勾股定理中四种重要的数学思想_勾股定理思维导图
专题20 勾股定理(解析版)
1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a． 故选 D．
初中数学知识点思维导图
第八章
反比例函数
反比例函数图像与性质
1、反比例函数的定义
2、反比例函数的图像与对称性
3、反比例函数的性质
4、系数k的几何意义
5、反比例函数图像上点的坐标特征
6、待定系数法求反比例函数解析式
7、反比例函数与一次函数父点问题
反比例函数的应用
反比例函数的应用
从统计图分析数据的几种
趋势
3、扇形、条形、折线统计图及其选择
3、一次函数与一元一次方程
4、依据实际问题列一次函数关系式
一次函数的图像
1、一次函数、正比例函数的图像与性质
2、一次函数图像与系数的关系
3、一次函数图像上点的坐标特点
4、一次函数图像与几何变换
一次函数的应用
一次函数的应用与综合题
多边形与圆的初步认识
4、多边形与多边形的对角线
5、圆的认识〔圆心角、弧、弦的关系〕
1、轴对称的性质
2、轴对称--最短路径问题
3、翻折变换〔折叠问题〕
简单的轴对称图形
1、角平分线性质
2、线段垂直平分线的性质
3、等腰三角形的性质与判定
4、等边三角形的性质与判定
第八章概率初步
感受可能性
1、随机事件
2、可能性的大小
频率的稳定性
利用频率估量概率
等可能事件的概率
1、概率的意义、公式
2、几何概率
6、扇形面积的计算
第五章二元次方程组
认识二元次方程组
1、二兀一次防尘的定义、解
2、解二兀次方程
3、二元一次方程组的定义、解
求解二元次方程
1、解二兀一次方程组
2、同解方程组
二兀次方程的应用
1、鸡兔同笼
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想丹阳市华南实验学校 夏青梅随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：一、化归思想所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化归结为一个数学问题。
先在底面ABCD 的直角三角形ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
初中数学八年级上册思维导图
初中数学八年级上册思维导图一、数的开方1. 平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的平方根，记作x=√a。
正数a的平方根有两个，它们互为相反数，分别记作+√a 和√a。
0的平方根是0，负数没有平方根。
2. 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，记作x=³√a。
每个实数都有唯一的立方根。
3. 开方运算：开方运算是求一个数的平方根或立方根的运算。
对于正数a，开方运算可以表示为√a或³√a。
二、实数1. 实数的概念：实数包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数比的数，无理数是不能表示为两个整数比的数。
2. 实数的分类：实数可以分为正实数、负实数和0。
正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。
3. 实数的运算：实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
在运算过程中，需要遵循实数的运算规律，如交换律、结合律和分配律。
三、勾股定理1. 勾股定理的内容：勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a、b是直角边，c是斜边。
2. 勾股定理的应用：勾股定理可以用来解决直角三角形中的边长问题，也可以用来解决一些与直角三角形相关的实际问题。
3. 勾股定理的证明：勾股定理的证明有多种方法，其中一种常见的证明方法是使用几何图形的面积关系。
四、一次函数1. 一次函数的概念：一次函数是指函数的图像是一条直线，其一般形式为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2. 一次函数的性质：一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
3. 一次函数的应用：一次函数可以用来描述一些线性关系，如物体的速度与时间的关系、正比例关系等。
五、不等式1. 不等式的概念：不等式是表示两个数之间大小关系的数学表达式，如a>b、a<b、a≥b、a≤b等。
2. 不等式的性质：不等式可以进行加减、乘除运算，但在乘除运算中需要注意符号的变化。
《勾股定理》数学教学PPT课件(10篇)
=BD·
CD.
D
B
E
C
课堂小
结
利用勾股定理解
决实际问题
勾股定理
的应用
构造直角三角形
解决实际问题
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时
利用勾股定理作图和计算
知识要点
1.勾股定理与数轴、坐标系
2.勾股定理与网格
3.勾股定理与几何图形
新知导入
想一想：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你
能在数轴上画出表示 13 的点吗？
如果能画出长为 13 的线段，就能在数轴上画出表示 13 的
2
点.容易知道，长为
的线段是两条直角边的长都为1的直角三
角形的斜边.
