高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 第8课时 圆锥曲线的综合问题 文 北师大版
高考数学大一轮复习第八章解析几何第八节圆锥曲线的综合问题课件文
的方程为________．
c＝ 2， 解析：由题意得2ab2＝2，
a2＝b2＋c2，
解得ab＝ ＝2，2，
所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1．
答案：x42＋y22＝1
1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切， 事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时， 直线与双曲线相交于一点．
则由题意得ba>2，所以 e＝ac＝ 答案：C
1＋ba2> 1＋4＝ 5．
考点二 弦长问题
[典例引领]
(2016·宜春中学与新余一中联考)设椭圆 M：ay22＋xb22＝1(a>b>0)的离
心率与双曲线 x2－y2＝1 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4．
(1)求椭圆 M 的方程；
所以 M 点坐标为－m，m2 ，直线 OM 的方程为 y＝－12x．
所以|MC|·|MD|＝ 25(－m＋ 2)·25( 2＋m)＝54(2－m2)．
又
|MA|·|MB|＝
1 4
|AB|2
＝
1 4
[(x1－
x2)2＋
(y1－
y2)2]
＝
5 16
[(x1＋
x2)2－
4x1x2]
＝
5 16
[4m2－4(2m2－2)]＝54(2－m2)，所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．
＝ 2|x2－x1|．则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝411＋－bb222－411＋－b22b2＝
1＋8bb422，因为 0<b<1．
所以 b＝ 22．
考点三 圆锥曲线的综合问题
[典例引领] (2016·四川高考)已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短
高考数学统考一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 直线与圆锥曲线的综合问题 第2课时 定点、定值
学习资料第八章平面解析几何第八节直线与圆锥曲线的综合问题第二课时定点、定值、探究性问题课时规范练1．已知抛物线C:x2＝2py（p＞0），圆O：x2＋y2＝1.(1）若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求|AF｜；（2)若直线l与抛物线C和圆O分别相切于点M，N,求｜MN｜的最小值及相应p的值．解析：（1）由题意得F（0，1），从而抛物线C：x2＝4y。
解方程组错误!得y＝－2±错误!。
不妨设y A＝错误!－2，∴｜AF｜＝5－1。
（2)设M（x0，y0)(y0＞0),则切线l：y＝错误!（x－x0）＋y0，结合x错误!＝2py0,整理得x0x－py－py0＝0。
由ON⊥l且｜ON｜＝1得错误!＝1，即｜py0｜＝错误!＝错误!，∴p＝错误!且y错误!－1＞0.∴|MN|2＝|OM｜2－1＝x20＋y错误!－1＝2py0＋y错误!－1＝错误!＋y错误!－1＝4＋错误!＋(y 错误!－1)≥8,当且仅当y0＝3时等号成立．∴｜MN|的最小值为2错误!，此时p＝错误!.2.已知椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1，A是椭圆上的一点,且A在第一象限内,过A且斜率等于－1的直线与椭圆C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D.（1）证明：直线BD的斜率为定值；（2)求△ABD面积的最大值．解析：(1）证明:设D（x1,y1），B(x2，y2），则A(－x1，－y1），直线BD的斜率k＝错误!，由错误!两式相减得错误!＝－错误!×错误!，∵k AB＝错误!＝－1，∴k＝错误!＝错误!，故直线BD的斜率为定值错误!.（2）连接OB(图略)，∵A,D关于原点对称，∴S△ABD＝2S△OBD，由(1）可知BD的斜率k＝错误!,设BD的方程为y＝错误!x＋t，∵D在第三象限，∴－错误!＜t＜1且t≠0，O到BD的距离d＝错误!＝错误!，由错误!,整理得3x2＋4tx＋4t2－8＝0，∴x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!,∴S△ABD＝2S△OBD＝2×错误!×｜BD|×d＝错误!错误!×错误!＝｜t｜×错误!＝｜t|·错误!＝错误!·错误!≤2错误!。
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何专题突破16圆锥曲线综合问题课件
考点二 定值问题
例2
2
已知椭圆: 2
2
+ 2
= 1 > > 0 的离心率 =
3
，点
2
2 2, 1 在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点，点在椭圆上,且 = + .求证：四边形
的面积为定值.
