2015年北京市海淀区九年级一模数学试卷及答案
2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析
2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答
案解析
（正文部分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 题目内容
答案解析
2. 题目内容
答案解析
3. 题目内容
答案解析
...
二、填空题（每小题4分，共40分）
1. 题目内容
答案解析
2. 题目内容
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3. 题目内容
...
三、解答题（每小题10分，共50分）
1. 题目内容
解答思路及步骤
2. 题目内容
解答思路及步骤
3. 题目内容
解答思路及步骤
...
四、应用题（共30分）
1. 题目内容
解答思路及步骤
2. 题目内容
解答思路及步骤
3. 题目内容
解答思路及步骤
...
本次数学一模试卷共计150分，包括选择题、填空题、解答题和应
用题四个部分。
试卷难度适中，内容覆盖了中考数学知识的各个方面，旨在考察学生的数学运算能力、问题解决能力以及应用数学知识的能力。
希望同学们能够认真答题，按照题目要求进行解答，展现自己的
数学水平。
答案解析部分所提供的解题思路仅供参考，同学们在解答题目时应
充分发挥自己的思维能力，灵活运用所学的知识进行分析和解决。
通
过认真研究试卷中的各个题目，可以更好地理解数学的知识点，并为
今后的学习提供帮助。
祝愿同学们在中考数学科目上取得优异的成绩！
以上为2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析，请同
学们参考。
2015年北京燕山初三一模数学试题及答案整理版
燕山2015年4月一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．-2的相反数是A ．2B ．2-C ．12-D ．122．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为A ．21073⨯ B ．3103.7⨯ C ．41073.0⨯ D ．2103.7⨯ 3A ．B ．C ．D ． 4．如图，∠1＝∠B ，∠2＝25°，则∠D ＝A ．25°B ．45°C ．50°D ．65° 5．下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为 A ．41 B ．52 C ．103D ．201 6以上两位同学的对话反映出的统计量是A ．众数和方差B ．平均数和中位数C ．众数和平均数D ．众数和中位数7．在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是A ．xB ．3xC ．6xD ．9x 8．如图，⊙O 的半径长6cm ，点C 在⊙O 上，弦AB 垂直平分OC 于点D ，则弦AB 的长为A ．9 cmB ．36cmC ．29cm D ．33cm9．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若CD ＝BC ，∠A ＝35°，则 ∠C ＝ A ．40° B ．50° C ．60° D ．70° 第4题图12ABCD10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y (单位：米)与时间t (单位：分)的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用P 点)A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若代数式23-x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：a ab -2＝．13．如图，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝45cm ，当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为 cm ．14．已知某函数图象经过点(-1，1)，且当x >0时，y 随x 的增大而增大．请你写出一个．．满足条件的函数解析式：y ＝ .15．为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费 元． 16．定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把a -11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1211-=-，1-的差倒数为)1(11--＝21．记211=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2a ＝ ；2015a ＝ ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，点E ，F 在线段AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ． ABCDE F NM ABD C第9题图B D第13题图第8题图分第10题图18．计算：01)3(30tan 3|3|)31(π-+︒--+-．19．解不等式组：⎩⎨⎧≤-<-．21512x x ，20．已知022=--x x ，求代数式)1)(1()12(-+--x x x x 的值． 21．列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多53小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度． 22．已知关于x 的方程03)32(22=-+--k k x k x ．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根． 四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6，求四边形OFCD 的面积． 24．根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到 亿件．（直接写出结果，精确到0.1）DO FECAB 市民收到快递后对包装处理方式统计图D ：其他C ：留着下次寄件 使用；B ：收集整理后作 为废品卖掉；A:直接丢弃；年)(亿件2010－2014年全国快递业务量统计图25．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠CDE ＝90°；（2）若AB ＝13，sin ∠C ＝135，求CE 的长．26．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 为BC 的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ．求证：PA •CD ＝PC •BD ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式；（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围． 图1AB DCABDC图2图3E ABP28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数；（2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系29．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点． （1）分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4342≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值范围．（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数xny G =：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值范围．图1图2ABH CABHCED燕山地区2015年初中毕业考试数学试卷参考答案与评分标准 2015年4月一、 选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．2≠x 12．)1)(1(-+b b a ； 13．90； 14．答案不唯一：xy 1-=，2x y =，2+=x y ，… 15．48； 16．2；2．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠C ． ………………………1分在△BAE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=，＝，CF AE C A CD AB ,∴△BAE ≌△DCF （SAS ）， ………………………4分 ∴BE ＝DF ． ………………………5分18．解:原式＝133333+⨯-+ ………………………4分 ＝4．………………………5分19．解：解不等式①，得 3<x ， ………………………2分解不等式②，得1-≥x ， ………………………4分∴原不等式组的解集为31<≤-x ． ………………………5分20．解：)1)(1()12(-+--x x x x＝)1(222---x x x ………………………2分 ＝1222+--x x x＝12+-x x ． ………………………3分 ∵022=--x x ，即22=-x x ． ………………………4分 ∴原式＝1)(2+-x x ＝2＋1＝3． ………………………5分 21．解：设赵老师骑自行车的速度为x 千米/小时， ………………………1分依题意得5321212=-x x ， ………………………2分解方程得 x ＝10. ………………………3分 经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际意义. ………………………4分 答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时. ………………………5分 22．解:(1)Δ＝)3(14)32(22k k k -⨯⨯--………………………1分＝k k k k 124912422+-+-＝9>0，∴ 原方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分(2)解法一： 把0=x 代入方程03)32(22=-+--k k x k x 中，得 032=-k k ，解得 0=k ，或3=k． ………………………3分当0=k 时，原方程化为032=+x x ，解得 31-=x ，02=x ； ………………………4分当3=k 时，原方程化为032=-x x ，解得 31=x ，02=x ．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分 解法二：∵Δ＝9，23)32(129)32(21±-=⨯±-=k k x ，， ∴原方程的根为k x =1，32-=k x ． ………………………3分 当01==k x 时，332-=-=k x ； ………………………4分 当032=-=k x 时，31==k x ．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∴∠DOC =90°．∴四边形OCED 为矩形． ………………………2分 （2）解法一：∵菱形ABCD ，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4，∴S △DOC ＝OC OD ⋅21＝4321⨯⨯＝6． ………………………3分在Rt △OBC 中，HB ACD EFOBC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝BC OB ＝53． 作FH ⊥OC 于点H ，在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝FCFH＝53， ∴FH ＝53CF ＝512． ………………………4分 ∴S △OCF ＝FH OC ⋅21＝512421⨯⨯＝524．∴S 四边形OFCD ＝S △DOC ＋S △OCF ＝6＋524＝554． ………………………5分解法二：∵菱形ABCD ，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ， ∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4， ∴S △DCB ＝OC DB ⋅21＝4621⨯⨯＝12． ………………………3分 在Rt △OBC 中，BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝BC OB ＝53． 作OG ⊥BC 于点G ，∵CF ＝CO ＝4，∴BF ＝BC − CF ＝5− 4＝1． 在Rt △OCG 中，sin ∠OCG ＝OC OG ＝53， ∴OG ＝53OC ＝512． ………………………4分 ∴S △OBF ＝OG BF ⋅21＝512121⨯⨯＝56．∴S 四边形OFCD ＝S △DCB −S △OBF＝12−56＝554．…………5分 24．解：（1）140÷（1＋52%）＝92；GB ACDEFO (亿件)补全条形统计图如图； …………2分 （2）140×60%×1.2＝100.8亿元； …………4分答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．（3）9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7其中之一． ………………………5分 25．（1）证明：如图，连接OD ，∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，∴∠EDO ＝90°．1分∵OD ＝OB ABC＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 （2）如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ， ∴CD ＝BD ＝22AD AB -＝12． ∴131212⨯＝CE ＝13144． ………………………5分 26．