长为 13 的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的
斜边吗？
新知导入
想一想：
利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2, 3
知识
的直角三角形的斜边长为
AC2+BC2=AB2
由上面的例子，我们猜想：
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边
长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
课程讲授
1
勾股定理
下面让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想.
c
证明：∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
b
a
b-a
例 如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻
度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
8
_____条．
勾股定理四大核心知识讲义(解析版)
专题02 勾股定理四大核心知识讲义【勾股定理证明】赵爽弦图ab c()22142c ab b a =⨯+-，化简得：222a b c +=.欧几里得证明方法证明：S 1+S 2=S 3；△ABF ≌△ADE →S △ABF =S △ADE →2 S △ADE =S 长方形AENM =S 正方形ABCD =2 S △ABF 同理，S MNPF =S 1 故S 1+S 2=S 3 方法3ABD C BD D BDDAC D S S S S '''''=++△△△梯形，即：()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 方法422211112222c ab ab a b ab ab ++=+++，化简得：222a b c +=.总统证明法A BD C A'D'C'a bca bcca bac bac bac bb ac()2211112222a b ab ab c ⨯+=++化简得：222a b c += 达芬奇证明法a 2+b 2+2×12ab =c 2+ ab ，a 2+b 2=c 2【勾股定理应用】【勾股数】1. 毕达哥拉斯学派提出2221,22,221a n b n n c n n =+=+=++（n 为正整数）是一组勾股数.2. 我国《九章算术》中提到：()2212a m n =-，()221,(2b mn c m n m n ==+、为正整数，m n >）时，,,a b c 构成一组勾股数； 3. a 2－b 2，2ab ，a 2+b 2（a 、b 为正整数，且a >b ）4. 常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；9、40、41……5. 直角三角形三边长为a 、b 、c ，斜边c 上的高为h ，则：以111,,a b h为边的三角形是直角三角形.6. 若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）是一组勾股数.【在做某些题时较为简便】 【几个经典图形】结论：S 阴影=S △结论：23c a b a ===、、结论： c a ==、 ∠A =∠B =30°结论：2c a S ==△、、结论：2h S =△、 【勾股定理逆定理证明】命题：由题设和结论组成.将原命题的题设与结论互换即为其逆命题.如：“对顶角相等”的逆命题为：“相等的角是对顶角”.勾股定理逆定理证法：（构造全等三角形）【典例解析】【题型一】勾股定理及其应用 赵爽弦图【例1】（2020·河南南阳市月考）下图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边()x y >，下列四个说法：①2249x y +=，②2x y -=，③2449xy +=，④9x y +=．其中说法正确的是（ ）．A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①②③④【答案】B .【解析】解：如图所示，∵△ABC 是直角三角形， ∴x 2+y 2=49，故①正确； 由图可知x -y =CE =2，故②正确；四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积， 即：2xy +4=49，故③正确； 2xy =45， ∵x 2+y 2=49，∴（x +y ）2=45+49=94，故④错误； 故答案为：B ．【例2】（2021·沙坪坝区期末）我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图如图所示，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝2，BC ＝3，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到一个如图所示“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．B．C．12D．12【答案】D.【解析】解：如图，CB=BD，∵AC=2，CD=2BC=6由勾股定理得：AD==AD+BD=3，+=．∴风车的外围周长是：4×()312故答案为：D．【变式1】（2021·四川资阳市期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明：a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．【答案】（1）见解析；（2）23.【解析】解：（1）大正方形面积为c2，直角三角形面积为12ab，小正方形面积为（b﹣a）2，∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2，即c2＝a2+b2；（2）由图可知：（b﹣a）2＝3，4×12ab＝13﹣3＝10，∴2ab＝10，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．【变式2】（2021·浙江湖州市期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点,,,E F G H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图中所示的格点弦图中，正方形ABCD，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD时，正方形EFGH的面积的所有可能值是________(不包括52)．【答案】36或50.【解析】解：设四个全等的直角三角形的直角边边长分别为a，b．则正方形EFGH的边长为a+b，即S EFGH=（a+b）2．①当a=5，b=1或a=1，b=5时，此时S EFGH=36．②当a =b ， 此时S EFGH =52．③当a =b =S EFGH =50 故答案为：36或50．【变式3】（2020·山东威海市期末）“赵爽弦图”巧妙的利用面积证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是用四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形两直角边分别为a ，()b a b >，且3ab =，大正方形的面积为8，则a b -=____．【解析】解：小正方形的边长为a -b ，ab =3， （a -b ）2=8－2ab =2，∴a -b ；【变式4】（2020·河南南阳市期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B 、D 在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．【答案】见解析.