求解.【详解】圆的一般方程写成标准方程为()2221524a a x y ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭，由圆的半径为3可知，2594a +=，得4a =±.故答案为：4±14.方程10=表示的曲线是__________，其标准方程是__________.【答案】①.椭圆②.2212516x y +=【解析】【分析】根据椭圆的定义即可得解.10+=，表示点(),P x y 到()()3,0,3,0A B -两点的距离之和等于10，而106>，所以方程10=表示的曲线是椭圆，且长轴长210a =，焦距26c =，所以5,3a c ==，所以半短轴长4b ==，所以其标准方程为2212516x y +=.故答案为：椭圆；2212516x y +=.15.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4,AB AA E ==为棱1CC 上的一个动点，给出下列四个结论：①11A B BE ⊥；②三棱锥11E B BD -的体积为定值；③存在点E ，使得AC 平面1BD E ；④存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③【解析】【分析】以D 为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及空间向量的应用，逐项判定，即可求解.【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则1111(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),(0,2,4),(0,0,4)A B C A B C D ，设[](0,2,),0,4E a a ∈，则11(0,2,0),(2,0,)A B BE a ==-，因为110A B BE ⋅=，所以11A B BE ⊥ ，即11A B BE ⊥，所以①正确；由1111E B BD D B BE V V --=，因为1B BE 的面积为定值，点1D 到平面1B BE 的距离也是定值，所以11E B BD V -为定值，所以②正确；又由1(2,0,),(2,2,4)BE a BD =-=--设平面1BD E 的法向量为(,,)n x y z = ，则1202240n BE x az n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x a =，可得4,2y a z =--=，所以(,4,2)n a a =-，因为(2,2,0)=- AC ，由2820AC n a a ⋅=-+-=，解得2a =，所以③正确；又因为1(2,2,4)DB = ，1(2,2,4)D B =- ，则1180DB D B ⋅=-≠，所以不存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ，所以④错误.故选：①②③.三､解答题共5小题，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.菱形ABCD 的顶点,A C 的坐标分别为()()4,7,6,5,A C BC --边所在直线过点()4,1P -.（1）求,BC AD 边所在直线的方程；（2）求对角线BD 所在直线的方程.【答案】16.BC 所在直线方程为270x y +-=，AD 所在直线方程为210x y ++=17.5610x y -+=【解析】【分析】（1）求出2AD BC CP k k k ===-，由点斜式求出直线方程；（2）求出AC 的中点坐标，再根据垂直关系得到56BD k =，利用点斜式写出直线方程，得到答案.【小问1详解】由菱形的性质可知BC AD ，则15246AD BC CP k k k -+====--.所以BC 边所在直线的方程为()526y x +=--，即270x y +-=；AD 边所在直线的方程为()724y x -=-+，即210x y ++=.【小问2详解】线段AC 的中点为()7561,1,465AC E k +==---，由菱形的几何性质可知，BD AC ⊥且E 为BD 的中点，则156BD AC k k =-=，所以对角线BD 所在直线的方程为()5116y x -=-，即5610x y -+=.17.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11B C 的中点，过1AD E 的平面与棱1BB 相交于点F .（1）求证：F 是1BB 的中点；（2）求点D 到平面1AD E 的距离.【答案】（1）证明过程见解析（2）43【解析】【分析】（1）作出辅助线，由面面平行的性质得到线线平行，进而得到1//EF BC ，结合E 是棱11B C 的中点，得到结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面1AD E 的法向量，根据空间向量求解出点到平面的距离.【小问1详解】连接1BC ，因为平面11//ADD A 平面11BCC B ，平面1AD EF平面111ADD A AD =，平面1AD EF 平面11BCC B EF =，所以1//AD EF ，又1111,//AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，故11//AD BC ，故1//EF BC ，又E 是棱11B C 的中点，所以F 是1BB 的中点.【小问2详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,1,2,2D A D E ，设平面1AD E 的法向量为(),,m x y z = ，则()()()()1,,2,0,2220,,1,2,2220m AD x y z x z m AE x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩ ，令1x =，得11,2z y ==-，故11,,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点D 到平面1AD E 的距离为()12,0,01,,12242331114DA m d m ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==⨯=++ .18.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，其准线方程为=1x -.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线:1l y x =-与抛物线C 交于不同的两点,A B ，求以线段AB 为直径的圆的方程.【答案】（1）24y x=（2）22(3)(2)16x y -+-=【解析】【分析】（1）根据准线方程，确定p ，即可求抛物线方程；（2）首先直线与抛物线方程联立，利用韦达定理求中点坐标以及弦长，即可求解圆的方程.【小问1详解】由题意知12p -=-，所以2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】联立24,1y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2440y y --=，其中320∆=>，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,D x y .则12124,4y y y y +==-，所以120002,132y y y x y +===+=.8AB =，所以以线段AB 为直径的圆的圆心为()3,2，半径为4，所以以线段AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，,E F 分别为,AB PD 的中点.（1）求证：EF 平面PBC ；（2）若4AD PD ==，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知．求二面角E FC D --的大小.条件①：PB PC =；条件②：DE PC ⊥.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）取PC 中点M ，证得//,BE MF BE MF =，得到四边形BEMF 为平行四边形，证得//EF BM ，结合线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面PBC .（2）选择条件①：根据题意，证得DE DC ⊥，以D 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面FCD 和平面EFC 的法向量()11,0,0n = 和()2n = ，结合向量的夹角公式，即可求解；选择条件②：以D 为原点，连接BD ，求得3DE =，分别求得平面FCD 和平面EFC 的法向量()11,0,0n = 和()2n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 中点M ，连接,FM BM ，在PCD 中，,M F 分别为,PC PD 的中点，所以//MF DC 且12MF DC =，在菱形ABCD 中，因为//AB DC 且 12BE DC =，所以//,BE MF BE MF =,所以四边形BEMF 为平行四边形，所以//EF BM ，又因为EF ⊄平面PBC ，且BM ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC .【小问2详解】解：选择条件①：因为PD ⊥平面ABCD ，,,DB DC DE ⊂平面ABCD ，所以,,PD DB PD DC PD DE ⊥⊥⊥.连接BD ，因为222222,PB PD BD PC PD DC =+=+，且PB PC =，所以BD DC =，在菱形ABCD 中，AB BD AD ==，即ADB 为正三角形，又因为E 为AB 中点，所以DE DC ⊥，以D 为原点，,,DE DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，因为//AB DC 且DE AB ⊥.又因为ADB为正三角形且AD =3DE =，则()()()0,0,2,3,0,0,0,F E C ，则()()3,0,2,3,EF EC =-=- ，由DE ⊥平面FCD ，可得平面FCD 的法向量为()11,0,0n =，设平面EFC 的法向量为()2,,n x y z =，则2232030n EF x z n EC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，可得3y z ==，所以()2n = ，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅=== ，所以二面角E FC D --的大小为60.选择条件②：因为PD ⊥平面ABCD ，且,DE DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DE PD DC ⊥⊥.