（1）1<AD <5； ………………………2分（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ． ………………………3分∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ， ∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ，P∴△BDF ∽△CDP ． ………………………4分即PA ·CD ＝PC ·BD ． ………………………5分五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=221与y 轴交于点C (0，3)， ∴3=c ； ………………………1分 ∵抛物线c bx x y ++=221的对称轴为2=x ， ∴2212=⨯-b ，解得2-=b ， ………………………2分 ∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分 （2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分 当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯， 解得2-=k ． ………………………5分∵O (0，0)，B (2，2)，∴直线OB 的解析式为x y =．由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,， 得0222=+-k x x ，（*）当Δ＝k 214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点，此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是212<<-k ．分 28．（1）①证明：∵AH ⊥BC 于点H ，∠ABC ＝45°，∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH ＝45°，∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ， 由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ，∴∠1＝∠2． ………………………1分 ∵∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ． ………………………2分 ②解法一：如图1－1，∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上， ………………………3分 ∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°． ………………………4分解法二：如图1－2，过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE ＝90°即∠4＋∠5＝90°．又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4． 在△AHE 和△BHF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，3421BH AH ∴△AHE ≌△BHF ， ………………………3分 ∴EH ＝FH ．∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形，∴∠BEH ＝45°． ………………………4分 29．解：（1）令x x =+-12，解得31=x ， 图1－2图1－1图2∴函数12+-=x y 的图象上有一个和谐点(31，31)； ………………………2分 令x x ＝12+，即012＝+-x x ， ∵根的判别式Δ＝114)1(2⨯⨯--＝－3<0，∴方程012＝+-x x 无实数根， ∴函数12+=x y 的图象上不存在和谐点．3分 （2）令x c x ax ＝++42，即032＝c x ax ++，由题意，Δ＝ac 432-＝0，即94=ac ，又方程的根为2323=-a ， 解得1-=a ，49-=c ． ………………………4分 ∴函数4342-++=c x ax y ，即342-+-=x x y ， 如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y 轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3)． ………………………5分由于函数图象在对称轴2=x 左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当m x ≤≤0时，函数342-+-=x x y 的最小值为－3，最大值为1， ∴42≤≤m ． ………………………6分 （3）045<<n －，或10<<n ． ………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．。
2023年北京市海淀区中考一模数学试卷(word版)
2023年北京市海淀区中考一模数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 下列几何体中，主视图为下图的是（）A．B．C．D．(★) 2. 北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83000余份，总量位居世界第二位．将83000用科学记数法表示应为（）A．B．C．D．(★) 3. 在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A．B．C．D．(★★) 4. 不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．(★★) 5. 实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．(★★) 6. 若关于x的一元二次方程x 2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2(★★) 7. 小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为，那么被测物体表面的倾斜角为（）A．B．C．D．(★★)8. 图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 9. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 _________ ．(★★) 10. 分解因式： _________ ．(★★) 11. 分式方程的解为 ________ ．(★★) 12. 根据下表估计 _________ （精确到）．(★★★) 13. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接．若，则的长为 _________ ．(★★★) 14. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，则点B的坐标为 _________ ．(★★★) 15. 如图，点在正六边形的边上运动．若，写出一个符合条件的的值 _________ ．(★★★) 16. 某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示．大A8烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用 _________ 次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为 _________ 元．三、解答题(★★★) 17. 计算：．(★★★) 18. 解不等式组：．(★★★) 19. 已知，求代数式的值．(★★★) 20. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，．求证：．方法一证明：如图，延长到点D，使得，连接．方法二证明：如图，在线段上取一点D，使得，连接．(★★★) 21. 如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F 为边上一点，，连接．(1)求证：四边形为矩形；(2)若，求的长．(★★) 22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，直接写出m 的取值范围．(★★★) 23. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，交的延长线于点E．(1)求证：直线为的切线；(2)延长交于点F．若，求的长．(★★★) 24. 某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：根据以上信息，回答下列问题：(1) ________，_________；(2)在西红柿与黄瓜中，_________的价格相对更稳定；(3)如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．(★★★) 25. “兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．(1)建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：）与竖直高度y（单位：）进行的测量，得到以下数据：水平距离012竖直高度00根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为_________ ，最大竖直高度为_________ ；②求满足条件的抛物线的解析式；(2)已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为．若在野兔起跳点前方处有高为的篱笆，则野兔此次跳跃_________（填“能”或“不能”）跃过篱笆．(★★★★) 26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上．(1)当时，比较m与n的大小，并说明理由；(2)若对于，都有，求b的取值范围．(★★★) 27. 如图，正方形中，点E，F分别在上，交于点G．(1)求的度数；(2)在线段上截取，连接的角平分线交于点N．①依题意补全图形；②用等式表示线段与的数量关系，并证明．(★★★★) 28. 在平面直角坐标系中，对于点，我们称直线为点P的关联直线，例如，点的关联直线为．(1)已知点．①点A的关联直线为_________；②若与点A的关联直线相切，则的半径为_________；(2)已知点，点．点M为直线上的动点．①当时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；②以为圆心，3为半径作．在点M运动过程中，当点M的关联直线与交于E，F两点时，的最小值为4，请直接写出d的值．。
2015年北京燕山初三一模数学试题及答案整理版
2015年北京燕山初三一模数学试题及答案整理版燕山2015年4月一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．-2的相反数是A．2 B．2-C．12-D．122．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为A．21073⨯B．3103.7⨯C．41073.0⨯D．2103.7⨯3．下面的几何体中，俯视图为三角形的是A．B．C．D．4．如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D＝A．25°B．45°C．50°D．65°第4题12AB CD8．如图，⊙O 的半径长6cm ，点C 在⊙O 上，弦AB垂直平分OC 于点D ，则弦AB 的长为A ．9 cmB ．36cmC ．29cmD ．33cm 9．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若CD ＝BC ，∠A ＝35°，则 ∠C ＝ A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵y (单位：)点表示李阿姨家的位置)NM ABD C第9第8题分第10A ．B ．C ．二、填空题（本题共18分，每小题311．若代数式23-x 有意义，则x 的取值范围是 ．12．分解因式：a ab -2＝ ．13．如图，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝45cm ，当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为 cm ． 14．已知某函数图象经过点(-1，1)，且当x >0时，y 随x的增大而增大．请你写出一个．．满足条件的函数解析式：y ＝ .15．为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费 元．16．定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把a-11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1211-=-，1-的差倒数A BB第13为)1(11--＝21．记211=a，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2a ＝ ；2015a ＝ ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，点E ，F 在线段AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ．求证：BE ＝DF ．18．计算：01)3(30tan 3|3|)31(π-+︒--+-．19．解不等式组：⎩⎨⎧≤-<-．21512x x ，20．已知022=--x x ，求代数式)1)(1()12(-+--x x x x 的值． 21．列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多53小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度． DO FECAB22．已知关于x 的方程03)32(22=-+--k k x k x ．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．（1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC＝8，BD ＝6，求四边形OFCD 的面积．24．根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：市民收到快递后对包装处理方式统计图D ：其他C ：留着下次寄件 使用；B ：收集整理后作 为废品卖掉；A:直接丢弃；60%20%8%12%AB C D1601401208060100402002014140年)业务量(亿件2357372010－2014年全国快递业务量统计图（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到亿件．