【解析】证明：如图2，连接BD 、CD ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，则DF =CE =b -a ． ∵△ABC ≌△DAE ∴∠ABC =∠DAE ，∵△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°， ∴∠ABC +∠BAC =90°， ∴∠DAB =∠DAE +∠BAC =90°．∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =212c +1()2a b a -． S 四边形ADCB =S △ADC +S △ACB =21122b ab +，∴212c +1()2a b a -=21122b ab +， ∴a 2+b 2=c 2． 勾股定理与面积【例1】（2021·陕西西安市期末）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形A ，B ，C ，D 的边长分别是4，5，3，4，则最大正方形E 的面积是___．【答案】66.【解析】解： A 、B 的面积和为S 1，C 、D 的面积和为S 2， S 1=42+52，S 2=32+42，则S 3=S 1+S 2，S 3=16+25+9+16=66． 故答案为：66．【例2】（2020·浙江杭州市）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为123,,S S S ，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG ）的面积记为4S ，则1234,,,S S S S 的关系为（ ）A ．1234S S S S +=+B ．1324S S S S +=+C ．1234S S S S ++=D ．1234S S S S ++<【答案】C .【解析】解：设图1最大正方形的面积为S 5,较小正方形面积为S 6，最小正方形面积为S 7， 则S 5= S 6+ S 7，图2中空白部分面积为：S 6+ S 7-S 4, 而S 1+S 2+S 3+S 空白=S 5= S 6+ S 7， 即S 1+S 2+S 3+ S 6+ S 7-S 4 = S 6+ S 7 S 1+S 2+S 3= S 4 故答案为：C .【例3】（2020·扬州市期中）如图1，有一个面积为2的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，如图2，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长后，变成图3：“生长”10次后，如果继续“生长”下去，它将变得更加“枝繁叶茂”．随着不断地“生长”，形成的图形中所有正方形的面积和也随之变化．若生长n 次后，变成的图中所有正方形的面积用n S 表示，则n S =______．【答案】2n＋2.【解析】解：经过n次生长后，所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的（n+1）倍，∴生长n次后，变成的图中所有正方形的面积S n=2n+2，故答案为：2n+2．【变式1】（2019·北京昌平区期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出了2个小正方形（如图①），其中，3个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过一次“生长”后，又生出了4个小正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，在“生长”了2019次后形成的图形中所有正方形的面积和是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C.【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1，生长1次后，所有的正方形的面积和是2，同理可得，生长2次后，所有的正方形的面积和是3，生长3次后，所有的正方形的面积和是4，⋯⋯所以，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1=2020．故答案为：C．【变式2】（2020·浙江期末）在ABC中，已知::5:12:13AC BC AB=，AD是ABC 的角平分线，DE AB⊥于点E．若ABC的面积为S，则ACD△的面积为（）A．14S B．518S C．625S D．725S【答案】B.【解析】设AC=5k，BC=12k，AB=13k，∴AC2+BC2=AB2∴△ABC为直角三角形，∠C=90°，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴∠CAD=∠BAD，∠C=∠AED =90°，∵AD=AD，∴△ACD≌△AED，∴S△ACD=S△AED，AE=AC=5k，∴BE=13k-5k=8k，S△BED：S△AED=8:5∴S△ACD=518S．故答案为：B.勾股定理及勾股数应用【例1】（2020·长汀县月考）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？【答案】沿北偏西40°方向航行．【解析】解：PQ =16×1.5=24（海里）， PR =12×1.5=18（海里），∵QR =30，242+182=302，即PQ 2+PR 2=QR 2，∴∠QPR =90°．由“远航”号沿北偏东50°方向航行可知，∠QPS =50°．则∠RPS =∠QPR －∠QPS =90°－50°=40°，即“海天”号沿北偏西40°方向航行．【例2】阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n =1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【答案】12，13或3，4．【解析】解：当n =1，a =12（m 2﹣1），b =m ，c =12（m 2+1）， ∵直角三角形有一边长为5，∴当a =5时，12（m 2﹣1）=5，解得：m， 当b =5时，即m =5，得，a =12，c =13，当c =5时，12（m 2+1）=5，解得：m =±3， ∵m ＞0，∴m =3，得，a =4，b =3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．【例3】（2021·河南洛阳市期末）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，5cm =BC ，12cm AC =，三个内角的平分线交于点P ，则点P 到AB 的距离PH 为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3013cmD ．6013cm 【答案】B . 【解析】解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB =13∵三个内角的平分线交于点P∴P 到三角形ABC 三边的距离相等，均为PH 的长S △ABC =S △APC +S △APB +S △BCP =12（AC +BC +AB ）·PH S △ABC =12·BC ·AC ∴12×5×12=12×（5+12+13）·PH ∴PH =2故答案为：B ．【变式1】（2020·浙江嘉兴市期末）如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定【答案】C .【解析】解：由题意知∠ADB =∠ADC =90°∴由勾股定理得：AB 2=AD 2+BD 2，AC 2=AD 2+CD 2，∴AC 2－AB 2=CD 2-BD 2，即172-132= CD 2-BD 2同理，CM 2－MB 2=CD 2－BD 2=172-132=120故答案为：C .【变式2】阅读：所谓勾股数就是满足方程222x y z +=的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数.