2
解：（1）设椭圆的方程为
= 1 + 1 2 + 1 + 1 2
= 1 + 2 1 2 + 1 + 2 + 1
= 1 + 2 −2 + 22 + 1 = −2 + 1 = −3，
解得 = 2.所以抛物线的方程为 2 = 4.
（2）证明：由（1）知， 1,0 是抛物线的焦点，所以
何元素（点、直线、曲线）经常处于运动变化中,并且它们在运动变化中又互相联系、
互相制约，这在数学上表现为相应变量之间的联系与制约.若问题中已知（或隐含）
某变量的范围,则利用变量间的等量关系实现变量之间的相互转化,从而构造关于未知
变量的不等式,即可求变量的取值范围或最值.
变式1 （2021年全国乙卷）已知抛物线： 2 = 2 > 0 的焦点到准线的距离为2.
变式2 已知为坐标原点，过点 1,0 的直线与抛物线： 2 = 2 > 0 交于，
两点，且 ⋅ = −3.
（1）求抛物线的方程.
（2）过点作直线′ ⊥ 交抛物线于，两点，记△ ，△ 的面积分别为
1
12
1 ，2 ，证明：
+
1
为定值.
22
.
2502 +9
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：圆锥曲线中探索性与综合性问题
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率 之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求 此时直线l的方程；若不能，请说明理由.
由(1)得M(2,1)， 设点 Ax1，x421，Bx2，x422， 则 kMA＝x1＋4 2，kMB＝x2＋4 2， 所以 kMAkMB＝x1＋4 2×x2＋4 2＝－2， 得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0； 设直线AB方程为y＝kx＋b，
因为直线 OC 的斜率为yx11＝yy121＝y81， 8
所以直线 OC 的方程为 y＝y81x.
由1yx＝62 ＋y811yx22，＝1，
得 y264×y21 16＋112＝1，
则 y2E64×y21 16＋112＝1，
同理可得 y2F64×y22 16＋112＝1，
所以 y2E·y2F64×y22 16＋11264×y21 16＋112＝1，
1234
由 AF⊥BE 得x1－y1 2·y2x＋2 2＝－1， 所以 y1y2＋2y1＋x1x2－ 2x2＝0， 将 y1＝－ 22x1＋t，y2＝－ 22x2＋t 代入上式， 得 3x1x2－ 2(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0， 所以 3×6t27－4－ 2(t＋2)·6 72t＋(2t2＋4t)＝0，
4＋2t＝－2t， 所以－4t＝t2＋3， 解得t＝－1. 即M(－1,0). 综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0).
思维升华
存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则 存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题课件
p
已知抛物线y2=2px(p>0)的弦AB的中点M(x0,y0)(y0≠0) ,则kAB=⑧ yc0 . 若涉及直线过圆锥曲线焦点的问题,则一般利用圆锥曲线的定义去解决.
4.定点、定值问题 (1)求定值问题常见的方法 (i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定点问题的常见解法 (i)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该 方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解 为坐标的点即所求定点; (ii)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.
6.求定值、最值问题等圆锥曲线综合问题要四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 7.存在性问题 一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决存在性问题.
1.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分,则m与n的关系 是( ) A.m+n=4 B.mn=4 C.m+n=mn D.m+n=2mn 答案 C 解法一:焦点为F(1,0),设焦点弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),当直 线AB的斜率存在时,依题意设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 由焦半径公式得AF=x1+1=m,BF=x2+1c =n,又 y2 4x,
1 k2
c
|y1-y2|(k≠0)
.