又因为,DE PC PD PC P ⊥⋂=，且,PD PC ⊂平面PCD ，所以DE ⊥平面PCD ，因为DC ⊂平面PCD ，所以DE DC ⊥，以D 为原点，,,DE DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，连接BD ，因为//AB DC 且DE AB ⊥，又因为又E 为AB 中点，所以AD DB =，所以ADB为正三角形且AD =3DE =，则()()()0,0,2,3,0,0,0,F E C ，则()()3,0,2,3,EF EC =-=- ，由DE ⊥平面FCD ，可得平面FCD 的法向量为()11,0,0n =，设平面EFC 的法向量为()2,,n x y z =，则2232030n EF x z n EC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，可得3y z ==，所以()2n = ，所以1212121cos ,2n n n n n n ⋅=== ，所以二面角E FC D --的大小为60.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点)0A，且离心率3e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）F 为椭圆C 的右焦点，P 为直线3x =上一点，过点F 作PF 的垂线l 交椭圆C 于,M N 两点，连接OP 与MN 交于点H （O 为坐标原点）.求MH HN 的值.【答案】（1）22162x y +=（2）1【解析】【分析】（1）首先将条件转化为关于,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先讨论0m =时的特殊情况，再讨论当0m ≠时，再求直线l 的方程，与椭圆方程联立，写出韦达定理，再让直线OP 与直线l 联立方程，求点H 的坐标，即可判断点H 与点,M N 的关系，即可求解.【小问1详解】由题意可得2223a c e a a b c ⎧=⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得2c b a =⎧⎪=⎨⎪=⎩，椭圆C 的方程为22162x y +=.【小问2详解】设()()3,,2,0P m F 则直线PF 的斜率为032PF m k m -==-，（i ）当0m =时，则直线l 与x 轴垂直，点H 即为点F ，则1MH HN =；（ii ）当0m ≠时，则直线l 的斜率为1l k m=-，则直线l 的方程()12y x m =--，联立方程()2212162y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得：()2223121260m x x m +-+-=，显然Δ0>，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122212126,33m x x x x m m -+==++. 直线OP 的方程为3m y x =，联立方程()123y x m m y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得263H x m =+，因为122H x x x +=，所以点H 为线段MN 的中点，则1MH HN =；综上所述：1MH HN =.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

山西省太原市2023-2024学年高二上学期期末考试数学含答案

2023～2024学年第一学期高二年级期末学业诊断数学试卷（答案在最后）一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线42y x =+在x 轴和y 轴上的截距分别为（）A.12，2B.12-，2 C.12，2- D.12-，2-2.圆()()22123x y +++=的圆心坐标和半径分别为（）A.()1,2--B.()1,2C.()1,2--，3D.()1,2，33.已知双曲线22124x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y x=± B.2y x=± C.22y x =±D.y =4.平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y ＝0的距离等于（）A.1B.0C.D.35.设抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，且点()4,2A ，则PA PF +的最小值为（）A.72B.4C.92D.56.已知直线12y x =与双曲线()22210x y a a-=>相交于,A B 两点，且,A B 两点的横坐标之积为4-，则该双曲线的焦距为（）A. B. C.1D.7.在椭圆221169x y +=中，以点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在的直线方程为（）A.210x y -+= B.340x y -= C.34120x y +-= D.86250x y --=8.如图，直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于点B ，与准线交于点A ，且3AB BF =，则直线l 的斜率为（）A.22B.2C.3D.32二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线1l ：20x y -=与2l ：30x y +-=交于点P ，则下列说法正确的是（）A.点P 到原点的5B.点P 到直线10x y --=的距离为1C.不论实数m 取何值，直线3l ：()2210m x y +--=都经过点PD.()1,1-是直线2l 的一个方向向量的坐标10.当()0,πα∈时，方程22cos 1x y α+=表示的轨迹可能是（）A.两条直线B.椭圆C.圆D.双曲线11.椭圆C 的方程为221167x y +=，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，点M 为椭圆上一点且在第一象限.若12MF F △是等腰三角形，则下列结论正确的是（）A.22MF = B.2117cos 18MF F ∠=C.点M 到x 轴的距离为353D.129MF F S =△12.已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率5，M 为双曲线C 上一点，MN 平分12F MF ∠，且10F N MN ⋅=，4ON =，则下列结论正确的是（）A.双曲线C 的标准方程为2214x y -= B.2//ON MF C.双曲线C 的焦距为45D.点M 到两条渐近线的距离之积为165三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13.抛物线22x y =-的焦点坐标为________.14.已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是________.15.已知A 是抛物线()220x py p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点.当4AF =时，2π3OFA ∠=，则OA =________.16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若椭圆上两点P ，Q 满足1F P a =，且1253F P F Q =，则椭圆C 的离心率为________.四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的三个顶点分别为()1,1A -，()3,3B ，()2,0C .（1）求边AC 所在直线的方程；（2）判断ABC 的形状.18.已知圆M 的方程为2268210x y x y +--+=，点()3,P m 在圆M 内.（1）求实数m 的取值范围；（2）求过点()1,0Q 且与圆M 相切的直线l 的方程.19.已知双曲线C ：()222102x y a a -=>的右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合.（1）求双曲线C 的方程；（2l 经过右焦点2F ，与双曲线的右支相交于A ，B 两点，双曲线的左焦点为1F ，求1ABF 的周长.20.已知点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，过点F 的直线交抛物线于C 、D 两点，求证：CGF DGF ∠=∠.21.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，经过右焦点F 的直线l （斜率不为0）与椭圆M 分别交于C 、D 两点.（1）求椭圆M 的方程；（2）记椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，ABC 和ABD △的面积分别为1S 和2S ，求12S S 的最大值.2023～2024学年第一学期高二年级期末学业诊断数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线42y x =+在x 轴和y 轴上的截距分别为（）A.12，2B.12-，2 C.12，2- D.12-，2-【答案】B 【解析】【分析】利用横纵截距的意义求解即得.【详解】直线42y x =+，当0y =时，12x =-，当0x =时，2y =，所以直线42y x =+在x 轴和y 轴上的截距分别为12-，2.故选：B2.圆()()22123x y +++=的圆心坐标和半径分别为（）A.()1,2--B.()1,2C.()1,2--，3 D.()1,2，3【答案】A 【解析】【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得.【详解】圆()()22123x y +++=的圆心坐标为()1,2--.故选：A3.已知双曲线22124x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y x =±B.2y x=± C.22y x =±D.y =【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.【详解】因为双曲线方程为：22124x y -=，所以渐近线方程为：y ==.故选：D4.平行直线l 1：3x －y ＝0与l 2：3x －y＝0的距离等于（）A.1B.0C.D.3【答案】A 【解析】【分析】根据平行线间的距离公式直接得出结论.【详解】l 1、l 2的距离为d = 1.故选：A.【点睛】本题考查平行线间的距离公式，属于基础题型.5.设抛物线22y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，且点()4,2A ，则PA PF +的最小值为（）A.72B.4C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】设点P 到准线的距离为PH ，当,,A P H 三点共线时，PA PF +取得最小值，即可求解.【详解】解：抛物线22y x =的焦点是1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为：12x =-，设点P 到准线的距离为PH ，则PA PF PA PH +=+，如图所示：当,,A P H 三点共线时，PA PF +取得最小值19422AH =+=，故选：C6.已知直线12y x =与双曲线()22210x y a a-=>相交于,A B 两点，且,A B 两点的横坐标之积为4-，则该双曲线的焦距为（）A.22B.23C.21D.6【答案】B 【解析】【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可.