布拉格方程

解决这个问题的办法是使反射球面扫过某些倒 易阵点，这样；反射球永远有机会与倒易阵点 相交而产生衍射。要作到这一点，就必须使反 射球或晶体其中之一处于运动状态或者相当于 运动状态。符合这样条件的实验方案有以一下 三种：
1）用单色（标识）X射线照射转动的单晶体， 使反射球永远有机会与某些倒易阵点相交。这 种衍射方法称为转动晶体法。
2dsinθ=nλ
这就是布拉格公式 其中 ： n=1、2、3 任意整数（反射级数） n=1称为一级衍射 对于特定波长为λ的单色X ray，不同的
晶面d，其对应的掠射角θ不 同 θ:掠射角； 2θ:衍射角
布拉格方程的应用
X-ray diffraction analysis
λθ
d
Crystal microstructure
§3-2 布拉格公式的导出
一、几项假定
1、 晶体是理想完整的。即不忽略晶体中原子的热振动。即认为晶 体中的原子静止在空间点阵的结点上；
3、 原子中的电子皆集中在原子核中心； 4、 入射X射线束严格平行并有严格的单
一波长； 5、 晶体有无穷多晶面。
3、干涉面和干涉指数
将布拉格方程2d h k l sinθ= nλ改写为 2（d h k l / n）sinθ=λ 令d HKL =d h k l/n，则： 2 d H K L sinθ= λ 这样就把反射级数n隐含在d HKL之中，布
拉格方程变为永远是一级反射的形式
这就是说，我们把（h k l）晶面的n级 反射看成为与（h k l）晶面平行的、面间 距为d HKL =d h k l / n的晶面的一级反射， 而该晶面不一定是晶体中的一个真实原 子面。
衍射方法
方法 劳埃法
试样 单晶
λ 变化
θ 不变
周转晶体法 单晶 不变
变化
粉末法
多晶 不变
变化
4﹒3﹒2﹒4衍射花样和晶体结构的关系
从布拉格方程可以看出，在波长一定的 情况下，衍射线的方向是晶面间距d的函 数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程 （3－15） 式，则得：
立方晶系： si2n2 (H2K2L2)
§3-1 X射线在晶体中的衍射
主要是通过X射线在晶体中产生的衍射研究晶体结构 中的各类问题;
当一束X射线照射到晶体上时，首先被电子所散射， 每个电子都是一个新的辐射波源，向空间辐射出与 入射波同频率的球面波。
可以把晶体中每个原子都看作新的波源，它们各自 向空间辐射与入射波同频率的电磁波(球面波)。
2）用多色（连续）X射线照射固定不动的单 晶体这种实验方法称为劳厄法
3）用单色（标识）X射线照射多晶体试 样。多晶体中，由于各晶粒的取向是任 意分布的，因此，固定不动的多晶体就 其晶粒间的位向关系而言。相当于单晶 体转动的情况。在实验过程中尽管多晶 体试样不动；也完全可以使反射球有充 分的机会与某些倒易阵点相交，如果多 晶体转动；就更增加了这种巩会。这样 的实验方法总称为多晶体衍射方法
2、产生衍射的极限条件 据 2dsinθ= nλ ∵ sinθ≦ 1 ∴ nλ/2d = sinθ ≦ 1 即 nλ≦ 2d n取最小值1时，则 ⑴ λ≦ 2d
即d一定时，能够产生衍射的波长必须小于d的二倍。 ⑵ d ≧λ/2
即波长一定时，能够反射的晶面族其d 值必须大于 λ/2。
就是说，能在晶体中产生衍射的波长是有限度的；在 晶体中能够产生衍射晶面族也是有限的。
二、布拉格公式的导出
单一晶面反射
Single Crystal Plane Reflection
δ =AD-CB=abcosθ -abcosθ =0
晶体反射（布拉格反射）
Fig 2. Crystal Diffraction(Bragg Diffraction)
δ=EB+BF=2dsinθ = nλ
但是，布拉格方程并未反映出晶胞中原 子的品种和位置。譬如，用一定波长的X 射线 照射图2-12所示的具有相同点阵常 数的三种晶胞。
简 单晶胞 ［图2-12（a） ］和体 心晶胞 ［图2-12（b）］衍射花样的区别，从布 拉洛方程中得不到反映；由单一种类原 子构成的体心晶胞 ［图2-12（b）］和 由A、B两种原子构成的体心晶胞［图212（c）］衍射花样的区别，从布拉格方 程中也得不到反映，因为在布拉格方程
X射线的本质是 。X射线的散射分为相 干散射和非相干散射，X射线衍射分析主要 是利用了 散射。
相干散射 4.晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽
象，有严格的物理意义。而倒易点阵不是客 观实在，没有特定的物理意义，纯粹为数学 模型和工具。（ ）
第三章 布拉格方程与粉末照相
X－ray在晶体中的衍射 布拉格定律 粉末衍射成像原理
而各三角形的另一些底角的顶点为满足 衍射条件的倒易阵点。
由一般的几何概念可知，腰边相等的等 腰三角形其两腰所夹的角顶为公共点时， 则两个底角的角顶必定都位于以两腰所 夹的角顶为中心，以腰长为半径的球面 上
由此可见，满足布拉格条件的那些倒易 阵点一定位于以等腰矢量所夹的公共角
顶为中心，以 1 为半径的球面上
4a2
正方晶系：

