2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)
2018年高考数学理科试卷(江苏卷）数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ,{}8,6,1,1-=B ，那么=⋂B A ．2．若复数z 满足i z i 21+=⋅，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ．5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ．7．已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称,则ϕ的值是 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π，则()()15f f 的值为 ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点,()0,5B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0=⋅CD AB ,则点A 的横坐标为 ．13．在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1=BD ，则c a +4的最小值为 ．14．已知集合{}*∈-==Nn n x x A ,12|，{}*∈==N n x x B n,2|．将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题,共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证:（1）11AB A B C 平面∥； (2）111ABB A A BC ⊥平面平面．16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=,5cos()αβ+=．(1)求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．17．(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上．设OC与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围;（2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．(本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1(3,)2,焦点12(3,0),(3,0)F F ,圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程;（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △26，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．(1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”;（2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由．20．（本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===,若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围;（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示)．数学Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—1:几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点,过P 作圆O 的切线,切点为C ．若23PC = BC 的长． B ．［选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1)求A 的逆矩阵1-A ;（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P ',求点P 的坐标． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分)若x ，y ,z 为实数,且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科#网22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．23．(本小题满分10分）设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ,如果当s <t 时,有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序,排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1),(3，1），则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1,2，···,n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． （1)求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示)．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1,8｝2．23．904．8 5．［2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形, 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1, 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ,BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=,所以29cos 25α=， 因此,27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=,所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分． 解：(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10）=800(4sin θcos θ+cos θ）, △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈［θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答:矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ)，sin θ的取值范围是［14,1)． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ) =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈［θ0,π2)． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ,θ∈[θ0,π2）, 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′,所以f (θ)为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ)为减函数, 因此，当θ=π6时，f （θ)取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（＊） 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=从而AB ． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（＊）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=,所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+,即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去),则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f (x ）=x ，g （x )=x 2+2x —2，则f ′(x ）=1，g ′（x )=2x +2． 由f (x )=g （x ）且f ′（x )= g ′(x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解, 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点．(2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点,由f （x 0）与g （x 0）且f ′(x 0)与g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，(*） 得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（＊），即0x 为f (x ）与g (x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，,且h (x ）的图象是不间断的,所以存在0x ∈（0,1），使得0()0h x =,令03002e (1)x x b x =-，则b 〉0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x )与g (x ）且f ′（x ）与g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（＊＊) 此时,0x 满足方程组（＊＊），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点"．因此，对任意a 〉0，存在b >0,使函数f (x ）与g （x ）在区间（0,+∞）内存在“S 点"． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解:(1）由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1,2,3，4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1,2，3，4均成立， 即1≤1,1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．（2)由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=． 若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3,···,m +1）成立，即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+,即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时,111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---, 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增,故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x 〉0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题）参考答案21．【选做题】A ．[选修4—1：几何证明选讲］本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =OC =2,所以OP ．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．