流体力学 华中农业大学 (8)

d不变，v1 v2 ,
p2

z
p1

hw 2
2 117600 0.1 9800
2
p 2 9800 2 (
117600 0.1) 9800
136200N m 2
3）求弯头内水体重
G V

4）计算1-1，2-2上动水总压力
4
d L 9800 3.14
1）求管中的流速,

g
Q ( 02 v2 0)
Q 0.06 0.06 4 v 1.91m s 2 A d 0.2 4
2）求2-2断面中心处动水压强
p2
1
d
以2-2为基准面，写1-1，2-2的能量方程： 1 2 2 p1 1v1 p2 2 v2 z 0 hw 2g 2g
4. 列动量方程解题 将各力及流速在坐标轴上的投影代入动
量方程求解。 注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
Q Fy (v2 y v1 y ) 2
例题，如图有一沿铅垂直正墙壁敷设的弯管，弯头转角为
的轴线长度为3.14m，z =2m， p1 11.76 N cm2 , 水头损失hw 0.1m, d 0.2m
§3-10 总水头线和测压管水头线 p71
z1

p1

v
2 1 1
2g
z2
p2


v
2 2 2
2g
hl12
从能量方程可看出，单位重量液体所具有的各种能量 都具有长度的量纲 为了形象地反映总流中各种能量的变化规律，可以把 能量方程用图形描绘出来
以水头h为纵坐标，以一定的比例尺沿流程把各 过流断面的总水头和测压管水头绘于图上。
一、方程的推导
p80
根据动量定律，在单位时间内，物体沿某一方向 动量的增量，等于该物体在同一方向所受到的外力 的合力。
z
动量的增量为：
d (mv ) ( A2 v2 dt )v2 ( A1v1dt )v1 Qdtv2 Qdtv1
1
1
A1
1
v1
1
2

4
0.2 2 980N
P p1 A1 p1 1
d
4
2
11.79
P2 p2 A2 13.62
20
4
3.14202 4
3700N
2
4280 N
5）将各参数代入动量方程
x : P FX Q(0 01v1 ) 1

g
Q(0 v1 )
1 2 1
pl12 hl12
p1, p2
表示1-1，1-2断面上的绝对压强；
对于液体，其容重远大于空气的容重，所以一般忽略 大气压强因高度不同的差异，则：
p1 pa p1 ,
p2 pa pl12 代入（a）式，
消去 p a 则：
p1 Z1
1
R
Ry

Ry Qv2 sin P2 sin 1425 122 1303N
R
2 2 Rx R y
Rx
1000 0.126 16 0.707 21.95 103 0.12 0.707 4
2
A2
2 v2 dt 2
2
v1dt
v2
o
Y
1—2段液体所受到的外力的合力用 F 表示，
x
由动量定律,得： F Qv2 Qv1
这个方程是以平均流速写出的，实际流速的不均匀分布使 其存在误差，须动量修正系数 0 进行修正，它是实际动量与 按照平均流速计算动量的比值。
二、运用动量方程的注意事项：p83
1.动量方程是向量式，式中的流速和作用力都是有方向的， 写动量方程时首先要选定投影轴，并定方向，凡是与投影 轴方向一致的v、f为正值，反之为负值；
2.动量方程中的流速 v2 , v1不可颠倒，即计算动量改变 值时，一定是流出的动量减去流入的动量； 3.所选的两个过水断面应符合渐变流条件，即应在两渐变流 断面处取脱离体，中间可为急变流，同时令 0 1
0
0
u 2 dA QA
A
A 2 A
u 2 dA
(3-13-1)
——动量修正系数( 0>1.0，计算值一般取1.0)，指实际 动量与按断面平均流速计算的动量的比值；
动量方程可为：
F 02 Qv2 01 Qv1
(3-13-3)
实际计算多用投影式，即：
2
Z1
1
Z2
Z
Z p
p