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),
2019届江苏专版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第8讲圆锥曲线中的热点问题讲义文
(3)由题意得直线 l 不过原点且斜率存在，设直线 l：y＝kx＋
m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m 联立得x42＋y2＝1 ，
消去 y 得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以
Δ＝64k2m2－4（1＋4k2）（4m2－4）＞0
x1＋x2＝1－＋84kkm2
2．最值问题 圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、 三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活 性．常用的方法有(1)利用定义求解；(2)构造基本不等式；(3) 利用数形结合；(4)构造函数等．
3．范围问题 求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、 合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决 问题. 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些 相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及 a，b，c， e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效．
[解] (1)因为焦点 F 到准线的距离为12，所以 p＝12.故抛物线 C 的方程为 x2＝y. (2)设 P(t，t2)，Q(x，x2)，N(x0，x20)，则直线 MN 的方程为 y
－x20＝2x0(x－x0)．令 y＝0，得 Mx20，0，
所以 kPM＝t－t2x20＝2t2－t2x0，kNQ＝xx200－－xx2＝x0＋x. 因为 NQ⊥QP，且两直线斜率存在，
②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关 键是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的 取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
已知抛物线 C：x2＝2py(p＞0)，其焦点 F 到准线的距离为12. (1)试求抛物线 C 的方程； (2)设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t(t＞0)，过 P 的直线交 C 于另一点 Q，交 x 轴于 M，过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一 点 N，若 MN 是 C 的切线，求 t 的最小值．
人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-10
第八章 平面解析几何8.10 圆锥曲线的综合问题 考向归纳考向1圆锥曲线中的证明问题1. (2015·福建高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.图8-10-1(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解】 法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝m m 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516.|AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)， 故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以|GH |>|AB |2. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 法二 (1)同法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216(m 2＋2)>0，所以cos 〈GA →，GB →〉>0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角． 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外．两类与圆锥曲线有关的证明问题一类是直接给出证明结论，其思路为将待证问题转化为与点、线、向量等几何元素或斜率、长度等与数量有关的计算问题求解．另一类是先判断后证明，如本例先判断直线与圆相切，再证明． [变式训练]1.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，已知点B 在直线l ：y ＝－1上，且椭圆的离心率e ＝32.(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，M 为线段PQ 的中点，直线AM 交直线l 于点C ，N 为线段BC 的中点，求证：OM ⊥MN . 【解】 (1)依题意，得b ＝1.因为e ＝c a ＝32，又a 2－c 2＝b 2，所以a 2＝4.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，x 0≠0，因为P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点， 所以x 204＋y 20＝1.因为PQ ⊥y 轴，Q 为垂足，所以点Q 的坐标为(0，y 0)． 因为M 为线段PQ 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫x 02，y 0.又点A 的坐标为(0,1)，可得直线AM 的方程为y ＝2(y 0－1)x 0x ＋1.因为x 0≠0，所以y 0≠1，令y ＝－1，得C ⎝⎛⎭⎫x 01－y 0，－1.因为点B 的坐标为(0，－1)，点N 为线段BC 的中点，所以N ⎝⎛⎭⎫x 02(1－y 0)，－1. 所以向量NM →＝⎝⎛⎭⎫x 02－x 02(1－y 0)，y 0＋1.又OM →＝⎝⎛⎭⎫x 02，y 0， 所以OM →·NM →＝x 02⎣⎡⎦⎤x 02－x 02(1－y 0)＋y 0(y 0＋1)＝x 204－x 204(1－y 0)＋y 20＋y 0＝⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20－x 204(1－y 0)＋y 0＝1－(1＋y 0)＋y 0＝0.所以OM ⊥MN .考向2圆锥曲线中的最值问题●命题角度1 数形结合利用几何性质求最值1．F 是椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点，P 是其上一点，定点B (2，1)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 如图，设椭圆的左焦点为F 1(－4,0)，由|PF 1|＋|PF |＝10得|PF |＝10－|PF 1|.所以|PB |＋|PF |＝10＋|PB |－|PF 1| ＝10－(|PF 1|－|PB |)≥10－|F 1B |，当且仅当F 1，B ，P 三点共线，即点P 在点P 2位置时取等号．又|F 1B |＝(－4－2)2＋(0－1)2＝37.所以|PB |＋|PF |的最小值为10－37.【答案】 10－37●命题角度2 建立目标函数求最值2．若P ，Q 分别为抛物线C ：x 2＝4y 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝1上的两个动点，则|PQ |的最小值为________．