【详解】联立222121y x x y a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得22244a x a =-，所以240a ->，此时方程的解为22122244,44a a x x a a==--，222244444a a a a ⎛=- --⎝，解得22a =，符合240a ->，所以双曲线的焦距为213+=.故选：B.7.在椭圆221169x y +=中，以点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在的直线方程为（）A.210x y -+=B.340x y -= C.34120x y +-= D.86250x y --=【答案】C 【解析】【分析】先确定点M 在椭圆内部，设交点为()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】因为223221169⎛⎫ ⎪⎝⎭+<，故点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆内部，过点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为()()1122,,,A x y B x y ，则12124,3x x y y +=+=，又2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得222212120169x x y y --+=，整理得()()121212129943161634x x y y k x x y y +-⨯==-=-=--+⨯，所以以点32,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭为中点的弦所在的直线方程为()33224y x -=--，即34120x y +-=.故选：C.8.如图，直线l 经过抛物线C ：()220y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于点B ，与准线交于点A ，且3AB BF =，则直线l 的斜率为（）A. B.2 C.3D.【答案】A【解析】【分析】过点B 作准线的垂线，垂足为M ，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求.【详解】过点B 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义可得BM BF =，在直角三角形ABM 中，1sin 33BM BMBAM AB BM ∠===，cos 3BAM ∠==，所以πsin πcos 2tan tan 2π2sin cos2BAM BAM BFx BAM BAM BAM ⎛⎫-∠ ⎪∠⎛⎫⎝⎭∠=-∠=== ⎪∠⎛⎫⎝⎭-∠ ⎪⎝⎭故选：A.二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知直线1l ：20x y -=与2l ：30x y +-=交于点P ，则下列说法正确的是（）A.点P到原点的距离为B.点P 到直线10x y --=的距离为1C.不论实数m 取何值，直线3l ：()2210m x y +--=都经过点PD.()1,1-是直线2l 的一个方向向量的坐标【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，求出点P 的坐标，再逐项计算、判断即得.【详解】由2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得1,2x y ==，则点(1,2)P ，对于A ，(1,2)P=A 正确；对于B ，(1,2)P 到直线10x y --=的距离=，B 错误；对于C ，(2)12213m m +⨯-⨯-=-，当3m ≠时，直线3l 不过点P ，C 错误；对于D ，直线2l 的斜率1k =-，因此()1,1-是直线2l 的一个方向向量的坐标，D 正确.故选：AD10.当()0,πα∈时，方程22cos 1x y α+=表示的轨迹可能是（）A.两条直线B.椭圆C.圆D.双曲线【答案】ABD 【解析】【分析】对α所取范围分类讨论，即可求得不同情况下对应的轨迹.【详解】对方程22cos 1x y α+=，若,cos 02παα==，则21y =，即1y =±，此时该方程表示两条直线1y =与1y =-；若()0,,cos 0,12παα⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，此时该方程表示椭圆；若(),,cos 1,02παπα⎛⎫∈∈-⎪⎝⎭，此时该方程表示双曲线；综上所述，该方程表示的轨迹可能是两条直线、椭圆或双曲线.故选：ABD.11.椭圆C 的方程为221167x y +=，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，点M 为椭圆上一点且在第一象限.若12MF F △是等腰三角形，则下列结论正确的是（）A.22MF = B.2117cos 18MF F ∠=C.点M 到x 轴的距离为3D.129MF F S =△【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论.【详解】如图：因为椭圆的标准方程为：221167x y +=，所以：4a =，7b =，221673c a b =-=-=.因为点M 在第一象限，且12MF F 是等腰三角形，离心率3142c a =>，所以必是：121F F MF =.根据椭圆的定义，211222222MF a MF a F F a c =-=-=-=，故A 正确；在12MF F 中，1126MF F F ==，22MF =，由余弦定理：22221212121241cos 2·246MF F F MF MF F MF F F +-∠===，故B 错误；由2135sin 6MF F ∠=，M 到x 轴的距离为：2213535·sin 263MF MF F ∠=⨯=，故C 正确；1213563523MF F S =⨯⨯= ，故D 错误.故选：AC12.已知O 为坐标原点，双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为52，M 为双曲线C 上一点，MN 平分12F MF ∠，且10F N MN ⋅=，4ON =，则下列结论正确的是（）A.双曲线C 的标准方程为2214x y -= B.2//ON MF C.双曲线C 的焦距为45 D.点M 到两条渐近线的距离之积为165【答案】BCD 【解析】【分析】不妨设为M 双曲线的右支上一点，延长21、MF F N 交于点G ，根据三角形全等进而得1=MF MG ，1=F N GN ，再结合双曲线的定义，中位线定理得a ，由离心率求出b 可得双曲线方程可判断ABC ；设()11,M x y ，则22111164x y -=，求出点M 到两条渐近线的距离之积可判断D.【详解】对于A ，不妨设点M 在双曲线的右支上，延长21、MF F N 相交于点G ，因为MN 平分12F MF ∠，且10F N MN ⋅=，所以1F N MN ^，在1、MF N MGN V V 中，11F MN GMNMN MN F NM GNM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，所以1≌MF N MGN V V ，所以1=MF MG ，1=F N GN ，即N 为线段1F G 的中点，可得ON 为12F GF △的中位线，根据双曲线的定义12222MF MF MG MF F G a -=-==，因为ON 为12F GF △的中位线，所以228F G ON ==，即4a =，离心率为c a =，可得c =，所以22220164=-=-=b c a ，所以双曲线C 的标准方程为221164x y -=，故A 错误；对于B ，因为ON 为12F GF △的中位线，2//ON F G ，即2//ON MF ，故B 正确；对于C，因为c =，所以双曲线C的焦距为C 正确；对于D ，双曲线C 的标准方程为221164x y -=，所以渐近线方程为2xy =±，即20x y ±=，设()11,M x y ，则22111164x y -=，即22114116x y -=，点M到两条渐近线的距离之积为221141655x y -==，故D 正确.故选：BCD .【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长21、MF F N 相交于点G ，结合几何关系得到N 为1F G 的中点，进而求得双曲线的解析式.三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13.抛物线22x y =-的焦点坐标为________.【答案】1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案.【详解】由抛物线方程22x y =-，可知抛物线标准方程为212y x =-，其焦准距14p =，焦点在x 轴负半轴上，故其焦点坐标为1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,08⎛⎫- ⎪⎝⎭14.已知圆C 的一条直径的两个端点坐标分别为()4,1-，()2,3，则圆C 的方程是________.【答案】()()221210x y ++-=【解析】【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解.【详解】根据题意，42131,222C C x y -++==-==，即圆心坐标为()1,2-；则圆C 的半径()()22122310r =--+-=故所求圆的方程为：()()221210x y ++-=.故答案为：()()221210x y ++-=.15.已知A 是抛物线()220x py p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点.当4AF =时，2π3OFA ∠=，则OA =________.【答案】【解析】【分析】过A 作准线的垂线AC ，过F 作AC 的垂线，垂足分别为,C B ，结合条件及抛物线的定义可求得p ，在AFO V 中，利用余弦即可求出结果.【详解】由抛物线的对称性，不妨设A 在第一象限，过A 作准线的垂线AC ，过F 作AC 的垂线，垂足分别为,C B ．如图所示，由题意知π2πππ2326BFA OFA ∠∠=-==-，因为4AF =，易知2AB =，又A 点到准线的距离为：24d AB BC p =+=+=，解得2p =，在AFO V 中，1,4OF AF ==，2π3OFA ∠=，由余弦定理得22212cos 161214()212OA OF FA OF FA OFA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以OA =.16.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，若椭圆上两点P ，Q 满足1F P a =，且1253F P F Q =，则椭圆C 的离心率为________.【答案】12##0.5【解析】【分析】向量坐标化得Q 的坐标，代入椭圆方程计算求解离心率.