2020年八年级数学上册第十五章小结与复习
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件1-5
第十五章分式小结与复习
要点梳理一、分式
1.分式的概念：
一般地，如果A 、B 都表示整式，且B 中含有字母，那么称
为分式.其中A 叫做分式的分子，B 为分式的分母.
2.分式有意义的条件：
对于分式：当_______
时分式有意义；当_______
时无意义.B≠0B=0
3.分式值为零的条件：
当___________
时，分式的值为零.
A =0且
B ≠04.分式的基本性质：0A A
C A A C C B B C B B C
（）,.⋅÷==≠⋅÷
约分的基本步骤
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．。
人教版八年级数学上册课件：第十五章 小结与复习 (共33张PPT)
考点四 分式方程的应用
例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已 知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路 程是高铁的行驶路程的1.3倍．
(1)求普通列车的行驶路程；
解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列 车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相 乘即可；
3
y3
本题还可以由已 知条件设 x=2m,y=3m.
课堂小结
分式
分式的定义及有意义的 条件等 分式的运算及化简 求值
分式方程的
分
式
分 式 方 程 定义 分式方程的解
法
分式方程 的应用
步骤 类型
一审二设三列四解 五检六写，尤其不 要忘了验根
行程问题、工程问 题、销售问题等
(x1，yx求1y)x222xxyy2
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简
分式再代入求值.
解：原式= 2x
(xy)2 xy ,
(xy)(xy) 2x xy
把x=1 2 1,y=2
代入得
原式= 1 2(1 2)2 2 2.
1 21 2 2
归纳总结
对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可 以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求 出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有 直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件， 这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的 方法.
第十五章 分 式
小结与复习
人教版·八年 级上册
要点梳理
一、分式 1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有A
B
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变 答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（ ）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1， 故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5， 故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（ ）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6， 去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答． 解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（ ）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1， 方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值． 答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝ ，x 2＝ ；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值． 答案：(1)3，23；(2)19；(3)12． 分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19； （3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。
八年级数学上册 第15章 数据的收集与表示小结与复习课件
针对训练 u数形结合(jiéhé)思想
例5 某课题小组为了解某品牌电动自行车的销售情况，对某专
卖店第一季度该品牌A 、B、C、D四种(sì zhǒnɡ)型号电动自行车的销量
做了统计，绘制成如下两幅统计图（均不完整）．
（1）该店第一季度售出这种品牌的电动自行车共多少辆？
（2）把两幅统计图补充完整；
（3）若该专卖店计划订购(dìnggòu)这四款型号的电动自行车2400辆， 求
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考点四 本章数学思想和解题方法
u转化(zhuǎnhuà)思想
例4 某校对某班45名学生初中三年中戴近视眼镜人数进行了跟踪 调查，统计数据如图①所示．
（1）如果(rúguǒ)用整个圆代表该班人数，请在图②圆中画出该班七年级初 戴近视眼镜人数和未戴近视眼镜人数的扇形统计图，并标出百分比；
并绘制成不完整的条形图．已知最喜欢篮球的人数占调查人
数的32%，最喜欢排球的人数是最喜欢足球人数的1.5倍．
（1）最喜欢排球的人数是
，12
被调查的学生数是 50 ；
（2）将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示(biǎoshì)统计结果，
则最喜欢羽毛球的人数所对应扇 形的圆心角为 100.8 度．
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解： （1）210÷35%=600（辆）． 答：该店第一季度售出这种品牌(pǐn pái)的电动自行车共600辆．
（2）补全条形(tiáo xínɡ)统计图．
（3）2400×30%=720（辆）．
答：C型电动(diàn dònɡ)自行车应订购720辆．
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5．扇形统计图的特点
人教版数学初二上学期第十五章知识点总结
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！人教版数学初二上学期第十五章知识点总结第十五章分式一、知识框架：二、知识清单：1.分式：形如AB，A B、是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a b c c c±±= ⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c ac b d bd⨯= ⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d ad b d b c bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭ 8.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.9.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)；④写出分式方程的解.11.列分式方程解应用题：①审题，弄清题意；②设未知数，根据题意，设未知数；③根据题意列方程④解方程求出未知数的值⑤检验，看未知数的值是否符合题意，是否符合方程⑥下结论，写出方程的解.。
沪科版数学八年级上册 第15章 小结与复习
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
三、等腰（边）三角形
1. 定理①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）.
