对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分教案
第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。
在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。
记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。
如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。
由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。
高等数学对弧长的曲线积分教案
时间---------月---------日 星期----------------- 课 题§11.1 对弧长的曲线积分教学目的 使学生对弧长的曲线积分的定义与计算。
教学重点 对弧长的曲线积分的计算。
教学难点 对弧长的曲线积分的计算。
课 型 专业基础课 教法选择讲 授教 学 过 程教法运用及板书要点我们已经把定积分的概念推广到了重积分，被积函数是二元函数或三元函数，积分区域是平面区域或空间区域，积分概念还可以推广到曲线积分和曲面积分。
本章将介绍曲线积分、曲面积分的概念、应用、计算方法，以及它们和重积分之间的联系。
一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 金属曲线的质量: 设有一有限长的金属曲线C ，其上不均匀地分布着质量，因此金属曲线C 的线密度是变量。
设其在xOy 面内的一段曲线弧L , 它的端点是A,B ,在L 上任一点),(y x 处，它的线密度为),(y x ρ，现在要计算这金属曲线C 的质量M .把曲线分成n 小段, ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n (∆s i 也表示弧长);任取(ξi , ηi )∈∆s i , 得第i 小段质量的近似值i i i s ∆),(ηξρ，于是整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈∑=),(1ηξρ;令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆=∑=→),(lim 1ηξρλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线弧, 函数f (x , y )在L 上有界. 在L 上任意插入一点列A 1, A 2, ⋅ ⋅ ⋅, A n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为∆s i , 又(ξi , ηi )为第i 个小段上任意取定的一点, 作乘积f (ξi , ηi )∆s i , (i =1, 2,⋅。
对弧长的曲线积分的计算法
思考: 例5中 改为
, 如何
计算
X x 1 解: 令 Y y 1 ,
Z z
则
:
X
2
Y2 Z2 X Y Z
a2 0
(X 1)2 ds
利用形心公式
2 X ds
2 πa3 2 X 2πa 3
圆 的形心
在原点, 故
X 0
例6. 计算
其中 为球面
x2
y2
z2
9 2
与平面 x
z
1的交线.
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y)ds f [ (t ) , (t )] 2(t ) 2(t ) d t
L
证: 根据定义
n
lim
0 k 1
f
(k
,k
)sk
设各分点对应参数为
点 (k ,k ) 对应参数为
sk
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
x
y
R cos R sin
( )
O
L Rx
R2 sin2 (R sin )2 (R cos )2 d
R3 sin2
d
2R3
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
例3. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
ds dy dx
因此上述计算公式相当于“换元法”. O x x
微积分：10.1 第一类 (对弧长的) 曲线积分
i 1
n
取极限
A
lim
0
i 1
h(i ,i
) si .
A
y
Mn
MnA1 i
Mi
Mi1 (i ,i )
2:非均匀平面曲线形构件的质量
均匀的质量 M s.
分割 M0 , M1,, Mn , 近似 取 (i ,i ) Mi1Mi ,
Mi (i ,i ) si .
y
M0
o
(x, y) Mn
则 f ( x, y, z)ds
0,
当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z) 的奇函数
2 f ( x, y)ds, 当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z)的偶函数 1
Γ1是曲线Γ落在yz (或xz) (或x y平) 面一侧的部分.
运用对称性简化第一类曲线积分计 算时, 应同时考虑被积函数 与积分曲线 的对称性.
A⌒B
BO
yB
OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx
O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
A⌒B : x a cos t, y a sint, 0 t
4
A⌒B e x2 y2ds
4 ea
0
(a sint)2 (a cos t)2 dt aea
解2 选 y 为积分变量
y2 2x x y2 2
(0 y 2)
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
例 求I xyzds,其 中 : x a cos , y a sin ,
z k 的 一 段. (0 2 )
弧长曲线积分公式
弧长曲线积分公式是用于计算曲线弧长的公式。
对于参数方程表示的曲线，其弧长可以通过积分来计算。
具体的弧长曲线积分公式如下：
设曲线的参数方程为x = f(t)，y = g(t)，a ≤t ≤b，则曲线的弧长可以表示为：
L = ∫[a, b] √[f'(t)²+ g'(t)²] dt
其中，f'(t) 和g'(t) 分别表示参数方程x = f(t) 和y = g(t) 的导数。
该公式的思想是将曲线划分成无穷小的线段，然后对每个线段的长度进行求和，最终得到整个曲线的弧长。
需要注意的是，当曲线的参数方程难以直接求导时，可能需要使用其他方法来计算弧长，例如使用数值积分或近似计算方法。
弧长积分
4.性质
(1) L[f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. , 为常数
(2) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L
L1
L2
(3)设在L上f ( x, y) g( x, y), 则 (L L1 L2 ).
