高等数学期末考试试题与答案(大一考试)
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
⼤⼀⾼等数学期末考试试卷及答案详解⼤⼀⾼等数学期末考试试卷（⼀）⼀、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h →--的值为（）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-?的值为（）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)⼀定可导(C)可能可导 (D)必⽆极限⼆、填空题（共12分）1．（3分）平⾯上过点(0,1)，且在任意⼀点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线⽅程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极⼤值为 .三、计算题（共42分） 1. （6分）求20ln(15)lim.sin 3x x x x →+2. （6分）设2,1y x =+求.y '3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x xx f x xe x ?≤?=+??+>?5. （6分）设函数()y f x =由⽅程0cos 0yxte dt tdt +=??所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +?7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞+四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ??=-≤≤与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转⼀周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线⽅程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最⼩值和最⼤值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明1()[()()]()()().22bbab a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?（⼆）⼀、填空题（每⼩题3分，共18分） 1．设函数()23122+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第类间断点.2．函数()21ln x y +=，则='y.3． =?+∞→xx x x 21lim.4．曲线xy 1=在点2,21处的切线⽅程为 . 5．函数2332x x y -=在[]4,1-上的最⼤值，最⼩值 . 6．=+?dx xx21arctan . ⼆、单项选择题（每⼩题4分，共20分） 1．数列{}n x 有界是它收敛的（） . () A 必要但⾮充分条件； () B 充分但⾮必要条件； () C 充分必要条件； () D ⽆关条件. 2．下列各式正确的是（） .() A C e dx e x x +=--?； () B C xxdx +=?1ln ； () C ()C x dx x +-=-?21ln 2211； () D C x dx xx +=?ln ln ln 1. 3．设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（）.() A 等于1； () B 等于1-； () C 等于0； () D 不存在.5．已知()2lim 1=+→x f x ，以下结论正确的是（）.() A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去⼼邻域内有定义；() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.三、计算（每⼩题6分，共36分） 1．求极限：xx x 1sin lim 20→. 2. 已知()21ln x y +=，求y '. 3. 求函数x x y sin =()0>x 的导数.4. ?+dx xx 221. 5. ?xdx x cos .6.⽅程yxx y 11=确定函数()x f y =，求y '.四、（10分）已知2x e 为()x f 的⼀个原函数，求()?dx x f x 2.五、（6分）求曲线x xe y -=的拐点及凹凸区间. 六、（10分）设()()C e x dx x f x++='?1，求()x f .（三）⼀、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分).（1） 21(cos lim x x x → e1.（2）曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平⾏的切线⽅程为1-=x y . （3）已知xxxeef -=')(，且0)1(=f , 则=)(x f =)(x f 2)(ln 21x .（4）曲线132+=x x y 的斜渐近线⽅程为 .9131-=x y（5）微分⽅程522(1)1'-=++y y x x 的通解为.)1()1(32227+++=x C x y⼆、选择题 (本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分). （1）下列积分结果正确的是（ D ）(A) 0111=?-dx x (B) 21112-=?-dx x(C) +∞=?∞+141dx x (D) +∞=?∞+11dx x（2）函数)(x f 在],[b a 内有定义，其导数)('x f 的图形如图1-1所⽰，则（ D ）.