【详解】根据椭圆性质，122F P F P a +=，1F P a =，则2F P a =，则点P 位于y 轴上，设()0,P b ，()()12,0,,0F c F c -，其中c =设()00,Q x y ，由于1253F P F Q = ，得：()()005,,3c b x c y =-，即008535c x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆得：222264912525c b a b+=，即264912525e +=，解得离心率12e =.故答案为：12.四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知ABC 的三个顶点分别为()1,1A -，()3,3B ，()2,0C .（1）求边AC 所在直线的方程；（2）判断ABC 的形状.【答案】（1）320x y +-=；（2）ABC 是等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）求出直线AC 的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.（2）求出直线BC 的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得.【小问1详解】依题意，直线AC 的斜率()011213AC k -==---，则直线AC 的方程为：()123y x =--，化简得：320x y +-=.【小问2详解】直线BC 的斜率30332BC k -==-，显然1AC BC k k ⋅=-，即AC BC ⊥，ABC 是直角三角形，又||||AC BC ==，则ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等腰直角三角形.18.已知圆M 的方程为2268210x y x y +--+=，点()3,P m 在圆M 内.（1）求实数m 的取值范围；（2）求过点()1,0Q 且与圆M 相切的直线l 的方程.【答案】（1）()2,6；（2）1x =或3430x y --=.【解析】【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得.（2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程.【小问1详解】圆M ：22(3)(4)4x y -+-=的圆心(3,4)M ，半径2r =由点()3,P m 在圆M 内，得()()223344m -+-<，解得26m <<，所以m 的取值范围为()2,6.【小问2详解】显然点Q 在圆M 外，圆M 的切线经过点()1,0Q ，圆心(3,4)M 到直线1x =的距离为2，则直线1x =是过点()1,0Q 的圆M 的切线；当切线的斜率存在时，设圆M 的切线方程为()1y k x =-，2=，解得34k =，切线方程为()314y x =-，即3430x y --=，所以圆M 的切线方程为1x =或3430x y --=.19.已知双曲线C ：()222102x y a a -=>的右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合.（1）求双曲线C 的方程；（2l 经过右焦点2F ，与双曲线的右支相交于A ，B 两点，双曲线的左焦点为1F ，求1ABF 的周长.【答案】（1）22122x y -=；（2）.【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c ，再求出a 即可.（2）求出直线AB 的方程，与双曲线方程联立求出弦AB 长，再借助双曲线定义求解即得.【小问1详解】拋物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则双曲线C 的半焦距2c =，由224a +=，得22a =，所以双曲线C 的方程为22122x y -=.【小问2详解】由（1）知2(2,0)F ，直线AB的方程为)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由)221222x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2670x x -+=，显然0∆>，则126x x +=，127x x ⋅=，AB ===，因此2121||||4||||2||2AF BF AB B a AF a F a =+=++=++，所以1ABF的周长为.20.已知点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点()1,0G -，过点F 的直线交抛物线于C 、D 两点，求证：CGF DGF ∠=∠.【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p 的值，即得答案；（2）设出直线CD 的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简GC GD k k +，即可证明结论.【小问1详解】由题意点F 为抛物线E ：()220y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且3AF =.得232p+=，解得2p =，故抛物线E 的方程为24y x =.【小问2详解】证明：设直线CD 的方程为1x ty =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y D y ⎛⎫⎪⎝⎭，由241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440y ty --=，216(1)0t ∆=+>，124y y ∴⋅=-.()()()()12121222221212440441144GC GD y y y y y y k k y y yy ++∴+=+==++++，GC GD k k ∴=-，即直线,GC GD 关于x 轴对称，故CGF DGF ∠=∠.21.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，经过右焦点F 的直线l （斜率不为0）与椭圆M 分别交于C 、D 两点.（1）求椭圆M 的方程；（2）记椭圆M 的左、右顶点分别为A ，B ，ABC 和ABD △的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2【解析】【分析】（1）根据题意，列出,,a b c 满足的等量关系，求得,,a b c ，则方程得解；（2）设出直线l 的方程为1x ty =+，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数t 表达12S S -，利用基本不等式，即可求得结果.【小问1详解】由方程组221,2191,4c a a b ⎧==⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2a =，b =，故椭圆M 的方程为22143x y +=.【小问2详解】由题知，直线CD 经过点()1,0，且斜率不为0.设直线CD 的方程为1x ty =+，()11,C x y ，()22,D x y ，由221,431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2234690t y ty ++-=，显然0∆>，122634t y y t ∴+=-+，122934y y t =-+又24AB a ==，12121221212234t S S AB y y y y t ∴-=⨯-=+=+，当0=t 时，120S S -=当0t ≠时，121243S S t t-=≤=+当且仅当3t =±时，等号成立.综上所述，12S S -【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的问题；处理第二问的关键是合理转化12S S -为122y y +，再利用韦达定理和基本不等式解决问题.。

湖南省郴州市2023-2024学年高二上学期期末数学试卷含答案

郴州市2023年下学期期末教学质量监测试卷高二数学（答案在最后）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共4页，有四大题，共22小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名､班次､准考证号､考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上.3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知()()7,4,5,6A B --，若直线m 与直线AB 垂直，则直线m 的斜率为（）A.65 B.65- C.56 D.56-2.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差为()420210,d d OA a OB a OC ≠=+ ，且AB d BC = ，则2024S =（）A.0 B.1011C.1012D.20243.函数()x f x e x =+在点()0,1处的切线方程为（）A.21y x =+ B.1y x =+C.1y ex =+ D.()11y e x =++4.已知正方形ABCD 的边长为1，现将ACD 沿对角线AC 向上翻折，使得二面角D AC B --的夹角为π3，则点D 到平面ABC 的距离为（）A.2B.4C.4D.145.正方体1111ABCD A B C D -中，BC 与平面1ACD 所成角的正弦值为（）A.3B.3C.3D.66.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，点M 在C 上，若使12MF F 为直角三角形的点M 有8个，则C 的离心率的范围是（）A.3,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.32,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.23,32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7.德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点,A B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大？结论是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大.人们称这一命题为米勒定理.在平面直角坐标系内，已知()()1,0,3,0M N ，点P 是直线:10l x y -+=上一动点，当MPN ∠最大时，点P 的坐标为（）A.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B.)1+ C.()1,2D.)1+8.若函数()2ln f x x x kx x =--在定义域内有两个极值点，则实数k 的取值范围为（）A.1,2e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.1,e ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E F ､分别为BC AD ､的中点，则下列命题正确的是（）A.()12EF AB AC AD =+-B.2EF =C.BC ⊥平面AEF D.AE 和CF 夹角的正弦值为2310.