多信号分离技术

多信号分离技术本文提出了4种信号分离的方法：基于Gabor 变换的盲分离法，基于ICA 的混合图像盲分离算法，基于二阶统计量的盲分离方法，基于线性正则变换的信号分离方法，分别对信号分离做出详实的分析与总结。

盲信号分离( Blind Source Separation, 简称BSS)是指在源信号和传输信道未知的情况下,只利用观测信号所携带的信息以及源信号之间相互统计独立的假设,实现对传输信道的辨识和源信号的分离,是当前信号处理学界的热点课题之一。

目前,比较典型的方法包括Cardoso 提出的基于四阶累积量矩阵联合对角化的方法(JADE 法)、Hyvarinen 提出的逐次提取独立分量的"固定点算法"(Fast ICA)、Cichocki 和Amari 提出的自然梯度法、Lee 提出的信息极大化及其扩展算法(Infomax)等。

同时,盲信号分离技术已经在很多领域尤其是机械故障诊断领域得到了应用,如对提取的声音信号进行BSS 从而进行特征识别;将一种非线性自适应BSS 算法应用到齿轮的故障诊断中,发现该方法能够确定齿轮局部故障的位置;证明了分数Fourier 变换的一个新性质,通过对混合信号的不同阶次分数Fourier 变换的结果进行联合对角化处理从而得到一种盲信号分离新方法, 并用于货车轴承的故障诊断;对常见的几类BSS 方法的特点和性能进行了比较,提出了一套评价准则;分别研究了盲信号分离算法在特定机械系统中的应用。

1 基于Gabor 变换的盲分离新方法1.1 Gabor 变换Gabor 变换是Gabor 在1946年提出的。

它是通过信号的时间平移和频率调制形式建立非平稳信号的联合时间-频率函数, 然后对时间-频率平面进行采样划分,将时频平面(t,f)转换成另外两个离散采样网格参数k 和l 的平面,在二维平面(k,l)上表征非平稳信号。

信号s(t)的连续Gabor 变换定义为:()()∑∑∞-∞=∞-∞==k l l k lk t g dt s ,,。

式中: l k d ,称为Gabor 展开系数,而:()()t jl l k e kT t g t g Ω-=,, 2,1,0,±±=l k 称为Gabor 基函数, 需满足条件()T dt t g lk π2,12,=Ω=⎰，T 为时宽。

Gabor 展开系数可以表示为:()()⎰∞∞-*=dt t t s d l k l k ,,γ。

其中()t l k *,γ是()t l k ,γ的共轭, 而()t l k ,γ是Gabor 基函数()t g l k ,的对偶函数, 满足双正交条件:()()()()⎰=-Ω*l k dt e kT t t g tjl l k l k δδγ,,。

长度为N 的离散时间信号()k t s 的Gabor 展开为:()()∑∑-=-=Ω-=101,K k L l t jl klk k ke kT tg d t s 。

其中Gabor 展开系数由下式确定:()()∑-=Ω-=1*,N t t jl kkl k k k e kT tt s d γ。

式中,T 和Ω分别表示时间和频率采样间隔, 而K 和L 分别是时间和频率采样的样本个数。

离散Gabor 变换同样满足双正交条件:()[]()()()l k t e kL tg N t k t jl kk k δδγ=+∑-=Ω-1*。

显然,Gabor 变换属于一种线性变换。

1.2 盲信号分离方法设n 个信号源S 所发出的信号被m 个传感器接收而得到输出信号X 这里假设传输是瞬时的，即不同信号到达各个传感器的时间差别可以忽略不计,并且传感器接收到的信号是各个源信号的线性组合,则BSS 的线性混合模型可表示为:AS X =。

对于此混合模型,两端同时取Gabor 变换得:mn mn S A X ∙=。

式中mn X 、mn S 分别为混合信号X 、源信号S 的Gabor 展开系数。

在Gabor 时频平面上, 如果任意一个源信号均有某一局部区域与其它源信号不重叠, 那么就能够实现所有源信号的精确分离。

例如假设在Gabor 变换时频平面某一局部区域()11,l k 内只有()t s 1存在, 其中l l k k ⊂⊂11,则在该区域中混合信号X 经过Gabor 变换后的任一分量满足111s a s a x i nj j ij i ∑===。

那么我们就能通过()m i a i ,,2,11 =之间的比值确定混合矩阵A 的第一列之间的比值关系。

同理,可以类似地确定混合矩阵A 的其它列之间的比值关系,从而得到混合矩阵A 的一个估计A ,而解混矩阵为:1-=A B作为一个特例, 如果所有的源信号均由正弦信号组成,则本文方法可以更加方便地实现。

现假设()t S 的第h 个分量为:()∑==hhr r r t j hrh e bt s 1ω。

式中:hr ω表示源信号()t s h 中各个分量的频率, 它们之间互不相等, 即()t s h 由h r 个不同频率的分量组成,hr b 表示各个频率分量在源()t s h 中的系数。

