2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固：2-3-4 平面向量共线的坐标表示
基 础 巩 固一、选择题1．下列向量与a ＝(1,3)共线的是( ) A ．(1,2) B ．(－1,3) C ．(1，－3) D ．(2,6)[答案] D2．已知向量a ＝(－3,3)，b ＝(3，x )，若a 与b 共线，则x 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．1 D ．－1 [答案] A[解析] 因为a 与b 共线，则－3x －3×3＝0，解得x ＝－3. 3．若O (0,0)，B (－1,3)，且OA →＝3OB →，则点A 的坐标为( ) A ．(3,9) B ．(－3,9) C ．(－3,3) D ．(3，－3) [答案] B[解析] 设A (x ，y )，∵OA →＝3OB →，∴(x ，y )＝3(－1,3)．∴x ＝－3，y ＝9.4．若a ＝(6,6)，b ＝(5,7)，c ＝(2,4)，则下列命题成立的是( ) A ．a －c 与b 共线 B ．b ＋c 与a 共线 C ．a 与b －c 共线 D ．a ＋b 与c 共线 [答案] C[解析] a －c ＝(4,2)与b ＝(5,7)中坐标4×7≠2×5，故不共线． b ＋c ＝(7,11)与a ＝(6,6)中坐标6×7≠11×6，故不共线．b－c＝(3,3)与a＝(6,6)中坐标3×6＝3×6，故共线．a＋b＝(11,13)与c＝(2,4)中坐标2×13≠11×4.故不共线．∴成立的只有C.5．已知向量a＝(x,5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝() A．－5 B．5C．－1 D．1[答案] A6．若A(3，－6)、B(－5,2)、C(6，y)三点共线，则y＝()A．13 B．－13C．9 D．－9[答案] D二、填空题7．(2013北京东城区模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为________．[答案]1 2[解析]a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2) ∵(a＋λb)∥c，∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝1 2.8．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋u b与a＋b共线，则λ与u的关系为________．[答案]λ＝u[解析]∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋u b＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．又∵(λa ＋u b )∥(a ＋b )，∴(－1)×(2λ＋3u )－5(λ－2u )＝0.∴λ＝u . 三、解答题9．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A 、B 、C 三点共线，求k 的值．[解析] ∵AB →＝(4－k ，－7)，BC →＝(－k －4,5)，因A 、B 、C 三点共线，即AB →∥BC →，∴7(k ＋4)－5(4－k )＝0，∴k ＝－23.10．已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标．[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|， 则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x,9－y )． 当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8. 当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x,9－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11.∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫214，8或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，11.。
高中数学四 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(结)
人教版必修四2. 4。
2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（结）命题方向1 数量积的坐标运算例1。
已知向量a∥b，b＝(1，2）,｜a·b｜＝10.（1)求向量a的坐标．(2）若a、b同向，c＝（2,－1），求（b·c）·a，(a·b)·c.[分析] 解答本题可根据a与b共线设出a的坐标，再利用已知条件构建方程（组）求得a的坐标，进而进行求解．[解析］(1)设a＝(x，y)，∴a·b＝x＋2y.∵a∥b,∴y＝2x。
由错误!解得错误!或错误!∴a＝(2，4）或a＝（－2,－4）．（2）∵a、b同向，∴a＝(2,4)．∴(b·c)·a＝[1×2＋2×(－1)］·a＝0·a＝0。
命题方向2 求向量的夹角例2. （1)已知a＝（1，3)，b＝(3＋1，错误!－1），求a与b的夹角;（2)已知A(2，1），B（3,2），C(－1，5),求证△ABC是锐角三角形．［分析］（1)分别求出a·b，｜a|，｜b｜，代入夹角公式求解；(2)△ABC 是锐角三角形,即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于0即可．[解析］ (1）解：由a ＝(1，错误!），b ＝（错误!＋1，错误!－1），得a ·b ＝错误!＋1＋错误!×（错误!－1)＝4，|a |＝2,｜b ｜＝2错误!.设a 与b 的夹角为θ,则cos θ＝错误!＝错误!，又0≤θ≤π,所以θ＝错误!.（2）证明:由条件得错误!＝(1,1），错误!＝(－4，3)，CA ＝(3，－4)， 因为AB →·错误!＝－4＋3＝－1〈0，所以错误!、错误!的夹角是钝角，从而∠ABC 为锐角．同理∠BCA ，∠BAC 也为锐角，所以△ABC 是锐角三角形． 命题方向3 利用平行、垂直求参数例3。
成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-3-4平面向量共线的坐标表
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
自主预习
1．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当_x_1y_2_＝__x_2_y1 时，a∥b.
