九年级数学上册(人教版)精品教学课件-全册
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人教版数学九年级上册《24.1.3 弧、弦、圆心角》课件精品
圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB.
B
任意给圆心角，对应出现三个量：
O
A
弧
圆心角
弦
想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？
二 圆心角、弧、弦之间的关系 合作探究 观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的 图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
180° A
重合，
圆是中心对称图形
2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆 重合吗？
在同圆或等圆中
关系结构图
温馨提示：一条弦对 应两条弧，由弦相等 得到弧相等时需要区 分优弧和劣弧.
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所
对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件
“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OCA
辨一辨 判断正误： (1) 等弦所对的弧相等.
（× ）
B
O·
D
C
（4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那
么 OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF. 理由如下：
∵ OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE 1 AB，CF 1 CD.
2
2
∵ AB = CD，∴ AE = CF.
∵ OA = OC，
A
E
B
Байду номын сангаасO·
D
F C
A
O·
B ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
例2 如图，在☉O 中，AB =AC ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
证明：∵ AB = AC ，
人教版九年级数学上册《21-3 实际问题与一元二次方程(第3课时)》教学课件PPT初三优秀公开课
原方程没有实数根，从而知用35m的篱笆按图示方式不
能围成面积为160m²的鸡场.
巩固练习
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方
便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩
形 猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m.
解：设剪去的小正方形的边长为xcm，则纸盒的长为（19-2x） ， 宽为（15-2x）cm，依题意得（19-2x）（15-2x）=77 . 整理得：x²-17x+52=0. 解方程，得：（x-13）（x-4）=0. 解得：x1=4，x2=13（舍去）. 因此剪去的小正方形的边长应为3cm.
素养目标
解：设四周垂下的宽度为x尺时，则台布的长为（2x+6）尺，宽为（2x+3）尺，依题意得： （6+ 2 x ）（ 3 + 2x ）= 2 ×6× 3.
整 理 方 程 得 ：2x ²+ 9 x- 9 = 0.
解得：x1≈0.84 ，x2≈- 5.3（不合题意，舍去）. 因此：台布的长为：2×0.84 +6≈7.7（尺）.
探究新知
小路所占面积是矩形 面积的四分之一
2x
30-4x
2x
3x
剩余面积是矩形面积 的四分之三
30-4x
4x
20-6x 20㎝
20-6x
3x
6x
30㎝
解:设横、竖小路的宽度分别为3x、 2x，
于是可列方程
(30-4x)(20-6x)= 3 ×20×30. 4
人教版九年级数学上册旋转《中心对称(第2课时)》示范公开课教学课件
中心对称图形
轴对称图形
把一个图形绕着某一个点旋转 概 180°，如果旋转后的图形能
念 够与原来的图形重合，那么这 个图形叫做中心对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直 线两旁的部分能够互相重合，那么 这个图形叫做轴对称图形
区
对称旋转180° 旋转后与原图形重合
中心对称
中心对称图形
（1）是针对两个图形而言的； 区 （2）指两个图形的关系；
别 （3）对称点在两个图形上； （4）对称中心在两个图形之间
（1）是针对一个图形而言的； （2）指具有某种性质的一个图形； （3）对称点在一个图形上； （4）对称中心在图形本身内部
思考 中心对称与中心对称图形有什么区别与联系？
4．中心对称的图形——作图步骤： （1）选择已知图形上的_关__键__点__，连接_关__键__点__和对称中心； （2）延长所连线段，在延长线上取得_对__称__点__，使_对__称__点__到 对称中心的距离与_关__键__点__到对称中心的距离相等； （3）依次重复找_对__称__点__的步骤，找到各个关键点的_对__称__点__； （4）将所得的_对__称__点__按照__原__图__形__的__顺__序__顺次连接，即可 得到所需求作的图形．
第23章 旋转
中心对称 第2课时
1．把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这个点_对__称__或_中__心__对__称__，这 个点叫做_对__称__中__心__（简称_中__心__）．这两个图形在旋转后能重合的 对应点叫做关于对称中心的_对__称__点__．
2．中心对称的性质： 中心对称的两个图形，_对__称__点__所__连__线__段__都经过对称中心，而 且被对称中心所_平__分__． 中心对称的两个图形是__全__等__图__形__．
人教版九年级数学上册《用列举法求概率》概率初步PPT精品教学课件
板书设计
把两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，这样就可以用下面的方形表格列举出
所有可能出现的结果.
