三角函数的图像与性质

教学过程一、课堂导入问题：三角函数的画法？三角函数的性质有哪些？二、复习预习1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．三、知识讲解考点1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．考点2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质[－1,1][－1,1]四、例题精析考点一求三角函数的定义域和最值例1函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3【规范解答】利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 答案 A【总结与反思】求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．考点二三角函数的单调性、周期性例2写出函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调区间及周期。

【规范解答】y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .最小正周期T ＝2π2＝π.【总结与反思】求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中，ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．考点三三角函数的奇偶性和对称性例3 已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．【规范解答】f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称，即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.【总结与反思】若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x . 如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．五、课堂运用【基础】1、已知ω>0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是()A．[12，54] B．[12，34] C．(0，12] D．(0,2]【规范解答】由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A.2、已知ω>0,0<φ<π，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于()A.π4B.π3C.π2D.3π4【规范解答】利用三角函数的对称轴求得周期．由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.【巩固】1、设函数f(x)＝3sin(π2x＋π4)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．【规范解答】f(x)＝3sin(π2x＋π4)的周期T＝2π×2π＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为T2＝2.2、已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【规范解答】f(x)＝12sin 2x，当x1＝0，x2＝π2时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈[－π4，π4]时，2x∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f(3π4)＝12sin32π＝－12，故f(x)的图象关于直线x＝34π对称，故④是真命题．答案③④【拔高】1、已知函数f(x)＝sin 2x－3cos 2x＋1.(1)当x∈[π4，π2]时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求f(x)的单调区间．【规范解答】(1)f(x)＝sin 2x－3cos 2x＋1＝2sin(2x－π3)＋1.∵π4≤x≤π2，∴π2≤2x≤π，∴π6≤2x－π3≤2π3，∴12≤sin(2x－π3)≤1，∴1≤2sin(2x－π3)≤2，于是2≤2sin(2x－π3)＋1≤3，∴f(x)的最大值是3，最小值是2.(2)由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得2kπ－π6≤2x≤2kπ＋5π6，k∈Z，∴kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z，同理由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得f(x)的单调递减区间为[kπ＋5π12，kπ＋11π12]，k∈Z.2、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．【规范解答】(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .课程小结1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．4．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．5．要注意求函数y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．。