已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，若对一切*n N ∈都有31n m T ->恒成立，则整数m 的可能值为（）A.-1B.0C.1D.211.已知圆22:42130C x y x y +---=，则下列命题正确的是（）A.圆心坐标为()2,1B.直线:10l x y +-=与圆C 相交所得的弦长为8C.圆C 与圆22:8O x y +=有三条公切线.D.圆C 上恰有三个点到直线y x b =+3b =或-512.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是世界数学史上第一道数列题.已知大衍数列{}n a 满足111;0,;n n na n n a a a n n +++⎧==⎨+⎩为奇数为偶数，则（）A.34a =B.202410122024a =⨯C.此数列的前n 项和为()1n S n n =-D.数列{}(1)n n a -的前60项和为930三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知等比数列{}n a 中，23,a a 是方程2680x x -+=的两根，则1234a a a a ⋅⋅⋅的值为__________.14.设曲线C 上的动点P 与定点()1,0F 的距离和点P 到定直线:4l x =的距离的比为12.倾斜角为60 的直线m 经过点F 与曲线C 交于,A B 两点（点A 位于x 轴上方），则AF BF =__________.15.已知函数()()21,ln 22f x xg x x x ==-，若()()12f x g x '=，则21x x -的最小值为__________.16.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1,2,2AB AD PA ===，点M 在线段PC 上运动，则点M 到AB 距离的最小值为__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为,12n n n S S a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前项n 和n T .18.（本小题满分12分）已知圆C 经过()()1,2,3,4A B 两点，且圆心C 在直线30x y -+=上.（1）求圆C 的方程.（2）()0,5P 为圆C 内一点，弦MN 恰好被点P 平分，求直线MN 的方程，并判断CMN 为钝角三角形､直角三角形还是锐角三角形？19.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，底面1ABC S AA D == 为AC 的中点，E 为1AA 上一个动点.（1）若E 为靠近A 点线段1AA 的三等分点，求证：ED ⊥平面1BDC ；（2）在线段1AA 上是否存在点E ，使平面ABE 与平面BED 的夹角等于30 ？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）已知函数()()211122x x f x e a e ax =-+++.（1）若0a ，求证：()f x a - ；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，且*121,x x a N <<∈，当a 取最小值时，求()f x 的极小值.21.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(03),E x py p E =<<上一点C 的横坐标为C 到抛物线E 的焦点的距离为2.（1）求抛物线E 的方程；（2）直线l 交抛物线E 于,A B 两点，O 为坐标原点，满足4OA OB k k ⋅=-，求OAB 面积的最小值.22.（本小题满分12分）已知函数()()()1,22,xf x e a xg x ax a a R =+-=-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 与()g x 的图象恰有一对点关于()1,0M 对称，求实数a 的取值范围.郴州市2023年下学期期末教学质量监测试卷高二数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-4ACAB 5-8BCCD二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.BC 10.CD 11.ABD 12.ABD三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.6414.3515.1ln3+四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）（1）当1n =时，1112S a +=，得11a =当2n ≥时，由12n n S a +=得，1112n n S a --+=两式相减得：1122,2n n n n n a a a a a --=-=因此，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，且12n n a -=（2）由（1）知2log 1n n b a n ==-所以2n ≥时，11n n b b --=因此，数列{}n b 是以0为首项，1为公差的等差数列所以，()()01122n n n n n T +--==18.（本小题满分12分）解析：（1）方法一：设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=因为圆心C 在直线30x y -+=上，所以30a b -+=①又A B ､在圆C 上，代入圆方程得：222(1)(2)a b r -+-=②，222(3)(4)a b r -+-=③，由①②③解得：1,4,2a b r ===故圆的标准方程为：22(1)(4)4x y -+-=.方法二：设线段AB 的中点为D ，则()2,3D .直线AB 的斜率为42131AB k -==-因此AB 的垂直平分线方程为：()()312y x -=--，即50x y +-=.①又圆心C 在直线30x y -+=上，②由①②解得：圆心()1,4C .圆的半径2r AC ==故圆的标准方程为：22(1)(4)4x y -+-=.方法三：设圆C 的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入30x y -+=得：6D E =+①点A B ､在圆C 上：520D E F +++=②，25340D E F +++=③.由①②③解得：2,8,13D E F =-=-=.故圆C 的一般方程为：2228130x y x y ++-+=方法四：由已知可设圆心坐标为(),3a a +由22||CA CB =可得2222(1)(1)(3)(1)a a a a ++-=-+-，解得1a =所以圆心()1,4C .圆的半径2r AC ==故圆的标准方程为：22(1)(4)4x y -+-=.（2）由垂径定理可知：54,1,101CP MN CP MN k k -⊥==-=-，所以MN 的直线方程为：50y x -=-，即50x y -+=圆心C 到直线50x y -+=距离d ==所以MN ==，222||||,MC NC MN CMN +=∴ 为直角三角形.19.（本小题满分12分）（1）证明如图，连接1DC ，因为111ABC A B C -为正三棱柱，所以ABC 为正三角形，又因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，所以BD ⊥平面11ACC A ，所以BD DE ⊥.因为底面BBC S = ，解得：12,AB AA ==，所以3,13AE AD ==，所以在Rt ADE 中，30ADE ∠= ，在Rt 1DCC 中，160C DC ∠=，所以190EDC ∠= ，即1ED DC ⊥，又11,,BD DC D DC BD ⋂=⊂平面1BDC ，所以ED ⊥平面1BDC ，（2）解：假设存在点E 满足条件，设AE h =.取11AC 的中点1D ，连接1DD ，则1DD ⊥平面ABC ，所以11,DD AD DD BD ⊥⊥，分别以1,,DA DB DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()1,0,0,,1,0,A B E h ，所以()()()(),1,0,,,0,0,DB DE h AE AE h ===-= ，设平面BED 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则111110000n DB x hz n DE ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩令11z =，得()1,0,1n h =- ，同理，设平面ABE 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则222220000n AB x hz n AE ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎩，令21y =，所以)2n = .所以12cos ,cos302n n === ，所以h =，所以h 无解.故不存在点E ，使平面ABE 与平面BED 的夹角等于30 .20.（本小题满分12分）解析：（1）()()()()211x x x x f x e a e a e a e '=-++=--因为0a ，所以0x e a ->，令()0f x '>，得10x e ->，解得0x >.所以()f x 在()0,∞+上单调递增；同理可得()f x 在(),0∞-上单调递减；()()0f x f a ∴=- .（2）由（1）知0a 时，()f x 只有一个极值点，不合题意.当0a >时，()()()10x x f x e a e =--='有两个根0，ln a ，所以120,ln 1x x a ==>，解得a e >，又*a N ∈，故min 3a =.因此2ln3x =.令()0f x '>，得0x <或ln3x >.令()0f x '<，得0ln3x <<.所以()f x 在(),0∞-和()ln3,∞+上单调递增，在()0,ln3上单调递减；()2ln3ln311ln343ln33ln3722f e e =-++=-所以当ln3x =时，()f x 取得极小值3ln37-.21.（本小题满分12分）解：（1）令)Cy ，因为C 到抛物线E 的焦点的距离为2，所以22p y =-，代入22x py =得：3222p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得1p =，故求抛物线E 的方程为：22x y=（2）令直线l 的方程为：()()1212,,,,y kx b A x y B x y =+.联立直线l 与抛物线E 的方程得：2220x kx b --=，故12122,2x x k x x b +==-.因为4OA OB k k ⋅=-，所以12124y y x x =-，又221212,22x x y y ==，所以8b =.得直线l 的方程为：128,16y kx x x =+=-.AB =原点O 到直线l 的距离d =，所以OAB 面积12s AB d ==，当0k =时，OAB 面积的最小值为32.22.