（直接写出结果，精确到0.1）25．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．（1）求证：∠CDE＝90°；（2）若AB＝13，sin∠C＝Array 5，求CE的长．1326．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AAB ＝6，AC ＝4，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD 的取值范围是 ．参考小军思考问题的方法，解决问题： 如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ．求证：PA •CD ＝PC •BD ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．抛物线cbx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对图ABD C图称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式； （2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．AB H CA BHCED（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系29．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点．（1）分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标； （2）若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4342≠-++=a c x axy 的最小值为－3，最大图图值为1，求m 的取值范围．（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x ny G =：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为1，且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值范围．燕山地区2015年初中毕业考试数学试卷参考答案与评分标准 2015年4月一、 选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．2≠x 12．)1)(1(-+b b a ； 13．90； 14．答案不唯一：xy 1-=，2x y =，2+=x y ，… 15．48； 16．2；2．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．证明：∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠C ． ………………………1分在△BAE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=，＝，CF AE C A CD AB ,∴△BAE ≌△DCF（SAS ）， ………………………4分∴BE ＝DF ． ………………………5分18．解:原式＝133333+⨯-+ ………………………4分＝4．………………………5分 19．解：解不等式①，得3<x ， ………………………2分解不等式②，得1-≥x ， ………………………4分∴原不等式组的解集为31<≤-x ． ………………………5分20．解：)1)(1()12(-+--x x x x＝)1(222---x x x ………………………2分＝1222+--x x x ＝12+-x x ． ………………………3分∵022=--x x ，即22=-x x ． ………………………4分∴原式＝1)(2+-x x ＝2＋1＝3． ………………………5分21．解：设赵老师骑自行车的速度为x 千米/小时， ………………………1分依题意得5321212=-x x ， ………………………2分解方程得 x ＝10. ………………………3分经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际意义. ………………………4分答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时. ………………………5分22．解:(1)Δ＝)3(14)32(22k k k -⨯⨯-- ………………………1分＝k k k k 124912422+-+-＝9>0，∴ 原方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分(2)解法一： 把0=x 代入方程03)32(22=-+--k k x k x中， 得 032=-k k ， 解得=k ，或3=k ． ………………………3分当0=k 时，原方程化为032=+x x ，解得31-=x ，2=x ； ………………………4分当3=k 时，原方程化为032=-x x ，解得31=x ，02=x．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分解法二：∵Δ＝9，由求根公式，得 23)32(129)32(21±-=⨯±-=k k x ，， ∴原方程的根为kx =1，32-=k x ． ………………………3分当1==k x 时，332-=-=k x ； ………………………4分当032=-=k x时，31==k x．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． ………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∴∠DOC =90°．∴四边形OCED 为矩形． ………………………2分（2）解法一：∵菱形ABCD ，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4， ∴S △DOC＝OC OD ⋅21＝4321⨯⨯＝6． ………………………3分在Rt △OBC 中，BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝BCOB ＝53．作FH ⊥OC 于点H ，在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF＝FCFH ＝53，HB ACDE FO∴FH＝53CF ＝512． ………………………4分∴S △OCF ＝FH OC ⋅21＝512421⨯⨯＝524．∴S四边形OFCD ＝S △DOC ＋S △OCF ＝6＋524＝554． ………………………5分解法二：∵菱形ABCD ，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ， ∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4， ∴S △DCB＝OC DB ⋅21＝4621⨯⨯＝12． ………………………3分在Rt △OBC 中，BC ＝22OCOB +＝5，sin ∠OCB ＝BCOB ＝53．作OG ⊥BC 于点G ，∵CF ＝CO ＝4，∴BF ＝BC − CF ＝5− 4＝1． 在Rt △OCG 中，sin ∠OCG ＝OCOG ＝53，∴OG ＝53OC＝GB ACDE FO512． ………………………4分∴S △OBF ＝OGBF ⋅211211⨯⨯6∴S 四边形OFCD ＝S＝56＝554． …………5分24．解：（1）140÷（1＋52%）＝92；补全条形统计图如图； …………2分（2）140×60%×1.2＝100.8亿元； …………4分答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．（3）9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7其中之一． ………………………5分 25．（1）证明：如图，连接OD ，∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径， ∴∠EDO ＝90°． ……(年)(亿件)…………………1分∵OD＝OB，∴∠ABC＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ODB＝∠C，∴DO∥AC，∴∠CED＝∠EDO＝90°．………………………2分（2）如图，连接AD，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC．………………………3分在Rt△CED和Rt△BDA中，∠C＝∠ABC，∠DEC＝∠ADB＝90°，∴△CED∽△BDA，∴sin∠ABC＝AB ＝sin∠C＝13，∴AD＝135AB＝5，∴CD＝BD＝22ADAB-＝12．∴131212 ＝CE ＝13144． ………………………5分 26．（1）1<AD <5； ………………………2分（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ． ………………………3分∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ，∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ， ∴△BDF ∽△CDP ． ………………………4分 即PA ·CD ＝PC ·BD ． ………………………5分五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分） FEAB DC P27．解：（1）∵抛物线cbx xy ++=221与y 轴交于点C (0，3)，∴3=c ；………………………1分∵抛物线cbx xy ++=221的对称轴为2=x ，∴2212=⨯-b ，解得2-=b ， ………………………2分∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分（2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯，解得2-=k ．………………………5分∵O (0，0)，B (2，∴直线OB由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,， 得0222=+-k x x，（*）当Δ＝k214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k的取值范围是212<<-k ．…………7分28．（1）①证明：∵AH ⊥BC ＝45°，∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH ＝45°， ∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ， 由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ， ∴∠1＝∠2． ………………………1分∵∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°， 图1∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ． ………………………2分②解法一：如图1－1， ∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上， ………………………3分∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°．……4分 解法二：如图1－2， 过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE＝90°，即∠4＋∠5＝90°．又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4．在△AHE 和△BHF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，3421BH AH∴△AHE ≌△BHF ，………………………3分∴EH ＝FH ． ∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形， 图1∴∠BEH ＝45°． ………………………4分（2）补全图2如图； ………………………5分29．解：（1）令x x =+-12，解得31=x ， ∴函数12+-=x y 的图象上有一个和谐点(31，31)； ………………………2分令x x ＝12+，即012＝+-x x ，∵根的判别式Δ＝114)1(2⨯⨯--＝－3<0， ∴方程012＝+-x x 无实数根， ∴函数12+=x y 的在和谐点． 3分 （2）令x c x ax ＝++42，即2ax 由题意，Δ＝ac 432-又方程的根为2323=-a ， 图2AB HC E D解得1-=a ，49-=c ． ………………………4分∴函数4342-++=c x axy ，即342-+-=x xy ，如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y 轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3)． ………………………5分由于函数图象在对称轴2=x 左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当m x ≤≤0时，函数342-+-=x x y 的最小值为－3，最大值为1， ∴42≤≤m ． ………………………6分（3）045<<n －，或10<<n ． ………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．。
2015年北京市海淀区九年级第二学期期中练习数学试题及答案(word版)