［选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P （x ，y ),则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此,点P 的坐标为（3，–1)． C ．［选修4-4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解:因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0）,直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=,则直线l 过A （4，0)，倾斜角为π6, 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos6AB ==因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．[选修4—5:不等式选讲］本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明:由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥, 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．学科%网解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ,A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2， 所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,2)2P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--,故111|||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为．（2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ,因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =(x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩ 不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ,所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解:（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2,3的所有排列,有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1,2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =． 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）(北京卷)本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。
2018年新疆全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4 8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018全国卷1理科数学
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共12小题）1.设z＝+2i，则|z|＝（）A．0 B．C．1 D．2.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x6.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A．﹣B．﹣C．+D．+7.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3 D．28.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•＝（）A．5 B．6 C．7 D．89.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）11.已知双曲线C：﹣y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（）A．B．3 C．2D．412.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13.若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最大值为．14.记S n为数列{a n}的前n项和．若S n＝2a n+1，则S6＝﹣．15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）16.已知函数f（x）＝2sin x+sin2x，则f（x）的最小值是．三、解答题（共7小题）17.在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．18.如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．19.设椭圆C：+y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．20.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），求f（p）的最大值点p0．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21.已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．23.已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案一、单选题（共12小题）1.【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．【解答】解：z=+2i=+2i=﹣i+2i=i，则|z|=1．故选：C．【知识点】复数求模2.【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A={x|﹣1≤x≤2}．故选：B．【知识点】补集及其运算3.【分析】设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．通过选项逐一分析新农村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．【解答】解：设建设前经济收入为a，建设后经济收入为2a．A项，种植收入37%×2a﹣60%a=14%a＞0，故建设后，种植收入增加，故A项错误．B项，建设后，其他收入为5%×2a=10%a，建设前，其他收入为4%a，故10%a÷4%a=2.5＞2，故B项正确．C项，建设后，养殖收入为30%×2a=60%a，建设前，养殖收入为30%a，故60%a÷30%a=2，故C项正确．D项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为（30%+28%）×2a=58%×2a，经济收入为2a，故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，故D项正确．故选：A．【知识点】命题的真假判断与应用、概率的应用4.【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出a5的值．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴＝a1+a1+d+4a1+d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．【知识点】等差数列5.【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程6.【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣，故选：A．【知识点】平面向量的基本定理及其意义7.【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长16，高为：2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：＝2．【知识点】由三视图求面积、体积8.【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M、N的坐标，然后求解向量的数量积即可．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为的直线为：3y＝2x+4，联立直线与抛物线C：y2＝4x，消去x可得：y2﹣6y+8＝0，解得y1＝2，y2＝4，不妨M（1，2），N（4，4），，．则•＝（0，2）•（3，4）＝8．故选：D．【知识点】抛物线的简单性质9.【分析】由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．【知识点】分段函数的应用10.【分析】如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，即可得到答案．【解答】解：如图：设BC＝2r1，AB＝2r2，AC＝2r3，∴r12＝r22+r32，∴SⅠ＝×4r2r3＝2r2r3，SⅢ＝×πr12﹣2r2r3，SⅡ＝×πr32+×πr22﹣SⅢ＝×πr32+×πr22﹣×πr12+2r2r3＝2r2r3，∴SⅠ＝SⅡ，故选：A．【知识点】几何概型11.【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．【解答】解：双曲线C：﹣y2＝1的渐近线方程为：y＝，渐近线的夹角为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y＝，则：解得M（，），解得：N（），则|MN|＝＝3．故选：B．【知识点】双曲线的简单性质12.【分析】利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，然后求解α截此正方体所得截面面积的最大值．【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，α截此正方体所得截面最大值为：6×＝．故选：A．【知识点】直线与平面所成的角二、填空题（共4小题）13.【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝3x+2y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，最大值为z＝3×2＝6，故答案为：6【知识点】简单线性规划14.【分析】先根据数列的递推公式可得{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n+1，①当n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1+1，②，由①﹣②可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，∴a n＝2a n﹣1，∴{a n}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，∴S6＝＝﹣63，故答案为：﹣63【知识点】数列的求和、数列递推式15.【分析】方法一：直接法，分类即可求出，方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：16【知识点】排列、组合及简单计数问题16.