这样, 混合信号第i 个分量可表示为:()∑∑===n h r r t j hrih i hhr e b at x 11ω式中:n 表示源信号的总数,ih a 表示混合矩阵A 第i 行第h 列元素。

对上式进行Gabor 变换, 并且利用Gabor 变换的双正交条件可得:()∑∑==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=nh r r hrhrih i lk hb a T d112,12ωωδπ混合信号的其它分量()t x j 同()t x i 的Gabor 展开系数的比值:()()()()∑∑∑∑∑∑∑∑========--=-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==n h r r hr hr jh n h rr hr hr ih n h r r hr hr jh n h rr hr hr ih j lk i l k hjih hhhb a b a b a T b a T d d 1111112112,,1212ωωδωωδωωδπωωδπλ 由上式可以看出, 观测信号在频率为hr ω处, 其Gabor 展开系数的比值保持不变,均为jhihh ji a a =λ,与其它因素无关。

对Gabor 时频平面上所有单一频率存在处(即前述局部区域)求Gabor 变换系数的比值, 可得比值矩阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=h m m m hA 1211112212112111111111λλλλλλ这样便得到所求的近似混合矩阵。

对于其它类型的源信号的混合,同样可以得到类似结果。

由上述可知, 应用本文方法的关键在于如何确定Gabor 变换时频平面上这样的局部区域。

一些文献指出: 可以通过观察时频平面某些局部区域的Gabor 展开系数的比值, 并且结合这些比值的方差变化对信号在时频平面进行聚类处理。

我们通过这种聚类思想来确定相应的局部区域。

由以上可知, 如果在某一局部区域处只有一个源信号频率成分, 则观测信号的 比值h ji λ是一常数,因此其方差为0,那么找出Gabor 变换时频平面上所有局部方差为零的局部区域即可。

但在实际应用中,由于Gabor 变换过程中计算误差造成的影响,在这些局部区域处比值h ji λ通常不恒为常数,其方差也不恒为0。

为减少其误差,可将Gabor 展开系数的比值分成多段,然后求其方差,若某段中有一频率处的h ji λ的方差最小,那么该段对应的Gabor 展开系数的比值的均值即为所求。

将所求混合矩阵求逆便得到解混矩阵B , 然后通过它把源信号S 估计出来, 即:X A BX Y 1-==在应用此方法的过程中, 并无对源信号之间独立性的要求, 因此此方法可以处理非相互独立的源信号的盲分离。

同时,此方法并无关于源信号的高斯性假设, 因此当源信号中存在多个高斯信号时仍然可以分离。

这是此方法与传统盲信号分离方法的最大不同之处。

2 基于ICA 的混合图像盲分离算法2.1 ICA 基本原理独立分量分析旨在对独立信源产生且经过未知混合的观测信号进行盲分离, 从而重现原独立信源, 其应用主要集中在盲源分离和特征提取两方面。

ICA 问题可简单描述为:设有N 个未知的源信号()N i t S i ,,1, =构成一个列向量()()()[]TN t S t S t S ,,1 =其中,t 是离散时刻,取值为 ,2,1,0。

设A 是一个N M ⨯维矩阵,一般称为混合矩阵(mixing matrix)。

设()()()[]TM t X t X t X ,,1 =是由M 个可观察信号()M i t X i ,,1, =，构成的列向量, 且满足下列方程:()()N M t AS t X ≥=,BSS 的问题是,对任意t ,根据已知的()t X 在A 未知的条件下求未知的()t S 。

这构成一个无噪声的盲分离问题。

设()()()[]TM t N t N t N ,,1 =是由M 个白色、高斯、统计独立噪声信号()t N i 构成的列向量, 且()t X 满足下列方程:()()()N M t N t AS t X ≥+=,，则由已知的()t X 在A 未知时求()t S 的问题是一个有噪声盲分离问题。

ICA 的目的是对任何t , 根据已知的()t X 在A 未知的情况下求未知的()t S ,ICA 的思路是设置一个N M ⨯维反混合阵()ij w W =,()t X 经过W 变换后得到N 维输出列向量()()()[]TN t Y t Y t Y ,,1 =，即有()()()t W AS t W X t Y ==整个过程可以表示成如图：ICA 的线性模型如果通过学习得以实现I WA =( I 是N M ⨯维单位阵),则()()t S t Y =,从而达到了源信号分离目标。

2.2 Fast ICA 算法Fast ICA 算法本质上是一种最小化估计分量互信息的神经网络方法,利用最大熵原理来近似负熵,并通过一个合适的非线性函数g 使其达到最优。

其算法具有很多神经算法里的优点:并行的、分布的、计算简单、要求内存小。

如果要估计多个分量,我们可以按如下步骤计算:1) 对观测数据进行中心化, 使它的均值为0; 2) 对数据进行白化,Z X →。

3) 选择需要估计的分量的个数m , 设迭代次数1←p 。

4) 选择一个初始权矢量(随机的)P W 。

5) 令(){}(){}W Z W g E Z W Zg E W TP T P p '-=，非线性函数g 的选取见前文6) ()∑-=-=11p j j j TPP P W W WW W 。

7) 令P P P W W W =。