我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：2212x m n （）=-，y mn =，2212z m n =+（），其中0m n >>，m ，n 是互质的奇数．应用：当3n =时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．【答案】15，17．【解析】解：当x =8 时，()221382m -=， 解得m =5或m =-5（舍），∴y =mn =15，z =17.当y =8时，3m =8，m =83（舍）当z =8时，()221382m +=，解得m =（舍） 综上所述，当n =3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．特殊三角形中的应用【例1】（2020·山东威海市期末）七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小明将一个直角边长为20cm 的等腰直角三角形纸板，切割七块．正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．210cmB ．225cm 2C 2D ．225cm【答案】B .【解析】解：如图，BC =20，CD =BD =EM ，∴EG =GM ，∴EF =FG =5，∴S =12EF 2=252， 故答案为：B .【例2】（2021·北京房山区期末）如图甲，直角三角形ABC 的三边a ，b ，c ，满足222+=a b c 的关系．利用这个关系，探究下面的问题：如图乙，OAB 是腰长为1的等腰直角三角形，90OAB ∠=︒，延长OA 至1B ，使1AB OA =，以1OB 为底，在OAB 外侧作等腰直角三角形11OA B ，再延长1OA 至2B ，使121A B OA =，以2OB 为底，在11OA B 外侧作等腰直角三角形22OA B ，……，按此规律作等腰直角三角形n n OA B （1n ≥，n 为正整数），则22A B 的长及20212021OA B 的面积分别是（ ）A ．2，20202B ．4，20212C ．20202D ．2，20192【答案】A . 【解析】解：由题意可得：OA =AB =AB 1=1，OB 1=2，∵△OA 1B 1为等腰直角三角形，∴OA 1=A 1B 1，∴OB 2=2OA 1=OA 2=A 2B 2=2，……∴OA n=n， ∵S △OAB =12，S △OA 1B 1=1，S △OA 2B 2=2，…… ∴S △OAnBn =12n -，∴S △OA 2021B 2021=20202，故答案为：A ．【例3】（2021·福建厦门期末）如图，△ABC 与△BED 全等，点A ，C 分别与点B ，D 对应，点C 在BD 上，AC 与BE 交于点F ．若∠ABC ＝90°，∠D ＝60°，则AF ：BD 的值为_____．【答案】3：4．【解析】解：根据题意知，△ABC ≌△BED ，则∠ACB ＝∠D ＝60°，∠ABC ＝∠BED ＝90°，AC ＝BD ，∴AC //ED ．∴∠AFB ＝∠E ＝90°∴∠DBE =∠A =30°设AF =x ，BF =a ，在Rt △ABF 中，AB =2BF =2a ，由勾股定理得：（2a ）2=a 2+x 2，即a=3x ，BF=3x ，AB=3x 同理，在Rt △ABC 中，CF =13x ，AC =AF +CF =43x ， ∴3443AF x AC x == 故答案为：3：4．【变式1】（2021·安徽安庆市期末）如图，在平面直角坐标系中，12OA =，130AOx ∠=︒，以1OA 为直角边作12Rt OA A △，并使1260AOA ∠=︒，再以12A A 为直角边作123Rt A A A △，并使21360A A A ∠=︒，再以23A A 为直角边作234Rt A A A △，并使32460A A A ∠=︒，…，按此规律进行下去，则2020A 的坐标是_______．【答案】(0，1－31010).【解析】解：∵∠A 1Ox =30°，∠A 1OA 2=60°，∴∠A 2Ox =90°，A 2在y 轴上，在Rt △A 1A 2O 中，OA 1=2，∴OA 2=2OA 1=4，A 1A 2∴A 2的纵坐标为：4，∴A 2（0，4），同理，A 3(-1)，A 4（0，-8），A 1在第一象限，A 2在y 轴正半轴上，A 3在第二象限，A 2在y 轴负半轴上，由此发现：点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，每四次一循环，2020÷4=505，∴点A 2020在y 轴的负半轴上，纵坐标是：20201010131⎡⎤--=-+⎢⎥⎣⎦， 故答案为：(0，1－31010).影响时间【例1】如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160m处有一所医院A，当卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P沿道路ON方向行驶一次时，给医院A带来噪声影响的持续时间是分钟．【答案】0.48．【解析】解：过点A作AD⊥ON于D，∵∠MON＝30°，AO＝160m，∴AD＝12OA＝80m，以A为圆心100m为半径画圆，交ON于B、C两点，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12 BC，在Rt△ABD中，BD60m==，∴BC＝120m，∵卡车的速度为250米/分钟，∴卡车经过BC的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．【例2】（2021·四川资阳期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【答案】（1）会受噪声影响，见解析；（2）2分钟.【解析】解：（1）学校C会受噪声影响．理由：过点C作CD⊥AB于D，∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．∴AC×BC＝CD×AB，∴150×200＝250×CD，∴CD＝150200250⨯＝120（m），∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域，∴学校C会受噪声影响．（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，∵ED=（m），∴EF＝50×2=100（m），∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，∴100÷50＝2（分钟），即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．【例3】（2021·重庆万州期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC ⊥AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】超速，每小时超速3.2千米．【解析】解：根据题意，得AC =18，AB =30，∠C =90°，在Rt △ACB 中，由勾股定理可得：BC =24即小汽车2秒行驶24米，即小汽车行驶速度为：43.2千米/时，43.2>40，所以小汽车超速行驶，超速3.2（千米/时）．【变式1】（2021·重庆期末）如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，在A 处有一所中学，120AP =米，此时有一辆消防车在公路MN 上沿PN 方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．（1）学校是否会受到影响？请说明理由．（2）如果受到影响，则影响时间是多长？【答案】（1）学校受到噪音影响，见解析；（2）32秒.