(A)21,x x 都是极值点. (B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点.(C) 1x 是极值点.，())(,22x f x(D) ())(,11x f x 是拐点，2x 是极值点图1-1（3）函数212e e e x x xy y y x '''--=（B ）23e .xy y y '''--= （C ）23e .x y y y x '''+-= （D ）23e .xy y y '''+-=（4）设)(x f 在0x 处可导，则()()000limh f x f x h h →--为（ A ）. (A) ()0f x '. (B) ()0f x '-. (C) 0. (D)不存在 .（5）下列等式中正确的结果是（ A ）.(A) (())().f x dx f x '=? (B) ()().=?df x f x (C) [()]().d f x dx f x =(D) ()().fx dx f x '=?三、计算题（本题共4⼩题，每⼩题6分，共24分）. 1．求极限) ln 11(lim 1x x x x --→.解 )ln 11(lim 1x x x x --→=x x x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ 1分=x x x xx ln 1ln lim1+-→ 2分= xx x x x x ln 1ln lim1+-→ 1分分2.⽅程??+==t t t y t x sin cos sin ln 确定y 为x 的函数，求dx dy 与2 2dx y d .解 ,sin )()(t t t x t y dx dy =''= （3分） .sin tan sin )()sin (22t t t t t x t t dx y d +=''= （6分）3. 4. 计算不定积分.222(1) =2arctan 2 =2d x C =----------+------+---------??分分（分4.计算定积分?++3011dx xx.解 ??-+-=++3030)11(11dx x x x dx x x ?+--=30)11(dx x （3分）35)1(3（或令t x =+1）四、解答题（本题共4⼩题，共29分）.1．（本题6分）解微分⽅程256xy y y xe '''-+=.2122312*20101*223212-56012,31.1()111.21(1)121(1).12x x x x x x x r r r r e C e y x b x b e b b y x x e y e C e x x e +=----------==----------+-------=+-----------=-=-=-------------=+-+----解：特征⽅程分特征解.分次⽅程的通解Y =C 分令分代⼊解得，所以分所以所求通解C 分2．（本题7分）⼀个横放着的圆柱形⽔桶（如图4-1），桶内盛有半桶⽔，设桶的底半径为R ，⽔的⽐重为γ，计算桶的⼀端⾯上所受的压⼒．解：建⽴坐标系如图22022220322203*********RRRP gx R x dx g R x d R x g R x g R ρρρρ=----------=---------=--------=----------------??分（）分[（）]分分3. （本题8分）设()f x 在[,]a b 上有连续的导数，()()0f a f b ==，且2()1baf x dx =?，试求()()b a222()()()()21 ()221 =[()]()2211=0222b b aab a b b a a xf x f x dx xf x df x xdf x xf x f x dx '=-----=---------=----------解：分分分分4. （本题8分）过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平⾯图形D. (1) (3) 求D 的⾯积A;(2) (4) 求D 绕直线e x =旋转⼀周所得旋转体的体积V.解：(1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln ,(00x x 处的切线⽅程是).(1ln 000x x x x y -+=1分yxyO1e 1D由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从⽽.0e x =所以该切线的⽅程为.1x e y =平⾯图形D 的⾯积 ?-=-=10.121)(e dy ey e A y 2分（2）切线xe y 1=与x 轴及直线e x =所围成的三⾓形绕直线e x =旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π= 2分曲线x y ln =与x 轴及直线e x =所围成的图形绕直线e x =旋转所得的旋转体体积为dye e V y 2102)(?-=π， 1分因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=?e e dy e e e V V V y πππ 1分五、证明题（本题共1⼩题，共7分）.1.证明对于任意的实数x ，1x e x ≥+.解法⼀：2112xe e x x xξ=++≥+解法⼆：设() 1.x f x e x =--则(0)0.f = 1分因为() 1.xf x e '=- 1分当0x ≥时，()0.f x '≥()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分当0x ≤时，()0.f x '≤()f x 单调增加，()(0)0.f x f ≥= 2分所以对于任意的实数x ，()0.f x ≥即1x e x ≥+。