【分析】由题意可得T＝2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T＝2π是f（x）＝2sin x+sin2x的一个周期，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）＝2cos x+2cos2x＝2cos x+2（2cos2x﹣1）＝2（2cos x﹣1）（cos x+1），令f′（x）＝0可解得cos x＝或cos x＝﹣1，可得此时x＝，π或；∴y＝2sin x+sin2x的最小值只能在点x＝，π或和边界点x＝0中取到，计算可得f（）＝，f（π）＝0，f（）＝﹣，f（0）＝0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【知识点】三角函数的最值、利用导数求闭区间上函数的最值三、解答题（共7小题）17.【分析】（1）由正弦定理得＝，求出sin∠ADB＝，由此能求出cos∠ADB；（2）由∠ADC＝90°，得cos∠BDC＝sin∠ADB＝，再由DC＝2，利用余弦定理能求出BC．【解答】解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．【知识点】三角形中的几何计算18.【分析】（1）利用正方形的性质可得BF垂直于面PEF，然后利用平面与平面垂直的判断定理证明即可．（2）利用等体积法可求出点P到面ABCD的距离，进而求出线面角．【解答】（1）证明：由题意，点E、F分别是AD、BC的中点，则，，由于四边形ABCD为正方形，所以EF⊥BC．由于PF⊥BF，EF∩PF＝F，则BF⊥平面PEF．又因为BF⊂平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面PEF中，过P作PH⊥EF于点H，连接DH，由于EF为面ABCD和面PEF的交线，PH⊥EF，则PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．在三棱锥P﹣DEF中，可以利用等体积法求PH，因为DE∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因为△PDF≌△CDF，所以∠FPD＝∠FCD＝90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD＝D，则PF⊥平面PDE，故V F﹣PDE＝，因为BF∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．设正方形边长为2a，则PD＝2a，DE＝a在△PDE中，，所以，故V F﹣PDE＝，又因为，所以PH＝＝，所以在△PHD中，sin∠PDH＝＝，即∠PDH为DP与平面ABFD所成角的正弦值为：．【知识点】平面与平面垂直的判定、直线与平面所成的角19.【分析】（1）先得到F的坐标，再求出点A的方程，根据两点式可得直线方程，（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明．【解答】解：（1）c＝＝1，∴F（1，0），∵l与x轴垂直，∴x＝1，由，解得或，∴A（1.），或（1，﹣），∴直线AM的方程为y＝﹣x+，y＝x﹣，证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＜，x2＜，直线MA，MB的斜率之和为k MA，k MB之和为k MA+k MB＝+，由y1＝kx1﹣k，y2＝kx2﹣k得k MA+k MB＝，将y＝k（x﹣1）代入+y2＝1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k＝（4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）＝0从而k MA+k MB＝0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA＝∠OMB，综上∠OMA＝∠OMB．【知识点】直线与椭圆的位置关系20.【分析】（1）求出f（p）＝，则＝，利用导数性质能求出f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），再由X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，能求出E（X）．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E（X）＝490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．【解答】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p），则f（p）＝，∴＝，令f′（p）＝0，得p＝0.1，当p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，当p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，∴f（p）的最大值点p0＝0.1．（2）（i）由（1）知p＝0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B（180，0.1），X＝20×2+25Y，即X＝40+25Y，∴E（X）＝E（40+25Y）＝40+25E（Y）＝40+25×180×0.1＝490．（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E（X）＝490＞400，∴应该对余下的产品进行检验．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、离散型随机变量及其分布列21.【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，设g（x）＝x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，（，（，+∞）））f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则＝﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln＞x1﹣，即lnx1+lnx1＞x1﹣，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）＝2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求导得h′（x）＝﹣1﹣＝﹣＝﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x﹣﹣alnx＝﹣f（x），即f（x）+f（）＝0，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1＝，可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）＝≤0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．即＜a﹣2成立．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性22.【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3＝0，转换为标准式为：（x+1）2+y2＝4．（2）由于曲线C1的方程为y＝k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点．所以：必有一直线相切，一直线相交．则：圆心到直线y＝kx+2的距离等于半径2．故：，或解得：k＝或0，当k＝0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k＝或0经检验，直线与曲线C2没有公共点．故C1的方程为：．【知识点】简单曲线的极坐标方程23.【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，由f（x）＞1，∴或，解得x＞，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜，∴a＜∵＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．【知识点】绝对值不等式的解法。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(含答案)
绝密★启用前2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）考试时间：120分钟；试卷整理：微信公众号--浙江数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）=（）A．iB．C．D．【考点】A5：复数的运算．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：==+．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z），则A 中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可．【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的关键．3．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3A：函数的图象与图象的变换．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键．4．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．0【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；91：向量的概念与向量的模．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题5．（5分）（2018•新课标Ⅱ）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】KC：双曲线的性质．【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键．6．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．7．（5分）（2018•新课标Ⅱ）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4【考点】EH：绘制程序框图解决问题；E7：循环结构．【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，由此知空白处应填入的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选：B．【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．8．（5分）（2018•新课标Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个，从中选2个不同的数有=45种，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种，则对应的概率P==，故选：C．【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本题的关键．9．（5分）（2018•新课标Ⅱ）在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA 1=，∴A（1，0，0），D 1（0，0，），D（0，0，0），B 1（1，1，），=（﹣1，0，），=（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ===，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．10．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．11．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．50【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．12．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y=（x+a），由∠F 1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴题意的离心率e==．