赵树嫄微积分第四版第七章 无穷级数概论
《微积分(第四版)》第一章 函数
分配律： A ( B C ) ( A B ) ( A C ) A ( B C ) ( A B ) ( A C )
对偶律： ABA B
A BAB
.
17
例1 证明对偶律 ABA B.
证明 设xAB，则xAB，
即 x A 且 x B ， 于 是 x A 且 x B ，
因 此xA B，所 以 A B A B；
xA B
所 以 A BA B。
.
19
例2 证明 ABA B.
U
证明 对 任 意 的 x A B
A
x A 且 x B B
x A 且 x B
xA B
所 以 A BA B 。
.
20
例3 证明吸收律 A (AB )A.
证明 A(A B) (A U ) (A B ) A(UB) A U
A.
反 之 ， 若 x A B， 即 xA且 xB， 也 即 x A 且 x B ， 于 是 x A B，
从 而xAB，所 以 A B A B。
综 上 所 述 ， A B A B 。
.
18
例1 证明对偶律 ABA B.
或证 对 任 意 的 xAB
xAB x A 且 x B
x A 且 x B
1、并集 A B {x |x A 或 x B }
U
A
B
例如，A{1,2,3}, B{3,4,5}, 则 A B {1 ,2 ,3 ,4 ,5 }
基本性质： A A B ,B A B
A A ,A U U ,A A A
.
13
2、交集 A B {x |x A 且 x B }
.
4
第一章 函 数
.
5
第一节 集合
第7章 第4讲 幂级数及其收敛性
22
02
幂级数及其收敛性
∞
例7 求幂级数 的收敛区间.
=1
1
+1
= lim ( + 1)(1 + ) = +∞ ,
解 因为 = lim
→∞
→∞
所以幂级数的收敛半径为 = 0,
则级数仅在 = 0处收敛,
它的收敛域为{| = 0}.
23
02
幂级数及其收敛性
(2) ′ 若缺项,应用比值判别法或根值判别法
+1 ()
（即求 lim
→∞ ()
或 lim
→∞
| ()|）;
(3) 考察幂级数在两端点的收敛性, 写出收敛域.
27
02
幂级数及其收敛性
∞
( − 1)
例9 求幂级数
的收敛域.
2
=1
∞
解 令 = − 1, 原级数变为 .
又因为| − 2 − (−1)| = 1 < 2,
∞
(
+
1)
在 = −2处绝对收敛.
所以幂级数
故本题应选.
16
02
幂级数及其收敛性
∞
例4 已知幂级数 ( + 1) 在 = 0处收敛,
=1
∞
(
−
3)
在 = −2处发散,则幂级数
2
=1
的收敛域为 (1,5]
|1+|
= 1时, = 0或 = −2.
∞
(−1)
, 该级数收敛;
第八章 二重积分的计算
微积分
例12 计算
y sin( x 1) 2 x 1 dxdy, D : y x, y x 2 D
解 D {( x, y ) | 1 y 2, y 2 x y 2}
根据积分区域的特点 应先对 x 后对 y 积分
y sin( x 1) I dy dx x 1 1 y2 sin( x 1) 但由于 x 1 -1 对 x 的积分求不出，无法计算，
积分时必须考虑次序
D {( x, y ) | 0 y 1,0 x y}
x e
D
1 0
2 y2
dxdy
dy x e
1 y 0 0
2
2 y2
dx
e y
2
1 y3 y2 2 dy e y dy 0 3 6
1 2 (1 ). 6 e
a 2a
2a
2a
微积分
例 7 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
y x 和 x y 所围平面闭区域.
