6、简谐振动、单自由度系统与频响函数解析

dt
1x
a v
0.5
t
2
4
6
8
10
12
14
-0.5
-1
常数A和 的确定
x Acos(t ) v dx Asin(t )
dt
由初始条件：
x0 Acos v0 A sin
A＝
x02


v0

2
tg v0 x0
说明：
(1) 一般来说 的取值 在-π和π(或0和2π)之 间；
对数衰减率
A1
A3
AK t
A2
A4
AK 1
A Ae K
0t
1 2
0TD1
1 2
A Ae e e K 1
0
(
t

TD1 2
)

ln
ln
AK AK 1

1 2
TD1

1 2
2 2
单自由度系统的强迫振动
运动方程为：mx bx kx F0 sint
m
k o x
微分dd2t方2x程特征2 x 0
k
m
解
d2x + ω2x = 0 dt 2
可得
位 移 x A cos( t ) 振动方程
速 度 v dx A sin(t ) A cos(t )
dt
2
加速度 a dv A 2 cos(t ) A 2 cos(t )
临界阻尼状态几种初始条件 曲线
小阻尼状态
当 1时，系统为小阻尼状态，
方程特征根为两个不等实根， 方程解为：
x Ae0t cos 1 20t
小阻尼状态下系统的响应曲线
可见，小阻尼状态下，系统的自由
响应按照具有固定频率的谐波振荡，
但是谐波的幅值按照指数规律衰减。
小阻尼情况下的阻尼比计算
结论：
（1）单自由度无阻尼系统的自由振动是以正弦或余弦函数表示 的，故称为简谐振动。 （2）自由振动的角频率即系统的固有频率仅由系统本身参数确 定，与外界激励、初始条件无关。
k
m
（3）自由振动的振幅A和初相角φ由初始条件所确定。
单自由度系统
单自由度系统的阻尼自由振动
k
b
mx
mx bx kx 0
A2e
）e 2 10t
0t
可见，大阻尼状态下，系统的自由
响应按照指数规律衰减，逐渐向平
衡位置靠近，解中的常数A1和A
由
2
系统的初始状态决定。
临界阻尼状态
当 1时，系统为临界阻尼状态，
方程特征根为两个重根，方 程解为：
x ( A1 A2t)e0t
可见，临界阻尼状态下，系统的自 由响应也是按照指数规律衰减，逐 渐向平衡位置靠近，解中的常数A1 和A2由系统的初始状态决定。
惯性测量原理—摆系统
右图所示惯性系统的运动方程为：
m&x& cx& kx mX&& 经过拉普拉斯变换后有（不考虑负号）：
，
x X

s2
s2 20s 02
其中，0
k m
c
2 mk
对于不同的0和，系统表现出不同
的性质。
位移摆
当 1, 0时
有
x X

1，在自振
频率以上，呈现
位移平坦特性摆
体称为位移摆。
即摆体和外界振
动位移成正比。
幅 频 特 性 曲 线 (自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 0.707) 1.5
1
0.5
0
-2
-1
0
1
2
3
10
10
10
10
10
10
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 0.707） 200
（q 02 2） 2）2 4 202
2
A2
（02
（q 02 2） 2）2 4 2022
0D 1 20
有阻尼强迫振动的解：
x2
（02
（q 02 2） 2）2 42022
sint
（02
（q 02 2） 2）2 42022
cont
x2 Asin（t ）
A
A12

A22

q / 02
（1

2 02
）2
4 22 02


arctg
A2 A1

arctg（202 02 ）
A
1
(1 u2 )2 4u2 2
xst
xst

u
0

1
，为动力放大系数
(1 u2 )2 4u2 2
F0 sint
x 20 x
02 x

F0 m
sin t

q sin t
方程的解为：
x

x1

x
，
2
x1为阻尼自由振动项；
x
为阻尼强迫振动项
2
x1 e（0t C1 cos0Dt C2 sin 0Dt）
x2 A1 sint A2 cost
A1
（02
150
100
50
0
-2
-1
0
1
2
3
10
10
10
10
10
10
速度摆
当 ? 1,在0附近
有x sX
1，以自振
x 10-3 3
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 30）
2
1
频率为中心，呈现
0 10-4
10-2
100
102
104
速度平坦特性摆
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 1Hz， 阻 尼 比 30） 100
0
k m
x 20x 02x 0 b
2 mk
r1，2 0 0 2 1
x A1er1t A2er2t
0 ：无阻尼固有角频率
：阻尼常数
大阻尼状态
当 1时，系统为大（过）阻尼
状态，方程特征根为两个不等实 根，方程解为：
x （A1e
2 10t
体称为位移摆。即 50
0
摆体和外界振动速 -50
度成正比。
-100
10-4
10-2
100
102
104
加速度摆
当 1,在0以下
有x s2X
1，在自振
频率为以下，呈现
加速度平坦特性，
摆体称为加速度摆。
即摆体和外界振动
加速度成正比。
x 10-6 幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 100Hz， 阻 尼 比 0.707） 3
2
1
0
100
101
102
103
104
105
幅 频 特 性 曲 线 （ 自 振 频 率 100Hz， 阻 尼 比 0.707） 0
-50
-100
-150
-200
100
101102103Fra bibliotek104
105
简谐振动
以无阻尼自由振动的弹簧振子为例得出普遍结论：
由 F ma kx
运动学特征
a k x 2 x