[拓展](1)线段中点坐标公式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段
第二章 2.3 2.3.4
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课堂典例讲练
第二章 2.3 2.3.4
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思路方法技巧
命题方向1 三点共线问题
O是坐标原点，
→ OA
＝(k,12)，
→ OB
＝(4,5)，
→ OC
第二章 2.3 2.3.4
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[拓展]三点共线问题
剖析：(1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A，B，C 三点共线的条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.
(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种
＝(1,2)，
→ BC
＝(3,4)；
则A→C＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
[答案] A [解析] A→C＝A→B＋B→C＝(4,6)
第二章 2.3 2.3.4
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3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋ λ2b，则λ1＋λ2＝________.
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
3．已知点 A、B 的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量 p 的
坐标为(2k－1,7)，且 p∥A→B，则 k 的值为( )
A．－190
9 B.10
C．－1190
19 D.10
[答案] D
第二章 2.4 2.4.1
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新课引入 一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴 人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴 地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现 刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难 道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不！但是做功 ≠成功．
第二章 2.4 2.4.1
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
第二章 2.4 2.4.1
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[解析] 由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为 60°，得 m·n＝12. ∵|a|＝|2m＋n|＝ 2m＋n2 ＝ 4m2＋4m·n＋n2＝ 7. |b|＝ 2n－3m2＝ 4n2－12m·n＋9m2＝ 7. 所以 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m) ＝m·n－6m2＋2n2＝－72， 设 a、b 的夹角为 θ，得 cosθ＝－772＝－12. 所以 a、b 的夹角为 120°.
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物理学当中的做功在数学中叫做什么？是如何表示的 呢？
自主预习 阅读教材P103－105回答下列问题． 1．平面向量的数量符号
第二章 2.4 2.4.1
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第二章 2.4 2.4.1
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课堂典例讲练
第二章 2.4 2.4.1
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思路方法技巧 命题方向 1 计算向量的数量积
已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a 与 b 的夹角为 60°时，分别求 a 与 b 的数量积．
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温故知新
1．若O(0,0)，A(1,2)且
O→A′
＝2
→ OA
，则点A′坐标为
() A．(1,4)
B．(2,2)
C．(2,4)
D．(4,2)
[答案] C
第二章 2.4 2.4.1
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第二章 2.4 2.4.1
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已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝ 3，则向 量 a 和向量 b 的数量积 a·b＝________.
[答案] 3 [解析] 根据两向量的数量积公式可得 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2× 3×cos30° ＝2× 3× 23＝3.
高一数学(新人教A版必修4)考点清单《2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角命题方向数量积的坐标运算、已知向量∥，＝()，·＝.()求向量的坐标．()若、同向，＝(，－)，求(·)·，(·)·.[解析]()设＝(，)，∴·＝＋.∵∥，∴＝.由(\\(＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝－.))∴＝()或＝(－，－)．()∵、同向，∴＝()．∴(·)·＝[×＋×(－)]·＝·＝.(·)·＝(＋×)·＝·(，－)＝(，－)．、已知＝(，－)，＝(，－)，求(－)·(－)．[分析]先求出·，，，再对(－)·(－)展开求解．[解析]解法一：因为·＝×＋(－)×(－)＝，＝＋(－)＝，＝＋(－)＝，所以(－)·(－)＝－·＋＝×－×＋×＝－.解法二：∵＝(，－)，＝(，－)，∴－＝(，－)－(，－)＝(，－)，－＝(，－)－(，－)＝(－)．∴(－)·(－)＝×(－)＋(－)×＝－.命题方向求向量的夹角、()已知＝(，)，＝(＋，－)，求与的夹角；()已知()，()，(－)，求证△是锐角三角形．[解析]()解：由＝(，)，＝(＋，－)，得·＝＋＋×(－)＝，＝，＝. 设与的夹角为θ，则θ＝＝，又≤θ≤π，所以θ＝.()证明：由条件得＝()，＝(－)，＝(，－)，因为·＝－＋＝－<，所以、的夹角是钝角，从而∠为锐角．同理∠，∠也为锐角，所以△是锐角三角形．、设＝(，－)，＝()，若＋与的夹角为°，求实数的值．[解析]＋＝(，－)＋()＝(＋，－)．(＋)·＝(＋，－)·()＝＋.＋＝＝.由(＋)·＝＋°，得＋＝·，即＋－＝.∴＝－或＝，经检验＝－不合题意，舍去，∴＝.命题方向利用平行、垂直求参数、在△中，＝()，＝(，)，且△的一个内角为直角，求的值．[解析]当∠＝°时，·＝，∴×＋×＝.∴＝－.当∠＝°时，·＝，＝－＝(－，－)＝(－，－)，∴×(－)＋×(－)＝.∴＝.。
平面向量数量积的坐标表示
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示， 即两个向量的数量积等于它们对应坐标 的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表 示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时 这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?