2 2
D
x y2
解 两曲线的交点
y x (0,0) , (1,1), 2 x y
2
y x2
D {( x , y ) | 0 x 1, x y x 2 }
化二重积分为累次积分时选择积分次序的 重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程 度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至 有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序 却积不出来 另外交换累次积分的次序：先由累次积分 找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交 换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。
微积分
微积分
微积分吴传生第四版无穷级数答案
微积分吴传生第四版无穷级数答案无穷级数练习和习题解答练习10.21.根据级数收敛的性质判断下列级数的敛散性：(1)SKIPIF 1<0；解：因为通项SKIPIF 1<0，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。
(2)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0不存在，不满足通项极限为零的级数收敛的必要条件，故原级数发散。
(3)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。
(4)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，故原级数发散。
(5)SKIPIF 1<0；解：因为SKIPIF 1<0，而级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0均为公比小于1的几何级数，都收敛，因此原级数收敛。
(6)SKIPIF 1<0；解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，在其前面加上100项后的新级数仍然收敛。
(7)SKIPIF 1<0解：因为级数SKIPIF 1<0为发散调和级数，而级数SKIPIF 1<0为收敛的几何级数，收敛级数和发散级数之和发散。
2.若级数SKIPIF 1<0收敛，指出下列哪些级数是一定收敛的，哪些级数是发散的。
(1)SKIPIF 1<0；解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以级数SKIPIF 1<0和SKIPIF 1<0也收敛，因此原级数也收敛。
(2)SKIPIF 1<0(SKIPIF 1<0为某一确定的自然数)解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，而级数SKIPIF 1<0相当于级数SKIPIF 1<0去除前SKIPIF 1<0项后的新级数也收敛。
(3)SKIPIF 1<0解：因为级数SKIPIF 1<0收敛，所以SKIPIF 1<0，故SKIPIF 1<0，即级数SKIPIF 1<0发散。
考研第七章 无穷级数
第八章 无穷级数（数学一和数学三）引 言所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同。
历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。
例如+-++-+-+1)1(1111n历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”， 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=-------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1)1(1111 则[]S =+-+-- 11111 S S =-1， 12=S ， 21=S这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识， （1）什么是无穷多项相加？如何考虑？ （2）无穷多项相加，是否一定有“和”？（3）无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。
因此对无穷级数的基本概念和性质需要作详细的讨论。
8.1 常数项级数甲 内容要点一．基本概念与性质 1．基本概念无穷多个数 ,,,,,321n u u u u ，依次相加所得到的表达式+++++=∑∞=n n nu u u u u3211称为数项级数（简称级数）() ,3,2,13211=++++==∑=n u u u u uS n nk kn称为级数的前n 项的部分和。
{}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。
若()S S n n =∞→存在lim ，则称级数∑∞=1n n u 是收敛的，且其和为S ，记以S u n n =∑∞=1若n n S ∞→lim 不存在，则称级数∑∞=1n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。
（注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中，不作这种要求。
）2．基本性质（1）如果∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 皆收敛，b a ,为常数，则()∑∞=+1n n nbv au收敛，且等于∑∑∞=∞=+11n n n n v b u a（2）在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
赵树嫄-《微积分(第四版)》第一章 函数
D {2x | x N 且 x 50} , 即 D {0，2，4，，98, 100}
8
集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称 为文氏图，即用一个平面区域表示一个集合。
AB
U
A
B
9
(三) 全集与空集
基本性质： A A U , A A
(六) 集合运算律
交换律： A B B A AB B A
结合律： ( A B) C A (B C) (A B) C A(B C)
分配律： A (B C) ( A B) ( A C) A(B C) (A B) (AC)
x AB
所以 A B A B 。
19
例2 证明 A B B .
证明 对任意的 x A B
x A且xB x A且xB x AB
所以 A B A B 。
U
A B
20
例3 证明吸收律 A ( A B) A .
