曲线积分与曲面积分复习题6.12

合集下载

第八章曲线积分与曲面积分(改)

第八章曲线积分与曲面积分（A ）习题八1、计算下列数量值函数的曲线积分： ⑴22L y ds x y +⎰，其中L 为平面上的上半圆周：221,0x y y +=≥． ⑵⎰+Lds y x )(，其中L 为以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形边界．⑶⎰+Ly x ds e22，其中L 为x 轴，圆周222(0)x y a a +=>，直线y x =在第一象限内所围成扇形的边界．⑷2Ly ds ⎰，其中L 是摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-的一拱(02)t π≤≤．⑸22()Lx y ds -⎰，其中L 为柱面221x y +=与平面0x y z ++=的交线．2、求空间曲线cos ,sin ,(0)tttx e t y e t z e t ---===<<+∞的弧长．3、求均匀摆线弧(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t t π=-=-≤≤的重心坐标．4、计算下列数量值函数的曲面积分： ⑴22()xy dS ∑+⎰⎰，其中∑：222()z x y =-+，0z ≥．⑵()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面5y z +=被柱面2225x y +=所截得的部分．⑶22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面．⑷2221dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑为介于平面0z =和平面(0)z H H =>之间的圆柱面222x y R +=．5、求抛物面22z x y =+被锥面2z =所截下的部分曲面面积．6、计算下列向量值函数在定向曲线上的积分： ⑴22610Lxydx xy dy +⎰，其中L 为曲线2y x =上从点(0,0)到(1,1)的一段弧． ⑵2(sin )Lx y dx +⎰，其中L 为由2,1y x x ==所围区域的边界（逆时针方向）． ⑶2222Ly xdx dy x y x y -+++⎰，其中L 是半径为a ，圆心在原点且方向由(,0)A a 到(,0)B a -的上半圆．⑷(2)La y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(s i n ),(1c o sx a t t y a t =-=-从0t =到2t π=的一段．⑸||||Ldx dyx y ++⎰，其中L 为从点(1,0)A 经点(0,1)B 到点(1,0)C -的折线段． ⑹(1)Lxdx ydy x y dz +++-⎰，其中L 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线．7、设曲线L 是从点(0,0)O 沿圆弧y =到点(1,0)A 的弧段，计算22()(sin )LI x yx dx y x y dy =-++⎰．8、将(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰化为数量值函数的曲线积分，其中L 为沿圆周222x y y +=（逆时针）从(0,0)到(1,1)．9、方向沿纵轴方向，大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m 的质点沿半圆周y =(1,0)-移动到(1,0)时，场力所作的功．10、设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2kr （0k >为常数，r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y =自(2,0)B 运动到(0,0)O ，求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功．11、利用格林公式计算下列曲线积分： ⑴2(1)Ly dx xydy ++⎰，其中L 为曲线sin y x =和2sin (0)y x x π=≤≤所围区域的正向边界． ⑵(sin )(cos )x x Le y y x dx e y x dy +++-⎰，其中L 为从点(0,0)O 经圆周22(1)1x y -+=的下半部分到点(2,0)A 的一段弧．12、计算曲线积分224Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是以(1,0)为中心，(1)R R ≠为半径的圆周，逆时针方向．13、证明曲线积分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰与路径无关，并求积分值．14、验证22(2cos sin )(2cos sin )x y y x dx y x x y dy -+-在整个xOy 平面内为某一函数的全微分，并求一个这样的函数(,)u x y ．15、计算下列向量值函数在定向曲面上的积分： ⑴22()xy zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=的下半部分的下侧．⑵zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧．⑶2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧． ⑷2x dydz zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．16、利用高斯公式计算下列曲面积分： ⑴222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x y z a ++=(0)a >所围立体的全表面的外侧．⑵32()2xyz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰，其中∑为222x y R +=在平面0z =和1z =之间部分圆柱面的外侧．⑶333()()()x yz dydz y xz dzdx z xy dxdy ∑++-++⎰⎰，其中∑为取外侧的球面222x y z z ++=． ⑷222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．17、计算323232()()()xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =18、计算xyzA e r =在点()1,1,1P 处的散度，其中r 为矢径：r xi yj zk =++．19、求向量yzi xzj xyk ++穿过圆柱体222,0x y R z H +≤≤≤的全表面∑的外侧的通量．20、利用斯托克斯公式计算曲线积分()()()C z y dx x z dy x y dz -+-+-⎰，其中C 是曲线2212x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的．（B ）单元自我测试题一、填空题（每题4分，共20分）1、设C 为3y x =上点(0,0)到(1,1)的一段弧，则曲线积分C⎰＝．