高中数学必修四1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(2)
(ar )
r barr Nhomakorabea(b)(ar
r b
)
(3) (a＋b) ·c = a·c＋b·c (分配律)
复习回顾
已知两个非零向量a
和b ，作
uuur r uuur r OA a，OB b
，则∠AOB=θ （0°≤θ
≤180°）叫做向量a 与b 的夹角。
B
θ
O
A
新课引入
一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
解：设所求向量为 b cos , sin
∵ a 与b 成 45
∴ ab 2 8 2
2
另一方面 3 1cos 3 1sin 2
∴ 3 1 cos 3 1 sin 2 … …①
拓展提升：
又 sin 2 cos2 1
②
联立解之：cos
1 2
，sin
3 2
或
cos
③ j i ___0___ ④ j j ___1__ 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
2 5
课堂练习
（3）RtABC 中，AB 2,3 ，AC 1, k ，求k 的值.
①A 90时k 2 ②B 90时k 11
3
3
③C 90时k 3 13 2
归纳小结
（1） 掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积之和； （2） 要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角 度、方程、及垂直问题.
高中数学人教A版必修4第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
高中数学人教A 版必修4第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知两个非零向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|,则下面结论正确的是( ) A ．a ⃑//b ⃑⃑ B ．a ⃑⊥b ⃑⃑ C ． |a ⃑|=|b⃑⃑| D ．a ⃑+b ⃑⃑=a ⃑−b⃑⃑ 2．设向量,,a b c 满足0a b c ++=，a b ⊥，1a =，2b =，则2||c =（ ） A ．2 B ．4 C ．5D ．13．已知3,||||4a b ==,且()()a kb a kb +⊥-,则实数k 的值为( )A ．±34B ．±43C ．±35D ．±454．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．如图,在菱形ABCD 中,下列关系式不正确的是( )A ．AB CDB ．(AB BC +)⊥(BC CD +) C ．(AB AD -)·(BA BC -)=0 D ．··AB AD BC CD =6．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．BC D二、填空题7．已知平面向量a ,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与b 的夹角为3π,以a ,b 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条对角线的长度为_____.8．已知28,816a b i j a b i j +=--=-+,其中·0,1i j i j ===,则a b =_____. 9．设O ,A ,B ,C 为平面上的四个点,,,OA a OB b OC c === ,且0,?··1a b c a b b c c a ++====-,则||||||a b c ++=_____.10．在边长为1的等边三角形ABC 中,设BC =2,BD CA =3CE ,则·AD BE =_____.三、解答题11．设,a b ⊥且||2,||1a b ==,k ,t 是两个不同时为零的实数.(1)若()3x a t b =+-与y ka tb =-+垂直,求k 关于t 的函数关系式k=f (t ); (2)求出函数k=f (t )的最小值.12．已知|a |b |=1,向量a 与b 的夹角为45°,求使向量(2a +λb)与(λa -3b)的夹角为锐角的λ的取值范围.参考答案1．B 【分析】两边平方化简，可得可得结果. 【详解】因为|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|， 所以|a ⃑+b ⃑⃑|2=|a ⃑−b ⃑⃑|2， 化简可得：a ⃑⋅b ⃑⃑=0，故a ⃑⊥b ⃑⃑ 故选：B 【点睛】本题考查向量的计算以及向量之间的关系，掌握向量的共线、垂直的充要条件，属基础题. 2．C 【解析】试题分析：由0a b c ++=，a b ⊥，1a =，2b =，则c a b =--，所以222()c c a b ==--222221025a a b b =+⋅+=++=，故选C.考点：向量的运算. 3．A 【详解】两个向量垂直，数量积为零，即()()22229160a b kb a kb a k k +⋅-=-=-=，34k =±. 4．B 【分析】利用向量垂直求得222a b a b ==⋅，代入夹角公式即可.【详解】设,a b 的夹角为θ；因为(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥， 所以222a ba b ==⋅，则22|2,|2a a b b a b =⋅⋅=，则2212cos ,.23aa b a b aπθθ⋅===∴=故选：B 【点睛】向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 5．D 【解析】菱形对边平行，故A 选项正确.菱形对角线相互垂直，故对于B 选项，化简得AC BD ⊥正确，对于C 选项，化简得0DB CA ⋅=正确.故选D 选项.【点睛】本题主要考查向量的加法、减法和数量积运算，并考查了向量运算加法和减法的几何意义.菱形的几何性质有：对边平行且相等，邻边相等，对角线相互垂直平分.而两个向量如果垂直，那么它们的数量积等于零.向量运算要注意夹角的大小的影响. 6．D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅，又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD ADBD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ． 7【解析】较短的一条对角线的长度为222142a b a b a b -=+-⋅=+-⨯8．-63 【详解】依题意可知268a i j =-+，21024b i j =-，故34a i j =-+，512b i j =-，所以()()3541263a b ⋅=-⋅+⋅-=-.