【解析】 先求圆心M (0,3)到点P 的距离的最小值， 法一 (建立目标函数)设P (x ，y )，则x 2＝4y ，|PM |＝x 2＋(y －3)2＝(y －3)2＋4y ＝y 2－2y ＋9＝(y －1)2＋8≥22(当y ＝1时等号成立)．∴|PQ |min ＝22－1.法二 (数形结合)以点M 为圆心作同心圆，当圆与抛物线相切时，点M 到点P 的距离最小，设为r ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －3)2＝r 2，x 2＝4y ，得y 2－2y ＋9－r 2＝0.此时Δ＝(－2)2－4(9－r 2)＝0，解得r ＝2 2. 从而|PQ |的最小值为22－1. 【答案】 22－13．(2014·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．【解】 (1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得F 点的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－(－2)＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0， 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3.所以直线OM 的斜率k OM ＝－m 3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②由①可得|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4 ≥124×(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值．所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．圆锥曲线中常见最值问题及解题方法1．两类最值问题(1)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．2．两种常见解法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．提醒：求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．考向3圆锥曲线中的范围问题(1)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P 都有|PF 2|2＝8a |PF 1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(2,3]C ．(1,3]D ．(1,2](2)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为圆M 的圆心，离心率为22.①求椭圆C 的方程；②若存在直线l ：y ＝kx ，使得直线l 与椭圆C 分别交于A ，B 两点，与圆M 分别交于G ，H 两点，点G 在线段AB 上，且|AG |＝|BH |，求圆M 半径r 的取值范围．【解析】 (1)由P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，所以|PF 2|2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ＝8a ，所以|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝4a ，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即2a ＋4a ≥2c ，所以e ＝ca≤3.又e >1，所以1<e ≤3.故选C.【答案】 C(2)①设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的右顶点为圆M 的圆心(2，0)得a ＝2，又c a ＝22，所以c ＝1，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2＝2，得(2k 2＋1)x 2－2＝0，则x 1＋x 2＝0， x 1x 2＝－22k 2＋1，所以|AB |＝(1＋k 2)×82k 2＋1＝8(1＋k 2)1＋2k 2.点M (2，0)到直线l 的距离d ＝|2k |1＋k 2，则|GH |＝2r 2－2k 21＋k 2.显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾，所以要使|AG |＝|BH |，只要|AB |＝|GH |，所以8(1＋k 2)1＋2k 2＝4⎝⎛⎭⎫r 2－2k 21＋k 2，r 2＝2k 21＋k 2＋2(1＋k 2)1＋2k 2＝2(3k 4＋3k 2＋1)2k 4＋3k 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫1＋k42k 4＋3k 2＋1，当k ＝0时，r ＝2， 当k ≠0时，1k 4＋3k 2＋2＝⎝⎛⎭⎫1k 2＋322－14>2，则 0<11k 4＋3k2＋2<12.所以2<r 2<3，即2<r <3.综上知，2≤r < 3.解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法1．利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． 2．利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．3．利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． 4．利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．5．利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．[变式训练]1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点相同，且椭圆C上一点与椭圆C 的左、右焦点F 1，F 2构成的三角形的周长为22＋2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ，m ∈R )与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的重心G 满足：F 1G →·F 2G →＝－59，求实数m 的取值范围．【解】 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，2a ＋2c ＝22＋2，a 2＝b 2＋c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2－2＝0，消去y 并整理，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒1＋2k 2>m 2(*)，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，①设△AOB 的重心为G (x ，y )，由F 1G →·F 2G →＝－59，可得x 2＋y 2＝49. ②由重心公式可得G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 23，y 1＋y 23，代入②式， 整理可得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝4⇒(x 1＋x 2)2＋[k (x 1＋x 2)＋2m ]2＝4， ③ 将①式代入③式并整理，得m 2＝(1＋2k 2)21＋4k 2，代入(*)得k ≠0，则m 2＝(1＋2k 2)21＋4k 2＝1＋4k 41＋4k2＝1＋44k 2＋1k4.