【解析】解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：过A 作AB ⊥MN 于B ，∵PA =120，∠QPN =30°∴AB =12PA =60 而60<100，故消防车在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校受到噪音影响；（2）以点A 为圆心，100m 为半径作圆交MN 于C 、D ，在Rt △ABC 中，AC =100，AB =60，由勾股定理得：BC =80同理，BD =80∴CD =160，拖拉机在线段CD 上行驶所需要的时间为：160÷5=32（秒），∴学校受影响的时间为32秒．【变式2】（2020·吉林长春市期末）《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪正前方30米的处，过了2秒后，小汽车行驶至处，若小汽车与观测点间的距离为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】超速.【解析】解：根据题意，得AC =30m ，AB =50m ，∠C =90°，在Rt △ACB 中，BC =40m∴小汽车的速度为40÷2=20 m /s =72 km /h >70 km /h ；A C BAB∴这辆小汽车超速．最值问题【例1】（2021·江苏泰州市期末）已知△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．【答案】4.【解析】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB =AC =5，∴BP =12BC =3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP =4由垂线段最短知，AP 的最小值为4故答案为：4．【例2】（2021·重庆渝北区期末）如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．【答案】12013. 【解析】解：作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10，AD 是BC 边上的高，∴BD ＝DC ＝5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，在Rt △ABD 中，AD ＝12，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ＝12×AB ×CN ， ∴CN ＝BC ×AD ÷AB ＝12013， ∵E 关于AD 的对称点M ，∴EF ＝FM ，∴CF ＋EF ＝CF ＋FM ＝CM ，根据垂线段最短得出：CM ≥CN ，即CF ＋EF ≥12013， 即CF ＋EF 的最小值是12013， 故答案为：12013． 【例3】（2021·江苏连云港市期末）如图，90MON ∠=︒，已知ABC ∆中，10AC BC ==，12AB =，ABC ∆的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当点B 在边ON 上运动时，点A 随之在边OM 上运动，ABC ∆的形状保持不变，在运动过程中，点C 到点O 的最大距离为（ ）A ．12.5B ．13C ．14D ．15【答案】C .【解析】解：取AB的中点D，连接CD∵AC=BC=10，AB=12，∵点D是AB边中点，∴BD=12AB=6，CD⊥AB，∴CD=8，连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值=OD+CD，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=12AB=6∴OD+CD=6+8=14，即OC的最大值=14，故答案为：C．新定义问题【例1】（2020·渠县月考）阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC中，两边长分别是a=10c=，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【答案】（1）是；（2）①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC 是奇异三角形．【解析】解：（1）设等边三角形的边长为a，∵a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c为斜边时，Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，Rt△ABC是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c为斜边时，b=∴a=b，∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2)，∴Rt△ABC不是奇异三角形；②当b为斜边时，b ，∵a2+b2=200，∴2c2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【例2】（2021·北京昌平区）定义：点P是ABC内部的一点，若经过点P和ABC中的一个顶点的直线把ABC平分成两个面积相等的图形，则称点P是ABC关于这个顶点的均分点．例如图中，点P是ABC关于顶点A的均分点．（1）下列图形中，点D一定是ABC关于顶点B的均分点的是________；（填序号）（2）如图，在ABC 中，9,010BAC BC ︒∠==，点P 是ABC 关于顶点A 的均分点，直线AP 与BC 交于点D ，当BP AD ⊥时，4BP =，求CP 的长．【答案】（1）④；（2）【解析】解：（1）①D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点． ②D 点在直线AE 上，故D 点不是△ABC 关于顶点B 的均分点．③不能推出AE =EC ，即不能说明△ABE 和△BCE 面积相等，故不能证明D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点．④由AE =EC ，可知△ABE 和△BCE 面积相等，所以D 点是△ABC 关于顶点B 的均分点． 故答案为：④．（2）过点C 点作CE ⊥AP 于E ，∵点P是△ABC关于顶点A的均分点，BC=10，∴BD=CD=5，在Rt△BPD中，由勾股定理得：PD=3，易证：△BPD≌△CDE，∴PD=DE=3，PB=CE=4，∴PE=2PD=6在Rt△PEC中，由勾股定理得：PC【例3】（2020·浙江嘉兴市期末）我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点．（1）特例感知①等腰直角三角形_________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；②如图1，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．若AD=，试求线段CD的长度．BD=1（2）深入探究>，CD是AB边上试如图2，已知ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且CA CB探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明；【答案】（1）①是；②2；（2）见解析．【解析】解：（1）是；②由题意知，CD⊥AB，BD AD=1，由勾股定理可得：BC2=DC2+BD2=DC2+5，AC2=CD2+1,∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点，CD是AB边上的高，∴CD2=BC2－AC2，∴CD2=4，解得：CD=2（-2舍去）；（2）AD=CB，∵△ABC为勾股高三角形，C为勾股顶点且CA＞CB，CD是AB边上的高，∴CD2=AC2-BC2，∵CD⊥AB∴AC2-CD2=AD2∴BC2=AD2∴BC=AD【变式1】我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P 是△APD的准外心；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC 的直角边上，试求AP的长．