证明 A ( A B) (AU)(A B)
1
在一切理论成就中，未必有什么 像17世纪下半叶微积分的发明那 样被看作人类精神的卓越胜利了 （恩格斯）
2
教材：
《微积分》
主编 赵树嫄 （第四版）
中国人民大学出版社
3
微积分(Calculus)是一门以变
量为研究对象、以极限方法作为研 究工具的数学学科，应用极限方法 研究各类变化率问题和几何学中曲 线的切线问题，就产生了微分学； 应用极限方法研究诸如曲边梯形的 面积等涉及到微小量无穷积累的问 题，就产生了积分学。英国数学家 牛顿和德国数学家莱布尼兹 同时发 明了微积分，微积分研究的主要对 象就是函数。
第八章 全微分、复合函数的微分
为函数在点 P对应于自变量增量 ∆x , ∆y的全增量. 记为∆z ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y) − f ( x, y)
全增量 ∆z与∆x , ∆y的关系是比较复杂的 ,能否象一 元函数的微分那样,用∆x , ∆y的线性函数 :
A∆x + B∆x 来近似表达 ,由此引出如下定义 : 由此引出如下定义
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A = , ∆x → 0 ∆x ∂x
∂z B= . 同理可得 ∂y 一元函数在某点的导数存在
多元函数的各偏导数存在 xy x2 y2 例如 + f ( x, y) = 0
微分存在． 微分存在． 全微分存在． 全微分存在．
微积分
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
微积分
三、小结
１、多元函数全微分的概念； 多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； 多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可导、可微的关系． 多元函数连续、可导、可微的关系． 注意：与一元函数有很大区别） （注意：与一元函数有很大区别）
z ( . 则称 = f ( x, y)在点 x, y)可微分
∆z = A∆x + B∆y称为z = f ( x , y )在点( x , y )的全微分 ,
dz 记为
ie.
dz = A∆x + B∆y.
微积分
内各点处处可微分， 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则 内可微分. 称这函数在 D 内可微分.
则
∆x ⋅ ∆y ( ∆ x ) 2 + ( ∆y ) 2 =
人大版微积分第四章函数图形的描绘
微积分
二、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论 , ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
第一步
' " f ( x ) 0 f 求出方程 和 ( x ) 0 在函数定义 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
微积分
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
4( x 2) 8( x 3) f ( x ) , f ( x ) . 3 4 x x 令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0,
得特殊点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x0来自不存在( 0, )
0
拐点
0
间 断 点
26 ( 3, ) 9
极值点
3
微积分
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
关于人大版《微积分》教材的批评 中国人民大学出版社出版的赵树嫄