解
I
2
y
1 ( y)2dy 0.
2
2
例 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
z k的一段. (0 2)
解
I
2
a2 cos sin k
a2 k 2d
0
1 ka2 a2 k2 . 2
计算 e x2 y2ds, L :由圆周x2 y2 a2, L
取极限
M
lim
0
i 1
(i ,i ) si .
近似值 精确值
二、对弧长的曲线积分的概念
1.定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2 , , Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的一点,
一、问题的提出 y
实例:曲线形构件的质量
匀质之质量 M s.
A
分割 M1, M2 , , Mn1 si Mi
M2
M1
M i 1
x
取近似 取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
n
求和 M (i ,i ) si .
i 1
n
直线y x及x轴在第一象限中所围图形的边界.
第19讲对弧长的曲线积分
§ 对弧长的曲线积分1、主要教学目标(1)对弧长的曲线积分的概念与性质 (2)对弧长曲线积分的计算(3)对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 2、重点内容对弧长曲线积分的计算 3、难点分析对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、参数方程三种情形下曲线积分计算公式 4、对教材的处理及其教学提示(1)注意教材在该部分的淡化，要注意考研的需求，介绍参考书； (2)注意线、面积分的性质局限在线性、可加、符号范畴；(3)曲线、曲面积分重在讲授转化成定积分的思想方法，定积分计算不宜过难； (4)注意构建第一类线、曲积分计算法与曲线长度、曲面面积计算的知识结构体系；5、作业布置 P190：3(2，3，5)教案内容一、问题的提出实例：曲线形构件的质量匀质之质量.s M ⋅=ρ 分割,,,,121i n s M M M ∆→-,),(i i i s ∆∈ηξ取.),(i i i i s M ∆⋅≈∆ηξρ求和.),(1∑=∆⋅≈ni i i i s M ηξρ近似值取极限.),(lim1∑=→∆⋅=ni iiis M ηξρλ精确值二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.平面上对弧长的曲线积分y上对弧长的曲线积分在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设L y x f s f s f i s i n L L y x f xoy L ni i i i i i i i i i ),(,,0,),(,),(,),(,..),(,1→∆⋅∆⋅∆∑=ληξηξηξ.),(lim ),(,),(1∑⎰⎰=→∆⋅=ni i i i LL s f ds y x f ds y x f ηξλ即记作2.空间中对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分为在空间曲线弧函数Γ),,(z y x f.),,(lim ),,(1i ni i i i s f ds z y x f ∆⋅=∑⎰=→Γζηξλ3.曲线积分的存在性.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当⎰L ds y x f L y x f4.分段光滑的曲线上对坐标的曲线积分)(,)(21L L L L +=Γ是分段光滑的或若.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f5.闭曲线积分.),(),(⎰Lds y x f L y x f 为上对弧长的曲线积分记在闭曲线函数 6.对弧长的曲线积分的性质.),(),()],(),([)1(⎰⎰⎰±=±LLLds y x g ds y x f ds y x g y x f).(),(),()2(为常数k ds y x f k ds y x kf LL⎰⎰=.),(),(),()3(21⎰⎰⎰+=L L Lds y x f ds y x f ds y x f ).(21L L L +=三、对弧长的曲线积分的计算法1.定理(计算曲线积分的公式)的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设L L y x f ,),())((),(βαψϕ≤≤==t t y t x)()()()](),([),(,],[)(),(22βαψϕψϕβαψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f t t L则上具有一阶连续导数在其中例1 ).(,sin ,cos :,象限第椭圆求I ⎩⎨⎧===⎰t b y t a x L xyds I L解答要点：dt t b t a t b t a I 2220)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰πdt t b t a t t ab 222220cos sin cos sin +=⎰π⎰-=ab du u b a ab 222)cos sin (2222t b t a u +=令.)(3)(22b a b ab a ab +++=2.其它计算公式.)(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f baL⎰⎰'+=ψψ)(b a <.)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ.)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f dcL⎰⎰'+=ϕϕ)(d c <)().(),(),(:)3(βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x)()()()()](),(),([),,(222βαωψϕωψϕβα<'+'+'=⎰⎰Γdt t t t t t t f ds z y x f3.应注意的问题;.1βα一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f例2 .)