（写出定积分形式，不必计算）2、设L 是圆周：2222,0x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩则曲线积分2Lx ds ⎰的值为．3、设C 是逆时针方向的闭曲线，其方程为22(1)1x y -+=，则222()(2)Cx y d x y x y d y-+-⎰＝． 4、设∑是抛物面221(23)z x y =-+在xOy 平面上方部分的下侧，则向量值函数在定向曲面上的积分I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰化为数量值函数的曲面积分后，I ＝．5、向量场()()22,,ln 1z u x y z xy i ye j x z k =+++在点()1,1,0P 的散度divu = ．二、单项选择题（每题3分，共15分） 1、曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则曲线积分值为（）A ．22a π Ｂ．3a π Ｃ．32a π Ｄ．34a π 2、设∑：2222(0)x y z a z ++=≥，1∑为∑在第一卦限的部分，则有（）．A ．14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｂ．14ydS ydS ∑∑=⎰⎰⎰⎰Ｃ．14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｄ．14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰3、设L 是从点()0,0沿折线11y x =--至点()2,0A 的折线段，则曲线积分LI ydx xdy =-+⎰=( )A ．2- Ｂ．1- Ｃ．0 Ｄ．24、设2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分，则常数a ＝（）．A ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 5、设∑是柱面221,01x y z +=≤≤外侧，()x y z dydz ∑++=⎰⎰（）． A ．0 Ｂ．1π+ Ｃ．1 Ｄ．π三、计算下列曲线积分或曲面积分的值（每题6分，共24分）1、设L 是由直线2y x =，2y =和0x =所围成的三角形区域的边界，求Lxyds ⎰．2、2I z dS ∑=⎰⎰，其中∑是球面2222xy z a ++=．3、计算22C I xy dy x ydx +=-⎰，C 为圆周222x y a +=．4、2()I z x dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于0z =及3z =之间部分的下侧．四、（8分）求面密度为1的均匀半球面2222:x y z a ∑++=，0z ≥对z 轴的转动惯量．五、（８分）设曲线C 为抛物线222x y =-上从点(0,1)A 到点(0,1)B -的一段弧，计算22Cxdy ydxI x y -=+⎰．六、（８分）设函数()f x 可导，且(0)1f =，求()f x 使得曲线积分()xLye dx f x dy +⎰在全平面上与路径无关，并计算(1,1)(0,0)()x I ye dx f x dy =+⎰．七、（8分）设∑是平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧，求曲面积分()I x y dydz ydzdx dxdy ∑=+++⎰⎰．八、（9分）计算曲面积分33311()()()22x x dydz y xz dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰，其中∑是球面2222x y z z ++=的内侧．（C ）提高题1、计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分．2、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离，求(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰．3、设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2(,)Lx y d xQ x y d y +⎰与路径无关，并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰，求(,)Q x y ．4、设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰的值恒为同一常数．证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有24()202Cy dx xydyx y ϕ+=+⎰．5、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰， ⑴ 证明曲线积分I 与路径L 无关； ⑵ 当ab cd =时，求I 的值．6、计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰，其中L 是平面2x y z ++=与柱面||||1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向．7、确定常数λ，使向量42(,)2()A x y xy x y i λ=+242()x x y j λ-+在右半平面0x >上的为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y ．8、已知平面区域{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证： ⑴sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰；⑵sin sin 22y x Lxe dy ye dx π--≥⎰．9、求[sin ()](cos )x xI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中,a b 为正常数，L为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧．10、计算曲面积分2222xdydz z dxdy x y z ∑+++⎰⎰，其中∑是由曲面222x y R +=及两平面z R =，(0)z R R =->所围成立体表面的外侧．11、计算212222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰，其中∑为下半球面z =上侧，a 为大于零的常数．12、计算曲面积分(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为有向曲面22z xy =+(01)z ≤≤，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角．13、计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221(0)z x y z =-≥－的上侧．。