解决问题
两枚骰子分别记为第1枚和第2枚，所有可能的结果列表如下：
（1）满足两枚骰子点数相同（记为事件A）的结果有6个
6
1
（表中斜体加粗部分），所以P（A）= 36 = 6.
（2）满足两枚骰子的和是9（记为事件B）的结果有4个
2.如图所示的扇形图给出的是地球上海洋、陆地的表面积约占地球表面积的
百分比. 若宇宙中有一块陨石落在地球上，则它落在海洋中的概率是
%.
达标检测
1.“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是3”的概率为
（
）
1
A.
3
11
B.
36
5
C.
12
1
D.
4
2.不透明的袋子中装有红球1个、绿球1个、白球2个，这些球除颜色外无
出场，由于人为指定出场顺序不合规，要重新抽签确定出场顺序，则抽签后三个
运动员出场顺序都发生变化的概率是
.
达标检测
5.一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，
2
3
其中红球1个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 .
（1）求袋子中白球的个数；
（2）随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，请用画树状图
5
，全是辅音字母的结果有两个，
12
2
1
即BCH，BDH，所以P（三个辅音）= = .
12
6
P（一个元音）=
练习巩固
1.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转. 如果这三种可能
下载(共73套1246页)人教版九年级数学教学课件(全书)汇总
4.下表是某周周一至||周五每日某一股票的涨跌情况
(单位：元 )
星期 一 二
三
四
五
涨跌 ＋0.4 ＋0.55 －0.2 ＋0.34 －0.5
那么该股票上涨的是星期一、二、四 ,下跌的是星 期 三、五.
-22-
【达标检测】
1.不是负数的数一定是正数
( ×)
2.不存在最||大的正数 ,也不存在最||大的负数 √ ( )
方法2：按性质符号分类：
正有理数 零
负有理数
正整数 正分数 负整数 负分数
-33-
1.以下不是有理数的是 ( ) A -3.14 B0 C3/7 Dπ
2.以下说法正确的选项是 ( ) A、正数、0、负数统称为有理数 B、分数和整数统称为有理数 C、正有理数、负有理数统称为有理数 D、以上都不对
-34-
作 +25m,下降10ｍ记作 -10. m
7.某商场本月销售额增长10﹪记作 +10﹪ ,那么上月销售额
减少5﹪应记作 .-5%
8． "五一〞黄金期间 ,来北京的游客今年比去年多出15万 人可记作 +15万人 ,那么假设今年来北京的游客与去年持
平可0万记人作
,假设北京今年接待的游客数量比去年减
少5万人 ,那么可记-5作万人 .
(2 )六个国|家2001年商品出口总额的增长率： 美|国 -6.4% , 德国 1.3% , 法国 -2.4% , 英国 -3.5% , 意大利 0.2% , 中|国 7.5% .
-17-
跟踪练习
• 1.在以下横线上填上适当的词,使前后构成 意义相反的量:
• (1)收入1300元, 800元; • (2) 80米,下降64米; • (3)向北前进30米, 50米.
人教版初中数学九年级上册教学课件 第21章 一元二次方程 一元二次方程(第2课时)
解析:根据已知条件,当x=a,x=b时a2-3a+1=0,b23b+1=0成立,所以x=a,x=b都是方程x2-3x+1=0的 解.故选D.
5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则
下列代数式的值恒为常数的是 (
A.ab
B. a C.a+b D.a-b
D
)
b
解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0, 所以a-b=-1是常数.故选D.
C.0
D.0或3
解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3. 故选A.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2m的值等于 ( D )
A.-1
B.0 C.1 D.2
解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2m=2.故选D.
4.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则 关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确 的是 ( D ) A.x=a,x=b都不是该方程的解 B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解 C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解 D.x=a,x=b都是该方程的解
新课标 人
数学
ห้องสมุดไป่ตู้
9年级/上
九年级数学上 新课标 [人]
第二十一章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列
方程化成一般形式.
一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长
5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0),则
下列代数式的值恒为常数的是 (
A.ab
B. a C.a+b D.a-b
D
)
b
解析:把x=-a代入方程可得(-a)2-ab+a=0,即a2ab+a=0,所以a(a-b+1)=0,因为a≠0,所以a-b+1=0, 所以a-b=-1是常数.故选D.
C.0
D.0或3
解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3. 故选A.