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求-==⎰x y L yds I L解答要点：dy y y I 222)2(1+=⎰-.0= 例3 ⎰Γ=xyzds I 求，其中)20(,sin ,cos :πθθθθ≤≤===Γk z a y a x解答要点：⎰+⋅=πθθθθ20222sin cos d k a k a I .21222k a ka +-=π例4 ⎩⎨⎧=++=++Γ=⎰Γ.0,,22222z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解答要点：由对称性, 知.222⎰⎰⎰ΓΓΓ==ds z ds y ds xxy 42=⎰Γ++=ds z y x I )(31222故⎰Γ=ds a 32.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=ds a π例5 计算曲线积分dsz y x )(222++⎰Γ 其中为螺旋线x a cos t 、y a sin t 、z kt 上相应于t 从0到达2的一段弧解 在曲线上有x 2y 2z 2(a cos t )2(a sin t )2(k t )2a 2k 2t 2 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=于是ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=四、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当L y x ρ;),(⎰=Lds y x M ρ;,1),()2(⎰=≡Lds L y x f 弧长时当,),(),()3(处的高时在点上的柱面表示立于当y x L y x f.),(⎰=Lds y x f S 柱面面积,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对y x .,22⎰⎰==Ly L x ds y I ds x I ρρ曲线弧的重心坐标)5(.,⎰⎰⎰⎰==LL L L dsds y y dsds x x ρρρρ 五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用sL。
高数下第十一章曲线积分与曲面积分
L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的 对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解 记 L所 围 成 的 闭 区 域 为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则 当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作 位 于 D 内 圆 周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行 的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2
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令 v cos u
16a
3
1 1
(1 v 2 ) 2 d v
256 3 a . 15
例
L
( x 2 y 2 ) d s , 其中 L : x 2 y 2 a 2 (a 0) .
解
L 的参数方程为 x a cos t , y a sin t , 0 t 2 .
2 ) L OA AB , 在 OA 上 : y 0 , d s d x ; 在 AB 上 : x 1 , d s d y ,
3 故 x d s x d s x d s x d x 1d y . L OA AB 0 0 2
1 1
例
求
L
| y | d s , 其中 L 为右半单位圆 .
y B(0, 1)
C (1, 0)
O
解 由题意, L : x 2 y 2 1 , x 0 .
由隐函数求导法, 得
x y , y
故
从而,
x
A(0, 1)
ds
x2 y 2 1 1 y d x dx d x. 2 y | y|
x y z . 3 2 1
线段 AO 参数方程为 x 3 t , y 2 t , z t , 0 t 1 .
( x y z ) d s ((3 t )3 (2 t ) 2 t ) 32 22 12 d t
3 2 0
1
31 31 14 t d t 14 . 0 4
化为定积分后, 积分下限小于积分上限 .
例
计算
L
y 2 d s , 其中 L 为摆线 x a (t sin t ) , y a (1 cos t )
(a 0) 的第一拱 (0 t 2 ) .
解
d s x2 y2 d t a 2 (1 cos t ) 2 a 2 sin 2 t d t
ds a 2 b2 d t 2 2 2 0 x y z a 2 b 2t 2
a 2 b2 2 b arctan . ab a
例
计算
( x3 y 2 z) d s ,
其中 是由点 A(3, 2, 1) 到原点的直线段 .
解 过原点和点A 的直线方程为
上的有界函数 . 在 LAB 上任取 n 1 个点 :
A A0 A1 Ai 1 Ai An1 An B ,
将 LAB 分 成 n 个小弧段 Si ( i 1 , 2 , , n) , 每个小弧段的长度
记为 si , 并记 max{si } . 若 ( i , i ) Si , 极限 1 i n
具有质量的平面曲线 .
A
b
O a
x
y
A A A
A i 1
i 1
An 1 B
点 M i ( i , i ) 的位置
可以由点A 到 M 的 弧长来确定.
f ( M i ) f ( i , i )
O a
b
x
n
可以看成是弧长的
函数 .
L
f ( x, y ) d s f ( x, y ( x)) 1 y2 d x
a
b
(1) .
由于对弧长的曲线积分 与起点、终点的位置无 关, 所以, 总可以认为弧长的增加 方向与x 的增加方向一致.
将对弧长的曲线积分化 为定积分计算时 , 积程为
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
通常将空间 R 3 中的曲线表示为参数方 程形式 , 然后
化为定积分来计算.