曲线积分与曲面积分习题答案.pdf

(1) (2x y 2z) dS，其中为平面 x y z 1在第一卦限的部分；
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ，为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取为平面 z 0的下侧被围成的部分， D 为在 xOy 面上的投影
区域。由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr

高等数学《曲线积分与曲面积分》习题课

L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
的侧面积.
解由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
欲求
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy
z
且有 I
* *
P Q R
*
(
x
y
z
)dxdydz
x
2
o1
*
y
3
(8 y 1 4 y 4 y)dxdydz dv
3
2
2
3
dxdz
D
8
a 0 dx (e x m) 0 0, OA 0
M
A(a,0) x
I
m a2 0 m a2.
AMOA OA
8
8
曲面面积的计算法
z
z f (x, y) S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
a
bo
A
s LB
y
x S dS
1
z
2 x
z
2 y

曲线积分复习题答案

曲线积分一、第一类曲线积分 1 .y = -Vl-x 2，求 £(x 2 + J 2)d5 ・解：曲线厶： x = cost, y = sin t , t e [zr,2^], d.y = Id/ , f (x 2 + y 2d/ = /r 2. 设段锥面螺线厶：x = e ! cost , y = e f sinr , z = e z (0 < r < 2K ) Jl 点(x,y,z)处的线密度为/心,y,z)二〒二［,求该构件的质量.解：计算微分ds = ylx(t)1 + y(t)1 + z\tYdt = -J(e l cost - e sin/)2 + (e 1 sint + e l cost)2 +e 2,dt3. 计算［727d5,其中厶是抛物线y = x 2±点(0, 0)与(1, 1)之间一段弧.=春"_1)=春(5亦_1) 4. 设一折线型构件占有my 面上曲线弧厶，厶为连接点A(2,0), 0(0,0)与点3(0,3)的折线段，且在曲线厶上点(x,y)处的线密度为“(x,y)=X +〉》,求该构件的质量.解：厶=厶+厶，厶是先沿直线从点A(2,0)到点O (0,0),厶：y = 0, X :2T 0,J y/(x, y)ds = J (x 3 + y')ds = J~ (x 5 4- O)J1 + 0dx = 4•是沿直线点从0(0,0)到点3(0,3), L 2： X = 0, y:0 — 3,yl2(e 2t cos 2 t + e 2t sin 2 Z) + <?2/t/r = ^3e 2t dt = y/^e'dt解：厶:y = x 2.x e [OJ], = >J\+4x 2dx,Jl + 4x'd(l + 4x 2) =• — Jl + 4x ， 8 3心，其中厶是由x = acost, y = asint.t e[0,—]e4解：L : x = a cost, y = a sint, t e [0, ds = adt . £ ds = jj e a adt = ae a e a二、第二类曲线积分6 .设一质点在力F^yi+xj 的作用下，沿圆周x = Rcost,y = Rsint±由/严0到『号的一段弧移动作的 x = Rcost n f • /: 0 T — •心=—Rsin tdt 9 cly = Rcostdt, y = Rs\nt 2£ ydx + xdy = J (； R sin t(-R sin t)dt + R cos t (R cos t)dt = J ( R 2 (-sin 2 r+ cos 2 /)〃/ =打 R 2 cos 2tdt7. 计算j^ydy ,其中厶是抛物线y = x 2±从点(0,0)到点(1J)的一段弧.i 2x 7解：L : y = x ：0—>1, dy = 2xdx , £= £ x 3 • x 2 • 2xdx = A 8. 计算[(x+y)^ + (y-x)dy,其中(1)厶是先沿直线从点(1J)到点(12),然后再沿直线到点(4,2)的折线•(2) L 是抛物线y 2= x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧解:(1)厶是先沿直线从点(1,1)到点(1,2) , L ,:x = l, y:l — 2,J (x + y)dx + (>'-x)dy 订(1 + y)0 + (y 一 l)dy = g厶2是沿直线点从(1,2)到点(4,2), L 2:y = 29J (x+y)dx + (y-x)dy = j* (x + 2)dx = —, (2) L 3：x = j 2, y : 1 ->2 , J(x + y)dx+ (y 7)dy=f (” + y )・2ydy + (y_y2)dy =『(2)»+〉，2+),)与=(-j 4 ++-j 2)=亍乙 Q . J 9. 设有一平面力场戶= [(x — d)2+bF ，将一质点沿曲线L ： (—")2 +),2 =/(“ >0)从点(心)移动到点(2匕0)所作的功W = l,求d.解：曲线L ： x = a+acost > y = ash\t, r: —^0,2解L 为: 导…。