【答案】（1）见解析；（2）AP的长为32或2或78.【解析】解：（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠P AB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠P AB＝∠DPC，∴△ABP≌△PCD，∴AP＝PD，∴点P是△APD的准外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC=4，当P点在AB上，P A＝PB，则AP12=AB32=；当P点在AC上，P A＝PC，则AP12=AC＝2，当P 点在AC 上，PB ＝PC ，如图，设AP ＝t ，则PC ＝PB ＝4﹣x ，在Rt △ABP 中，32+t 2＝(4﹣t )2，解得t 78=， 即此时AP 78=， 综上所述，AP 的长为32或2或78． 【变式2】（2021·浙江宁波市）定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足290αβ+=︒，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若ABC 是“近直角三角形”，90B ∠>︒，50C ∠=︒，则A ∠=_____度；（2）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =．若CD 是ACB ∠的平分线，①求证：BDC 是“近直角三角形”；②求BD 的长．（3）在（2）的基础上，边AC 上是否存在点E ，使得BCE 也是“近直角三角形”？若存在，直接写出．．．．CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）20，（2）①见解析；②53；（3）52或74． 【解析】解：（1）∠B 不可能是α或β，当∠A =α时，∠C =β=50°，此时，α+2β=90°，不成立当∠A =β，∠C =α=50°时，β=20°（2）①∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACB=2∠BCD又∠BAC=90°∴∠ACB+∠B=90°即2∠BCD+∠B=90°∴△BCD是“近直角三角形”．②过点D作DH⊥BC于H在Rt△BAC中，由勾股定理得：AC=5 可得：△ACD≌△HCD∴DH=AD，AC=CH=4，∴BH=1设BD=x，则DH=3-x，在Rt△BDH中，x2=（3-x）2+1，解得：x=53，即BD=5 3 .（3）①过点E作EF⊥BC于F，设CE=x，则AE=4-x，EF=4-x由AB=BF=3得：CF=2，在Rt△CEF中，x2=22+（4-x）2，解得：x=5 2②当∠ABE =∠C 时，延长EA 至G ，使得AE =AG ，根据条件可得：△ABG ≌△ABE ，∴∠GBA =∠C =∠EBA由∠GBA +∠G =90°，知∠C +∠G =90°，故∠GBC =90°设CE =x ，则AE =AG =4-x ，∴（4-x ）2+32=（8-x ）2-52，解得：x =74综上所述，满足题的CE 值为52或74． 【变式3】（2021·浙江宁波期末）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（12，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，CD 为ABC 的中线，若BCD △是平方倍三角形，求ABC 的面积．【答案】（1）是；（2）1：1；（3252. 【解析】解：（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：∵22223+=⨯，满足是平方倍三角形的定义，2的三角形是平方倍三角形；（2）在Rt ∆ABC 中，则a 2+b 2=c 2，∵Rt ∆ABC 是平方倍三角形，∴c 2+b 2=3a 2，∴a 2+b 2=3a 2－b 2∴a =b ，c a故该直角三角形的三边之比为1：1；（3）∵Rt △ABC 中，CD 为△ABC 的中线，∴CD =12AB =AD =BD ， 设CD =12AB =AD =BD =x ，则AB =2x ， ∵AB ＞BC ，∴2x ＞5，即：x ＞52， ∵△BCD 是平方倍三角形，①当BD 2+CD 2=3BC 2，即x 2+x 2=3×52，解得：x （舍负），∴AB =2x =AC =∴△ABC 的面积=152⨯= ②当BC 2+BD 2=3DC 2，则52+x 2=3x 2，解得：x =2（舍负），∴AB =2x =AC =5，∴△ABC的面积=2555122⨯⨯=，综上所述，△ABC 25 2．【题型二】勾股定理逆定理及其应用判断三角形形状【例1】（2021·江苏苏州市期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝3：4：5【答案】C.【例2】（2021·山西长治市期末）如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为（）A．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A.【解析】解：如图，连接AC，由题意可得：22221310,125=AB AC BC=+==+=∴AC=BC，AB2=AC2+BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠BAC=45°，故答案为：A．【变式1】（2021·浙江绍兴市期末）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN=4，MA=1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC．设AB=x，若ABC为直角三角形，则x=__．【答案】43或53.【解析】解：∵在△ABC中，AC=1，AB=x，BC=3-x ∴1+x＞3-x，1+3-x>x解得：1<x<2.①∵1＜x，∴AC不能为斜边，②若AB为斜边，则x2=（3-x）2+1，解得x=53，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3-x）2=1+x2，解得x=43，满足1＜x＜2，故答案为：43或53．【变式2】（2021·江西吉安市期末）如图，在四边形ABCD中，CD＝AD＝，∠D＝90°，AB＝5．BC＝3．（1）求∠C的度数；（2）求四边形ABCD的面积．【答案】（1）135°；（2）10．【解析】解：连接AC，如图，∵∠D＝90°，∴AD2+CD2=AC2∵CD＝AD＝∴AC=4∵AB＝5．BC＝3∴AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵CD＝AD∴∠ACD=45°∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=135°. （2）S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1122AC BC AD CD ⨯+⨯=114322⨯⨯+⨯=10.【变式3】（2021·广东佛山市期末）在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．【答案】（1）150；（2）66.【解析】解：（1）∵AC＝15，AD＝9，CD＝12 ∴CD2+AD2=AC2，∴∠ADC=90°，∠BDC=90°在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=16∴AB=AD+BD=25∴S△ABC=112512150 22AB CD⋅=⨯⨯=.