∵k ≠0，∴t ＝1k 2>0， ∴t 2＋4t >0，∴m 2>1，∴m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞).考向4定点问题1.在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标分别为(0,1)，(0，－1)，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之积为－14，直线AP ，BP 与直线y ＝－2分别交于点M ，N .(1)求动点P 的轨迹方程； (2)求线段MN 的最小值；(3)以线段MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．【解】 (1)已知A (0,1)，B (0，－1)，设动点P 的坐标为(x ，y )， 则直线AP 的斜率k 1＝y －1x ，直线BP 的斜率k 2＝y ＋1x (x ≠0)，又k 1k 2＝－14，∴y －1x ·y ＋1x ＝－14，即x 24＋y 2＝1(x ≠0)．(2)设直线AP 的方程为y －1＝k 1(x －0)，直线BP 的方程为y ＋1＝k 2(x －0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝k 1x ，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3k 1，y ＝－2，∴M ⎝⎛⎭⎫－3k 1，－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k 2x ，y ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1k 2，y ＝－2，∴N ⎝⎛⎭⎫－1k 2，－2. ∵k 1k 2＝－14，∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪3k 1－1k 2＝⎪⎪⎪⎪3k 1＋4k 1≥23|k 1|·4|k 1|＝43， 当且仅当3|k 1|＝4|k 1|，即k 1＝±32时，等号成立，∴线段MN 长的最小值为4 3.(3)设点Q (x ，y )是以线段MN 为直径的圆上的任意一点，则QM →·QN →＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋3k 1⎝⎛⎭⎫x ＋1k 2＋(y ＋2)(y ＋2)＝0，又k 1k 2＝－14，故以线段MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫3k 1－4k 1x ＋(y ＋2)2－12＝0，令x ＝0，得(y ＋2)2＝12，解得y ＝－2±23，∴以线段MN 为直径的圆经过定点(0，－2＋23)或(0，－2－23)．求解定点问题的基本思路1．把直线或者曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为零，即化为kf (x ，y )＋g (x ，y )＝0的形式(这里把常量k 当作未知数)．2．既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，即⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.3．这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足⎩⎪⎨⎪⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0的点(x 0，y 0)为直线或曲线所过的定点．[变式训练]1.已知椭圆C 过点M ⎝⎛⎭⎫1，62，点F (－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一定点A . 【解】 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)．由已知，得⎩⎨⎧1a 2＋64b 2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，可知|PF |＝(x 1＋2)2＋y 21＝(x 1＋2)2＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF |＝2＋22x 2，|MF |＝(1＋2)2＋⎝⎛⎭⎫622＝2＋22.∵2|MF |＝|PF |＋|QF |，∴2⎝⎛⎭⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2.①当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2.设线段PQ 的中点为N (1，n )，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n ，得线段PQ的垂直平分线方程为y －n ＝2n (x －1)，即(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.②当x 1＝x 2时，P ⎝⎛⎭⎫1，－62，Q ⎝⎛⎭⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎫1，62，Q ⎝⎛⎭⎫1，－62. 线段PQ 的垂直平分线是x 轴，也过点A ⎝⎛⎭⎫12，0. 综上，线段PQ 的垂直平分线过定点A ⎝⎛⎭⎫12，0.考向5定值问题1. (2014·江西高考)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F .点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x＝32相交于点N ，证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值． 【解】 (1)设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 方程为y ＝ －1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a(x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a. 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)证明：由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为 x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0， 则|MF |2|NF |2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2. 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法1．特点特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值． 2．两大解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)引进变量法：其解题流程为变量→选择适当的动点坐标或动线中系数为变量 ↓函数→把要证明为定值的量表示成上述变量的函数 ↓定值→把得到的函数化简，消去变量得到定值 [变式训练]1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是12，其左、右顶点分别为A 1，A 2，B 为短轴的一个端点，△A 1BA 2的面积为2 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l ：x ＝22与x 轴交于D ，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的动点，直线A 1P ，A 2P 分别交直线l 于E ，F 两点，求证：|DF |·|DF |为定值．