设 R3 中曲线 的参数方程为
: x x(t ) , y y(t ) , z z(t ) , t [ , ] ,
且 x(t ) , y (t ) , z (t ) C1 ([ , ]) , 则
x x( y ) , y [c , d ] , 且 x( y ) C 1 ([c , d ]) , 则
d
L
f ( x, y ) d s f ( x( y ), y ) 1 x2 d y
c
( 2) .
y d
c
O
x x( y )
x
例
计算
L
x d s , 其中
1 ) L 是 y x 2 上由原点O(0, 0) 到点 B( 1, 1 ) 的一段弧.
d s x2 y2 d t (a sin t ) 2 (a cos t ) 2 d t a d t .
由于被积函数 f 定义在曲线 L 上 , 故
f ( x, y ) x 2 y 2 a 2 ,
从而 ,
L
(x y ) d s
2 2
2 0
a 2 a d t 2 a 3 .
五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
设有一质量非均匀分布 的光滑的平面曲线构件 L , 其密度 是 L 上点的连续函数 : f ( x, y ) ( x, y ) L .
求曲线构件L 的质量.
仿照质量非均匀分布的 直线构件的质量计算方 法:
分割 —— 近似 —— 求和 —— 取极限 . y B 将构件简化为数学中
2
L AC
此题可选 y 作自变量. 请同学课后 自己完成.
L
| y |ds
| y |ds
LBC
| y |ds
1 1 1 | y| dx | y| d x 2. 0 0 | y| | y| 1
四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
设 L : x x(t ) , y y(t ) , t [ , ] ,
第三章 多元函数积分学
第 四 节 对弧长的曲线积分
本节教学要求：
正确理解对弧长的曲线积分的概念和物理背景。
熟悉二维空间中对弧长的曲线积分的计算方法。 了解三维空间中对弧长的曲线积分。 正确理解弧长元素的含义。
第四节 对弧长的曲线积分
一. 对弧长的曲线积分的物理背景
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质 三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算
增加方向一致.
例
求
ds , 是螺旋线 x a cos t , y a sin t , 2 2 2 x y z
z b t 的第一圈 ( 0 t 2 ) .
解
d s x2 (t ) y2 (t ) z2 (t ) d t a 2 b 2 d t ,
2 ) L 是折线 OAB , 其中 A( 1, 0) .
y
B( 1, 1 )
解
1) L : y x 2 , x [0, 1] , 而
ds
1 y 2 d x
1 2
1 4x2 d x ,
O
A(1,0) x
1 故 x d s x 1 4 x d x (5 5 1 ) . L 0 12
如果积分曲线为一条封 闭曲线 L , 则积分记为
L
f ( x, y ) d s lim f ( i , i )si .
0
i 1
n
对弧长的曲线积分的性 质 1. 对弧长的曲线积分值与 曲线的起点、终点位置 无关:
LAB
f ( x, y) d s
LBA
f ( x, y) d s .
L
三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算
首先回忆定积分中讲过 的弧微分d s :
y
y f ( x)
dx
dy
d x2 d y2 d s2
当弧长的增加方向与自 变量 x 的增加方向一致时 ,
ds 1 y 2 d x .
1. 设曲线 L 的方程为
y y ( x) , x [a , b] , 且 y ( x) C1 ([a , b]) , 则
d s x2 (t ) y2 (t ) z2 (t ) d t ,
f ( x, y, z ) d s f ( x(t ), y (t ), z (t )) x2 (t ) y2 (t ) z 2 (t ) d t .
f ( x, y, z ) 定义在曲线 上 ; 弧长的增加方向与自变 量 t 的
A i 1
M i ( i , i )
si
Ai
m f ( i , i ) si
i 1
m i f ( i , i )si
m lim f ( i , i ) si
0
i 1
n
二. 对弧长的曲线积分的定义和性质
设函数 f ( x , y ) 是定义在 xy 平面上的一条可求长的曲线 LAB
且 x(t ) , y (t ) C1 ([ , ]) , 则
d s x2 (t ) y2 (t ) d t ,
L
f ( x, y ) d s f ( x(t ), y (t )) x2 (t ) y2 (t ) d t
(3) .
注意: 取弧长的增加方向与自 变量 t 的增加方向一致.
0
n
lim f ( i , i )si
i 1
存在, 且该极限值与对曲线LAB 的分法和点(i , i ) 的取法无关,
则称该极限值为函数 f ( x, y ) 在曲线 LAB 上对弧长的积分 , 记为