关于人大版《微积分》教材的批评中国人民大学出版社出版的赵树嫄老师主编的《微积分》教材历时久远、使用广泛，受到读者欢迎，正如第三版修订说明所讲：“直至目前，仍保持很大的年度发行量”． 但从1982年第一版到1988年第二版《微积分》（修订本），再到2007年《微积分》（第三版）成为教育部推荐教材，使用二十多年，经两次修订，书中若干知识叙述不严密和例题、习题解答错误都没有得到纠正．本文意在帮助编者对读者负责，指正上述问题，并对其中部分内容给出新的论证，供编者再次修订时参考．为方便对照，我们对纠错的问题不做分类，只按《微积分》（第三版）（2008年1月第4次印刷）（以下简称教材）页码顺序依次列出．1．（教材8页）定义1.7 设有集合A 和B ，对任意的x A ∈，y B ∈，所有二元有序数组(,)x y 构成的集合，称为集合A 与B 的笛卡尔乘积（原文，波线是本文加的，以下同）． 定义中“数组”一词不妥，可以改为“元素对”或“元素组”．事实上，集合A 、B 可以不是数集，如教材习题一（A ）14题（教材41页），同济大学《高等数学》（第五版，上册）给出了两个集合直积（笛卡尔（Descartes ）乘积）定义的正确叙述（第3页）．2．（教材28页）定义1.11 对函数()y f x =，如果存在正的常数T ，使得()()f x f x T =+恒成立，则称此函数为周期函数，满足这个等式的最小正数T ，称为函数的周期．这个定义中关于“周期”的意义的规定显然不妥，因为不是所有的周期函数都存在使()()f x T f x +=恒成立的最小正数T ，最经典的例子是狄利克雷（Dirichlet ）函数1()0cx QD x x Q∈⎧=⎨ ∈⎩ 容易验证，对任何正有理数r 都恒成立()()D x r D x +=，即狄利克雷（Dirichlet ）函数()D x 是周期函数，但不存在最小的正有理数．按教材定义1.11，周期函数()D x 没有周期！3．（教材86页）定义2.16 如果函数()f x 在点0x x =处的左、右极限都存在，但0()f x 不全等于，则称点0x x =为()f x 的第一类间断点，……定义中“不全等于0()f x ”这样的叙述相当于明确函数()f x 在点0x x =必须有定义，但事实上函数()f x 的第一类间断点包含()f x 在该点没有定义的情形．教材也认可这种情况，如对习题二（A ）30（3）题给出的答案就是 0x = 是sin ()xf x x=的第一类间断点（可去间断点）．4．（教材89页）例11 求20cos lim arcsin(1)x x e xx →+这个极限是不存在的．因为式中函数()arcsin 1x +在0x >的一侧没有定义，所以只存在20cos lim arcsin(1)x x e xx -→+． 5．（教材99页）习题二（B ）24题给出结果 sinsin lim(1)xx x x e x→∞+=，这是完全错误的．事实上，当(0,1,2,)x n n π= =±±时，函数()sin xx xϕ=没有定义，按x →∞情形的函数极限定义，极限 sinsin lim(1)xx x x x→∞+根本就不存在． 但有趣的是函数sinsin ()(1)xx x f x x=+的所有间断点(0,1,2,)x n n π= =±±都是可去间断点，并且可以证明sinsin lim (1)(1,2,)xx x n x e n xπ→+= =±± 这样，如果定义sinsin (1)()()()xx x x n n f x xe x n n ππ⎧+≠ ⎪=⎨⎪ = ⎩为整数为非零整数 则有lim ()x f x e →∞=．6．（教材107页） ……, 就是()f x 曲线在点00(,)M x y 处的切线MT 的斜率． 这里“曲线()f x ”是不正确的表达，应该是“曲线()y f x =”．7．（教材200页）习题四（A ）43题 题目陈旧，命题中的数据在现时的经济活动中根本不靠谱，更不妥当的是当日产量15Q =（命题的结果）时，工厂的最大日利润[]15(15)(20010)1(5015)15(200150)287.5()Q L PQ Q ==-+ =-⨯-+ =- 元8． （教材215页）例12求不定积分(0)a >解：令sec x a t = （(0,)(,)22t πππ∈ ） …于是= … 教材给出上面解答是错误的．因为当(,)2t ππ∈ 时，tan .a t =求不定积分(0)a > 是介绍不定积分第二类换元法的重要例题，所有教科书都要讲到，并将结果列为不定积分基本公式．一般的处理是或只考虑x a >，设(0,)2t π∈ ，如华东师范大学的《数学分析》；或先考虑x a >，设(0,)2t π∈ ，再用所得结果处理x a <-的情形，如同济大学的《高等数学》．本文给出下面一步到位的简明解法：令sec x a t =，3(0,)(,)22t πππ∈ ，则sec tan ln tan a t tdt dt x c a t===+⎰⎰顺便强调一下，原函数的概念是有“区间”设定的，我们取3(0,)(,)22t πππ∈ ，既的定义域：x a >或x a <-,tan t =的运算．