（2）过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC=∠BDC=90°设AD=x，则BD=x+11由勾股定理得：CD2=132-x2=202-（x+11）2，解得：x=5∴CD2=144，即CD=12，∴S△ABC=11111222AB CD⋅=⨯⨯=66.三角形存在性问题【例1】（2021·福建泉州市期末）Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5．图1 图2（1）如图1，点E在边BC上，且∠AEC=2∠B．①在图1中用尺规作图作出点E，并连结AE（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；②求CE的长．（2）如图2，点D为斜边上的动点，连接CD，当△ACD是以AC为底的等腰三角形时，求AD的长．【答案】（1）①见解析；②78；（2）2.5.【解析】解：（1）①作∠BAE=∠B②由勾股定理，得BC=4∵∠AEC=∠B+∠BAE，又∵∠AEC=2∠B，∴∠BAE=∠B ，∴BE=AE，．设CE=x，则BE=AE=4-x，在Rt△AEC中，x2+32=（4-x）2，∴x=7 8 .（2）AC为底时，AD=CD，∴∠A=∠DCA∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90°，∴∠B=∠BCD，∴BD=CD，即AD =BD =2.5．【例2】（2021·广东佛山市期末）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，20AB cm =，16AC cm =，点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度向点C 运动，连接PB ，设运动时间为t 秒（0t >）（1）求BC 的长．（2）当PA PB =时，求t 的值．【答案】（1）12；（2）252. 【解析】解：（1）由勾股定理可得：BC 2+AC 2=AB 2，BC ；（2）由题意知P A =PB =t ，PC =16-t ，在Rt △PCB 中，（16-t ）2=t 2-122，解得：t =252， ∴当点P 运动到P A =PB 时，t 的值为252． 【变式1】（2020·南阳市月考）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，20AB =，15BC =，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 往A 运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒，点D 运动的速度为每秒2个单位长度．（1）当2t =时，CD =______，AD =______；（请直接写出答案）（2）当t 为何值时，CBD 是直角三角形；（写出解答过程）（3）求当t 为何值时，CBD 是等腰三角形？并说明理由．【答案】（1）4，21；（2）92或252；（3）254或152或9．【解析】解：（1）t=2时，CD=2×2=4，∵∠ABC=90°，AB=20，BC=15，∴AC=，AD=AC-CD=25-4=21；故答案为：4，21；（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=12AC•BD=12AB•BC，∴BD=12，CD=，∴2t=9，解得：t=92（秒）；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，∴2t=25，解得：t=252（秒）；综上所述，当t=92或252秒时，△CBD是直角三角形；（3）①CD=BD时，过点D作DE⊥BC于E，则CE=BE，DE∥AB，∴CD=AD=12AC=252，∴2t=25 2，解得：t=254（秒）；②CD=BC时，CD=15，∴2t=15，解得：t=152（秒）；③BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，同理可得：CF=9，则CD=2CF=18，∴2t=18，t=9（秒）；综上所述，当t=254或152或9秒时，△CBD是等腰三角形．41。
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 ２。
勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=,化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中,90C ∠=︒,则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=； 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a b c 222+=，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法．学习《勾股定理》这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考． 一、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想． 例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形的边长为 cm ．析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm ，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm ，且标杆顶着地处比前次远10cm ，求标杆的高．析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB 的长为xcm ，上段BC 的长为ycm ，第二次折后下段AD 的长为（x-5）cm ，上段DE 的长为（y+5）cm ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-22222230)5()5(20x y x y只要求出x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求x 与y 的值．②-①得10（x+y ）=500∴x+y=50故标杆的高为50cm评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积．数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视．二、方程思想例3．在印度数学家拜·斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；图1出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，请你用学过的数学知识回答这个问题．析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？解答过程应该是这个样子的：设水深为x 尺，根据勾股定理，可得2222(0.5)x x +=+，所以x=3.75，故这个湖的水深是3.75尺． 三、转化思想例4．如图3所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．∵BC 为木柱的高，∴2m BC =.又∵木柱的底面周长为0.3m ，∴AC 的长为0.37 2.1m ⨯=．在Rt ACB △中，由勾股定理，得222AB AC BC =+，因此彩带的长为 2.9m AB =．（2）在木柱上均匀地缠绕7圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．∵EF 为木柱的17，∴2m 7EF =. 又∵DE 为木柱展开后的底面周长，∴0.3m DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得222DE DF EF =+， ∴29m 70DE =，因此，彩带的长为7 2.9m DE ⨯=． 