2015年北京海淀区九年级第二学期期中练习数 学2015．5下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为A ． 50.1510⨯B ．41.510⨯C ．51.510⨯D ．31510⨯ 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D.正方体 3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为A ．-1B ．1C ．-2D ．24．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为A ．12 B ．45 C ．49 D ．595．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于A ． 40°B ．50°C ．60°D ．140°2A0Bba 216．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ． （2）分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． （3）画射线OC ．根据上述作图步骤，下列结论正确的是A ．射线OC 是AOB ∠的平分线 B ．线段DE 平分线段OC C ．点O 和点C 关于直线DE 对称D ．OE =CE7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是 A ．98，95 B ．98，98 C ．95，98 D ．95，958. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于A ．1.2B ．2C ．2.4D ．69．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E .若60B ∠=︒，AC =3，则CD 的长为A ． 6 B． CD ．310．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：32a ab -=____________．12．写出一个函数y kx =（0k ≠），使它的图象与反比例函数1y x=的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1）14．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA AB ⊥，1AD =，BD BC 的长为__________． 15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD =BC ”，小红说“添加AB =DC ” ．你同意 的观点， 理由是 ．16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 .A B C D三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算：2022cos60(3.14π)--+-o ．18．解不等式组：345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥19．已知43x y =，求代数式22(2)()()2x y x y x y y ---+-的值．20．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC ，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ． 求证： BE=CD ．21.已知关于x 的方程220 (0)kx x k k--=≠. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．22．列方程或方程组解应用题:为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为亿；（3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有万人．25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF=1，DC=3，求AE的长．26．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．图1 图2 图3请回答：BC +DE 的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．28．在菱形ABCD 中，120ADC ∠=︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，50DEC ∠=︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；备用图（2）求证：EG BC =； （3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(,)P a b 和点(,)Q a b '，给出如下定义：若,1,1≥b a b b a ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点()2,3的限变点的坐标是()2,3，点()2,5-的限变点的坐标是()2,5--．（1）①点)的限变点的坐标是___________；②在点()2,1A --，()1,2B -中有一个点是函数2y x=图象上某一个点的限变点， 这个点是_______________；（2）若点P 在函数3(2,2)y x x k k =-+->-≤≤的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是52≤≤b '-，求k 的取值范围；（3）若点P 在关于x 的二次函数222y x tx t t =-++的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是≥b m '或，其中m n >．令s m n =-，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围．EDC BAEDCBAb n '<海淀区九年级第二学期期中练习数学试卷答案及评分参考2015．5一、 选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. (本小题满分5分) 解：原式=112142-⨯+ ………………………………………………………4分 14=+ ………………………………………………………………5分18. (本小题满分5分) 解： 345214.33x x x x +>-⎧⎪⎨-⎪⎩，≥ ② ①由不等式①得 3x <． ……………………………………………………2分由不等式②得 2≥x -． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为23≤x -<． ……………………………………………………5分19. (本小题满分5分)解： 22(2)()()2x y x y x y y ---+-2222244()2x xy y x y y =-+---………………………………………………2分 243xy y =-+ ……………………………………………………………………3分()43y x y =--．…………………………………………………………………4分∵43x y =，∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分20. (本小题满分5分) 证明：∠EBC =∠FCB ，A B E F C D ∴∠=∠． …………………………………………………………1分在△ABE 与△FCD 中，,,,A F AB FC ABE FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分 ∴BE=CD ． ………………………………………………………………………5分21. (本小题满分5分) （1）证明：0k ≠，∴220 kx x k--=是关于x 的一元二次方程．22(1)4()k k∆=--- ……………………………………………………1分90=>．∴方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分（2）解：由求根公式，得12x k±=． ∴1221,x x k k==-． …………………………………………………………4分 方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，∴ 1k =-或1k =．…………………………………………………………5分22. (本小题满分5分)解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x 克．………………………………………1分由题意，得40016020.8x x =⨯-． ………………………………………………2分 解得 4x =． ………………………………………………………3分 经检验， 4x =为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC ． ∴∠DAF=∠F ．∠F =45°，∴∠DAE=45°．………………………………………1分 AF 是∠BAD 的平分线，45EAB DAE ∴∠=∠=． 90DAB ∴∠=．又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形． …………………………2分（2）解：过点B 作BH AE ⊥于点H ，如图．四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°．AB =14，DE =8， ∴ CE=6．在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8． ∴ BC =8．在Rt △BCE 中，由勾股定理得10BE =． ……………………………………………3分 在Rt △AHB 中，∠HAB=45°，∴sin 4572BH AB =⋅=． …………………………………………4分在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，∴sin ∠AEB=10BH BE =． ……………………………………………5分（1）36． ……………………………………………………………………………1分 （2）6.700.01±． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分25. (本小题满分5分) （1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．∴CE ⊥AB ．AB=AC ，AD ⊥BC ，BD DC ∴=． ………………………………1分又 OE=OC ，∴OD ∥EB ．∴ OD ⊥CE ．………………………………2分（2）解：连接EF ．CE 为⊙O 的直径，且点F 在 ⊙O 上， ∴ ∠EFC =90°．CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°． ∴+BEF FEC FEC ECF ∠=∠+∠∠=90°． ∴BEF ECF ∠=∠．∴tan tan BEF ECF ∠=∠．∴BF EF EFFC=．又DF =1， BD=DC =3， ∴ BF =2， FC =4．∴EF = ………………………………………………… 3分∵∠EFC =90°， ∴∠BFE =90°．由勾股定理，得BE ． ……………………4分 EF ∥AD ， ∴21BE BF EA FD ==．∴AE = ……………………………………………………5分解：BC ＋DE． ……………………………………………………2分解决问题： 连接AE ，CE ，如图．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB // DC ．∵四边形ABEF 是矩形，∴AB // FE ，BF ＝AE ． ∴DC // FE ．∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴ CE // DF ． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ．∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ，∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)解：（1）∵抛物线2212y x x =-+与y 轴交于点A，∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵2211(232)212y x x x -+==+-，∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，32）． …………2分又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+．∵直线BC 经过点B （1，32）和点C (2，2)，∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得121.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为112y x =+．…………………………3分（2） ∵抛物线2212y x x =-+中，当4x =时，6y =，∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分∵直线112y x =+中，当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，∴如图，点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时， 点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分28. (本小题满分7分)（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分图1 图2（2）方法一：证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ． ，GF EDCBA120ADC ∠=︒GF EDCBA．是菱形ABCD 的对角线，∴． ……………………………………………………………2分 ．由菱形的对称性可知， ， ．……………………………………………………………………3分 ． GEB CBE ∴∠=∠． ，．…………………………………………………………4分 EBG BEC ∴∠=∠． 在△GEB 与△CBE 中，,,,GEB CBE BE EB EBG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEB ≌△CBE ． EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．，．是菱形ABCD 的对角线， ∴．………………………2分 ．由菱形的对称性可知，，．……………………………………………3分50FBC ∠=︒， 图350EBG EBC FBC BEC ∴∠=∠-∠=︒=∠． ………………………………………………4分 BH EH ∴=．