——为测压管水头,


v 2
2g
——总水头;
上下游两断面总水头
H1 H 2 hl12 , H 2 H1 hl12
不难看出：总水头线必定是一条逐渐下降的线(直线 或曲线)，即总水头总是沿程减小的；而测压管水头 线则可能是下降的也可能是上升的线(直线或曲线)， 甚至可能是一条水平线。
p74
总流能量方程：
Z1

p1

1V12
2g
Z2
p2


2V22
2g
hl1 2
虽然是在不可压缩的液体模型基础上提出来的， 但适用于流速不太高、压强变化不大的气体情况
将方程各项乘以容重，则有：
Z1 p1
v12
2
Z 2 p2
2 v2
2
pl12
x
Rx
Rx Q (v2 cos v1 ) P1 P2 cos 1000 0.126(16 0.707 4) (98 10 3 4 0.2 2 ) ( 21.95 10 3 4 0.12 ) 0.707 921.3 3078 122 2279 N 负号说明与假设方向相反
为内力
2、由动量方程求得的力若为负值时说明什么问题？ 待求未知力的大小与脱离体的大小有无关系？ 应用中如何选取脱离体？
方向反；无关(无重力时)；计算断面与固体壁面
动量方程的解题步骤
1. 选脱离体 (选控制体) 根据问题的要求，将所研究的两个
渐变流断面之间的水体取为脱离体；
2. 选坐标系 选定坐标轴的方向，确定各力及流速的投影的 大小和方向； 3. 作计算简图 分析脱离体受力情况，并在脱离体上标出全 部作用力的方向；
v v pa p1 z1 pa a ( z2 z1 ) p2 z2 pl12 2 2
2 1 2 2
消去 p a 得:
v v p1 ( a )( z2 z1 ) p2 pl12 2 2
2 1 2 2
（3-11-1）
转角 45 , 不计弯段的水头损失，试求水流作用在弯管上的力。 2 v2 2 y 1
v1 a x
1 解：分析受力，建立坐标x,y 2
0 P2
v2 2
1 P1 1
Ry
v1
a
Rx
对1-2段弯管写动量方程：
x : p1 p2 cos Rx Q(v2 cos v1 )
y : p2 sin R y Q (v2 sin 0)
将各断面测压管水头联成的线---为测压管水头线 将各断面的总水头联成的线---为总水头线
总水头线
2 1v1
hl12
2g
2 2 v2
测压管水头线
2 1 2 1
2g
p2
H1
P 1

H p1

H P2
H2
Z2
Z1
2 1v1
hl12
2 2 v2
2g
2g
H1
H p1
p1
2 1
p2


H P2 H 2
水流轴线
基准线
请 思 考
1、设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的 影响 时，其测压管水头线沿程下降、上升或 水平的条件各是怎样的？
下降：压强沿程减小。 水平：压强沿程不变。 上升：压强沿程增大。 例：收缩管 例：管径沿程不变 例：扩散管
Z
p

——为测压管水头,
§ 3-11
恒定气流能量方程
2
pa a ( z2 z1 )
对于1-1断面，绝对压强和相 对压强的关系为：
2
p1 pa p1
对于2-2断面，绝对压强和相 对压强的关系为：
a
1

Z1
v2
2
v1
Z2
1
p2 pa a ( z2 z1 ) p2
将 p1 , p2 代入式能量方程中：
要解出未知数，必须先求：
1
Ry
v1 a
2
P2 v2 2
1)
v2 , p 2 , Qຫໍສະໝຸດ P11Rx
由连续性方程 v2 4v1 4 4 16m / s, Av1 A2v2 , 1
Q v1 A1 4 4 0.2 2 0.126m 3 / s

v2
v1A 1 A2
写1-1，2-2断面能量方程，求
F F F 3815 3415 5120 N
2 x 2 y 2 2
Fy

F
Fx
tg
Fy Fx

3415 3815
0.895 41 48

水流对管壁的作用力与F的大小相等，方向相反。
例题2，如图所示为一平面上的渐变弯管，已知断面1-1处表压强， p1 98 103 N / m3 , 流速v1 4m / s, 管径d1 200m, 管径d 2 100mm,