高数期末复习题第十一章曲线积分与曲面积分

第十一章曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。

ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。

x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。

用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。

d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。

αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。

011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。

dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。

高数下第十一章曲线积分与曲面积分

L:yx2,x从 0变1,到
原式 1(2xx2x22x)dx 0
4 1 x3dx 1. 0
整理课件
y x2
B(1,1)
A(1,0)
23
(2) 化为y的对积. 分 L:xy2,y从 0变1到 ,
原式 1(2y2y2yy4)dy 0 5 1 y4dx1. 0
( 3 ) 原式 OA2xydxx2dy AB2xydxx2dy
解记 L所围成的闭区域为 D,
令 Px2yy2, Qx2 xy2, 则当 x2y20时 ,有 Q x(x y22 yx22)2 P y.
整理课件
37
y
(1) 当(0,0)D时,
L
xdy ydx
D
由格林公式知 L x2 y2 0 o
x
(2) 当 (0,0) D 时 ,
作位于 D 内圆周 l:x 2 y 2 r2 , y L
xydx xydx
L
AB
1 y2y(y2)dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
整理课件
B(1,1)
y2 x
A(1,1)
20
例2 计算y2dx,其中 L为 L
(1)半径为 a、圆心为原点、针按方逆向时绕行的上半圆 ; 周 (2)从点A(a,0)沿x轴到点 B(a,0)的直线. 段
解 (1) L: x y a ascions,
整理课件
28
练习题：
1、 xydx,其中L 为圆周( x a)2 y 2 a 2 (a 0)及 L x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按
逆时针方向绕行)；
2、
(x
L
y)dx ( x x2 y2

曲线积分曲面积分测试题

曲线积分曲面积分测试题一、选择题: 1、设L 为230,0≤≤=y x x ,则⎰Lds 4的值为( ). (A)04x ， (B),6 (C)06x .2、设L 为直线0y y =上从点),0(0y A 到点),3(0y B 的有向直线段,则⎰Ldy 2=( ). (A)6; (B) 06y ; (C)0.3、若L 是上半椭圆⎩⎨⎧==,sin ,cos t b y t a x 取顺时针方向,则 ⎰-L xdy ydx 的值为( ). (A)0; (B)ab 2π; (C)ab π.4、设),(,),(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数,则在D 内与⎰+L Qdy Pdx 路径无关的条件 D y x yP x Q ∈∂∂=∂∂),(,是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.5、设∑为球面1222=++z y x ,1∑为其上半球面,则 ( )式正确. (A)⎰⎰⎰⎰∑∑=12zds zds ;(B)⎰⎰⎰⎰∑∑=12zdxdy zdxdy ;(C)⎰⎰⎰⎰∑∑=1222dxdy z dxdy z . 6、若∑为)(222y x z +-=在xoy 面上方部分的曲面 , 则⎰⎰∑ds 等于( ). (A)⎰⎰⋅+r rdr r d 022041πθ;(B)⎰⎰⋅+2022041rdr r d πθ; (C)⎰⎰⋅+2022041rdr r d πθ. 7、若∑为球面2222R z y x =++的外侧,则 ⎰⎰∑zdxdy y x 22等于( ).(A) ⎰⎰--xy D dxdy y x R y x 22222; (B) 2⎰⎰--xyD dxdy y x R y x 22222; (C) 0 . 8、曲面积分⎰⎰∑dxdy z 2在数值上等于( ). (A) 向量z 2穿过曲面∑的流量； (B) 面密度为2z 的曲面∑的质量； (C) 向量z 2穿过曲面∑的流量 . 9、设∑是球面2222R z y x =++的外侧,xy D 是xoy 面上的圆域222R y x ≤+,下述等式正确的是( ). (A)⎰⎰⎰⎰--=∑xy D dxdy y x R y x zds y x 2222222； (B)⎰⎰⎰⎰+=+∑xyD dxdy y x dxdy y x )()(2222； (C) ⎰⎰⎰⎰--=∑xyD dxdy y x R zdxdy 2222. 10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用高斯公式正确的是( ). (A)⎰⎰∑++外侧dxdy y z dydz x )2(2=⎰⎰⎰Ω+dxdydz x )22(； (B)⎰⎰∑+--外侧zdxdy ydzdx x dydz yz x 232)( =⎰⎰⎰+-dxdydz x x )123(22； (C)⎰⎰∑++内侧dxdy y z dydz x )2(2=⎰⎰⎰Ω+dxdydz x )12(.二、计算下列各题:1、求⎰Γzds ,其中Γ为曲线⎪⎩⎪⎨⎧===,,sin ,cos t z t t y t t x )0(0t t ≤≤；2、求⎰-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周222)(a y a x =+-,0≥y ,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题:1、求⎰⎰∑++222z y x ds 其中∑是界于平面H z z ==及0之间的圆柱面222R y x =+； 2、求⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧； 3、 ⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为曲面9)1(16)2(5122-+-=-y x z )0(≥z 的上侧 . 四、证明:22y x ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 . 五、求均匀曲面222y x a z --=的重心的坐标 . 六、求向量z y x ++=通过区域:Ω,10≤≤x10,10≤≤≤≤z y 的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1=μ), 已知流速函数zy yx xz 222++=,求流体在单位时间内流过曲面z z y x 2:222=++∑的流量(流向外侧)和沿曲线:L z z y x 2222=++,1=z 的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .测验题答案一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ；6、C ；7、B ；8、C ；9、C ； 10、B. 二、1、322)2(2320-+t ； 2、2a π. 三、1、R H arctg π2； 2、44h π-； 3、0. 四、)ln(21),(22y x y x u +=. 五、)2,0,0(a. 六、3. 七、0,1532π.。