高数大一期末考试试卷
高数大一期末考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是：A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. x^2+2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 1B. 0C. -1D. 23. 若函数f(x)在x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. f(a)不存在C. f(a)=0D. f(a)=14. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -2D. 25. 函数y=ln(x)的不定积分是：A. x+CC. x^2+CD. e^x+C6. 以下哪个级数是发散的：A. 1+1/2+1/3+...B. 1-1/2+1/3-1/4+...C. 1/2+1/4+1/8+...D. 1/2^2+1/3^2+1/4^2+...7. 以下哪个函数是奇函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x+1D. f(x)=x-18. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上的定积分是：A. 0B. 1/3C. 2/3D. 19. 以下哪个选项是洛必达法则的应用：A. lim(x→0) (x/sin(x))B. lim(x→0) (sin(x)/x)C. lim(x→0) (1/x)D. lim(x→0) (x^2/x)10. 以下哪个函数的导数是其本身：A. e^xB. ln(x)D. sin(x)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的二阶导数是________。
2. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。
3. 函数f(x)=cos(x)的导数是________。
4. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是________。
5. 函数f(x)=ln(x)的定义域是________。
6. 函数f(x)=x^2+3x+2的根是________。
7. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点是________。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. =+→xx x sin 2)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f xx=⋅⎰x xxx f d cos )(则.7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11. 解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰0232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一(第一学期)高数期末考试题及答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.=+→xx x sin 2)31(lim .6.,)(cos 的一个原函数是已知x f x x=⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim (cos cos cos )→∞-+++=22221n n n n n nππππ.8. =-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12. 设函数)(x f 连续，=⎰10()()g x f xt dt，且→=0()limx f x A x ，A为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰qf x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）解答一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e . 6.c x x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++= cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x xxe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
大一高数b1期末考试题及答案解析
大一高数b1期末考试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是微分的定义？A. 函数在某点的导数B. 函数在某点的切线斜率C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的增量答案：C解析：微分是函数在某点的极限，即函数增量与自变量增量之比当自变量增量趋近于零时的极限。
2. 函数f(x)=x^3+2x-1的导数是？A. 3x^2+2B. x^3+2C. 2x^2+2D. x^2+2x答案：A解析：根据导数的定义，f'(x)=3x^2+2。
3. 以下哪个选项是定积分的定义？A. 函数在某区间的原函数B. 函数在某区间的增量C. 函数在某区间的极限D. 函数在某区间的差分答案：C解析：定积分是函数在某区间的极限，即函数在该区间上所有小矩形面积的和的极限。