推论： 等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°.
3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质： 判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么 它所对的直角边等于斜边的一半.
2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形．
A
l A′
B
B′
C
C′
解：△A′B′C′ 就是所求作的图形.
考点二 线段的垂直平分线
例2 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂
直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB +
BD 与 DE 有什么关系？
【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.
在直角三角形中，如果一个锐 角等于 30° ，那么它所对的直 角边等于斜边的一半.
E
F
B
D
C
针对训练 6. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是
E，F， DE = DF， ∠EDB = 60°，则 ∠EBF = 60 °，
BE = BF . E A
C
B
DC
D 第7题图
第6题图
F
GA
EB
7.△ABC中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，
2019-2020年八年级数学上册(人教课标)小结与复习：第十五章 分式小结与复习
2019-2020年八年级数学上册（人教课标）小结与复习：第十五章 分式小结与复习 1．形如AB(A 、B 是 ，且B 中含有 ，B ≠0)的式子，叫做分式． 2．分式有、无意义的条件：当分母 时，分式有意义；当分母 时，分式无意义．3．分式值为零的条件：当分式的分子 ，分母 时，分式的值为零． 4．分式的基本性质是：分式的分子与分母都 （或 ）同一个 的整式，分式的值 ．5．分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的 ，分母的积作为积的 ；分式除以分式，把除式的分子、分母 后，与被除式 ．6．分式的乘方：分式乘方，把分子、分母 ．7．同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ；异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先 ，变为同分母的分式，然后再 ．8．分母中含有 的方程叫做分式方程． 9．解分式方程的步骤：（1）分式方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，转化为 方程； （2）解这个 方程；（3）检验，把 方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值 ，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去．10．我们规定：任何不等于零的数的零次幂都等于 ，即0a = （a ≠0）． 11．一般地，当n 是正整数时，n a -= （a ≠0）．即任何不等于零的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的 ．12．一般地，绝对值小于1的数可以表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，即a 是整数位数只有 位的数；n 是一个 整数．考点呈现考点1 分式值为0的条件例1 （2013年温州）若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A ．x =3 B ．x =0 C ．x =－3 D ．x =－4 解析：因为分式43+-x x 的值为0，所以x －3=0，x +4≠0，所以x =3．故选A ． 点评：分式的值为0的条件是分子为0，分母不为0，这两个条件缺一不可. 考点2 分式的基本性质例2 （2013年淄博）下列运算中错误的是（ ）A.22)()(a b b a --=1 B.b a b a +--=-1 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.a b a b b a b a +-=+- 解析：2222)()()()(b a b a a b b a --=--=1，A 选项正确；b a b a b a b a b a b a ++-=++-=+--)(=-1，B 选项正确；ba ba b a b a b a b a 3210510)3.02.0(10)5.0(3.02.05.0-+=⨯-⨯+=-+，C 选项正确；ab ab a b a b b a b a +--=+--=+-)(，D 选项错误.故选D. 点评：解“判断下列运算（或说法）错误（或正确）”类型的选择题，除了采用逐一验证四个选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合题意的答案. 考点3 分式的运算例3 （2013年凉山州）化简：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m 的结果为 ．解析：)1(111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m m =)1(1111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++m m m m =)1(1+∙+m m m =m .故填m. 例4 （2013年泰安）化简分式⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x 的结果是（ ） A ．2 B ．12+x C ．12-x D ．－2 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛++-÷-1112122x x x =()()()()221111x x x x x x ⎡⎤-÷+⎢⎥---⎣⎦+1+1 =()()211x x x x ÷--+1+1=()211x x ∙--=2．