曲线积分及曲面积分习题

通过投影化为二重积分注意的确定!
向量点积法(化为同一组坐标积分）
被积函数中有抽象函数,
故无法直接计算.
如直接计算
分析
用高斯公式.
例
Σ是锥面
所围立体的表面
计算设f(u)是有连续的导数,计算
和球面
及
外侧.
解
由于
故由高斯公式
=
球
利用两类曲面积分之间的关系
例解
其中,
解:
引申: 1.本题改为椭球面
第十章曲线积分及曲面积分习题课
PLEASE ENTER YOUR TITLE HERE
汇报人姓名
一、主要内容
曲线积分与曲面积分
01
各种积分之间的联系
02
场论初步
03
曲线积分
曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分

（一）曲线积分与曲面积分
例. 设是曲面
解: 取足够小的正数, 作曲面取下侧使其包在内, 为 xoy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算则
第二项添加辅助面, 再用高斯公式计算, 得
例.计算曲面积分
中是球面解: 利用对称性用重心公式 (曲面关于xoz面对称）
设L 是平面
时,
应如何计算 ?
应如何计算 ?
2.若本题改为不经过原点的任意闭曲面的外侧，
例. 计算曲面积分
引申: 1
计算：其中：
然后用高斯公式 .
分两种情形
情形2：包围原点的任意闭曲面。
02
问题转化为与引申1类似的情形。
03