4. 曲线y=x^2与x轴围成的面积是？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：A解析：曲线y=x^2与x轴围成的面积可以通过定积分计算，即∫(0,1)x^2dx=1/3。
二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x)=x^2-3x+2，求f'(x)=________。
答案：2x-3解析：根据导数的定义，f'(x)=2x-3。
2. 函数f(x)=ln(x)的导数是________。
答案：1/x解析：自然对数函数ln(x)的导数是1/x。
3. 求定积分∫(0,1)x^2dx的值。
答案：1/3解析：通过计算定积分∫(0,1)x^2dx=1/3。
4. 曲线y=x^3与x轴围成的面积是________。
答案：1/4解析：曲线y=x^3与x轴围成的面积可以通过定积分计算，即∫(0,1)x^3dx=1/4。
三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=e^x的导数。
答案：f'(x)=e^x解析：指数函数e^x的导数仍然是e^x。
2. 求定积分∫(0,2)e^xdx的值。
答案：e^2-1解析：通过计算定积分∫(0,2)e^xdx=e^2-1。
《高等数学1》期末考试试卷及答案
《高等数学1》期末考试试卷及答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1、函数ln(1)yx =-+的定义域是 。
2、极限20limxt x e dt x→=⎰。
3、设0xx =是可导函数()y f x =的极大值点，则()0f x '= 。
4、计算定积分43121sin 11x x dx x -+=+⎰ 。
5、微分方程x y xe ''=的通解是 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）A. 可去间断点B. 跳跃间断点C. 无穷间断点D. 振荡间断点 7、当0x→时，下列函数中与sin 2x 是等价无穷小的是（ ）9、下列每对积分均采用分部积分法，其u 均选为幂函数的一对是（ ）。
A. x xe dx ⎰与ln x xdx ⎰B. xxe dx ⎰与sin x xdx ⎰C. ln x xdx ⎰与sin x xdx ⎰D. arcsin x xdx ⎰与sin x xdx ⎰10、)(x f 在区间),(b a 内恒有()()0,0f x f x '''<<时，曲线)(x f y =在),(b a 内是（ ）A. 单增且是凹的；B. 单增且是凸的；C. 单减且是凸的；D. 单减且是凹的三、判断题（正确打√，错误打Ⅹ，每小题2分，共10分）11、在闭区间上的连续函数必有原函数，从而必可积。
（ ） 12、设2sin x y e =，则()()()22sin 2x x y e e x ''''=。
（ ） 13、设点00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有0()0f x ''=。
（ ）14、常数零是无穷小量，无穷小量就是常数零。
（ ）15、()22212t d x e dt x e e dx =-⎰ ( )四、极限、连续和微分解答题（每小题6分，共30分）16、求数列极限2lim nn ne-→∞17、111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭18、20limsin xt x e dtx→⎰19、已知(ln ,x y e =+求dy dx ，22d y dx20、求由方程x y xye -=所确定的隐函数的微分dy五、积分和微分方程解答题（每小题5分，共25分）21、2221tan x x e e x dx -⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰22、dx ⎰23、1e ⎰24、2-145dx x x +∞∞++⎰25、求微分方程2x dyy e dx-+=的通解六、应用题（每小题5分，共5分）26、求平面曲线y=2x ²与y ²=4x 所围成的图形面积A 。
(完整版)大一高等数学期末考试试卷及答案详解
一、1 B;2 C; 3 D;4 A.
二、1 2 3 0; 4 0.
三、1解原式 6分
2 解 2分
4分
3解原式 3分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2分
1分
4 解令 则2分
5 1分
6 1分
1分
1分
7 两边求导得 2分
8 1分
1分
2分
9 解 2分
10 4分
11 解原式= = 6分
四、1解令 则 3分
= 2分
2分
1分
2 解 3分
-----------3
3．求摆线 在 处的切线的方程.
解：切点为 -------2
-------2
切线方程为 即 . -------2
4.设 ，则 .
5．设 ，求 .
解： ---------2
--------------2
= ------------2
故 =
四．应用题（每小题9分，3题共27分）
1．求由曲线 与该曲线过坐标原点的切线及 轴所围图形的面积.
(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限
二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点 ，且在任意一点 处的切线斜率为 的曲线方程为.
2. （3分） .
3. （3分） =.
4. （3分） 的极大值为.
三、计算题（共42分）
1.（6分）求
2.（6分）设 求
3.（6分）求不定积分
4.（6分）求 其中
(D)(D)若可积函数 为奇函数,则 也为奇函数.
4.设 ,则 是 的（C）.
(A)连续点;(B)可去间断点;
(C)跳跃间断点;(D)无穷间断点.