（本小题满分12分）解析：（1）由已知得：()xf x e a '=+①当0a 时，()()0,f x f x ' 在定义域R 上单调递增；②当0a <时，由()0f x '=，得()ln x a =-，则()f x 在()(),ln a ∞--上单调递减，在()()ln ,a ∞-+上单调递增（2）若函数()f x 与()g x 的图象恰有1对点关于点()1,0对称，则方程()()20f xg x +-=即()()12220x e a x a x a +-+--=，即()1xa x e -=恰有1个解，解法一：显然1x ≠，所以1xe a x =-恰有1个解.令()1x e h x x =-，则直线y a =与曲线()1x e h x x =-恰有1个公共点.由()()()22,1(1)xx e h x x x '-=≠-，得：①当(),1x ∞∈-时，()()0,h x h x '<单调递减，且()(),0h x ∞∈-②当()1,2x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()2,x ∞∈+时，()()0,h x h x '>单调递增；()h x 极小值()22h e ==，且两边趋向正无穷大.故由直线y a =与曲线()1x e h x x =-恰有1个公共点，得实数a 的取值范围是(){}2,0e ∞-⋃解法二：由()1x a x e -=恰有1个解，得直线()1y a x =-与曲线x y e =恰有1个公共点.易知过定点()1,0M ，作出直线()1y a x =-与曲线x y e =，由图象知，当直线斜率0a <或直线()1y a x =-与曲线x y e =相切时满足条件.设直线()1y a x =-与曲线x y e =相切于点()00,x P x e，由x y e =得x y e '=，则()0001x x e a e a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得022x a e =⎧⎨=⎩.。

安徽省安庆市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷含答案

2023-2024学年安徽省安庆市高二上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.直线30x --=的倾斜角为（）A.150°B.120°C.60°D.30°【答案】D 【解析】【分析】由斜率得倾斜角．【详解】直线的斜率为3，所以倾斜角为30°.故选：D ．2.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，()00,A x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =（）A.1B.2C.4D.5【答案】B 【解析】【分析】先求出抛物线的准线方程，进而将点到焦点的距离转化为到准线的距离即可求得答案.【详解】由抛物线C ：22y x =可得1p =，则准线方程为12x =-，于是00015224p AF x x x =+=+=，解得02x =．故选：B ．3.已知21πsin()4()2x x f x ++=，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先将函数化简为21()cos 4f x x x =+，再求得1()sin 2f x x x '=-，判断()f x '为奇函数，排除B ，D ；再分析选项A ，C 图像的区别，取特殊值即可判断出答案．【详解】解：∵221π1()sin()cos 424f x x x x x =++=+，∴1()sin 2f x x x '=-，∵11()()sin()sin ()22f x x x x x f x ''-=---=-+=-，∴()f x '为奇函数，其图象关于原点对称，故B ，D 错误；将π6x =代入()f x '得：ππ106122f ⎛⎫=-< ⎪'⎝⎭，故C 错误．故选：A ．4.直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.与m 的值有关【答案】A 【解析】【分析】确定直线过定点()0,1，点在圆内，得到答案.【详解】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内，故直线和圆相交.故选：A5.命题:p “35m <<”是命题:q 曲线22136x ym m +=--表示双曲线的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出q 为真时的m 的范围，然后由充分必要条件的定义判断．【详解】曲线22136x y m m +=--表示双曲线，则(3)(6)0m m --<，解得36m <<，因此35m <<是36m <<的充分不必要条件．故选：A ．6.在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（）A.4B.8C.16D.24【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解．【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．7.已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，以OA 为直径的圆交直线c y xb =于点B （不同于原点O ），设OBF 的面积为S ．若S AB AF =⋅，则椭圆C 的离心率为（）A.12B.13C.34D.35【答案】D 【解析】【分析】由题可得Rt OAB V 的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得,,a b c 的关系式，即求.【详解】依题意，得OB AB ⊥，∴点A 到直线c y xb =的距离||AB c ==，在Rt OAB V 中，∵OA a =，AB c =，∴OB b =，∵S AB AF =⋅，∴1sin ()cos 2bc BOA c a c BAO ∠=-∠，其中sin cos BOA BAO ∠=∠，∴()2b a c =-，∴()224b a c =-，即225830c ac a -+=，得2583e e -+=(53)(1)0e e --=，∴35e =或1e =（舍）∴离心率为35.故选：D.8.已知函数()y f x =为R 上的偶函数，且对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足'()cos ()sin 0f x x f x x +<，则下列不等式成立的是（）A.36f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.(0)4f π⎛⎫>- ⎪⎝⎭C.43f ππ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.36f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】令()()cos f x g x x =，依题意知()g x 为偶函数，且在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，再由(0)64433g g g g g g πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>=->=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合条件分别判断四个选项即可．【详解】解：偶函数()y f x =对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足'()cos ()sin 0f x x f x x +<，令()()cos f x g x x=，则()()()()cos()cos f x f x g x g x x x --===-，即()g x 为偶函数．又2'()cos ()sin '()0cos f x x f x x g x x +=<，故()g x 在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，所以(0)64433g g g g g g πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>=->=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即(0)4(0)cos 044cos 4f f f ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=>==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B正确；6336cos cos63f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭>⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A错误；43343cos coscos 433f f f f ππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭>=⇒>- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，故C错误；663336cos cos cos cos 6363f f f f f ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=>=⇒-<- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选：B ．【点睛】关键点睛：根据导函数不等式构成函数，利用函数的单调性进行判断是解题的关键.二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知直线l 过点()2,4P -，若直线l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能为（）A.20x y +-=B.20x y -+=C.20x y +=D.2x =-【答案】AC 【解析】【分析】直接求出直线方程，即可得到答案.【详解】当直线过原点时，斜率为2-.此时直线的方程为2y x =-，即20x y +=.当直线不过原点时，设直线的方程为1x ym m+=代入()2,4P -，得2m =.此时直线方程为20x y +-=.故答案为：AC.10.过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 相交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点.若PQ 的最小值为6，则（）A.抛物线C 的方程为26y x=B.PQ 的中点到准线l 的距离的最小值为3C.1236y y =-D.当直线PQ 的倾斜角为60 时，F 为PQ 的一个四等分点【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项：考虑直线PQ 的斜率不存在与斜率存在两种情况，分别用含p 的式子表达出PQ ，利用PQ 的最小值为6求出p 的值，B 选项结合A 选项求出的p 的值即可判断当斜率不存在的时候，PQ 的中点到准线l 的距离的最小值为3；C 选项利用韦达定理求出12y y 的值，作出判断；D 选项，求出当直线PQ 的倾斜角为60 时的PF 与QF 的值，进行判断.