【解】 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝12，ab ＝23，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝ 3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：由题意可得A 1(－2,0)，A 2(2,0)．设P (x 0，y 0)，由题意可得－2<x 0<2， ∴直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝22，得y ＝(22＋2)y 0x 0＋2，即|DE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2，同理，直线A 2P 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝22， 得y ＝(22－2)y 0x 0－2，即|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2，所以|DE |·|DF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22＋2)y 0x 0＋2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪(22－2)y 0x 0－2＝4y 20|x 20－4|＝4y 204－x 20，将y 20＝3(4－x 20)4代入上式，得|DE |·|DF |＝3，故|DE |·|DF |为定值3.考向6 存在性问题●命题角度1 探究是否存在常数问题1．(2015·四川高考)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解】 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD . 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3. ●命题角度2 探究是否存在点或线问题2．已知椭圆W ：x 22＋y 2＝1，直线l 与W 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，O 为坐标原点．(1)若直线l 的方程为x ＋2y －1＝0，求△OCD 外接圆的方程；(2)判断是否存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)因为直线l 的方程为x ＋2y －1＝0，所以C (1,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，12，则线段CD 的中点⎝⎛⎭⎫12，14，|CD |＝1＋⎝⎛⎭⎫122＝52， 则△OCD 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫12，14，半径为12|CD |＝54， 所以△OCD 外接圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －142＝516. (2)存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点． 理由如下：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (km ≠0)， M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则C ⎝⎛⎭⎫－mk ，0，D (0，m )， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，(*)由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合． 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2＝0－m k ，解得k ＝±22.由C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得|MN |＝3|CD |. 所以1＋k 2|x 1－x 2|＝3⎝⎛⎭⎫m k 2＋m 2，又|x 1－x 2|＝⎝⎛⎭⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－21＋2k 2， 可解得m ＝±55，验证知(*)成立．所以存在直线l ，使得C ，D 是线段MN 的两个三等分点，此时直线l 的方程为y ＝22x ±55或y ＝－22x ±55.解决探究性、存在性问题的常用方法1．解决是否存在常数的问题时，应首先假设存在，看是否能求出符合条件的参数值，如果推出矛盾就不存在，否则就存在．2．解决是否存在点的问题时，可依据条件，直接探究其结果；也可以举特例，然后再证明．3．解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解．规范解答圆锥曲线中的最值与范围问题1.(15分)(2015·浙江高考)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．图8-10-4【规范解答】 (1)由题意知m ≠0， 可设直线AB 的方程为y ＝－1mx ＋b .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0.2分 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2>0. ①4分将线段AB 中点M ⎝⎛⎭⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2. ②6分由①②得m <－63或m >63.7分 (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则|AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12，10分且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1.12分 设△AOB 的面积为S (t )，所以 S (t )＝12|AB |·d ＝12－2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22， 当且仅当t 2＝12时，等号成立．故△AOB 面积的最大值为22.15分 【解题程序】 第一步：设出直线AB 的方程与椭圆方程联立，得到一个二次方程； 第二步：由Δ>0得到一个关于b ，m 的不等式；第三步：将线段AB 的中点M 的坐标代入直线方程y ＝mx ＋12求出b 与m 的关系；第四步：根据b 与m 的关系求m 的范围； 第五步：令t ＝1m，用t 表示|AB |；第六步：用t 表示点O 到直线AB 的距离； 第七步：用t 表示△AOB 的面积，并求最大值． 【智慧心语】易错提示：(1)不会使用换元法，致使表示|AB |的式子繁杂，无法求解.(2)求△AOB 的面积的最大值时，不会看成二次函数的最值问题，无法求解.防范措施：(1)当一个关于变量的式子频繁出现时，为了减少运算量和便于观察整体结构，常用换元法，把这个式子用“新元”表示.(2)当某一个式子的指数是2倍关系时，常用换元法把问题转化为二次函数解决.圆锥曲线中的存在性问题2.