湖南省2017届高三摸底联考(全国卷)文数试题 Word版含答案

数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|20M x x x =-->，{}2|2N y y x ==-，则M N = （ ）A ．∅B ．[)2,1--C ．()()2,12,--+∞D ．[)()2,12,--+∞ 2.已知i 为虚数单位，若11iz i-=+，则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -3.已知双曲线()222:10x C y a a-=>的一条渐近线方程为12y x =，则双曲线C 的实轴长为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84.如图，一铜线的直径为32毫米，穿径（即铜线内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜线内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜线的正方形小孔内的概率为（ ）A ．14π B ．114π- C.12π D ．116π- 5.若实数,x y 满足220,24,5,x x y y -+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值与最小值之差为（ ） A ．7 B ．14 C.21 D ．以上都不对 6.执行如下程序框图，输出的S 值为（ ）A ．9B ．10 C.35 D ．847.设1212a ⎛⎫=⎪⎝⎭，ln b π=，9log 3c =，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C.c b a >> D ．c a b >>8.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()()sin sin sin B C b c A C a -+=，则角B 的大小为（ ）A ．30︒B ．45︒ C. 60︒ D ．150︒9.函数()221x x e x f x e =+ 的大致图象是（ ）A ．B ． C.D ．10.某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积的最大值为（ ）A ．2B ．4 C.6 D ．711.设12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左，右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF ∆是底角为30︒的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12 B ．2C.34 D ．45 12.若函数()11sin cos 3cos 422f x x x a x a x ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．16,09⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,7⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(],0-∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知正方形ABCD 的中心为O ，1AB =，则()OA OB AC -=．14.已知直线:20l x y -=的倾斜角为α，则cos 2tan 2αα-= ． 15.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,114,233，…，即()1F x =，()()()()123,F n F n F n n n N *=-+-≥∈，若此数列被3整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则2017b = ． 16.已知O 为坐标原点，()0,3A ，平面上动点N 满足12NO NA =，动点N 的轨迹为曲线C ，设圆M 的半径为1，圆心M 在直线240x y --=上，若圆M 与曲线C 有且仅有一个公共点，则圆心M 横坐标的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，520S =.n T 是数列{}n b 的前n 项和，且()122n n T n N +*=-∈.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列()21log n n a b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和n U .18.（本小题满分12分）为鼓励居民节约用水，某地实行阶梯水价，一户居民根据以往的月用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图（月用水量都在325m 到3325m 之间）如图所示，将月用水量落入该区间的频率作为概率.若每月的用水量在3200m 以内（含3200m ），则每立方米水价5元，若每月的用水量超过3200m ，则超过的部分每立方米水价6元.记x （单位：3m ，25325x ≤≤）为该用户下个月的用水量，T （单位：元）为下个月所缴纳的水费.（Ⅰ）估计该用户的月用水量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）将T 表示成x 的函数，并求当用户下个月水费不超过1120元时，则下个月用水量最多是多少？ （Ⅲ）根据频率分布直方图，估计下个月所缴纳的水费[)375,1150T ∈的概率. 19.（本小题满分12分）如图1，已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，112AB AD CD ===，E 是CD 的中点，H 是BD 与AE 的交点，将ABD ∆沿BD 折起，如图2，点A 的位置记为A ′，且=1A E ′.（Ⅰ）求证：A H BE ⊥′；（Ⅱ）求三棱锥C ABE -′的体积. 20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆E 经过点()1,0F ，且与直线:1l x =-相切，若该动圆圆心E 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若点P 是曲线C 上的动点（不在x 轴上），过点F 作直线PF 的垂线交直线l 于点Q .