评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路．四、分类讨论思想例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）．A .)323(+厘米B .97厘米C .85 厘米D .9厘米分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键．分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图7，由图7，可得222310AB +==109． 分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图8，根据图8可得22267AB +==85．分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图9，这个时候我可得22294AB +==97． 评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图8的爬行路径路程最短，所以85=AB 厘米．故选C ．五、整体思想例6：（课本题）已知a 、b 、c 分别是Rt △ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S △ABC =分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b ，则S △ABC 即可求出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S △ABC =ab 21，那么只要求出ab 这一整体就可以了．解、由a+b=14，两边平方得：a 2+2ab+b 2=196， 所以ab=()219622b a +- 根据勾股定理，a 2+b 2=c 2 所以，ab=21962c -=2101962-=48 因此S △ABC =ab 21=48例7：如图10，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的面积．分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ；要求出CF ，先要求出AC ．好，现在我们就顺着这个思路来求．在Rt ABC △中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =，在Rt FAC △中，22222135194F C A F A C =+=+=，FC为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为2FC ，何必去求FC ，只要求出2FC 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成） 评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识．。
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勾股定理中四种重要的数学思想
1 方程思想
1 求距离长度问题
例１有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺. 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面. 水的深度与这根芦苇
的长度分别是多少？分析在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度. 因此可以通过设立未知量，建立方程求解.
解:
设水的深度为AB 为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺. 依题意可以得到如图1所示的图形
∵在Rt △ABC 中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程
（x+1）2=x2+52
解得x=12 ∴x+1=13
则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图1
2 折纸问题
例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F. 已知AB=8cm，BC=10cm，求EC 的长.
A D 分析Rt △AEF, 是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通
过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形. 要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所
E 在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之
间的关系. 在已知量与为质量之间建立方程关系.
解由题意，得AF=AD,DE=EF.
C 在Rt △ABF 中，AB=8cm，AF=AD=10cm，
B
∴
=6(cm).
图2
F
∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).
设CE=xcm，则DE=(8－x)cm ，
∴EF=DE=(8－x)cm ，在Rt △CEF 中，根据勾股定理可得方程42+x2=（8－x ）2
解得x=3，故EC 的长为3cm 2 数形结合思想
1 方位问题方位问题是勾股定理实际运用的重要体现. 也是数形结合的典型列子.
例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性. 如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变. 若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.
分析根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置, 求出距离就可以判断是否收到影响, 影响的风力. 根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围, 构造直角三角形, 根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.
(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；
(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级. 解（1）作AD ⊥BC 于D,AD 为城市A 距台风中心的最短距离，在Rt △ABD 中，∠B=30°，AB=220km.
- 1 -
∴AD=
1
AB=110km. 2
由题意知，当点A 距离台风（12－4）×20=160（km ）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.
（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过160km 时，将会受到台风的影响，则以A 点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC 于E 、F 两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E 移到F 处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得
==
EF=2DE=
=h ）. （3）当台风中心位于D 时A 市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－
110
=5（级）.。