(12分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 【规范解答】 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ).1分又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.3分y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0.5分 (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0.7分 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a.10分当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意.12分 【解题程序】 第一步：求点M ，N 的坐标； 第二步：利用导数求切线的斜率，并写出切线方程； 第三步：设点P ，M ，N 的坐标及直线PM ，PN 的斜率；第四步：直线方程与曲线C 的方程联立，得到一个一元二次方程，并写出两根之和与两根之积；第五步：求直线PM ，PN 的斜率之和；第六步：根据两直线的斜率之和为0，确定点P 是否存在．【智慧心语】易错提示：(1)不知用导数求切线的斜率，导致无法求解．(2)不会把条件∠OPM＝∠OPN转化为两直线的斜率之和为零，导致无法求解．防范措施：(1)在与抛物线有关的问题中，求切线方程时，常用导数求其斜率．(2)和坐标轴相交的直线若与坐标轴所成的角相等，则它们的斜率互为相反数，即斜率之和为零．。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第八节 圆锥曲线的综合问题学案 文(含解析)新人教A版-新人
第八节 圆锥曲线的综合问题2019考纲考题考情1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断。
设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程为f (x ，y )＝0。
由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f (x ，y )＝0消元，(如消去y )得ax 2＋bx ＋c ＝0。
①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行(或重合)。
②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。
a ．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b ．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点。
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长： |P 1P 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝1＋1k2|y 1－y 2|。
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)。
3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。
在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0。
在使用根与系数关系时，要注意前提条件是Δ≥0。
高考数学大一轮复习-第八章 平面解析几何 第8课时 圆锥曲线的综合问题课件 北师大版
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与 圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 ．
2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交 点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点 所得的线段)，线段的长就是弦长．
所在直线的斜率k＝yp0.
[基础自测]
1．(教材改编题)直线y＝kx－k＋1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的位置关
系为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而(1,1)
点在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
2．(2016·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲
.
综上所述，当m＝±53或m＝0时，||PSQT||取得最大值2 5 5.
直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等 能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高 考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、 根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考 查数学思想方法的热点题型．
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第 8 课时 圆锥曲线的综合问题
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．掌握与圆锥曲线有关的最值、定值(点)、参数范围等问题．
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与圆锥 曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋ bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切 ； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 相离 ；
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_9圆锥曲线的综合问题课件文新人教A版
名师点拨 圆锥曲线中常见的最值问题 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性 质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标 函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个 方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间 建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
跟踪训练 (1)过抛物线y2＝4x的焦点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于A，B 点和C，D点，直线AB的倾斜角为锐角，且|AB|＝20. ①求四边形ACBD的面积； ②设直线l过点(－4,3)且与直线AB平行，求抛物线上的点到直线l的最小距离． 答案：①50 ②655
(2)已知椭圆Ω：
x2 a2
(1)求椭圆C的方程； → →→ →
(2)若直线l交y轴于点M，且 MA ＝λ1 AF ， MB ＝λ2 BF ，当m变化时，证明：λ1＋λ2为 定值； (3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，求出定点的坐标，并给予 证明；否则，请说明理由．
[解析] (1)因为直线l：x＝my＋1过椭圆C的右焦点F， 所以右焦点F(1,0)，即c＝1. 又抛物线x2＝4 3 y的焦点(0， 3 )为椭圆C的上顶点，所以b＝ 3 ，即b2＝3，a2＝ b2＋c2＝4. 所以椭圆C的方程为x42＋y32＝1.