【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，考查向量运算的加法、减法和数量积运算.由于已知,a b 两个向量的和与差，根据加减消元法可求得,a b 两个向量的值.再利用向量的数量积运算即可求得最后的记得.特别地由于,i j 这两个向量是单位向量并相互垂直，故可以直接用坐标运算来计算.9． 【详解】根据0,1a b c a b a c c b ++=⋅=⋅=⋅=-可知，a b c ==，且它们两两夹角为2π3.由于22πcos1,23a b a a ⋅==-=，也即2a b c ===，32a b c +==. 10．14-【解析】试题分析：因为2BC BD =，所以D 为BC 的中点即()12AD AB AC =+，∵3CA CE =， ∴112333BE BC CE BC CA AC AB AC AC AB =+=+=--=-， ∴()221211111112332632124AD BE AB AC AC AB AC AB AB AC ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅=--=-⎪⎝⎭考点：向量线性运算与数量积的几何运算.11．（1）k=f (t )=14(t 2-3t )(t ≠0)（2）916-【详解】（1）由a b ⊥得0a b ⋅=，依题意,x y 相互垂直，它们的数量积为零，这个等式，化简得到()k f t =的表达式.（2）由于()f t 的表达式为二次函数，故利用配方法可求得其最小值.【试题解析】 (1),0.a b a b ⊥∴⋅=又,0x y x y ⊥∴⋅=,即()()30a t b ka tb ⎡⎤⎣⎦+-⋅-+=,()()22330ka k t a b ta b t t b ∴---⋅+⋅+-=.||2,||1a b ==,∴-4k+t 2-3t=0,∴k=14(t 2-3t )(t ≠0), 即k=f (t )=14(t 2-3t )(t ≠0).(2)由(1)知k=f (t )=14(t 2-3t )=2139-4216t ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 故函数k=f (t )的最小值为-916. 12．λ<-3或λ>2. 【解析】【试题分析】根据已知可求得1a b ⋅=.利用夹角公式，两个向量夹角为锐角，故可列出不等式()()23023a b a b a b a bλλλλ+⋅->+-，只需分子大于零，化简后可得λ的一元二次不等式，由此可求得λ的取值范围.最后排除同向的情况. 【试题解析】设向量(2a +λb)与(λa -3b)的夹角为θ.∵两向量的夹角为锐角, ∴(2)?·(-3)|2||-3|a b a b a b a b λλλλ++>0,∴(2a +λb)·(λa -3b)>0, 即2λa 2+(λ2-6)a·b -3λb 2>0. ∵a 2=|a |2=2,b 2=|b |2=1,a·b =|a ||b |cos 45°×12=1, ∴4λ+λ2-6-3λ>0,即λ2+λ-6>0,∴λ<-3或λ>2. 设2a +λb =k (λa -3b)=kλa -3k b,∴2,-3,k k λλ=⎧⎨=⎩∴λ2=-6,则λ不存在,即向量(2a +λb)与(λa -3b)不共线.∴使向量(2a +λb)与(λa -3b)的夹角为锐角的λ的取值范围为λ<-3或λ>2.【点睛】本题主要考查向量数量积运算，考查向量的夹角公式.向量运算的数量积公式为cos a b a b θ⋅=⋅⋅，变形后可得到夹角公式cos a b a bθ⋅=⋅，两个向量夹角的取值范围是0πθ≤≤，如果夹角为锐角，那么余弦值是正数.最后要注意排除同向的情况.。
人教版高一数学必修4平面向量数量积的坐标表示
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算(重点、难点).2.能根据向量的坐标计算向量的模、并推导平面内两点间的距离公式(重点).3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直(重点)．课前预习：预习教材P106－107完成下面问题：知识点1两个向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).【预习评价】(1)已知a ＝(－1,3)，b ＝(2,4)，则a ·b 的值是________． (2)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，x )，且a ⊥b ，则x ＝________． 知识点2与向量的模、夹角相关的三个重要公式 1．向量的模：设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2． 3．向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22． 【预习评价】(1)已知向量a ＝(4，－1)，b ＝(x,3)，若|a |＝|b |，则x ＝________． (2)已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为________． 课堂互动：题型一 数量积的坐标运算【例1】 (1)已知a ＝(2，－1)，b ＝(1，－1)，则(a ＋2b )·(a －3b )＝( ) A ．10 B ．－10 C ．3D ．－3(2)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B ．18C ．14D ．118规律方法 数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a ；②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2；③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2．(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．【训练1】 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10． (1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c ．题型二 平面向量的模【例2】 (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ． 5B ．10C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →|＝213，则点B 的坐标是________． 规律方法 求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．