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2018•新课标Ⅱ）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为9．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（5，4），目标函数有最大值，为z=9．故答案为：9．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．16．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为40π．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠AMB==．△SAB的面积为5，可得sin∠AMB=5，即×=5，即SA=4．SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：=2．则该圆锥的侧面积：π=40π．故答案为：40π．【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．三．解答题（共7小题，满分80分）17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最小值．【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列{a n}的公差，然后求出a n即可；（2）由a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，得S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，由此可求出S n以及S n的最小值．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}中，a1=﹣7，S3=﹣15，∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2，∴a n=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9；（2）∵a1=﹣7，d=2，a n=2n﹣9，∴S n===n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16，∴当n=4时，前n项的和S n取得最小值为﹣16．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，属于中档题．18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即可；（2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t，计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：=99+17.5t，计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；．利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；（2）模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．19．（12分）（2018•新课标Ⅱ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k （k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【考点】KN：直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程；方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|=，求得直线AB的倾斜角，即可求得直线l的斜率，求得直线l的方程；（2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，∴θ=，则直线的斜率k=1，∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），过点A，B且与C的准线相切的圆的方程（x﹣3）2+（y﹣2）2=16．．【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思想，属于中档题．20．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC，PO⊥OB即可；（2）根据二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到结论．【解答】解：（1）证明：∵AB=BC=2，O是AC的中点，∴BO⊥AC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，∴PO⊥AC，PO=2，则PB2=PO2+BO2，则PO⊥OB，∵OB∩AC=O，∴PO⊥平面ABC；（2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：A（0，﹣2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（﹣2，2，0），设=λ=（﹣2λ，2λ，0），0＜λ＜1则=﹣=（﹣2λ，2λ，0）﹣（﹣2，﹣2，0）=（2﹣2λ，2λ+2，0），则平面PAC的法向量为=（1，0，0），设平面MPA的法向量为=（x，y，z），则=（0，﹣2，﹣2），则•=﹣2y﹣2z=0，•=（2﹣2λ）x+（2λ+2）y=0令z=1，则y=﹣，x=，即=（，﹣，1），∵二面角M﹣PA﹣C为30°，∴cos30°=|=，即=，解得λ=或λ=3（舍），则平面MPA的法向量=（2，﹣，1），=（0，2，﹣2），PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos＜，＞|=||==．【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角，线面角的求解，建立坐标系求出点的坐标，利用向量法是解决本题的关键．21．（12分）（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）分离参数可得a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．结合图象即可求得a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为：．直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：+=1整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，则：，由于（1，2）为中点坐标，所以：，则：8cosα+4sinα=0，解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用，中点坐标的应用．23．（10分）（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，（2）由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≥4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤﹣6或a≥2，故a的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年安徽高考理科数学试题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国一卷）理科数学一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。
） 1、设z=，则∣z ∣=（ ）A.0B.C.1D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1≤x ≤2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（ ）A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3 = S 2+ S 4，a 1 =2，则a 5 =（ ） A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、125、设函数f （x ）=x ³+（a-1）x ²+ax .若f （x ）为奇函数，则曲线y= f （x ）在点（0，0）处的切线方程为（ ）A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ） A.- B. - C. + D. +7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 2B. 2C. 3D. 28.设抛物线C ：y ²=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 ·=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是( )A. [-1，0）B. [0，+∞）C. [-1，+∞）D. [1，+∞）10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
2018年(理科数学)(新课标Ⅱ)试卷真题+参考答案+详细解析
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）12(12ii+=- ) A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+2．（5分）已知集合22{(,)|3A x y x y =+，x Z ∈，}y Z ∈，则A 中元素的个数为( ) A ．9B ．8C ．5D ．43．（5分）函数2()x x e e f x x--=的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．4．（5分）已知向量a ，b 满足||1a =，1a b =-，则(2)(a a b -= ) A ．4B ．3C ．2D ．05．（5分）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3( )A ．2y x =B ．3y x =C ．2y = D ．3y = 6．（5分）在ABC ∆中，5cos 2C =，1BC =，5AC =，则(AB = ) A ．42B 30C 29D ．257．（5分）为计算11111123499100S =-+-+⋯+-，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入( )A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A ．112B ．114C ．115D ．1189．（5分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )A ．15B 5C 5D 210．（5分）若()cos sin f x x x =-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2π C ．34π D ．π11．（5分）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)(f f f f ++++= )A ．50-B ．0C ．2D ．5012．（5分）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜3的直线上，△12PF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为( ) A ．23 B ．12 C ．13 D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年黑龙江全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4 8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。