在△GEH 与△CBH 中，,,,GEH CBH EH BH EHG BHC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GEH ≌△CBH ． EG BC ∴=． ………………………………………………………………………………5分 （3）． …………………………………………………………………7分60DCB ∴∠=︒AC 1302DCA DCB ∠=∠=︒180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒50BEC DEC ∠=∠=︒100EBC EDC ∠=∠=︒100GEB DEC BEC ∴∠=∠+∠=︒50FBC ∠=︒50EBG EBC FBC ∴∠=∠-∠=︒120ADC ∠=︒60DCB ∴∠=︒AC 1302DCA DCB ∠=∠=︒180100EDC DEC DCA ∴∠=︒-∠-∠=︒50BEC DEC ∠=∠=︒100EBC EDC ∠=∠=︒AE BG +=HG F ED CBA29．(本小题满分8分)解：（1）①； ……………………………………………………………………1分② 点B ． ………………………………………………………………………2分（2）依题意，3(2)y x x =-+-≥图象上的点P 的限变点必在函数3,13,21x x y x x -+⎧=⎨--<⎩≥≤的图象上．2≤b '∴，即当时，取最大值2．当时，．5x ∴=． ………………………………………3分 当时，或．2x ∴=-或8x =． ………………………………4分 52≤≤b '-，由图象可知，k 的取值范围是58≤≤k ．……………………………………………5分 （3），∴顶点坐标为．………………………………………………………………6分 若，的取值范围是≥b m '或≤b n '，与题意不符． 若1≥t ，当1≥x 时，的最小值为，即；当时，的值小于，即．．∴s 关于t 的函数解析式为 211)s t t =+≥ (． ……………………………7分 当t=1时，s 取最小值2．∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分1x =b '2b '=-23x -=-+5b '=-53x -=-53x -=-+2222()y x tx t t x t t =-++=-+(,)t t 1t <b 'y t m t =1x <y 2[(1)]t t --+2[(1)]n t t =--+22(1)1s m n t t t t ∴=-=+-+=+。
2015年北京燕山初三一模数学试题及答案整理版
燕山2015年4月 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．-2的相反数是 A ．2B ．2-C ．12-D ．122．据报道，中国内地首次采用“全无人驾驶”的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，预计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为A ．21073⨯B ．3103.7⨯C ．41073.0⨯D ．2103.7⨯3．下面的几何体中，俯视图为三角形的是A ． B ．C ． D ． 4．如图，∠1＝∠B ，∠2＝25°，则∠D ＝A ．25°B ．45°C ．50°D ．65°5．下面是某小区居民家庭的月用水量情况统计表：12ABCD从中任意抽出一个家庭进行用水情况调查，则抽到的家庭月用水量为6吨的概率为A ．41 B ．52 C ．103 D ．2016A ．众数和方差B ．平均数和中位数C ．众数和平均数D ．众数和中位数7．在多项式x 2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是 A ．xB ．3xC ．6xD ．9x8．如图，⊙O 的半径长6cm ，点C 在⊙O 上，弦AB 垂直平分OC 于点D ，则弦AB 的长为A ．9 cmB ．36cmC ．29cmD ．33cm9．在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于21AB 的长为半径画弧，相交于两点M ，N ；②作直线MN 交AC 于点D ，连接BD ．若CD ＝BC ，∠A ＝35°，则∠C ＝ A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°10．李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再y (t (单位：分)的函数关系P 点表示李阿姨家的位置)A ．B ．C ．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若代数式23-x有意义，则x 的取值范围是 ． 12．分解因式：aab -2＝ ．13．如图，跷跷板AB 的支柱OD 经过它的中点O ，且垂直于地面BC ，垂足为D ，OD ＝45cm ，当它的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度AC 为 cm ．14．已知某函数图象经过点(-1，1)，且当x >0时，y 随x 的增大而增大．请你写出一个．．满足条件的函数解析式：y ＝ .15．为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出NM ABDCB分租车，共需付车费 元．16．定义：对于任意一个不为1的有理数a ，把a-11称为a 的差倒数，如2的差倒数为1211-=-，1-的差倒数为)1(11--＝21．记211=a ，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，…，依此类推，则2a ＝ ；2015a ＝ ．三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．如图，点E ，F 在线段AC 上，AB ∥CD ，AB ＝CD ，AE ＝CF ． 求证：BE ＝DF ．18．计算：01)3(30tan 3|3|)31(π-+︒--+-．19．解不等式组：⎩⎨⎧≤-<-．21512x x ，20．已知022=--x x ，求代数式)1)(1()12(-+--x x x x 的值． 21．列方程或方程组解应用题：赵老师为了响应市政府“绿色出行”的号召，改骑自行车上下班，结果每天上班所用时间比自驾车多53小时．已知赵老师家距学校12千米，上下班高峰时段，自驾车的速度是自行车速度的2倍．求赵老师骑自行车的速度．22．已知关于x 的方程03)32(22=-+--k k x k x ． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根；ABCDEFDO FECAB（2）已知方程有一个根为0，请求出方程的另一个根．四、解答题（本题共20分，每小题5分）23．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）求证：四边形OCED 为矩形；（2）在BC 上截取CF ＝CO ，连接OF ，若AC ＝8，BD ＝6，求四边形OFCD 的面积．24．根据国家邮政局相关信息，2014年我国快递业务量达140亿件，比2013年增长52%，跃居世界第一，而快递产生的包装垃圾也引起了邮政管理部门的重视．以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图并标明相应数据；（结果保留整数）（2）每件快递专用包装的平均价格约为1.2元，据此计算2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约多少亿元的损失？（3）北京市2014年的快递业务量约为6亿件，预计2015年的增长率与近五年全国快递业务量年增长率的平均值近似相等，据此估计2015年北京市快递业务量将达到亿件．（直接写出结果，精确到0.1）25．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE 交AC 于点E ．市民收到快递后对包装处理方式统计图D ：其他C ：留着下次寄件使用；B ：收集整理后作 为废品卖掉；A:直接丢弃；（1）求证：∠CDE ＝90°；（2）若AB ＝13，sin ∠C ＝135，求CE的长．26．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点D 为BC的中点，求AD 的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD 到E ，使DE ＝AD，连接BE ，构造△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC 中，E 为AB 中点，P 是CA 延长线上一点，连接PE 并延长交BC 于点D ．求证：PA?CD ＝PC?BD ．五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．抛物线c bx x y C ++=2121:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)．（1）求抛物线1C 的解析式；ABDCAB D CEE ABDP（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．28．△ABC 中，∠ABC ＝45°，AH ⊥BC 于点H ，将△AHC 绕点H 逆时针旋转90°后，点C 的对应点为点D ，直线BD 与直线AC 交于点E ，连接EH ．（1）如图1，当∠BAC 为锐角时，①求证：BE ⊥AC ；②求∠BEH 的度数； （2）当∠BAC 为钝角时，请依题意用实线补全图2，并用等式表示出线段EC ，ED ，EH 之间的数量关系29．在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），(31-，31-)，(2-，2-)，…，都是和谐点．（1）分别判断函数12+-=x y 和12+=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(42≠++=a c x ax y 的图象上有且只有一个和谐点(23，23)，且当m x ≤≤0时，函数)0(4342≠-++=a c x ax y 的最小值为－3，最大值为1，求m 的取值范围．交于点（3）直线2:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴D ，与反比例函数xn y G =：的图象交于M ，N 两点（点M 在点N 的左侧），若点P的横坐标为1，且23<+DN DM ，请直接写出n 的取值范围．燕山地区2015年初中毕业考试数学试卷参考答案与评分标准 2015年4月一、选择题（本题共30分，每小题3分）1D二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．2≠x 12．)1)(1(-+b b a ； 13．90； 14．答案不唯一：xy 1-=，2x y =，2+=x y ，…15．48； 16．2；2．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．证明：∵AB∥CD ，∴∠A ＝∠C ． ………………………1分在△BAE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=，＝，CF AE C A CD AB ,∴△BAE ≌△DCF （SAS ）， ………………………4分∴BE ＝DF ． ………………………5分 18．解:原式＝133333+⨯-+ ………………………4分 ＝4． ………………………5分19．解：解不等式①，得3<x ， ………………………2分解不等式②，得1-≥x ， (4)分∴原不等式组的解集为31<≤-x ． ………………………5分 20．解：)1)(1()12(-+--x x x x＝)1(222---x x x ………………………2分＝1222+--x x x＝12+-x x ． ………………………3分∵022=--x x ，即22=-x x ． ………………………4分 ∴原式＝1)(2+-x x ＝2＋1＝3． ………………………5分21．解：设赵老师骑自行车的速度为x 千米/小时， ………………………1分依题意得5321212=-x x ， ………………………2分 解方程得 x ＝10. ………………………3分经检验，x ＝10是原方程的解且符合实际意义. ………………………4分答：赵老师骑自行车的速度是10千米/小时. ………………………5分22．解:(1)Δ＝)3(14)32(22k k k -⨯⨯-- ………………………1分＝k k k k 124912422+-+-＝9>0，∴ 原方程总有两个不相等的实数根． ………………………2分 (2)解法一： 把0=x 代入方程03)32(22=-+--k k x k x 中， 得 032=-k k ， 解得 0=k ，或3=k ．………………………3分当0=k 时，原方程化为032=+x x ，解得 31-=x ，02=x ； ………………………4分 当3=k 时，原方程化为032=-x x ，解得 31=x ，02=x ．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． (5)分解法二：∵Δ＝9，由求根公式，得23)32(129)32(21±-=⨯±-=k k x ，，∴原方程的根为k x =1，32-=k x ． ………………………3分 当01==k x 时，332-=-=k x ； ………………………4分 当032=-=k x 时，31==k x ．综上，原方程的另一个根3-=x ，或3=x ． (5)分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：∵DE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OCED 为平行四边形． ………………………1分 又∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∴∠DOC =90°．∴四边形OCED 为矩形． ………………………2分 （2）解法一：∵菱形ABCD ，HACD E O∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4，∴S △DOC ＝OC OD ⋅21＝4321⨯⨯＝6． ………………………3分 在Rt △OBC 中，BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝BCOB＝53．作FH ⊥OC 于点H ，在Rt △CFH 中，CF ＝CO ＝4，sin ∠HCF ＝FCFH＝53，∴FH ＝53CF ＝512． ………………………4分 ∴S △OCF ＝FH OC ⋅21＝512421⨯⨯＝524． ∴S 四边形OFCD ＝S △DOC ＋S △OCF ＝6＋524＝554． ………………………5分解法二：∵菱形ABCD ，∴AC 与BD 互相垂直平分于点O ，∴OD ＝OB ＝21BD ＝3，OA ＝OC ＝21AC ＝4，∴S △DCB ＝OC DB ⋅21＝4621⨯⨯＝12． ………………………3分 GB ACDEFO在Rt △OBC 中，BC ＝22OC OB +＝5，sin ∠OCB ＝BCOB＝53．