故选A ． 点评：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果要化成最简分式或整式． 考点4 分式的化简求值例5 （2013年重庆）先化简，再求值：4442122+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x x x ，其中x 是不等式173>+x 的负整数解．解：4442122+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---+x x x x x xx =444)2()1()2)(2(2-+-⋅---+-x x x x x x x x x=4)2()2(4222--⋅-+--x x x x x x x=4)2()2(42--⋅--x x x x x =xx 2-.由173>+x ，解得2->x ． 又x 为负整数，所以1-=x . 当1-=x 时，原式=3121=---． 点评：分式的化简求值，要根据所给式子的特点，按照分式化简的步骤化简，最后代值计算．考点5 科学记数法例6（2013年茂名）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 μm （0.000 002 5 m ）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物．将0.000 002 5用科学记数法表示为（ ）A ．25×10－7B ．2.5×10－6C ．0.25×10－5D ．2.5×106解析：0.000 002 5=2.5×10－6.故选B.点评：把一个数写成a ×10n的形式（其中1≤a ＜10，n 为整数），称为科学记数法.当原数的绝对值≥10时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位数上的0）. 考点6 解分式方程 例7（2013年资阳）解方程24x x -＋22x +＝12x -.解：方程两边乘（x ＋2）（x －2），得x ＋2（x －2）＝x ＋2. 解得x ＝3.检验：当x ＝3时，（x ＋2）（x －2）≠0.所以，原分式方程的解为x ＝3．点评：解分式方程的基本思想是“化分式方程为整式方程”，解分式方程后一定要注意检验．考点7 根据方程的解确定字母的值或取值范围 例8 （2013年扬州）已知关于x 的方程2123=++x nx 的解是负数，则n 的取值范围为 ．解析：化简方程2123=++x nx ，得x=n －2.根据题意，得x<0且2x+1≠0，所以n －2<0且2（n －2）+1≠0，解得2<n 且23≠n . 点评：解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，进而求解．要注意分式方程增根的存在. 考点8 列分式方程解应用题例9 （2013年湘西）吉首城区某中学组织学生到距学校20 km 的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．解：设骑自行车学生的速度为x km/h ，则汽车的速度为2x km/h. 根据题意，得2122020=-x x ． 解得x =20．经检验，x =20是原方程的解，且符合题意． 答：骑自行车学生的速度为20 km/h ．点评：分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，得到等量关系式，进而引进未知数，列方程解决问题.误区点拨易错点1 分式的基本性质理解不深例1 若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ） A.EB E A B A ⋅⋅=（E 为整式） B.E B EA B A ++=（E 为整式）C.()()1122+⋅+⋅=x B x A B AD.()()2211+⋅+⋅=x B x A B A 错解：选A 或D.剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变.所以B 选项明显不正确；A 选项和D 选项中E 和2)1+x （均可能为零，所以A ，D 选项错误；C 选项中112≥+x ，C 选项正确.正解：选C.易错点2 忽视分母不为0的条件 例2 若方程08242=---x x x ，则=x .错解：填±4.剖析：若分式的值为0，则分子为0且分母不为0，所以04=-x ，且0822≠--x x ， 则4-=x .错解未考虑分式的分母不为0.正解：填-4. 易错点3 轻易约分 例3 x 取何值时，分式()()223x x x +++有意义？错解：原式13x =+.由03≠+x ，得3-≠x .所以当3-≠x 时，分式()()223x x x +++有 意义.剖析：错解约去分母中的2+x ，但无法确定2+x 不为零，使得未知数x 的取值范围 扩大，导致漏解.正解：由（x+2）（x+3）023x x ≠≠-≠-，得且.所以当32-≠-≠x x 且时，分式()()223x x x +++有意义.易错点4 分式的运算顺序错误例4 计算()()222111x x x x x ÷+-+.错解：原式=121122-=+÷-x x x x x . 剖析：分式的乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计 算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误.正解：原式=()()()222212122421111x x x x x x x xx x +++++==---. 易错点5 分式的增根认识不清 例5 若关于x 的方程0111=--+x ax 有增根，则a 的值为________. 错解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a .因为原分式方程有增根，所以x-1≠0，即x≠1. 所以112≠--a ，解得a≠-1. 剖析：分式方程的增根应是最简公分母分母为0的x 值，即x=1而不是x≠1.正解：原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）=0.解得x=12--a . 因为原分式方程有增根，所以x-1=0，即x=1. 所以211a -=-，解得a=-1. 