【详解】当直线PQ 的斜率不存在时，因为直线PQ 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，所以PQ 的方程为：2px =，由222p x y px⎧=⎪⎨⎪=⎩可得y p =±，此时2PQ p =，当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()11,P x y ，()22,Q x y ，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得：()22222204k p k x k p p x -++=，所以2122222k p p p x x p k k ++==+，22212244k p p x x k ==，所以12222222p px x p p p p p k kPQ ++=+++>==，对于A ：由以上证明可知：当直线PQ 的斜率不存在时，min 26PQ p ==，可得3p =，所以抛物线C 的方程为26y x =，故选项A 正确；对于B ：当直线PQ 的斜率不存在时，PQ 的中点到准线l 的距离为322p pp +==，当直线PQ 的斜率存在时，PQ 的中点横坐标为122222x x p p pk +=+>，此时PQ 的中点到准线l 的距离22p pd p >+=，故选项B 正确；对于C ：当直线PQ 的斜率不存在时，,2p Q p ⎛⎫⎪⎝⎭，,2p P p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时2129y y p =-=-，故选项C 不正确；对于D ：当直线PQ 的倾斜角为60 时，直线PQ的方程为：32y x ⎫=-⎪⎭，由2326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得：242090x x -+=，即()()21290x x --=，不妨设12P x =，92Q x =，所以132222P p PF x =+=+=，936222Q p QF x =+=+=，所以13PF QF =，所以F 为PQ 的一个四等分点，故选项D正确；故选：ABD11.已知等比数列{}n a 的前n 项积为1,0n T a >，公比1q >，且2023202411T T <>,，则（）A.当2023n =时，n T 最小B.20241a >C.存在1012n <，使得12n n n a a a ++=D.当1012n =时，n T 最小【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断.【详解】对于选项B ：因为10,1a q >>，所以110n n a a q -=>，又因为1220231220241,1a a a a a a <>L L ，所以202412202311a a a a >> ，故B 正确；对于选项A 、D ：因为21202322022101210121012a a a a a a a ==== ，所以202312202310121a a a a =< ，则10121a <，又因为120242************a a a a a a === ，可得()1012122024*********a a a a a => ，则101210131a a >，故10131a >，且10,1a q >>，可知数列{}n a 是单调递增数列，当1012n ≤时，10121n a a ≤<；当1013n ≥时，10131n a a ≥>；所以当1012n =时，12n a a a 最小，故选项A 错误，选项D 正确；对于选项C ：因为数列{}n a 是单调递增数列，且当1012n <时，10121n a a <<，所以112n n n n a a a a +++<<，故C 错误.故选：BD.【点睛】关键点睛：项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题.12.已知曲线()e (2)x f x x a =+在点(0,2)处的切线为l ，且l 与曲线2()4g x x x b =++也相切．则（）A.a b=B.存在l 的平行线与曲线()y f x =相切C.任意(2,)x ∈-+∞，()()f x g x ≥恒成立D.存在实数c ，使得()()g x c f x +≥任意[)0,x ∈+∞恒成立【答案】AC【解析】【分析】由()02f =得a ，求出切线l ，与()y g x =联立，由0∆=可得b ，由此判断A ；由反证法可判断B ；构造函数()()()hx f x g x =-，通过研究其最小值和极限可判断C 和D.【详解】对于选项A ：由()02f =得2a =，所以()()2e 1xf x x =+，则()()2e 2x f x x '=+，所以切线l的斜率为()04f '=，所以切线l 的方程为42y x =+.又直线l 也与()g x 相切，联立2424y x y x x b =+⎧⎨=++⎩得220x b +-=，由840b ∆=-=得2b a ==，故A 正确；对于选项B ：假设存在与l 平行的直线l '与曲线()y f x =相切于点()00,x y ，则()()0002e 24xf x x '=+=，显然02x >-.令()()()2e2xm x f x x '==+（2x >-）,则()()230x m x e x '=+>，所以当()2,x ∈-+∞时，()m x 即()f x '单调递增，又()04f '=，所以02x =，即l 与l '重合，这与l 与l '平行矛盾，故B 错误；对于选项C ：构造函数()()()()22e142xh x f x g x x x x =-=+---（2x >-），则()()()22e 1x h x x '=+-，由()0h x '=得0x =.当()2,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以()()min 00h x h ==.所以对()2,x ∀∈-+∞，()0h x ≥即()()f x g x ≥恒成立.故C 正确；对于选项D ：因为()h x 在[)0,∞+上单调递增，又x →+∞时，()h x →+∞，所以不存在实数c ，使得()c h x ≥即()()g x c f x +≥对任意[)0,x ∈+∞恒成立.故D 错误.故选：AC .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P 是以点()3,4-为圆心，1为半径的圆上的点，则点P 到原点的最小距离为______.【答案】4【解析】【分析】先判断点与圆的位置关系，然后根据点到圆心距离结合几何性质求解最值即可.【详解】原点到圆心的距离为51d ==>，因此点P 在圆外，故点P 到原点的最小距离为14d -=.故答案为：414.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点()5,0F 到渐近线的距离为4，则实轴长为___________．【答案】6【解析】【分析】焦点(5,0)F 到渐近线0bx ay +=的距离4d ==，且222b a c +=，由5c =，解得a ，进而可得答案．【详解】解：双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，所以焦点(5,0)F 到渐近线0bx ay ±=的距离4d ==，所以54bc=，即445455c b ⨯===，所以22225169a c b =-=-=，所以3a =，所以实轴长为26a =，故答案为：6．15.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日施2子安贝（古印度货币单位），以后逐日倍增，问一月共施几何？在这个问题中，以一个月31天计算，记此人第n 日布施了n a 子安贝（其中131n ≤≤，N n *∈），数列{}n a 的前n 项和为n S ．若关于n 的不等式21162n n n S a ta ++-<-恒成立，则实数t 的取值范围为____．【答案】(),15-∞【解析】【分析】先求得数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ，化简题给不等式为1164212n n t ++<+-，求得1164212n n +++-的最小值，进而得到实数t 的取值范围.【详解】由题意可知，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故2(131,)N nn a n n *=≤≤∈．所以12(12)2212n n n S +-==--．由21162n n n S a ta ++-<-，得122126422n n n t +++-<-⋅，整理得1164212n n t ++<+-对任意131n ≤≤，且N n *∈恒成立．又1164211152n n +++-≥=，当且仅当128n +=，即2n =时等号成立，所以t ＜15，即实数t 的取值范围是(,15)-∞故答案为：(,15)-∞16.若关于x 不等式()1xx kex >+的解集中的正整数有且只有一个，则k 的取值范围是______.【答案】221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】对k 进行分类讨论，结合构造函数法以及导数，求得k 的取值范围.【详解】当0k ≤时，任一正整数都满足不等式()1xx kex >+，故0k >.当0k >，1x ≥时，不等式()1xx ke x >+等价于()110x e x x k +-<，令()()11x e x f x x k+=-，1x ≥，∴当1x ≥时，()()2210x e f x x x x'=+->恒成立，∴()f x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()2112031202f e ke f k ⎧=-<⎪⎪⎨⎪=-≥⎪⎩，解得22132k e e ≤<.故答案为：221,32e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和*()n N ∈．若243,S 16a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）*21()n a n n =-∈N ；（2）*()21n nT n N n =∈+.【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程组，可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）求得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．【详解】解：（1）设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意得214134616a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项公式*12(1)21()n a n n n N =+-=-∈；（2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，即有前n 项和1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭*111()22121n n N n n ⎛⎫=-=∈ ⎪++⎝⎭．18.