斜方晶系
六方晶系：
si2n42(H2a2K2cL2 2)
si2n42(H a22K b22cL2 2)
si2n4 2(3 4H 2H a2 K K 2c L 2 2)
从这些关系式可明显地看出，不同晶系 的晶体，或者同一晶系而晶胞大小不同 的晶体，其衍射花样是不相同的。由此 可见，布拉格方程可以反映出晶体结构 中晶胞大小及形状的变化。
（3－20）
这样，我们又可以把布拉格定律说成为：当 满足衍射条件时，衍射矢量的方向就是反射
晶面的法线方向，衍射矢量的长度与反射晶 面族面间距的倒数成比例，而λ相当于比例 系数
如果我们把（3—20）式与倒易点阵联系起来，则 不难看出，衍射矢量实际上相当于倒易矢量。由 此可见，倒易点阵本身就具有衍射属性。将倒易 矢量引入（3—20）式，即得到：
中不包含原子种类和坐标的参量。晶胞
中原子的位置和种类的影响将在下一章 的结构因子和衍射线强度理论中介绍。
它表明入射线方向、衍射线方向和倒易矢量之间的 几何关系。当一束X射线以一定的方向照射到晶体 上时。可能会有若干个晶面族满足衍射条件，即在 若干个方向上产生衍射线。这也就是说，在一
个公共边 S 0 上构成若干个矢量三角形。

其中，公有矢量 S 0 的起端为各等腰三角顶

角的公共顶点，末端为各三角形中一个底角的公共 顶点，也是倒易点阵的原点
由于这些散射波之间的干涉作用，使得空间某些方 向上的波始终保持相互叠加，于是在这个方向上可 以观测到衍射线;而另一些方向上的波则始终是互相 是抵消的，于是就没有衍射线产生。
X射线在晶体中的衍射现象，实质上是大量的原子散 射波互相干涉的结果。
晶体所产生的衍射花样反映出晶体内部的原子分布 规律。一个衍射花样，可以认为包含两个方面的信 息：
§3-3衍射矢量方程和尼瓦尔德图解
X射线在晶体中的衍射，除布拉格方程和 劳厄方程外，还可以用衍射矢量方程和 厄瓦尔德图解来表达
在描述X射线的衍射几何时，主要是解决 两个问题：一是产生衍射的条件，即满 足布拉格方程；二是衍射方向，即根据 布拉格方程确定衍射角2θ
现在把这两个方面的条件用一个统一的矢量形 式来表达。为此，需要引入衍射矢量的概念
SS 0rHa KbL（c3－21）
上式就是例易点阵中的衍射矢量方程。利用衍射 矢量方程可以在倒易空间点阵中分析各种衍射问 题 ，下面看下三个矢量间的关系。

衍射矢量方程的图解法表达形式是
由
S
、
S
0
，r*三个矢量构成的等腰矢
量三角形（图2-12）
它表明入射线方向、 衍射线方向和倒易 矢量之间的几何关系
如图2-15所示，当一束X射线被晶面P反射时， 假定N为晶面P的法线方向，入射线方向用单 位矢量S0表示，衍射线方向用单位矢量S表示， S—S0称为衍射矢量
从图2-15可以看出，只要满足布拉格方程， 衍射矢量S—S0必定与反射面的法线N平行， 而它的绝对值为：

SS0
2sin
dHKL
厄瓦尔德图解法可以同时表达产生衍射的条件和 衍射线的方向
厄瓦尔德图解、布拉格方程和劳厄方程是描述X 射线衍射几何的等效表达方法
在这三种表达方法中，布拉格方程和厄瓦尔德图 解更具有实用价值
从上述产生衍射的条件可以看出，并不是随便把 一个晶体置于X射线照射下都能产生衍射现象
因此；在设计实验方法时，一定要保证反射球面 能有充分的机会与倒易阵点相交，才能产生衍射 现象

根据这样的原理，厄瓦尔德提出了倒易点阵中衍射 条件的图解法，称为厄瓦尔德图解法
其作图方法如图2-17所示。沿入射线方向作长度为
1 的矢量，并使该矢量的末端落在倒易点阵的原点O*。

以矢量 S 0

的起端C为圆心，以
1
为半径画一个球，
称为反射球，凡是与反射球面相交的倒易阵点（P1
和P2）都能满足衍射条件而产生衍射。
analysis
X-ray fluorescence analysis
dθ λ Z
Component analysis
三、布拉格方程的讨论
1、X射线衍射与可见光反射的区别
⑴ X射线衍射具有“选择反射”特性。即只有当λ、 θ、d三者之间满足布拉格方程时才能发生反射； 而可见光可以在任何入射角反射。
⑵ X射线衍射束是晶体中深层原子散射线的干涉结果； 可见光的反射只在表面进行。 ⑶ X射线衍射光束的强度远较入射光束微弱；约1%。 而可见光的镜面反射效率很高，对铝、铜、银可达 50-80%。