9．（教材224页）习题五（A ）9（14）题给出的答案1arccos c x= + 是错误的．这个错误仍然是教材计算不定积分时的换元错误导致的．正确解答是：令sec x t =，3(0,)(,)22t πππ∈ ，则dt dt t c == =+⎰⎰⎰当(0,)2t π∈时，对应111sec 1,cos ,arccos arccos x t t t x x x=> = == 当3(,)2t ππ∈时，对应11sec 1,cos ,arccos (,),2x t t x x ππ=<- = ∈112arccosarccos t x xππ=-=+ 综上结果1arccosc x=+ 10．（教材224页）习题五（A ） 8（37）题给出的答案22ln ln x x dx x x c x + =++⎰也是错误的．这里被积函数2ln ()x x f x x +=的定义域为0x ≠，所以应在区间(,0)(0,)-∞+∞内给出原函数，正确解答为222ln ln 2ln (ln )ln x x x dx x x x d x x x c x xd + = =+ =++⎰⎰⎰（1+）． 11．（教材260页） 例8（2） 计算积分10r x x e dx λ +∞-- ⎰应给出0r >，0λ>的假设．否则本例反常积分不收敛．12．（教材303页）函数()(1)f x x α=+的麦克劳林幂级数展开式（7.25）式写为1(1)(1)(1)1!kk k x x k αααα∞=--++==+∑+（11x -<<）波线处的省略记号是多余的．以上列出指正的错处都是人大版《微积分》从第一版到第三版一直存在的问题，并且《微积分》（第三版）配套辅导书“学习参考”中相应习题解答都重复了同样的错误．此外《微积分》（第三版）中还有十多处印误，由于不难识别，限于篇幅，不再赘述．期待人大版《微积分》再次修订，不说体例与内容结构，先做到和同济大学的《高等数学》一样几乎没有知识问题，甚至找不到一处印误，给出一本真正对读者负责，不负教育部推荐的精品教材．参 考 文 献[1] 同济大学应用数学系．高等数学[M]．第5版．北京：高等教育出版社，2002. [2] 华东师范大学数学系．数学分析[M]．第3版．北京：高等教育出版社，2001.。
高等数学第四版电子版
高等数学第四版电子版高等数学第四版是一本经典的数学教材，被广泛应用于大学高等数学教学。
本书内容包括微积分、数列、级数、多元函数等，涵盖了数学的许多重要领域。
下面给出本书的章节列表和简要概述。
第一章微积分初步本章主要介绍微积分的基础知识，包括极限、导数、微分等。
其中对于极限的深入阐述是本章的重点。
通过本章的学习，读者可以对微积分的概念有初步的认识和应用。
第二章函数及其图形本章主要介绍函数的概念和性质，包括函数的基本性质、初等函数及其性质、函数的图形等。
通过本章的学习，读者可以建立起对于函数的基本认知和应用。
第三章函数的极限与连续本章主要介绍函数的极限和连续的概念及其性质，包括标准极限、无穷极限、单侧极限、函数的连续性等。
这些概念在微积分中是相当常见的，对于理解微积分的性质和规律非常关键。
第四章导数与微分本章主要介绍导数和微分的概念及其性质，包括导数的定义、导数的基本性质、高阶导数、微分的定义和性质等。
通过本章的学习，读者可以更加深入地理解导数和微分在微积分中的重要应用。
第五章微分中值定理及其应用本章主要介绍微分中值定理的概念和应用，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
这些定理在微积分中广泛应用，具有重要的作用。
第六章不定积分本章主要介绍不定积分的概念和性质，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
这些知识点对于理解微积分的应用和解题有重要的帮助。
第七章定积分本章主要介绍定积分和定积分的性质，包括定积分的概念、定积分的计算、变量代换积分法等。
通过本章的学习，读者可以对定积分的概念和应用有深入的认识。
第八章微积分基本定理及其应用本章主要介绍微积分基本定理的概念和应用，包括微积分基本定理第一、第二部分、物理应用等。
这些知识点在微积分中有着广泛的应用，对于理解微积分的应用和解题有重要的帮助。
以上是高等数学第四版的主要章节列表及简要概括，该教材内容丰富、系统完整，是一部非常优秀的数学教材。