曲面积分

复习四曲线积分与曲面积分1．能识别对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分, 计算曲线积分, 会利用格林公式, 会利用积分与路径无关(闭曲线积分为零)的条件. 例1．()d Lx y s +⎰= , 其中L 为线段AB , A (1, 0), B (0, 1).解: 由截距式方程得L 的方程为111yx +=, 即x +y =1. 因此()d d 2L Lx y s s +==⎰⎰例2．计算曲线积分d Lx s ⎰, 其中L 为抛物线x 2=4y 从点(0, 0)到点(2, 1)的一段弧.解: 1100d L x s x x ==⎰⎰⎰242)1)43x =+=⎰.例3．设L 为A (1, 1), B (-1, 1)和C (1, -1)为顶点的三角形的周边, 逆时针方向为正, 计算下列曲线积分22d d Ly x x y -⎰.解: 设L 所围成的闭区域为D , 根据格林公式, 有11221d d (22)d d 2d ()d L xDy x x y x y x y x x y y ---=--=-+⎰⎰⎰⎰⎰1122101182()d 2(1)d 223x x x x x -=-++=-+=-⎰⎰. 例4．L 是从A (1, 6)沿xy =6至点B (3, 2)的曲线段, 则e (d d )xy Ly x x y +=⎰ .解: P =ye xy , Q =xe xy . 因为e e xy xy Q Pxy x y∂∂=+=∂∂, 所以积分所路径无关. 取积分路线为从(1, 6)到(3, 6)再到(3, 2), 则(3,2)3263(1,6)16e (d d )e (d d )e 6d e 3d 0xy xy x y L y x x y y x x y x y +=+=+=⎰⎰⎰⎰.例5．计算43224(4)d (65)d cx xy x x y y y ++-⎰, 其中c 为沿曲线22149y x +=从A (-2, 0)到B (0, 3)的一段曲线.解: 这里P =x 4+4xy 3, Q =6x 2y 2-5y 4.212Q Pxy x y∂∂==∂∂, 所以积分与路径无关. 取积分路径为从A (-2, 0)到O (0, 0)再到B (0, 3), 则50343224445202(4)d (65)d d (5)d 35cx xy x x y y y x x y y -++-=+-=-⎰⎰⎰.例6．计算曲线积分(e sin 21)d (e cos 3)d x x Ly y x y y y -+++⎰, 其中L 是由点A (2, 0)到点O (0, 0)的上半圆周x 2+y 2=2x .解: 这里P =e x sin y -2y +1, Q =e x cos y +3y ,2Q P x y∂∂-=∂∂. 取L 1为从O (0, 0)到A (2, 0)的直线段, D 是由L 和L 1所围成的区域, 则由格林公式, 有1d d ()d d 2d d L L D DQ PP x Q y x y x y x y π+∂∂+=-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰,12d d d d d 2L L P x Q y P x Q y x πππ+=-+=-=-⎰⎰⎰.2．能识别对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分, 会计算曲面积分, 会利用高斯公式.例1．设∑为球面x 2+y 2+z 2=R 2,则曲面积分∑⎰⎰ = .解: 因为在球面∑R =, 所以、211d 44S R R R R ππ∑∑==⋅=⎰⎰⎰⎰ . 例2．∑为上半单位球面221y x z --=, 曲面积分222()d x y z S ∑++⎰⎰的值等于( ).(A)2π; (B)π ; (C )23π; (D)13π.解:在上半单位球面z =上, x 2+y 2+z 2=1, 所以22221()d d 4122x y z S S ππ∑∑++==⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰. 例3．计算曲面积分d z S ∑⎰⎰, 其中∑为锥面z =x 2+y 2≤x 内的部分.解:由z =d d d S x y x y ==, 于是d d xyD z S x y ∑=⎰⎰2c o s2d dr r rπθπθ-=⋅⎰32c o s d2πθθ==⎰例4．设∑是球面x2+y2+z2=2z, cos α, cos β, cos γ是∑上点的外法向量的方向余弦,则积分(cos cos cos)dx y z Sαβγ∑++⎰⎰ =.解:设Ω为曲面∑所围成的空间区域,则由高斯公式得34(c o s c o s c o s)d3d3143x y z S vαβγππ∑Ω++==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰.例5．设∑为曲面x2+y2+z2=1的外侧,求333d d d d d dI x y z y x z z x y∑=++⎰⎰ .解:设Ω是由∑所围成的空间闭区域,由高斯公式,有333222d d d d d d(333)dI x y z y x z z x y x y z v∑Ω=++=++⎰⎰⎰⎰⎰21122400000123d d s i n d6s i n d d5r r r r rπππθϕϕπϕϕπ=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰.例6．计算d d d d d dx y z y z x z x y∑++⎰⎰,其中∑为上半球面x2+y2+z2=R2(z≥0),取下侧.解:设∑1是平面z=0上由x2+y2=R2所围成的一块平面(上侧),Ω是由∑与∑1所围成的空间闭区域,则由高斯公式,有1d d d d d d(111)dx y z y z x z x y v∑+∑Ω++=-++⎰⎰⎰⎰⎰33143223R Rππ=-⋅⋅=-,而1d d d d d d0x y z y z x z x y∑++=⎰⎰所以13d d d d d d2d d d d d dx y z y z x z x y R x y z y z x z x yπ∑∑++=--++⎰⎰⎰⎰32Rπ=-.练习四1. 设平面曲线L 为下半圆周21x y --=, 则⎰+Lds y x )(22=______.2. 设L 是取正向的圆周x 2+y 2=9, 则⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2 .3. 计算曲线积分⎰-++L y dy ye x dx x x xy )()sin 32(2, 其中L 是摆线⎩⎨⎧-=-=t y tt x cos 1sin 上从点O (0, 0)到A (π, 2)的一段. 4. 验证曲线积分dy xe dx ye xy xy )1()1()1,1()0,0(+++⎰在整个xOy 面内与路径无关,并计算其值. 5. 计算曲线积分ds z y x l ⎰++2221，其中l 为曲线x =a cos t , y =a sin t , z =at 上从t =0到t =1的一段.6. 计算曲线积分ds zx yz xy l ⎰++)(, 其中l 为圆周⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x .7. 计算曲线积分⎰+++=Ldy y x dx y x I 222)()(, 其中L 是以点O (0, 0), A (2,1), B (2, 4)为顶点的三角形周界的正向.8. 设L 是xOy 平面上顺时针方向绕行的简单闭曲线, 并且⎰-=++-L dy y x dx y x 9)34()2(, 求L 所围成的图形的面积.9. ⎰⎰∑-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I )9()1(2322, 其中∑为曲面z =x 2+y 2+1(1≤z ≤2)取下侧.10. 求⎰⎰∑dydz x 2, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=1在第二卦限部分的外侧.11. 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2的外侧.12. 计算曲面积分⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333, 其中∑是上半单位球面的上侧.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1
曲线积分与曲面积分复习题
一．计算对弧长的曲线积分