判断点P 运动时，直线PQ 与曲线C 的交点个数，并证明你的结论. 21. （本小题满分12分）已知函数()ln f x ax x b =+（,a b 为实数）的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-.（Ⅰ）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()()1f xg x x+=，证明：当()()()1212g x g x x x =<时122x x +>，. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线:10l x y --=，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24sin 5ρρθ-=. （Ⅰ）将直线l 写成参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，[)0,απ∈）的形式，并求曲线的直角坐C标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点,A B （点A 在第一象限）两点，若点M 的直角坐标为()1,0，求OMA ∆的面积.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x mx =++-. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的值域； （Ⅱ）若2m =，解不等式()3f x ≥.试卷答案一、选择题1. D 【解析】由题得，{}|12M x x x =<->或，{}|2N y y =≥-，故[)()2,12,M N =--+∞ .故选D .2. A 【解析】由题得，11iz i i-==-+，故z i =，其虚部为1.故选A . 3. C 【解析】因为双曲线C 的渐近线方程为12b y x x a =±=±，又1b =，故2a =，所以双曲线C的实轴长为24a =.故选C .4. B 【解析】由几何概型知，所求概率228111164P ππ=-=-⨯.故选B .5. C 【解析】由220,24,5,x x y y -+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩得20,4,5,x y y y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，其表示的可行域为如图所示的三条直线围成的三角形区域（阴影部分及边界）.三条直线的交点分别为()3,5A -，()4,2B -，()4,5C ，当4x =，2y =-时，max 8210z =+=，当3x =-，5y =时，min 11z =-，所以max min 101121z z -=+=.故选C .6.C 【解析】执行程序框图，有1i =，0S =，第1次执行循环体，1S =，3i =；第2次执行循环体，10S =，5i =；第3次执行循环体，35S =，7i =；满足条件6i >，退出循环体，输出的S 值为35.故选C .7.B【解析】由题得，1211222a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，ln ln 1b e π=>=，91log 32c ==，故b a c >>.故选B .8.A 【解析】由正弦定理，得()()()b c b c a a -+=，即222b c a =+-，再结合余弦定理，可得2cos B =30B =︒.故选A .9.C 【解析】由题得，()()222211x x xxe x e xf x f x e e---===++ ，所以不选,A D 项.当0x =时，0y =，故排除B 项.故选C .10.A 【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，如图所示.OA OC x ==，PO ⊥底面ABC ，3PO =，2AB BC ==，OB y =，OB AC ⊥ ，224x y +=∴，故221142323222P ABCx y V xy xy -+=⨯⨯⨯=≤==，当且仅当x y ==时，取等号，故此几何体的体积有最大值为2.故选A .11.B 【解析】设直线2a x x=交x 轴于点M ，因为21F PF ∆是底角为30︒的等腰三角形，所以21PF F ∠=120︒，221PF F F =，且222PF F M =，因为P 为2a x x =直线上一点，所以222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得222a c =.所以椭圆E 的离心率为e =故选B .12.D 【解析】由题得，()()22211cos sin 3sin 4sin 3sin 422f x x x a x a x a x a ⎛⎫=-⨯--+-=-- ⎪⎝⎭′，依题意，函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故()0f x ≥′在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，令[]sin 0,1t x =∈，因此()[]()2340,1g t t at a t =--∈，讨论二次函数对称轴与区间的相对位置，易得()min 0g t ≥时，0a ≤.故选D . 二、填空题13.-1 【解析】由题得，()11OA OB AC BA AC -⋅==︒=-.14.1115 【解析】由题得，tan 2α=，所以222222cos sin 1tan 3cos 2sin cos 1tan 5ααααααα--===-++，tan 2α= 22tan 41tan 3αα=--，所以3411cos 2tan 25315αα-=-+=. 15.1 【解析】斐波那契数列的前几项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987，…，则数列{}n b 的前几项为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，因此数列{}n b 是周期数列，其周期为8，因此201711b b ==. 16.0或125 【解析】设(),N x y ，由12NO NA =，得()()222243x y x y +=+-，化简，得()221x y ++4=，故曲线C 表示为以()0,1C -为圆心，2为半径的圆.