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
大一高等数学期末考试试卷一、选择题（共12分）1. （3分）若2,0,(),0x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h→--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D)123. （3分）定积分22ππ-⎰的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)24. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ).(A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限二、填空题（共12分）1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 .2. （3分） 1241(sin )x x x dx -+=⎰ . 3. （3分） 201lim sin x x x→= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 .三、计算题（共42分）1. （6分）求20ln(15)lim .sin 3x x x x→+2. （6分）设2,1y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +⎰4. （6分）求30(1),f x dx -⎰其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y xt e dt tdt +=⎰⎰所确定,求.dy6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰7. （6分）求极限3lim 1.2nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭四、解答题（共28分）1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x2. （7分）求由曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积.3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程.4. （7分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值.五、证明题(6分)设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明标准答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 31;y x =+ 2 2;33 0;4 0. 三、 1 解 原式205lim3x x x x →⋅= 5分 53= 1分 2 解22ln ln ln(1),12x y x x ==-++ 2分2212[]121x y x x '∴=-++ 4分 3 解 原式221ln(1)(1)2x d x =++⎰ 3分 222212[(1)ln(1)(1)]21x x x x dx x=++-+⋅+⎰ 2分 2221[(1)ln(1)]2x x x C =++-+ 1分 4 解 令1,x t -=则 2分3201()()f x dx f t dt -=⎰⎰ 1分1211(1)1cos t t dt e dt t -=+++⎰⎰ 1分 210[]t e t =++ 1分 21e e =-+ 1分5 两边求导得cos 0,y e y x '⋅+= 2分 cos y x y e '=-1分 cos sin 1x x =- 1分 cos sin 1x dy dx x ∴=- 2分 6 解 1(23)(23)(22)2f x dx f x d x +=++⎰⎰ 2分 21sin(23)2x C =++ 4分7 解 原式=23323lim 12n n n ⋅→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭4分 =32e 2分四、1 解 令ln ,x t =则,()1,t t x e f t e '==+ 3分()(1)t f t e dt =+⎰=.t t e C ++ 2分 (0)1,0,f C =∴= 2分().x f x x e ∴=+ 1分2 解 222cos x V xdx πππ-=⎰ 3分 2202cos xdx ππ=⎰ 2分 2.2π= 2分3 解 23624,66,y x x y x '''=-+=- 1分 令0,y ''=得 1.x = 1分当1x -∞<<时,0;y ''< 当1x <<+∞时,0,y ''> 2分(1,3)∴为拐点, 1分该点处的切线为321(1).y x =+- 2分 4 解1y '=-= 2分 令0,y '=得3.4x = 1分35(5)5 2.55,,(1)1,44y y y ⎛⎫-=-+≈-== ⎪⎝⎭ 2分∴ 最小值为(5)5y -=-+最大值为35.44y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 2分五、证明()()()()()()bba a x a xb f x x a x b df x '''--=--⎰⎰ 1分 [()()()]()[2()b b a a x a x b f x f x x a b dx ''=----+⎰ 1分[2()()b a x a b df x =--+⎰ 1分{}[2()]()2()b b a a x a b f x f x dx =--++⎰ 1分()[()()]2(),b a b a f a f b f x dx =--++⎰ 1分移项即得所证. 1分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（ 2010 至 2011 学年第一学期）课程名称： 高等数学 ( 上 )(A 卷)考试 (考查 )： 考试2008年 1 月 10 日共 6页题 二三四五六七 八九十十一评阅 (统分 )一总分师号 教得线分注意事项：1、 满分 100 分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