跟踪训练1.（2013年攀枝花）若分式211x x -+的值为0，则实数x 的值为______.2.（2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为 平方公里．3.（2013年大连）化简：x ＋1－122++x x x ＝___________．4.（2013年德阳）已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围是__________.5.（2013年盘锦）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍．设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为____________.6.（2013年宁夏回族自治区）解方程1326-+=-x xx .7.（2013年普洱）先化简，再求值：2222211a a a aa a a +++÷-+，其中a=2013.8.（2013年三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款式T 恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T 恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．（1）第一批该款式T 恤衫每件进价是多少元？（2）老板以每件120元的价格销售该款式T 恤衫，当第二批T 恤衫售出45时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T 恤衫每件售价至少要多少元？（利润＝售价－进价）分式小结与复习知识梳理：略.跟踪训练：1. 1 2. 4810-⨯ 3.11+x 4. m>﹣6且m≠﹣4 5. 61255=-x x 6. 解：方程两边乘（x －2）（x+3），得)3)(2()2()3(6+---=+x x x x x . 解得x=34-. 检验：当x=34-时，（x －2）（x+3）≠0. 所以，原分式方程的解为x=34-.7. 解：2222211a a a a a a a +++÷-+=222(1)(1)1a a a a a a +⋅-++=211a aa a -++ =21a a a -+=1aa +. 当a=2013时，原式=201320131+=20132014.8. 解：（1）设第一批T 恤衫每件进价x 元． 根据题意，得450049509x x =+. 解得90x =．经检验，90x =是原方程的解，且符合题意． 答：第一批T 恤衫每件进价是90元．（2）由（1）知，第二批购进T 恤衫49505099=（件）． 设剩余的T 恤衫每件售价y 元，根据题意，得411205050495065055y ⨯⨯+⨯⨯-≥．解得y ≥80.答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．。
八年级数学上册 第十五章分式小结与复习课件2_1-5
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显
然现在解不出a的值，如果将
的分子、
分母颠倒过来，即求
的值，
再利用公式变形求值就简单多了．
归纳总结
利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式 的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程 简洁．
针对训练
5.已知x2-5x+1=0,求出x4
例3 已知x= 1−
2 ,y=1+
2 ，求
(
x
1 +
y
+
x
1 −
y
)
x2
−
2x 2xy
+
y2
的值.
【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.
解：原式=
2x
(x − y)2 = x − y ,
(x− y)(x+ y) 2x x + y
把x= 1− 2 ,y= 1+ 2 代入得
原式+1=0, 得 x − 5 + 1 = 0, 即 x + 1 = 5.
x
x
所以
x4 +
1 x4
= (x2 +
1 x2
)2
−
2
= [( x + 1 )2 − 2]2 − 2 x
= (25 − 2)2 − 2
= 527.
天下已定，我固当烹。当她看到商人一副充满忧愁的面容，听到他的叹息，便站往了。”
在一个村庄，人们拿出了一头牛做为祭神的牺牲，还邀请左右乡邻共同参加祭献。 电影在线观看 /tv/29.html ”
狼还是不停地摇头：“不行，不行，那家唯一的一头小奶牛是我咬死的，我可不敢自投罗。过了好长时间，那条蛇才出现了。， 所以说不是所有美丽的事物都如表面看上去那么风光
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10.先化简，再求值：
(1)1
1 x
÷x
2
2x x
1，其中
x＝2；
解：原式＝
x x
1 x
÷( x
1)2 x
＝xຫໍສະໝຸດ x1· (xx 1)2
＝
x
1
. 1
当 x＝2 时，原式＝ 1 ＝1. 2 1
(2)(2019·菏泽中考)
x
1
y
·
2y x y
1
÷ y
2
1
x2
，其中
x
＝y＋2019.
解：原式＝ 1 ·2 y (x y) ·(y＋x)(y－x)＝x－y. xy xy
9．计算：
(1)1
1 x 1
x2； x2 1
解：原式＝ x 2 (x 1)(x 1) ＝x＋1. x 1 x 2
(2)
a2
4ab ab
4b2
÷
3b2 ab
a
b
.
解：原式＝
(a
2b)2
3b2 ÷
a2
b2
＝
(a
2b)2
·
ab
ab
ab
ab
＝ a 2b .
(2b a)(2b a) 2b a
6．计算(－3)0÷
1 3
2
的结果是(
A． 1 6
B．0
C．9
D) D． 1 9
7. (2019·临沂中考)计算 a2 a 1的正确结果是 a 1
(B)
A．－ 1 a 1
C．－ 2a 1 a 1
B. 1 a 1
D. 2a 1 a 1
8．化简(a－1)÷
1 a
1·a
的结果是(
A
)
A．－a2 B．1 C．a2 D．－1
13．(2019·宿迁中考)关于 x 的分式方程 1 ＋ a 2 x2 2x
＝1 的解为正数，则 a 的取值范围是_a_＜___5_且__a_≠_3__.