已知函数32()2f x x ax bx =+++，若函数()f x 在3x =处取得极值25-．（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在[]22-,上的最大值和最小值．【答案】（1）39a b =-⎧⎨=-⎩；（2）最大值为7，最小值为20-．【解析】【分析】（1）求出导函数，由(3)0(3)25f f =⎧⎨=-'⎩即可解得；（2）求出函数的单调区间，进而可以求出函数的最值.【详解】解：（1）2()32f x x ax b '=++ 由题意(3)0(3)25f f =⎧⎨=-'⎩，可得27602793225a b a b ++=⎧⎨+++=-⎩，得39a b =-⎧⎨=-⎩.（2）32()392f x x x x =--+，2()3693(3)(1)f x x x x x '=--=-+ 令()0f x '=，得=1x -或3x =（舍去）当x 变化时，()f x '与()f x 变化如下x2-()2,1--1-()1,2-2()f x '+0-()f x 0()f x 递增7()f x 递减20-所以函数()f x 在[]22-,上的最大值为7，最小值为20-.19.已知圆M 经过两点(A ，B （2，2）且圆心M 在直线2y x =-上．（1）求圆M 的方程；（2）设E ，F 是圆M 上异于原点O 的两点，直线OE ，OF 的斜率分别为k 1，k 2，且122k k =，求证：直线EF 经过一定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）()2224x y -+=（2）证明见解析，定点(-4，0)【解析】【分析】(1)设出圆的方程()()()2220y b r x r a +=--＞，根据给定条件列出方程组，求解即可得圆的方程.(2)设直线EF 的方程为y kxm =+，再与圆的方程联立消去y ，利用韦达定理及122k k =求得k 与m 的关系即可推理作答.【小问1详解】设圆M 的方程为：()()()2220y b r x r a +=--＞，由题意得，222222(3))(2)(2)2a b r a b r b a ⎧-+=⎪-+-=⎨⎪=-⎩，解得202a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆M 的方程：()2224x y -+=.【小问2详解】依题意，直线EF 的斜率存在，否则直线OE ，OF 关于x 轴对称，k 1，k 2互为相反数，与已知矛盾，设直线EF ：y kx m =+，由22(2)4x y y kx m⎧-+=⎨=+⎩得：()()2221240k x km x m +-+=+．()()()222224414440km k m km m ∆=-+--=>-，即244km m +<，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则122241km x x k -+=-+，21221m x x k=+，于是得()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++=⋅==()()2222222222222424141121m km k km m k m km km m k k m k k m m m k -⋅-⋅+-⋅-+⋅++++====+，则4k =m ，直线EF 的方程为：()4y k x =+，于是得直线EF 过定点(-4，0)，所以直线EF 经过一定点(-4，0).20.已知各项均为正数的数列{}n a 满足()214n n n a a a ++=-，11a =，24a =，*n ∈N .（1）证明：数列{}12n n a a +-为等比数列；（2）记2nn na b =，证明数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，()121nn S n =-+.【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义，结合递推公式，即可证明；（2）根据（1）的结果，结合等差数列的定义，证明数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式，再利用错位相减法求和.【详解】解：（1）因为()214n n n a a a ++=-，所以()211222n n n n a a a a +++-=-又因为21220a a -=≠所以，数列{}12n n a a +-是以2为首项，以2为公比的等比数列所以，112222n nn n a a -+-=⨯=（2）证明：因为122nn n a a +-=，可得11111212222n n n n n n n n n a a a a b b +++++--=-==所以，数列{}n b 是以12为首项，以12为公差的等差数列所以，()111222n n b n =+⨯-=因为22n n n a n b ==，所以12n n a n -=⋅所以01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，()12312122232122n nn S n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯两式作差得：01211222222212nn nnn S n n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅=⋅-所以，()121n n S n =-⋅+21.已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆C 经过点()2A ，3(1,)2B -．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）设过点()1,0F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，点Q 在x 轴上，且MQ NQ =，是否存在常数λ使MN QF λ=？如果存在，请求出λ；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在实数4λ=满足题意.【解析】【分析】(1)设出椭圆标准方程，将给定点的坐标代入列出方程组，求解即得；(2)直线l 斜率存在时，设出l 的方程，联立l 与C 的方程消元，借助韦达定理求出线段MN 长，再求出QF 长即可，验证l 斜率不存在时即可判断作答.【详解】（1）设椭圆C 的标准方程为221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠，因点()2A ，3(1,)2B -在椭圆C 上，则有33141914m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4m =，3n =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）显然点()1,0F 为椭圆的右焦点，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)34120y k x x y =-⎧⎨+-=⎩消去y 并整理得：()22224384120k x k x k +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，于是得22)12(1||43k MN k +==+，而212122286(2)(2)4343k k y y k x x k k k -+=+-=-=++，则线段MN 的中点坐标为22243(,4343k kk k -++，因为点Q 在x 轴上，且MQ NQ =，则Q 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，当0k =时，||4MN =，||1QF =，则||4||MN QF =，当0k ≠时，线段MN 的垂直平分线方程为222314()4343k k y x k k k +=--++，令0y =，得2243k x k =+，即22(,0)43k Q k +，则有22223(1)|||1|4343k k QF k k +=-=++，于是得||4||MN QF =，当直线l 的斜率不存在时，||3MN =，取1(,0)4Q 或7(,0)4Q 能满足||4||MN QF =，综上所述，存在实数4λ=满足题意.22.已知函数()()2ln 20f x ax x x x a =-->.（1）若4a =，求()f x '的极值；（2）()()2g x f x x =+，若函数()g x 有两个零点12,x x ，且21e x x >，求证：()12ln ln 3a x x +⋅>.【答案】（1）极大值为4ln 22-，无极小值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数()f x '，再利用导数求出()f x '的极值作答.（2）根据函数零点的意义，转化为直线1y a =与函数ln ()x x xϕ=图象有两个交点，求出e a >，再借助零点建立两个方程消去a ，构造函数证明12ln 2x x >即可作答.【小问1详解】当4a =时，2()4ln 2f x x x x x =--定义域为(0,)+∞，求导得()4(1ln )224ln 22f x x x x x '=+--=-+，令()4ln 22h x x x =-+，求导得4()2h x x'=-，当02x <<时，()0h x '>，当2x >时，()0h x '<，即函数()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，当2x =时，()h x 取得极大值(2)4ln 22h =-，无极小值，所以()f x '的极大值为4ln 22-，无极小值.【小问2详解】依题意，()2ln g x x a x x -=，0x >，因为函数()g x 有两个零点12,x x ，且21e x x >，而0a >，则21l l n ()n 00x g x a xax x x -=⇔=⇔=，因此函数()g x 的两个零点12,x x 分别是直线1y a =与函数ln ()x x xϕ=图象的两个交点横坐标，21ln ()x x xϕ'-=，当0e x <<时，()0x ϕ'>，当e x >时，()0x ϕ'<，则函数ln ()x x x ϕ=在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，max 1()ex ϕ=，而(1)0ϕ=，1x >时，恒有()0x ϕ>，01x <<时，()0x ϕ<，于是110ea <<，即e a >，令21e t x x =>，显然有122111221221ln ln ln ln a x x x x a x x x a x x a x x x =+⎧=⎧⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪⎩，则有2212121222111111ln ln ln ln 11x x x x x x t x x t x x x x x t x +++=⋅=⋅=---，令2(1)4()ln ln 2,e 11t F t t t t t t -=-=+->++，求导得22214(1)()0(1)(1)tF tt t t t'-=-=>++，即函数()F t在(e,)+∞上单调递增，4()(e)10e1F t F>=->+，即有2(1)ln1ttt->+，从而121ln ln21tx x tt+=>-，又ln1a>，所以12ln ln3a x x+>.。