3.已知m是方程x2-x-2=0的一个根,则代数式m2m的值等于 ( D )
A.-1
B.0 C.1 D.2
解析:把x=m代入方程可得m2-m-2=0,所以m2m=2.故选D.
4.已知实数a,b(a≠b)满足a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,则 关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的说法中正确 的是 ( D ) A.x=a,x=b都不是该方程的解 B.x=a是该方程的解,x=b不是该方程的解 C.x=b是该方程的解,x=a不是该方程的解 D.x=a,x=b都是该方程的解
新课标 人
数学
ห้องสมุดไป่ตู้
9年级/上
九年级数学上 新课标 [人]
第二十一章 一元二次方程
学习新知
检测反馈
学习新知
根据下列问题,列出关于x的方程,并将所列
方程化成一般形式.
一个面积为48 m2的矩形苗圃,它的长
人教版数学九年级上册24.2.1反证法教学课件(共23张PPT)
所以假设“甲去新加坡玩了6天”不正确, 于是“甲没有去新加坡玩了6天”正确.
24.2.1 反证法
廊坊市第七中学 何静
例1、求证：过同一直线上的三点不能作圆
• 已知：点A、 B、 C三点在直线 上
• 求证：过A、 B、 C三点不能作圆
• 证明：假设过A、 证明：假设PB=PC。
当∠B是_____时，则_____________
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___.
A
当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_°
说明这：本与_例_三_中_角__“形__的是__三_锐_个_角_内__(角_小_和_于_等__9于_0_1°_8_0_)°”_矛的盾；
甲：在十一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,10 月4号我确实 和甲在廊坊 “万达”逛街！
乙：这不可能，10月4 号上午还看见你和丙在 廊坊“万达”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从10月1号至6号或是2号至7号 在新加坡，即10月4号甲在新加坡， 这与“10月4号甲在廊坊市的万达”矛盾,
B、
C三点可以作一个圆。
则 ∠•Ａ＋设∠Ｂ这＋∠个Ｃ 圆＜ 的１８圆０度心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分 线 上，又在线段BC的垂直平分线 上， （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定
反面有当∠两B种是情_钝__况角__，时，这则时_∠_，_B_必+__∠_须_C_分＞__1_别8_0_证° C 明能命成题 立这B 与结 ，_论 最_三__反后角__形面才__的_的能_三_每肯_个__一定内__角种命__和_情题_等_况的_于__都 结1_8_0不 论_°_矛可 一盾； 定正确∴综∠.上B所一述定,是假锐设角不.成立.
24.2.1 反证法
廊坊市第七中学 何静
例1、求证：过同一直线上的三点不能作圆
• 已知：点A、 B、 C三点在直线 上
• 求证：过A、 B、 C三点不能作圆
• 证明：假设过A、 证明：假设PB=PC。
当∠B是_____时，则_____________
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角.
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___.
A
当∠B是__直__角_时，则_∠__B_+_∠__C_=__1_8_0_°
说明这：本与_例_三_中_角__“形__的是__三_锐_个_角_内__(角_小_和_于_等__9于_0_1°_8_0_)°”_矛的盾；
甲：在十一长 假里，我和爸 爸、妈妈去新 加坡玩了整整6 天，真是太高 兴了.
丙：是啊,10 月4号我确实 和甲在廊坊 “万达”逛街！
乙：这不可能，10月4 号上午还看见你和丙在 廊坊“万达”逛街呢！
乙：甲没有去新加坡玩了6天.
假设甲去新加坡玩了6天，
那么甲从10月1号至6号或是2号至7号 在新加坡，即10月4号甲在新加坡， 这与“10月4号甲在廊坊市的万达”矛盾,
B、
C三点可以作一个圆。
则 ∠•Ａ＋设∠Ｂ这＋∠个Ｃ 圆＜ 的１８圆０度心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分 线 上，又在线段BC的垂直平分线 上， （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
说明：本例中“是锐角(小于90°)”的反面有两种情况，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定
反面有当∠两B种是情_钝__况角__，时，这则时_∠_，_B_必+__∠_须_C_分＞__1_别8_0_证° C 明能命成题 立这B 与结 ，_论 最_三__反后角__形面才__的_的能_三_每肯_个__一定内__角种命__和_情题_等_况的_于__都 结1_8_0不 论_°_矛可 一盾； 定正确∴综∠.上B所一述定,是假锐设角不.成立.