14．(2019－2020·曹县期末)某车间加工 12 个零件 后，采用新工艺，工效比原来提高了 50%，这样加 工同样多的零件就少用 1 小时，那么采用新工艺前 每小时加工的零件数为___4_____个．
15．解方程： (1) x 3－ 2 ＝1；
x3 x3 解：方程的两边同乘(x－3)(x＋3)， 得(x＋3)2－2(x－3)＝(x－3)(x＋3)． 去括号，得 x2＋6x＋9－2x＋6＝x2－9. 移项、系数化为 1，得 x＝－6. 经检验，x＝－6 是原分式方程的解． 所以原分式方程的解为 x＝－6.
A．2－x B．x－2 C．2x＋4 D．x＋4
2．(2019·扬州中考)分式 1 可变形为( D ) 3 x
A. 1 3 x
B． 1 3 x
C. 1 x3
D． 1 x3
3．下列分式中，是最简分式的是( A )
A. x2 1 x2 1
C.
x2
2xy x2 xy
y2
x 1 B. x2 1 D. x2 36
(2)
4 x2
＋1＝ 1
x x
1 1
.
解：方程两边同乘(x2－1)，
得 4＋x2－1＝x2－2x＋1.
解得 x＝－1.
检验：当 x＝－1 时，x2－1＝0，
所以原分式方程无实数解．
16．(2019－2020·房山区期末)列分式方程解应用题： “5G 改变世界，5G 创造未来．”2019 年 9 月，全球 首个 5G 上海虹桥火车站，完成了 5G 网络深度覆盖， 旅客可享受到高速便捷的 5G 网络服务．虹桥火车 站中 5G 网络峰值速率为 4G 网络峰值速率的 10 倍， 在峰值速率下传输 7 千兆数据，5G 网络比 4G 网络 快 630 秒，求 5G 网络的峰值速率．
解：设购买甲种物品 y 件， 则乙种物品购进(55－y)件． 由题意得 5000≤100y＋90(55－y)≤5050， 解得 5≤y≤10. ∵y 为整数，∴y 可取 5，6，7，8，9，10. ∴共有 6 种选购方案．
2x 12
4．当 a＝2019 时，分式 a2 4 的值是__2_0_2_1____. a2
5．(2019·河南中考)成人每天维生素 D 的摄入量约 为 0.0000046 克．数据“0.0000046”用科学记数法表 示为( C ) A．46×10－7 B．4.6×10－7 C．4.6×10－6 D．0.46×10－5
∵x＝y＋2019，
∴原式＝y＋2019－y＝2019.
11．(2019·株洲中考)关于 x 的分式方程 2 5 ＝0 x x3
的解为( B ) A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝2 D．x＝3
12．(2019·襄阳中考)定义：a*b＝ a ，则方程 2*(x b
＋3)＝1*(2x)的解为___x_＝__1____.
快速对答案
1C 2D 3A 4 2021 5C 6D
7B
8A
9
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10
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11 B
12 x=1
提示：点击 进入习题
13 a<5且a≠3
14 4
15
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16
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17
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1．(2019－2020·邢台市沙河市期末)已知 x＝－2 时， 分式 x 1无意义，则“ ”可以是( C )
解：设 4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 千兆数据． 依题意，得 7 7 ＝630.
x 10x 解得 x＝0.01. 经检验：x＝0.01 是原方程的解，且满足实际意义． 10x＝10×0.01＝0.1. 答：5G 网络的峰值速率为每秒传输 0.1 千兆数据．
17．(2019·巴中中考)在“扶贫攻坚”活动中，某单位 计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品 的单价比乙物品的单价高 10 元，用 500 元单独购买 甲物品与用 450 元单独购买乙物品的数量相同．
(1)请问甲、乙两种物品的单价各为多少？ 解：设乙种物品的单价为 x 元，则甲种物品的单价 为(x＋10)元． 由题意得 500 ＝ 450 ，解得 x＝90.
x 10 x 经检验，x＝90 符合题意． ∴甲种物品的单价为 100 元，乙种物品的单价为 90 元．
(2)如果该单位计划购买甲、乙两种物品共 55 件， 总费用不少于 5000 元且不超过 5050 元，通过计算 得出共有几种选购方案？