1.4433()dLxys其中L为内摆线
3
3
cos(0)2sinxattyat







(=73a)

2.22dLxys,L为圆周22xyax,(22a)
3.dLxs,L为双曲线1xy从点1,12到1,1的一
段弧.
(2171ln(21)ln(174)282)

4.222dLzsxy,L为螺线
cos,sin,xatyatzat(02)t
.(
2

3
823a


)

二.计算对坐标的曲线积分
1.d()dLxyxyxy,L为2yx从(0,0)到
(1,1)

的一段弧.(1730)
2.(2)d()dayxayy,L为摆线
(sin),(1cos)xattyat
从0t到
2t

的一段弧.(2a)
3.222ddd2xxyyzzxyzxyz,是(1,1,1)到

(4,4,4)
的直线段(33)

三.格林公式及积分与路径无关
1.证明
43224
(4)d(65)dxxyxxyyy


与路径无关,
3

并求
(3,0)
43224

(4)d(65)d(2,1)xxyxxyyy




(62)

2.证明积分
2
1cosdsincosd2yyyyyxyLxxxxx








与路径无关,并求

(2,)
(1,)
2

1cosdsincosd2yyyyyxyxxxxx









(1)
3.利用格林公式计算

1.22(2cos-sin)d(2cos-sin)dLxyyxyxyxxyxy
L
是222()xy上从(0,0)到(,)的一段

弧.(23132)
2.2222(2)d(2)dxxyyxxxyyy,
L
是22(1)1xy从(0,0)到(1,1)的一段弧
4

(13)．
4.验证2222(1)dd(1)1yyxeexyxx在xOy面上是某个
函数(,)uxy的全微分,并求这样的一个
(,)uxy
(211yex)

5.验证
(sinsin)d(coscos)dxyxyeyexxeyexy

在xOy面上是某个函数(,)uxy的全微分，并求这样的
一个(,)uxy(sincosxyeyex)
5.少一求面积的题
6.少一做功问题
四.计算对面积的曲面积分

1.计算2dS(1)xy,其中为平面
1xyz

及三个坐标面所围成的四面体的表
5

面.(33(31)ln22)
2.计算()dSxyz,为上半球面
222
zaxy

(3a)

3.计算()dxyyzzx,为锥面
22
zxy

被曲面222xyax所截得的部

分.(464215a)
五.计算对坐标的曲面积分
1.ddzxy,是球面2222xyzR的下半部

分的下侧(323R).
2.22ddzexyxy,其中是锥面22zxy及平面
6

1,2zz
所围成的立体表面外侧(22e)．

3.ddddddzxyxyzyxz,是锥面
22
zxy

被1z割下的部分的下侧.

4.利用高斯公式计算曲面积分
333
ddddddxyzyzxzxy


，其中为

2222
xyza

的外侧．

六．求通量，
1.求A=xyyzxzijk流过球面
222
1xyz

在第一卦限的通量(取上侧).(316)
七．利用斯托克斯公式计算
()d()d()dyzxzxyxyz


，其中是

椭圆222,1(0,0)xzxyaabab，并从
x
的正向看去，取逆时针(2()aab)．
7

八．求向量场
2A=(e)cos()sin()xy
xyxykij

的散度和旋度