由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为 t，
4－t2 2
，
t，－
4－t2 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．(2016·沈阳模拟)若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右
支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( )
A.－
315，
15 3
C.－ 315，0
B.0，
15 3
D.－ 315，－1
解析：由yx＝2－kyx2＋＝26，， 得(1－k2)x2－4kx－10＝0，
(2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2 |x1－x2|＝ 1＋k12·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝ x1＋x2＋p＝si2np2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
审题视点 (1)利用离心率公式直接求解；(2)求直线AB的方 程，利用原点到直线AB的距离判断直线与圆的位置关系．
解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1， 所以a2＝4，b2＝2， 从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝ 2.
故椭圆C的离心率e＝ac＝ 22.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下： 设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以 O→A ·O→B ＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－ 2xy00. 当x0＝t时，y0＝－t22，代入椭圆C的方程，得t＝± 2， 故直线AB的方程为x＝± 2，圆心O到直线AB的距离d＝ 2. 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
所在直线的斜率k＝yp0.
[基础自测]
1．(教材改编题)直线y＝kx－k＋1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的位置关
系为( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而(1,1)
点在椭圆内部，故直线与椭圆相交．
答案：A
2．(2016·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲
解析：直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1联立，消去y得：(1＋ 4m2)x2＋8mx＋3＝0.
又因为其Δ＝(8m)2－12(1＋4m2)＝16m2－12＝0，解得：m2＝
3 4.
答案：34
5．抛物线y2＝4x被直线y＝2x＋k截得的弦长为3 5，则k值为 ________．
解析：直线方程与抛物线方程联立，消去y得：4x2－4(1－k)x ＋k2＝0，
3 3
C.－
33，
3 3
B．(－ 3， 3) D．[－ 3， 3]
解析：由1x22 －y42＝1 可得双曲线的渐近线方程为 y＝± 33x，过 点 F 分别作两条渐近线的平行线 l1 和 l2，由图形得知，符合题意 的直线斜率的取值范围为
－ 33， 33.故选 C.
答案：C
4．直线y＝mx＋1与椭圆x2＋4y2＝1有且只有一个交点，则m2 ＝________.
所以x1＋x2＝1－k，x1x2＝k42.
依题意得：3 5＝ 1＋22|x1－x2|， 即9＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(1－k)2－k2， 解得：k＝－4. 答案：－4
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 [例1] (2014·高考北京卷)已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA ⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结 论．
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与 圆锥曲线E相交，且只有一个交点，
①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 平行 ；
②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行或重合 ．
2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交 点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点 所得的线段)，线段的长就是弦长．
当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝yx00－－2t (x－t)．
即(y0－2)x－(x0－t)y＋2x0－ty0＝0.
圆心O到直线AB的距离
d＝
|2x0－ty0| y0－22＋x0－t2
又x20＋2y20＝4，t＝－2xy00，故
d＝
x202＋x0y＋20＋2xy40x20y2020＋4＝
4＋x20 x40＋x80x20＋16＝ 2.
3．圆锥曲线的中点弦问题
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解．在椭
圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－
b2y2 b2
＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的
斜率k＝
b2x0 a2y0
；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦
主干回顾 夯基固源 考点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第 8 课时 圆锥曲线的综合问题
1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．掌握与圆锥曲线有关的最值、定值(点)、参数范围等问题．
1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 判断直线与圆锥曲线的位置关系，通常是将直线方程与圆锥 曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋ bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切 ； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 相离 ；
2x20
此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
在讨论直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消 去 x(或 y)，得到关于 y(或 x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则 所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线， 则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程 才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
线只有一个公共点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：与渐近线平行的直线也与双曲线只有一个公共点． 答案：A
3．已知双曲线
x2 12
－
y2 4
＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是
()
A.－
33，