作OG ⊥BC 于点G ，∵CF ＝CO ＝4，∴BF ＝BC ? CF ＝5? 4＝1． 在Rt △OCG 中，sin ∠OCG ＝OCOG＝53，∴OG ＝53OC ＝512． ………………………4分∴S △OBF ＝OG BF ⋅21＝512121⨯⨯＝56． ∴S 四边形OFCD ＝S △DCB ?S △OBF＝12?56＝554．…………5分 24．解：（1）140÷（1＋52%）＝92；补全条形统计图如图； …………2分（2）140×60%×1.2＝100.8亿元； …………4分答：2014年全国直接丢弃的快递包装造成了约100.8亿元的损失．(年)(亿件（3）9.1，9.2，9.3，9.4，9.5，9.6，9.7其中之一． ………………………5分25．（1）证明：如图，连接OD ， ∵DE 切⊙O 于D ，OD 是⊙O 的半径，∴∠EDO ＝90°．………………………1分∵OD ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠ODB ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ， ∴∠ODB ＝∠C ， ∴DO ∥AC ，∴∠CED ＝∠EDO ＝90°． ………………………2分 （2）如图，连接AD ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ． ………………………3分 在Rt △CED 和Rt △BDA 中，∠C ＝∠ABC ，∠DEC ＝∠ADB ＝90°， ∴△CED ∽△BDA ，∴sin∠ABC ＝AB ＝sin ∠C ＝13， ∴AD ＝135AB ＝5， ∴CD ＝BD ＝22AD AB -＝12．∴131212⨯＝CE ＝13144． ………………………5分26．（1）1<AD <5； ………………………2分（2）证明：延长PD 至点F ，使EF ＝PE ，连接BF ． ………………………3分∵BE ＝AE ，∠BEF ＝∠AEP ， ∴△BEF ≌△AEP ， ∴∠APE ＝∠F ，BF ＝PA ． 又∵∠BDF ＝∠CDP ，即PA ·CD ＝PC ·BD ． ………………………5分 五、解答题（本题共22分，第27、28题每小题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=221与y 轴交于点C (0，3)，∴3=c ； ………………………1分∵抛物线c bx x y ++=221的对称轴为2=x ，∴2212=⨯-b ，解得2-=b ， ………………………2分 ∴抛物线1C 的解析式为32212+-=x x y ． ………………………3分（2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221． ………………………4分当抛物线经过点A (2，0)时，02212＝k +⨯，解得2-=k ． ………………………5分 ∵O (0，0)，B (2，2)，∴直线OB 的解析式为x y =由⎪⎩⎪⎨⎧+==k x y x y 221,，得0222=+-k x x ，（*）当Δ＝k 214)2(2⨯⨯--＝0，即21=k 时， ………………………6分抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上．∴k 的取值范围是212<<-k ．7分28．（1）①证明：∵AH ⊥BC 于点H ∴△ABH 为等腰直角三角形， ∴AH ＝BH ，∠BAH ＝45°，∴△AHC 绕点H 逆时针旋转90°得△BHD ， 由旋转性质得，△BHD ≌△AHC ，∴∠1＝∠2． ………………………1分 ∵∠1＋∠C ＝90°， ∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥AC ． ………………………2分 ②解法一：如图1－1， ∵∠AHB ＝∠AEB ＝90°，∴A ，B ，H ，E 四点均在以AB 为直径的圆上， ………………………3分 ∴∠BEH ＝∠BAH ＝45°． ………………………4分 解法二：如图1－2，过点H 作HF ⊥HE 交BE 于F 点，∴∠FHE即∠4＋∠5＝90°．又∵∠3＋∠5＝∠AHB ＝90°， ∴∠3＝∠4．在△AHE 和△BHF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠，，，3421BH AH ∴△AHE ≌△BHF ， ………………………3分 ∴EH ＝FH ．∵∠FHE ＝90°，∴△FHE 是等腰直角三角形，∴∠BEH ＝45°． ………………………4分29．解：（1）令x x =+-12，解得31=x ，∴函数12+-=x y 的图象上有一个和谐点(31，31)； ………………………2分令x x ＝12+，即012＝+-x x ，∵根的判别式Δ＝114)1(2⨯⨯--＝－3<0， ∴方程012＝+-x x 无实数根，∴函数12+=x y ………………………3分（2）令x c x ax ＝++42，即32ax +由题意，Δ＝ac 432-＝0，即4ac 又方程的根为2323=-a ， 解得1-=a ，49-=c ． ………………………4分∴函数4342-++=c x ax y ，即342-+-=x x y ，如图，该函数图象顶点为(2，1)，与y 轴交点为(0，－3)， 由对称性，该函数图象也经过点(4，－3)． ………………………5分由于函数图象在对称轴2=x 左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当m x ≤≤0时，函数342-+-=x x y 的最小值为－3，最大值为1，∴42≤≤m ． ………………………6分（3）045<<n －，或10<<n ． ………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分． 2020-2-8。
北京市海淀区2015届九年级上期中考试数学试题及答案
2
A. 5
B. 5
3 C. 5
4 D. 5
E
A
D
O
B
C
6．如图， AB 是 e O 的直径，CD 是 e O 的弦， ABD 59 ，则 C 等于（ ）
A. 29
B.31
C.59
D. 62
A
O
D
C
B
7．已知二次函数 y x2 4x m （ m 为常数）的图象与 x 轴的一个交点为 (1,0) ，则关于
B. y x2 1
C. y 2
x1
y x 12
D.
3.袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除颜色外无
其他差别．在看不到球的情况下，随机从袋子中摸出 1 个球.下面说法正确的是（ ）
A.这个球一定是黑球
B.这个球一定是白球
C.“摸出黑球”的可能性大
2014——2015 学年海淀初三数学第一学期期中练习 2014.11
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A
B
C
D
2．将抛物线 y x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为（ ）
A. y x2 1
，取得价值最小值的数列为___________（写
（3）将 2 ， 9 ， a (a 1) 这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列． 若这些数列的价值的最小值为 1，则 a 的值为__________．
五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
2023年北京市海淀区中考数学一模试卷及答案解析
2023年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．1．（2分）下列几何体中，主视图为如图的是（）A．B．C．D．2．（2分）北京植物园从上世纪五十年代开始建设种子库，目前库中已有种子83000余份，总量位居世界第二位．将83000用科学记数法表示应为（）A．83×103B．8.3×104C．8.3×105D．0.83×105 3．（2分）在一条沿直线MN铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在MN上选取一点P，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是（）A．B．C．D．4．（2分）不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A．B．C．D．5．（2分）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．|m|＜|n|B．m+n＞0C．m﹣n＜0D．mn＞06．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．27．（2分）小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行．将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为（）A．63°B．36°C．27°D．18°8．（2分）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：a2b+4ab+4b＝．11．（2分）分式方程的解为．12．（2分）根据如表估计≈（精确到0.1）．x16.216.316.416.516.6x2262.44265.69268.96272.25275.56 13．（2分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长为．14．（2分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与正比例函数y＝mx的图象交于A，B两点，点A的坐标为（1，a），则点B的坐标为．15．（2分）如图，点M在正六边形的边EF上运动．若∠ABM＝x°，写出一个符合条件的x的值．16．（2分）某陶艺工坊有A和B两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品，两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如表所示．尺寸数量（个）大中小款式A81525B01020烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品．某批次需要生产10个大尺寸陶艺品，50个中尺寸陶艺品，76个小尺寸陶艺品．（1）烧制这批陶艺品，A款电热窑至少使用次；（2）若A款电热窑每次烧制成本为55元，B款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为元．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（2x+1）2﹣2（x﹣3）的值．20．（5分）下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°．求证：BC ＝AB ．方法一证明：如图，延长BC 到点D ，使得CD ＝BC ，连接AD ．方法二证明：如图，在线段AB 上取一点D ，使得BD ＝BC ，连接CD．21．（6分）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，过点B 作BE ∥AD 交CD 于点E ，点F 为AD 边上一点，AF ＝BE ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 为矩形；（2）若AB ＝6，BC ＝3，CE ＝4，求ED 的长．22．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象过点（1，3），（2，2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞2时，对于x 的每一个值，一次函数y ＝mx 的值大于一次函数y ＝kx +b 的值，直接写出m 的取值范围．23．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE为⊙O的切线；（2）延长AB，ED交于点F．若BF＝2，，求AC的长．24．（6分）某小组对当地2022年3月至10月西红柿与黄瓜市场价格进行调研，经过整理、描述和分析得到了部分信息．a．西红柿与黄瓜市场价格的折线图：b．西红柿与黄瓜价格的众数和中位数：蔬菜价格众数中位数西红柿（元/千克）6m黄瓜（元/千克）n6根据以上信息，回答下列问题：（1）m＝，n＝；（2）在西红柿与黄瓜中，的价格相对更稳定；（3）如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在_________月的产量相对更高．25．（5分）“兔飞猛进”谐音成语“突飞猛进”．在自然界中，野兔善于奔跑跳跃，“兔飞猛进”名副其实．野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分．（1）建立如图所示的平面直角坐标系．通过对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行的测量，得到以下数据：水平距离x/m00.41 1.42 2.4 2.8竖直高度y/m00.480.90.980.80.480根据上述数据，回答下列问题：①野兔本次跳跃的最远水平距离为m，最大竖直高度为m；②求满足条件的抛物线的解析式；（2）已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m．若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃（填“能”或“不能”）跃过篱笆．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．27．（7分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，AE，BF交于点G．（1）求∠AGF的度数；（2）在线段AG上截取MG＝BG，连接DM，∠AGF的角平分线交DM于点N．①依题意补全图形；②用等式表示线段MN与ND的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（m，n），我们称直线y＝mx+n为点P的关联直线．例如，点P（2，4）的关联直线为y＝2x+4．（1）已知点A（1，2）．①点A的关联直线为；②若⊙O与点A的关联直线相切，则⊙O的半径为；（2）已知点C（0，2），点D（d，0）．点M为直线CD上的动点．①当d＝2时，求点O到点M的关联直线的距离的最大值；②以T（﹣1，1）为圆心，3为半径作⊙T．