名2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否姓则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
题4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
答号试题学要得分评阅教师封不班一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3 分，共 15 分）内级 线1.lim sin( x 21)()x 1x 1封1； (B)0； (C)2；1(A)(D)2业 密F ( x) ，则 exf (e x)dx 为 ()专2.若 f ( x) 的一个原函数为(A) F (e x) c ；(B)F (e x) c ；密F (e x)(C)F (e x) c ；(D ) cx3.下列广义积分中 () 是收敛的 .(A)sin xdx ；(B)1 1(C)xdx ；0 x dx。
系dx ；(D) e1x1 x 24. f (x) 为定义在 a, b 上的函数，则下列结论错误的是 ()(A) f (x) 可导，则 f ( x) 一定连续；(B)f (x) 可微，则 f ( x) 不一定可导；(C) f ( x) 可积（常义），则 f (x) 一定有界；(D) 函数f ( x)连续，则xf (t )dt 在 a, b 上一定可导。
a5. 设函数f ( x)1x() lim2n ，则下列结论正确的为n1x(A) 不存在间断点；(B)存在间断点 x1；(C) 存在间断点x0 ；(D)存在间断点 x1得分评阅教师二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题 3 分，共 18 分）1.极限 lim x 2 1 1_____.xx 02.x1t22 处的切线方程为______.曲线t3在 ty3.已知方程 y 5 y 6y xe2 x的一个特解为 1 ( x22x)e2x，则该方程的通解2为.4. 设f ( x)在x 2 处连续，且 lim f ( x) 2 ，则 f (2)_____x 2x2F （牛顿）与伸长量s 成正比，即F ks （ k 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________ 焦耳。
6．曲线y 2 x23上相应于 x 从3到8的一段弧长为.3得分评阅教师2三、设 x0时，e x(ax2 bx c) 是比x2高阶的无穷小，求常数a, b , c 的值（6分）线名姓题答号学要封不班内级线封业密专密系得分评阅教师四、已知函数 y arcsin x e x cos(3 2x) ,求dy.（6分）得分评阅教师五、设函数由方程yd 2 yy f ( x)xy e e确定求.（8分）2dx x 0得分评阅教师f ( x) 满足关系式 f (x)3 xt)dt 3x 3，求 f (x) .(8六、若有界可积函数 f (03分)得分评阅教师七、求下列各不定积分（每题 6 分，共 12 分）（ 1）(1 sin 3 )d .（2）x arctan xdx .得分评阅教师x1,x12八、设 f ( x)12,x 求定积分 f ( x)dx .（6分）2x10得分评阅教师1九、讨论函数 f ( x)x 3x 3的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（ 10 分）线名姓题答号学要封不得分评阅教师班内十、求方程dy y4的通解（ 6 分）级线dx x y封业密专密系得分评阅教师十一、求证： sin x 2). .（5分）x, x (0,2第一学期高等数学（上）（A）卷参考答案及评分标准一、选择题（每题 3 分，共15 分）1． C 2.B 3.D 4.B 5.D二、填空（每题 3 分，共 18 分）1．0 ， 2. y3x7 ， 3. y c1e2x c2 e3x1( x22x)e2 x(c1, c2为任意常数），4. 2，28 。
25. 0.18k6.3三、解：lim e x2(ax2bx c)0c1⋯⋯⋯.2分x0e x 2(ax 2bx c)0. . . . . .l i m(e x2ab0⋯⋯..4分l i m2) x 0x x02x..a1b0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6 分四、解：1x cos(3 2 ) 2x sin(3 2 )⋯⋯⋯4分y1x 2e x e xdy1 e x cos(32x)2e x sin(32x)dx ⋯⋯⋯.6分1x2五、解： y x dy e y dy0dyx y⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分dx dx dx e yx0, y1dy1dx x0eydy y dyd 2 y(xe )dx(1 e dx) y⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分dx 2( x e y ) 2x0时, d 2 y e 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .8 分dx2六、两边求导f( x) 3 f (x) 3 ⋯⋯⋯⋯..3分f (x) ce3x1(c 为任意常数）⋯⋯⋯⋯6分x 0, f (0)3 f (x)2e3x1⋯⋯⋯..8分七、解：（ 1）(1sin 3)d .d(1cos2)d cos ⋯⋯..3分cos 1cos3 c ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分3（2）x arctan xdx121 x2⋯⋯3分2 xarctan x21 x 2dx1x 2arctan x 1 x 1arctan x c ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分 2 2 2 2 1八、解：211) dx2dx ⋯⋯ .2 分f ( x) dx(x12x8 =⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分32 5九、解f ( x) 1 x3 f( x)2x3由 f (x)0得x1, f ( x)不存在 x 0（3 分）3x,1-1（-1，0） 0（ 0，1） 1(1, )f (x) +—不存在—+f ( x)———不存在+++f (0) 0 f ( 1) 2f (1) 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .7 分f (x)在, 1与 1,上单增, 在 1,1 上单减 . x1时有极大值 2，x 1,有极小值2 。
在,0 上是凸的，在 0,上是凹的，拐点为（ 0，0）⋯⋯⋯ 10分dx 1 x y 3 (1)十、解；dyy⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..3 分对应齐次方程dx1x 的通解为 xcy 、dy y设方程（ 1）的解为 x u( y) y 代入（ 1）得 u( y)1 y 3c 1 ⋯⋯⋯ 5 分1 y 43x c 1 y ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分3十一、证明： 令 f ( x) sin x2x, x 0,2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分f (x)cos x2sin x 又 x(0, ), f (x) 0 ⋯..3 分, f (x)2f ( x) 的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。
f (0)f ( )0 ，所以 x(0, ), f (x) 0⋯⋯⋯⋯ .5 分。
22（ 2010 至 2011 学年第一学期）题 一 二 三 四 五 六 七 八 九总 号分得 分一、 单项选择题（ 15 分，每小题3 分）1、当 x 时，下列函数为无穷小量的是（）（A ）xCosx （ B） Sinx（ ）1（ D ） (1 1 ) xxx C2x1x2．函数 f ( x) 在点 x 0 处连续是函数在该点可导的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件3．设 f ( x) 在 (a,b) 内单增，则 f (x) 在 (a,b) 内（ ）（A ）无驻点（B ）无拐点（C ）无极值点（D ） f (x) 04．设 f (x) 在 [ a ，b] 内连续，且 f (a) f (b)0 ，则至少存在一点使（）成立。
（a ， b ）（A ） f （ ） 0（B ） f （ ） 0（C ） f （ ） 0（D ） f （b ） f （a ） f （ ）（ba ）dx(a 0) 当（5．广义积分 a x p）时收敛。
（A ） p 1(B) p 1(C) p 1(D) p 1二、填空题（ 15 分，每小题 3 分）1、 若当 x0时， 11 ax2 ~ x 2，则 a；2 、 设 由 方 程 xy 2a 2所 确 定 的 隐 函 数 yy( x) ， 则dy；3、函数 y2x8 (x0) 在区间单减；x在区间单增；4、若 f ( x)xex在 x 2处取得极值，则；115、若 a 0 xf ( x 2 )dxf ( x)dx ，则 a；三、计算下列极限。
（12 分，每小题 6 分）xx1)dt1、 limlim(e t( ) x2、2 x1xx 0x四、求下列函数的导数（12 分，每小题 6 分）1221、 y，求 y2、xln(1 t )，求d y4 x2y t arctantdx2五、计算下列积分（ 18 分，每小题 6 分）1、1 xarctan x dx2、32cosx cos xdx1 x223、设 f ( x)x 21sin t 1dt ，计算 0 xf ( x)dx tx2,x六、讨论函数 f ( x)cos x 2 的连续性，若有间断点，2xx ,2指出其类型。
（7 分）七、证明不等式：当x 0时，ln(1 x) x x2（7 分）2八、求由曲线 xy 2, y x2, y 2x (x 1) 所围图形的面积。
（7 分）九、设 f ( x) 在[ 0,1] 上连续，在 (0,1)内可导且f (1) f (0) 0.证明：至少存在一点(0,1) 使参考答案及评分标准（ 2010 至 2011 学年第一学期）课程名称： 高等数学一、单项选择题（ 15 分，每小题 3 分）1.B2.A3.C4.A5.A二、填空题（ 15 分，每小题 3 分）1. a=22. dyydx3. (0, 2) 单减，（，）单增。
12x4.a=25.2三、计算下列极限。
（ 12 分，每小题6 分xx 11.解。
原式 = lim1 xlim 1 1e1（6 分）x x xx1.解。
原式 = lime x1 limx1 （6 分）x 02xx 02x2四、求下列函数的导数（ 12 分，每小题 6 分）1y4x221 解。
12 3x2x4分422x6分4 x 2 3dy 11t1 t 2分dx2t 232.解。
1 t 2d 2y d t dt 1 11 t2 分dx2dt 2dx 2 dx 4t6dt五、计算下列积分（18 分，每小题 6 分）1xarctan x1 解。