人教版九年级数学上册23.2.3关于原点对称的点的坐标 教学课件(共21张PPT)
y
4
3
D2
C′
1
A′
–4 –3 –2 –1 O
–1
D′ C
12
–2
–3 B(B′)
E
–4
A 3 4x E′
关于y轴对称的两个点， 横坐标互为相反数， 纵坐标相等.
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(–x， y).
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并 写出它们的坐标. A (4，0)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4). A′ (– 4，0)，B ′ (0，3)，C ′ (–2，–1)，D ′(1 ，–2)，E ′ (3，4).
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
做一做
2. 下列各点中哪两个点关于原点对称？ A（–5，0）、B（0，2）、C（2，–1）、D（2，0）、 E（0，5）、 F（–2，1）、G (–2，–1）.
解：C（2，–1）与 F（–2，1）关于原点对称.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
练习1
填空：
若设点M(a,b)，
点M关于x轴的对称点M1 （ a ， –b）； 点M关于y轴的对称点M2 （ – a ， b ）； 点M关于O轴的对称点M3 （ – a，–b ）.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习
练习2
填空： 已知点A(–1, – 3)， 关于x轴对称的点的坐标是__(_–_1_，__3_)_； 关于y轴对称的点的坐标是__(_1_，__–_3_)_； 关于原点对称的点的坐标是_(_1_，__3_)__.
因式分解法数学九年级上册同步教学课件(人教版)
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到
0.01s)?
解析：设物体经过 x s落回地面，这时它离地面的高
度为0，即
10x-4.9x2=0 ①
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法来解 方程①？
21.2.4 因式分解法
配方法解方程10x-4.9x2=0.
解：
x2 100 x 0， 49
分析：二次项的系数为1， 可用配方法来解题较快.
解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 解得
（4）3x2 = 4x + 1；
分析：二次项的系数不为1，且不能直接开平 方，也不能直接因式分解，所以适合公式法.
解：化为一般形式 3x2 - 4x + 1 = 0.
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
解：方程整理得
解：∵ (x + 1)2 = 5(x + 1)， (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0，则
∴ (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0. [(x−3)+(5−2x)][(x−3)−(5−2x)]=0，
则 (x + 1)(x − 4) = 0. ∴ x + 1 = 0，或 x − 4 = 0， 即 x1 = −1，x2 = 4．
21.2.4 因 式 分 解 法
21.2.4 因式分解法
知识回顾
1. 解一元二次方程的基本思路是什么？ 降次
2.我们已经学过哪些解一元二次方程的方法？ 直接开平方法，配方法，公式法.
21.2.4 因式分解法
情景导入
人教版九年级上册数学精品教学课件 第二十三章 旋转 数学活动
n的最小值为4.因为a1与a关于x轴对称，a2与a1关于y轴对称， 所以a2与a关于原点对称，同理a4与a2关于原点对称，所以a4与a 重合，同理，a8与a重合，a12与a重合，…，所以，当n=4k(k为 正整数)时，an与a重合，所以n的最小值为4.
思考：如图，直线l1与l2相交，∠α=60°， 点P在∠α内（不在l1、l2上）.小明用下面的方法 作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对 称轴点P1，再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2， 然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2 为对称轴作P3关于l2的对称点P4，…，如此继续， 得到一系列点P1，P2，…，Pn，若Pn与P重合， 则n的最小值是多少？能运用旋转的知识给予解
释吗？
解：如图，若Pn与P重合，n的最小值为6， 因为P1是由P绕O点逆时针旋转2β得到，P2是由 P1绕O点顺时针旋转120°+2β得到，P3是由P2 绕O点顺时针旋转120°-2β得到，P4是由P3绕O 点顺时针旋转2β得到，P5是由P4绕O点逆时针 旋转120°+2β得到，P6是由P5绕O点逆时针旋 转120°-2β得到，所以P6最终回到P，n的最小 值为6.
.
Thank you!
活动1
在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-3, 2），作点A关 于x轴的对称点，得到点B，再作点B关于y轴的对称点，得到 点C.点A与点C有什么关系？如果点A的坐标是（x, y），点C 该如何表示呢？你能用本章知识解释吗？
a.如果A(-3,2)，则B点坐标为_(_-_3_,-_2_)，C点坐标为_(3_,_-_2_) . A， C两点的坐标关系是__坐__标__互__为__相__反__数___，位置关系是 _关__于__原__点__中__心__对__称___.