在点M运动过程中，当点M的关联直线与⊙T交于E，F两点时，EF的最小值为4，请直接写出d的值．2023年北京市海淀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有4个选项，符合题意的选项只有一个．1．【分析】找到从正面看所得到的图形，作出判断即可．【解答】解：A、该圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；B、该圆锥主视图为等腰三角形，故本选项不符合题意；C、该三棱锥的主视图为三角形（三角形内部由一条纵向的实线），故本选项不符合题意；D、球的主视图是圆，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：83000＝8.3×104．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．【分析】连接甲乙，交MN于点P，点P就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短．【解答】解：根据线段的性质可知，点P即为所求作的位置．符合题意的画法是A．故选：A．【点评】本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识．4．【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是＝，故选：D．【点评】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．5．【分析】根据数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质解决此题．【解答】解：A．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得|m|＜|n|，那么A错误．B．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得m+n＞0，那么B正确．D．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得m﹣n＞0，那么C错误．D．由图可知，﹣2＜n＜0＜m＜4，得mn＜0，那么D错误．故选：B．【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数、实数的乘法、绝对值、不等式的性质，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、实数的乘法法则、绝对值的定义、不等式的性质是解决本题的关键．6．【分析】由关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，即可得判别式Δ＝0，即可得方程4﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＝0，∴m＝1．故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得Δ＝0．7．【分析】由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO＝90°，∠ACP＝90°，由对顶角的性质得到∠APC＝∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC＝∠COD＝27°．【解答】解：∵MN∥AB，OD⊥MN，∴OD⊥AB，∴∠PQO＝90°，∵OC⊥AD，∴∠ACP＝90°，∵∠APC＝∠OPQ，∴∠BAC＝∠COD＝27°，∴被测物体表面的倾斜角α为27°．故选：C．【点评】本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是理解题意，应用以上知识点来解决问题．8．【分析】由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得z＝mkx+mb，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断．【解答】解：由图1可设y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0，b＞0），由图2可设z＝my（m 为常数，m＞0），将y＝kx+b代入z＝my得：z＝m（kx+b）＝mkx+mb，∴z与x的函数关系为一次函数关系，∵k＜0，b＞0，m＞0，∴mk＜0，mb＞0，∴z与x的函数图象过一、二、四象限．故选：C．【点评】本题主要考查函数的图象，一次函数的图象与性质，根据图象正确设出函数解析式，学会利用整体思想解决问题是解题关键．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0，故实数x的取值范围是：x≥5．故答案为：x≥5．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．10．【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，故答案为：b（a+2）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．【分析】先去分母化为整式方程，解整式方程，检验即可．【解答】解：，方程两边都乘以x（x+3）约去分母得：x+3＝2x，解这个整式方程得x＝3，检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，∴x＝3是原分式方程的解．故答案为：x＝3．【点评】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．12．【分析】根据表格可得268.96＜269＜272.25，从而可得16.4＜＜16.5，即可解答．【解答】解：∵268.96＜269＜272.25，∴16.4＜＜16.5，∴≈16.4，故答案为：16.4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．13．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝4，则∠AOB＝90°，所以AB＝＝2，由点M为AB的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得OM＝AB＝，于是得到问题的答案．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝4，BD＝8，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×4＝2，OB＝OD＝BD＝×8＝4，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝2，∵点M为AB的中点，∴OM＝AB＝×2＝，故答案为：．【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．14．【分析】把A（1，a）代，可得a＝2，可得A（1，2），再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标．【解答】解：把A（1，a）代，可得a＝2，∴A（1，2），∵点B与点A关于原点对称，∴B（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．15．【分析】由正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF＝30°，∠ABE＝60°可得x的取值范围30°≤x≤60°，即可得到答案．【解答】解：连接BF，BE，∵六边形ABCDEF是正六边形，AF∥BE，∴∠A＝∠ABC＝∠AFE＝＝120°，AB＝AF，∴∠ABF＝＝30°，∠ABE＝180°﹣∠A＝60°，∵点M在正六边形的边EF上运动，∠ABM＝x°，∴30°≤x≤60°，∴x＝50°．故答案为：50°（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了正多边形和圆，根据正多边形的性质和平行线的性质求得∠ABF ＝30°，∠ABE＝60°得到x的取值范围是解决问题的关键．16．【分析】（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，由烧制大尺寸陶艺品只能使用A款电热窑及烧制的大尺寸陶艺品不少于10个，可得出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论；（2）当使用A款电热窑烧制2次时，可求出恰好还需使用B款电热窑烧制一次，求出该方案的成本，再求出使用A款电热窑烧制3次所需成本，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设烧制这批陶艺品需使用A款电热窑x次，根据题意得：8x≥10，解得：x≥，又∵x为正整数，∴x的最小值为2，∴A款电热窑至少使用2次．故答案为：2；（2）当使用A款电热窑烧制2次时，将第2次的5个大尺寸陶艺品位置替换成10个中尺寸陶艺品，1个大尺寸陶艺品位置替换成6个小尺寸陶艺品，∴还需烧制中尺寸陶艺品50﹣15×2﹣10＝10（个），小尺寸陶艺品76﹣25×2﹣6＝20（个），又∵B款电热窑一次可烧制10个中尺寸陶艺品，20个小尺寸陶艺品，∴还需使用B款电热窑烧制一次，∴此方案所需成本为55×2+25＝135（元）．当A款电热窑使用3次时，所需成本为55×3＝165（元）．∵165＞135，∴烧制这批陶艺品成本最低为135元．故答案为：135．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）根据各数量之间的关系，求出各烧制方案所需的成本．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：＝1+2+2﹣2×＝1+2+2﹣＝3+．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式，化简（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+2x+7，再根据2x2+x﹣1＝0，可得2x2+x＝1，整体代入求值即可．【解答】解：（2x+1）2﹣2（x﹣3）＝4x2+4x+1﹣2x+6＝4x2+2x+7，∵2x2+x﹣1＝0，∴2x2+x＝1，∴4x2+2x＝2（2x2+x）＝2，∴原式＝2+7＝9．【点评】本题考查了完全平方公式，代数式求值，涉及单项式乘多项式，合并同类项，熟练掌握整体代入法是解题的关键．20．【分析】若选择方法一：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，再利用平角定义求出∠ACD＝90°，从而可得∠ACD＝∠ACB＝90°，然后利用SAS证明△BCA ≌△DCA，从而可得AD＝AB，进而可得△ABD是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得AB＝BD，即可解答；若选择方法二：先根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B＝60°，从而可得△BCD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，从而可得∠DCA＝∠A＝30°，进而可得DC＝DA，最后利用等量代换可得BC＝BD＝DA＝AB，即可解答．【解答】解：若选择方法一：如图：延长BC到点D，使得CD＝BC，连接AD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝60°，∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，∵AC＝AC，∴△BCA≌△DCA（SAS），∴AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD，∵BC＝CD＝BD，∴BC＝AB；若选择方法二：如图，在线段AB上取一点D，使得BD＝BC，连接CD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝BD＝DC，∠BCD＝60°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠BCD＝30°，∴∠DCA＝∠A＝30°，∴DC＝DA，∴BC＝BD＝DA＝AB，即BC＝AB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】（1）根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】（1）证明：∵BE∥AD，AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵∠A＝90°，∴平行四边形ABEF是矩形；（2）解：∵∠C＝90°，BC＝3，CE＝4，∴BE＝，∵四边形ABEF是矩形，∴∠BEF＝∠AFE＝90°，AB＝EF＝6，∴∠BEC+∠FED＝90°，∠EFD＝90°，∵∠CBE+∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠FED，∵∠EFD＝∠C＝90°，∴△BCE∽△EFD，∴，即，∴DE＝10．【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．22．【分析】（1）待定系数法求解析式；（2）当x＝﹣2时，求出y＝2x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出m的取值范围．【解答】解：（1）将点（1，3），（2，2）代入一次函数y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式：y＝﹣x+4；（2）当x＝2时，y＝﹣x+4＝﹣2+4＝2，根据题意，可知当x＝2时，2m≥2，解得m≥1，∴m的取值范围是m≥1．【点评】本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的关键．23．【分析】（1）连接OD，连接BC交OD于点F，证明DE∥BC，由垂径定理得出OD⊥CB，得出OD⊥DE，由切线的判定可得出答案；（2）连接BC，OD，根据锐角三角函数求出OB＝1，AB＝2，根据平行线的性质得出∠ABC＝∠AFE，根据锐角三角函数求解即可．【解答】（1）证明：连接OD，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AE，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是的中点，∴OD⊥CB，∴OD⊥DE，又∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BC，OD，由（1）知，OD⊥EF，BC∥EF，∵sin∠AFE＝，∴＝，∵BF＝2，OB＝OD，∴＝，∴OB＝1，∴AB＝2，∵BC∥EF，∴∠ABC＝∠AFE，∴sin∠ABC＝sin∠AFE，∴＝，∴AC＝．