微积分的思想和方法

微积分的思想和方法
（部分讲义）
黄荣
第四讲
第四章定积分与不定积分
[教学目标]
1、了解定积分产生的历史、实际背景，理解定积分的概念，掌握定积分的性质；
2、理解原函数与不定积分的概念；
3、掌握不定积分性质与其本积分公式；
4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式；
5、了解定积分在实际问题中的应用；
6、了解简单微分方程的概念。

[重点难点]
定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。

[学习建议]
1、学习定积分概念时，应充分注意体现微积分的基本思想。

2、学员学习不定积分时，要注意加强练习，尽量做到掌握不定积分的计算方法。

3、牛顿一莱布尼兹公式，建立了微分和积分之间的联系，学员应适当练习，切实掌握。

4、为了掌握计算技能，学员必须做适当的练习。

[课时分配]
面授8课时，自学16 课时。

[面授辅导]
1、不定积分 1.1不定积分定义
1.1.1原函数
▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a，b)，并且处处都有：F1(x)=f(x)
或df(x)=f(x)dx
则称f(x)是f(x)的一个原函数。

下列是一些简单函数的原函数：
出数原函数
cosx sinx
sinx -cosx
ex ex
en xn+1
▲设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a，b) 内。

苦F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+c也是f(x)的原函数，c为常数。

例1：求2x的原函数F(x)，且使F(2)=7。

解：∵ x2=2x
∴x2是2x的一个原函数。

2x的全体原函数为
F(x)=x2+c (c为常数)
F(2)=22+c=7
c=3
∴F(x)=x2+3为所求。

例2：求sinx的原函数F(x)，且使F(0)=4。

解：由于 (-cosx)=sinx
因此-cosx就是 sinx的一个原函数。

sinx的全体原函数记为
F(x)=-cosx+c
依题意有：F(o)=-cosD+c=4
c=5
所求F(x)=-cosx+5
例3：求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。

解：f(x)的一个原函数为
x4-x3+x2+7x
则f(x)的全部原函数为
F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c为常数)
1.1.2不定积分定义
函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记为 (x) dx。

其中称为积分号，x称的积分变量，(x) 称为被积函数。

虽然 (x)dx=F(x)+c
(c为任意常数，称为积分常数)
注意：“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算。

例 1 已知自由落体的运动速度gt v =，求自由落体的路程公式。

解 设自由落体的路程公式为()t f s =。

由导数的力学意义可知，速度gt
t f v ==)('。

联想到gt gt =⎪⎭⎫ ⎝⎛'221，并且常数的导数为0，所以gt C gt =⎪⎭⎫ ⎝⎛+'221。

于是路程公式为
()C gt t f s +==221 （C 为任意常数） 又因当0=t 时()00=s ，代入上式，可得0=C ，故所求的路程公式为 ()221gt t f s ==
该物理问题是已知速度求路程。

抽象为数学问题，就是已知导数求原来的函数，这是求导数的逆运算。

数学中的逆运算我们已经碰到过不少，比如相对于加法的减法，相对于乘法的除法，相对于乘方的开方等。

这里需要解决两个问题：一是逆运算是否存在？二是如果逆运算存在的话，结论有几个？现在就来围绕这两个问题解决求导数（或微分）的逆运算问题。

首先我们要知道什么是原函数。

根据导数公式或微分公式，我们很容易得出一些简单函数的原函数。

如
函数 原函数
x cos x sin
x sin x cos -
x e x
e
n x 111++n x n
从这些例子不难看出，x sin 是x cos 的原函数，)(sin C x +也是x cos 的原函数，这里C 是任意常数。

于是产生这样一个问题：同一个函数究竟有多少原函数？
定理 设函数)(x f 与)(x F 定义在同一区间),(b a 内。

若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则C x F +)(也是)(x f 的原函数，这里C 是任意常数；而且C x F +)(包含了)(x f 的全部原函数。

证明 因为
)()(')')((x f x F C x F ==+
所以C x F +)(是)(x f 的原函数。

下面证明C x F +)(包含了)(x f 的一切原函数。

而这只需证明，)(x f 的任一原函数 )(x G 必然有C x F +)(的形式。

证明 根据假设
)()('x f x G =，)()('x f x F =，
从而
0)()()(')('=-=-x f x f x F x G ，
由中值定理推理2得
C x F x G =-)()(，
故
C x F x G +=)()( 。

例1 求x 2的原函数)(x F ，且使7)2(=F 。

解 我们知道x x dx d 22=，因此2x 就是x 2的一个原函数，x 2的全体原函
数记为
)(x F =2x +C 。

根据题意，我们求常数C 。

72)2(2=+=C F ，C =3 所以
)(x F =2x +3
例2 求x sin 的原函数)(x F ，且使4)0(=F 。

解 求解的思路同例1一样。

我们知道x x dx d sin )cos (=-，因此x cos -就
是x sin 的一个原函数，x sin 的全体原函数记为)(x F =x cos -+C 。

根据题意，
我们求常数C 。

410cos )0(=+-=+-=C C F ，C =5
所以
)(x F =x cos -+5
例3 求723)(23++-=x x x x f 的原函数
解 723)(23++-=x x x x f 的一个原函数为 x x x x x F 741)(2340++-=
则)(x f 的全部原函数为C x F x F +=)()(0（C 为常数）。

不定积分定义
定义 函数)(x f 的原函数的全体称为)(x f 的不定积分，记为 ⎰dx x f )(，
其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，)(x f 称为被积函数。

由定理可知，如果知道了)(x f 的一个原函数)(x F ，则
C x F dx x f +=⎰)()(，
其中C 是一个任意常数，称为积分常数。

关于不定积分运算和微分运算
从不定积分的概念可知，“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算：
[])(')(x f dx x f =⎰或⎰=dx x f dx x f d )()(；
反过来，
⎰+=C x F dx x F )()('或⎰+=C x F x dF )()(。

这就是说，若先积分后微分，则两者的作用互相抵消；若先微分后积分，则抵消后差一常数。

例4 求⎰xdx 2
解 ⎰xdx 2是指求x 2的一切原函数，所以
⎰xdx 2=C x
+2
不定积分的几何意义 作例4的函数族图，得到一曲线族，不定积分的几何意义就是曲线族。

由一条曲线上下平移而得到。

它们在同一点的切线斜率相等，如图所示。

[思考题]
(1)德.摩根说积分就是“回忆微分”，你能默想导数公式并列出相应的基本不定积分公式吗？
(2)你了解数学的三次危机吗？它们对你又何启示？
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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