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次方程的解（又叫做根）.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
例4. ：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2017的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2 2a2 4a 2017 2(a2 2a) 2017 2 2 2017 2021
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
4 29 x
分式方程
Байду номын сангаас
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分
式方程，其中前两种方程是整式方程. 想一想：什么叫一
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为
3600cm2
50cm
(50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x 3600cm2,得
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
常数项
ax2 + bx +c = 0强调：
➢“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ➢ “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ➢ “ = ”右边必须整理为0.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以 为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
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九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，
有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整 体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2
√
3y2=(3y+1)(y-2)
×
x2=x3+x2-1
×
x2 x 56 0 ②
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数
(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做 一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数
场.
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 28.
2
整理得：
1 2
x2
1 2
x
28
化简，得：x2 x 56 0
②
该方程中 未知数的 个数和最 高次数各 是多少？
观察与思考
方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元 一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2 75x 350 0 ①
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一 元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未
知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次 项系数等于0的字母的值．
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它 们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安 排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解析：设应邀请x个队参赛，每个 队都要与其他(x-1)个队各赛一场， 因为甲队对乙队的比赛和乙队对 甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 1
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
3
3
-2
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
3.什么叫一元一次方程？
元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程 叫做一元一次方程.
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个 正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果 要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是 整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2
(2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当 a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2.
你注意到了吗？ 一元二次方程可
能不止一个根.
例4. ：已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+
2017的值.
解：由题意得 a2 2a 2 0 即a2 2a 2 2a2 4a 2017 2(a2 2a) 2017 2 2 2017 2021
导入新课
复习引入
1.下列式子哪些是方程？
2+6=8
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8
一元一次方程 二元一次方程
x-5＜18
不等式
4 29 x
分式方程
Байду номын сангаас
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分
式方程，其中前两种方程是整式方程. 想一想：什么叫一
解：设切去的正方形的边长为xcm, 则盒底的长为（100-2x)cm,宽为
3600cm2
50cm
(50-2x)cm,根据方盒的底面积为 x 3600cm2,得
整理，得 4x2 300x 1400 0
化简，得 x2 75x 350 0 ①
100cm
该方程中未知 数的个数和最 高次数各是多 少？
常数项
ax2 + bx +c = 0强调：
➢“ = ”左边最多有三项，一次项、常数项可不出现， 但二次项必须有; ➢ “ = ”左边按未知数 x 的降幂排列; ➢ “ = ”右边必须整理为0.
想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以 为零吗？
当 a=0时 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x, 系数是-8；常数项是-10. 注意 系数和项均包含前面的符号.
二 一元二次方程的根
一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二
方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，
有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整 体，再用整体思想代入求值．
当堂练习
1. 下列哪些是一元二次方程？
3x+2=5x-2
×
x2=0
√
(x+3)(2x-4)=x2
√
3y2=(3y+1)(y-2)
×
x2=x3+x2-1
×
x2 x 56 0 ②
特点: ①都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
知识要点
一元二次方程的概念 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数
(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做 一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是
ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数
场.
解：根据题意，列方程：1 x(x 1) 28.
2
整理得：
1 2
x2
1 2
x
28
化简，得：x2 x 56 0
②
该方程中 未知数的 个数和最 高次数各 是多少？
观察与思考
方程①、 ②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元 一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
x2 75x 350 0 ①
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一 元二次方程.
方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未
知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次 项系数等于0的字母的值．
例3：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它 们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
问题2 要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要 比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安 排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解析：设应邀请x个队参赛，每个 队都要与其他(x-1)个队各赛一场， 因为甲队对乙队的比赛和乙队对 甲队的比赛是同一场比赛，所以
全部比赛共
3x2=5x-1
√
2.填空：
方程
一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2 3x 2 0 x2 3x 2 0 1
3y2 1 2 3y 3y2 2 3y 1 0
3
3
-2
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
3.什么叫一元一次方程？
元二次方程呢？
含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程 叫做一元一次方程.
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个 正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果 要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正 方形？请根据题意列出方程.
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
典例精析
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C）
A.x2
1 x2
0
不是整式方程
B. 3x2 5xy y2 0
C. (x 1)(x 2) 0
D. ax2 bx c 0
化简整理成 x2-3x+2=0
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是 整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2
(2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当 a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；