由题意得，圆C 与圆M 只能相外切，其中(),24M a a -，故()()22224121a a +-+=+，解得圆心M 的横坐标0a =或125. 三、解答题17.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意，则有112,51020,a a d =⎧⎨+=⎩解得1d =.所以()1n a n n N *=+∈.又122n n T +=-，()1222nn T n -=-≥，两式相减，得()22nn b n =≥，当1n =时，211222b T ==-=，所以()2n n b n N *=∈.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()()()2211111log 111log 2nn n a b n n n n n ===-+++ ， 所以()11111111223111n n U n N n n n n *=-+-++-=-=∈+++…. 18.解：（Ⅰ）由题得，月用水量的平均值3500.121000.181500.32000.222500.123000.06161x m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.由1120T ≤，得62001120x -≤， 即200x ≤，即下个月用水量最多为3220m .（Ⅲ）由[)375,1150T ∈，得[)75,225x ∈.则[)()[)()()375,115075,2250.00360.00600.0044500.7P T P x ∈=∈=++⨯=. 19.解：（Ⅰ）在图1中，连接BE . 在梯形ABCD 中，//AB CD ，2BAD π∠=，112AB AD CD ===，E 是CD 的中点， ∴四边形ABED 是正方形，AE BD ⊥∴，AH HE ==∴在图2中，A H BD ⊥′，A H HE ==′， 又1A E =′，222A H HE A E +=∴′′，A H HE ⊥∴′.BD HE H = ，A H ⊥∴′平面BCD .BE ⊂ 平面BCD ，A H BE ⊥∴′.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，C A BE A BCE V V --=′′11113262BCD S A H CD BE A H ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯′′12112212=⨯⨯⨯=. 20.解：（Ⅰ）圆心E 到定点的距离与到定直线的距离相等，且定点不在定直线上，故由抛物线的定义可知，圆心E 的轨迹为抛物线，点F 为焦点，直线:1l x =-为抛物线的准线， 设抛物线方程为22y px =， 由题得，12p=，所以2p =， 故曲线C 的方程为24y x =.（Ⅱ）设点()1,Q t -，点()00,P x y ，则2004y x =.由0FP FQ = ，得()()00120x y t --+= ，所以()0021x t y -=. 所以直线PQ 的方程为()()000000211211x y y x x x y y --+=-+-， 即()()002121y y x x --=+， 因此0022y y x x -=. 代入抛物线方程24y x =， 得200240y y y x -+=.判别式()220000416440y x y x ∆=-=-=.故直线PQ 与曲线C 有且仅有一个交点.21.解：（Ⅰ）由题得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()1ln f x a x =+′，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，()()11,1ln10,f a f a b ==⎧⎪⎨=+=⎪⎩′∴， 解得1a =，0b =.令()1ln 0f x x =+=′，得1x e =， 当10x e <<时，()0f x <′，()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减； 当1x e >时，()0f x >′，()f x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()()11ln f x g x x x x+==+. 由()()()1212g x g x x x =<， 得121211ln ln x x x x +=+， 即212121ln 0x x x x x x -=>. 要证122x x +>，需证()212121212ln x x x x x x x x -+= ，即证2121212ln x x x x x x ->， 设()211x t t x =>，则要证2121212ln x x x x x x ->，等价于证()12ln 1t t t t ->>. 令()12ln u t t t t =--，则()22121110u t t t t ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭′， ()u t ∴在区间()1,+∞内单调递增，()()10u t u >=. 即12ln t t t->，故122x x +>.22.解：（Ⅰ）直线:10l x y --=的倾斜角为4π，因此写成参数方程的形式为1cos ,4sin .4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由24sin 5ρρθ-=，得曲线C 的直角坐标方程为()2229x y +-=. （Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得240t -=，设12,t t 是方程的两根，解得1t =2t =又A 点在第一象限，故A点对应1t =sin4y t π=， 得到A 点纵坐标2A y =， 因此1112122OMA A S OM y ∆==⨯⨯=. 23.解：（Ⅰ）当1m =时，()()()11112f x x x x x =++-≥+--=， 当且仅当()()110x x +--≤，即11x -≤≤时，取等号.故函数()f x 的值域为[)2,+∞.（Ⅱ）当2m =时，()121f x x x =++-.则()31213f x x x ≥⇒++-≥.当1x ≤-时，由12133x x x ++-=-≥，得1x ≤-，此时解集为{}|1x x ≤-； 当112x -<≤时，由12123x x x ++-=-≥，得1x ≤-，此时解集为∅； 当12x >时，由12133x x x ++-=≥，得1x ≥，此时解集为{}|1x x ≥. 综上所述，不等式的解集为(][),11,-∞-+∞ .。