【训练2】 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A ． 5 B ．10 C ．5D ．25方向1 向量的夹角问题【例3-1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 方向2 向量垂直问题【例3-2】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(a ＋c )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)规律方法 解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积a ·b 及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ．(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝a ·b|a ||b |判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°．【训练3】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．课堂反馈：课堂达标1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．53D ．－532．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ，b 的夹角θ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°3．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．44．已知向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝( ) A ．(－3,6) B ．(3，－6) C ．(6，－3)D ．(－6,3)5．已知a ＝(－3，－2)，b ＝(－4，k )，若(5a －b )·(b －3a )＝－55，试求b 的坐标．课堂小结1．注意掌握平面向量的数量积运算的坐标表示方法及相关问题：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：①a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，②a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，③cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22．2．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0．。
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基 础 巩 固
一、选择题
1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] ∵a＝(0,1)，b＝(2，－1)，∴a·b＝(0,1)·(2，－1)＝0×2
＋1×(－1)＝－1.
2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
[答案] A
[解析] AC→＝(－3,3)，AB→＝(1,1)，AC→·AB→＝0.
3．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
[答案] A
[解析] ∵－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.
4．(2013聊城模拟)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，
则|b|等于( )
A.5 B.10
C．5 D．25
[答案] C
[解析] ∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，∴(a＋b)2＝50＝a
2
＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.
5．(2013·全国大纲理)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m
＋n)⊥(m－n)，则λ( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
[答案] B
[解析] 本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．
m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)
∵(m＋n)⊥(m－n)
∴(m＋n)·(m－n)＝－2λ－3－3＝0
∴λ＝－3.
6．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与b垂直，
则实数x的值为( )
A.233 B.323
C．2 D．－25
[答案] D
[解析] 由于向量a＋xb与b垂直，则(a＋xb)·b＝0，
所以a·b＋xb2＝0，则6－4＋5x＝0，解得x＝－25.
二、填空题
7．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
[答案] 2
[解析] 因为a＋b＝(－1，3)，
所以|a＋b|＝－12＋32＝2.
8．a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________.
[答案] 44
[解析] ∵a＝(－4,3)，
∴2|a|2＝2×(－42＋32)2＝50.
a·b＝－4×1＋3×2＝2.
∴2|a|2－3a·b＝50－3×2＝44.
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的
值．
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0.
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19.
10．已知a＝(3，1)，b＝(2,23)．
(1)求a·b；
(2)求a与b的夹角θ.
[解析] (1)a·b＝23＋23＝43.
(2)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22
＝433＋1·4＋12＝32，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.