【点评】此题考查了切线的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质、解直角三角形是解题的关键．24．【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义可得m、n的值；（2）根据方差的意义解答即可；（3）根据统计图解答即可．【解答】解：（1）把西红柿在当地2022年3月至10月的价格从小到大排列，排在中间的两个数分别是6和7，故中位数m＝＝6.5；黄瓜在当地2022年3月至10月的价格中，6元/千克出现了3次，出现的次数最多，故众数n＝6；故答案为：6.5；6；（2）由折线统计图可知，西红柿的价格在5元/千克至10元/千克徘徊，黄瓜的价格在3元/千克至10元/千克徘徊，所以在西红柿与黄瓜中，西红柿的价格相对更稳定．故答案为：西红柿；（3）由统计图可知，6月份两种蔬菜的价格最低，所以如果这两种蔬菜的价格随产量的增大而降低，结合题中信息推测这两种蔬菜在6月的产量相对更高．故答案为：6．【点评】本题考查了折线统计图、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解决问题的关键．25．【分析】（1）①根据表中数据得出结论；②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先根据兔子跳跃的最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m，求出函数解析式，再把x＝2代入解析式求出y与0.8比较即可．【解答】解：（1）①由x＝0，y＝0和x＝2.8，y＝0可知，野兔本次跳跃的最远水平距离为2.8﹣0＝2.8（米），对称轴为直线x＝＝1.4，∴当x＝1.4时，y有最大值0.98，∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为0.98米，故答案为：2.8，0.98；②设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.4）2+0.98，把x＝1，y＝0.9代入y＝a（x﹣1.4）2+0.98得，a（1﹣1.4）2+0.98＝0.9，解得a＝﹣0.5，∴抛物线的解析式为y＝﹣0.5（x﹣1.4）2+0.98；（2）设野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y＝mx2+nx，根据题意得：，解得，∴野兔在某次跳跃时抛物线的解析式为y＝﹣x2+x，当x＝2时，y＝﹣×22+×2＝﹣+＝，∵＞0.8，∴野兔此次跳跃能跃过篱笆．故答案为：能．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．26．【分析】（1）抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断；（2）求得抛物线与直线y＝1的交点，即可求得对称轴，由对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，从而得到，解得4＜b＜5．【解答】解：（1）由题意可知A（3，m），B（7，n）在抛物线y＝x2﹣10x+1上，∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝5，∵A（3，m），B（7，n）到对称轴的距离相同，∴m＝n；（2）当y＝1时，则y＝x2﹣2bx+1＝1，解得x1＝0，x2＝2b，∴抛物线经过点（0，1），（2b，1），∴对称轴为直线x＝b，∵对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，∴，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，∴，解得4＜b＜5．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27．【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△BCF，可得∠BAE＝∠CBF，由余角的性质可得结论；（2）①由题意补全图形；②由“SAS”可证△ABG≌△ADH，可得DH＝BG，∠AHD＝∠AGB＝90°，由“AAS”可证△MNG≌△DNH，可得结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BGE＝90°＝∠AGF；（2）①如图所示：②MN＝DN，理由如下：过点A作AH⊥AE，交EN的延长线于点H，∵AH⊥AE，∴∠EAH＝90°＝∠BAD，∴∠BAE＝∠DAH，∵GN平分∠AGF，∴∠AGN＝∠NGF＝45°，∴∠AGN＝∠AHG＝45°，∴AH＝AG，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADH（SAS），∴DH＝BG，∠AHD＝∠AGB＝90°，∴∠AHN＝∠DHN＝45°，又∵BG＝MG，∴MG＝HD，又∵∠DHN＝∠AGN＝45°，∠MNG＝∠DNH，∴△MNG≌△DNH（AAS），∴MN＝DN．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）①根据点P的关联直线的定义可解答；②先根据切线的性质得：OB⊥GH，再根据直角三角形斜边中线的性质可得OB的长，即可得⊙O的半径的长；（2）①根据待定系数法可求得直线CD的解析式，设M（m，﹣m+2），表示点M的关联直线，确定这个关联直线经过定点N（1，2），可得结论；②同理确定CD的解析式，及点M关联直线的解析式和顶点坐标，根据两点的距离公式列方程可解答．【解答】解：（1）①∵点A（1，2），∴点A的关联直线为：y＝x+2；故答案为：y＝x+2；②如图1，设直线y＝x+2与⊙O相切的切点为B，连接OB，∴OB⊥GH，在y＝x+2中，当x＝0时，y＝2，∴OG＝2，当y＝0时，x+2＝0，∴x＝﹣2，∴OH＝2，∴△GOH是等腰直角三角形，∴GH＝＝2，∵OB⊥GH，∴BH＝BG，∴OB＝GH＝×＝，则⊙O的半径为；故答案为：；（2）①当d＝2时，D（2，0），设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∵C（0，2），∴，解得：，∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+2，设点M的坐标为（m，﹣m+2），∴点M的关联直线为：y＝mx﹣m+2＝m（x﹣1）+2，∴点M的关联直线经过定点N（1，2），如图2，过点O作直线y＝﹣mx﹣m+2的垂线，垂足为H，连接ON，∴ON≥OH，∴当点H与点N重合时，OH最大，即点O到点M的关联直线的距离最大，∴点O到点M的关联直线的距离的最大值为：＝；②∵点C（0，2），点D（d，0），∴得直线CD的解析式为：y＝﹣+2，设点M的坐标为（n，﹣+2），∴点M的关联直线为：y＝nx﹣+2＝n（x﹣）+2，∴点M的关联直线经过定点（，2），如图3，过点T作TN⊥EF于N，连接TF，则EF＝2FN，要想使EF最小，因为TF＝3是定值，则TN为最大＝＝，由（2）①可知：当N与（，2）重合时，TN最大，∵T（﹣1，1），则：（﹣1﹣）2+（1﹣2）2＝（）2，解得：d＝2或﹣．【点评】本题是一次函数的综合题，考查一次函数的图象及性质，两点的距离公式，新定义：关联直线的理解和运用等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义，数形结合是解题的关键。
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海 淀 区 九 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习 数 学
2015．5 考生须知
1．本试卷共7页，共五道大题，29道小题，满分120分。考试时间120分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为 A． 50.1510 B．41.510 C．51.510 D．31510 2．右图是某几何体的三视图，该几何体是 A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D.正方体 3．如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为
2A0B
A．1 B．1 C．2 D．2
4．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为
A．12 B．45 C．49 D．59
5．如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=40°，则∠2等于 A． 40° B．50° C．60° D．140° b
a
21 6．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E． （2）分别以D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC． 根据上述作图步骤，下列结论正确的是 A．射线OC是AOB的平分线 B．线段DE平分线段OC C．点O和点C关于直线DE对称 D．OE=CE 7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则 这15名选手成绩的众数和中位数分别是 A．98，95 B．98，98 C．95，98 D．95，95
8. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S（单位：千米）与时间t（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a等于 A．1.2 B．2 C．2.4 D．6
9．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若60B，AC=3，则CD的长为 A． 6 B．23 C．3 D．3
10．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是
A B C D
63
S/千米t/分钟O ED
CB
OA
BAC
EO
D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：32aab____________．
12．写出一个函数ykx（0k），使它的图象与反比例函数1yx的图象有公共点，这个函数的解析式为___________． 13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：
从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1） 14．如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若DAAB，1AD，17BD，则BC的长为__________． 15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题： “四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC” ．你同意 的观点， 理由是 ． 16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 . 三、解答题（本题共30分，每小题5分）
17．计算：2022cos6012(3.14π)o．
18．解不等式组：345214.33xxxx，≥ 19．已知43xy，求代数式22(2)()()2xyxyxyy的值．
摸球的次数n 100 200 300 400 500 600 摸到白球的次数m 58 118 189 237 302 359 摸到白球的频率
nm 0.58 0.59 0.63 0.593 0.604 0.59
8
CBDA
FDCBA
E 20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB． 求证： BE=CD．
21.已知关于x的方程220 (0)kxxkk. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．
22．列方程或方程组解应用题: 为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．如图，在□ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．
24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据以上信息解答下列问题： （1）直接写出扇形统计图中m的值； （2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为 亿； （3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014
FBC
AED年末该市网民学历是大专的约有 万人． 25．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径. （1） 求证：OD⊥CE； （2） 若DF=1， DC=3，求AE的长．
26．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值． 小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
ADE
BC
ADE
BFC
G
ECABD
F
图1 图2 图3
请回答：BC+DE的值为_______． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2212yxx与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC的解析式； （2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（0t）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．
28．在菱形ABCD中，120ADC，点E是对角线AC上一点，连接DE，50DEC，将线段BC绕点B逆时针旋转50并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G． （1）依题意补全图形；
xyO–5–4–3–2–112345
–7–6–5–4–3–2–1
1234567
AE
BDCF
O