苏州大学历年高等代数真题

高等代数 1 1 2000年真题 1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：

4(1)()(1)()(2)()0xfxxgxxhx

（1）

4(1)()(1)()(2)()0xfxxgxxhx

（2）

证明：41x能整除()gx。

2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。 3（15分）求矩阵321222361A的最大的特征值0，并且求A的属于0的特征子空间的一组基。 ４(14分)设-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611nAAE3． 高等代数 2

2 ５(14分)设A,B都是实数域R上的nn矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等．

证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：EAEB

６．(14分)设A是nn实对称矩阵,证明：257nAAE是一个正定矩阵． 证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．

７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设1,nVA使0,但是nA=0,其中n>1．证明：21{,,,,}nAAA是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数． 高等代数 3

3 2000年真题答案

1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2gxhxhxgx （3）

将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2xfxxgx 441()xxxgx+1与互素，

．

注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。

2、证明：,()0.ABACABC (),AnrRArA是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX只有零解．

0,BCBC即

3、解：224EA，02

当02时，求出线性无关的特征向量为12101012，，＇，，，＇， 则120,,L构成的特征子空间12，是0的特征子空间的一组基．

4、解：-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,

则矩阵611nAAE3对应的特征值为：12315,20,16 故6111520164800nAAE3

5、利用构造法，设0，令1EBHAE，

11010EBEEB

AEAEEAB





，两边取行列式得

11()nHEABEAB．（１）

11100EEBEBABAEAEE











，两边取行列式得

11()nHEBAEBA．（２） 高等代数 4 4 由（１），（２）两式得1()nEAB＝1()nEBA EABEBA．（３）

上述等式是假设了0，但是（３）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（0），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是mn矩阵，Ｂ是nm矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：nmmnEABEBA，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式．

6、设为Ａ的任意特征值，则257nAAE的特征值为225357()024．

故257nAAE是一个正定矩阵．

7、证明：1nnAA0,=0.令10110nnllAlA．（１）

用1nA左乘（１）式两边，得到10()0nlA． 由于1nA0，00l，带入（１）得1110nnlAlA．（２） 再用2nA左乘（２）式两端，可得10l． 这样继续下去，可得到0110nlll． 21,,,,nAAA

线性无关．

21,,,,)nAAAA(

＝21,,,,)nAAA(0000100001000010．

Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010，

可见,()1RAn,dimker(1)1Ann 即A的核的维数为1． 高等代数 5

5 2001年真题 高等代数 6

6 高等代数 7

7 2002年真题

1．（15分）设A1111101111001110001100001，123101221001320001200001nnnnnnB都是nn矩阵。解矩阵方程AXB。

2．（20分）设143253442A，A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C，使得1CAC是一个对角矩阵。 3．（10分）设,,,kmrs都是非负整数。设23()1,fxxxx4414243()kmrsgxxxxx。证明：()fx整除()gx。

4．（10分）设A，B都是nn矩阵，G是nm矩阵，并且G的秩是n。证明：如果AGBG，则AB。 高等代数 8

8 5．（10分）设A是nn矩阵，并且A是可逆的。证明：如果A与1A的所有的元素都是整数，则A的行列式是-1或1。

6．（10分）设A是nn反对称矩阵，证明：2A是半正定的。 7．（15分）设A是nn矩阵。如果2nAE，并且()nAE的秩是r，A是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。 8．（10分）设V是有理数域上的线性空间，V的维数是n，与是V的线性变换。其中可对角化，并且ABBAA。证明：存在正整数m，使得m是零变换。 高等代数 9

9 2003年真题 高等代数 10

10 高等代数 11

11 高等代数 12

12 2004年真题 高等代数 13

13 2004年真题答案

111115'10112101021350101021252353120110111102122210210110112101521010213501031010102XXX

一(）求满足下列条件的解；1101021102411511222

















151212i12二（‘）设P是一个数域，p（x)是P[x]中次数大于0的多项式，证明：如果对于任何多项式f(x),g(x),由p(x)|f(x)g(x)可以推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式。证明：假设p(x)是可约多项式，则存在p(x),p(x)使得p(x)=p(x)p(x),且（p(x))<(p(x)),i=1,2取f(x)=p(x),g(x)=p(x),因此f(x)g(x)=p(x)则p(x)|f(x)g(x)但p(x)不整除f(x)且不整除g(x)与题设矛盾！所以p(x)是不可约多项式

21112112510{|}200()()000{|}PnVVVV



三（’）设是数域上的维向量空间的一个线性变换，，证明：（）（）（）（）（）(V)(3)如果是V的线性变换，（），(V)都是的不变子空间，则有=证明：（1）V,则(（）)=()-()-则（）（）（）（）又取1211111120()0,{|}0{|}0{|}2,0000VVVVV（）,（）（）（）（）所以（）（）（）则（）（）=（）+（）（）(V)即V=（）(V)任取（）(V)，则()=0，使得()从而()=()=（()）=(1111100000V)=0所以（）(V)={0}因此（）(V)（3）因为（），(V)是的不变子空间（），(V)，V ，且=+（）（），（）(V)，（（））=0，（（））=（）（）（（））=（（+））=（（）+（））=（（））=（）()=0，()=（）（（））=（（+））=（（）+()）=（）从而（）=（）