2017年高考数学—概率统计(解答+问题详解)

2017年高考数学—概率统计(解答+答案)

1.(17全国1理19.(12分))

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2

(,)N μσ.

(1)假设生产状态正常,记X 表示一天抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数,求(1)P X ≥及X 的数学期望;

(2)一天抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.

(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天抽取的16个零件的尺寸:

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0.212≈,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =???.

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

,用样本标准差s 作为σ的估计值?σ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).

附:若随机变量Z 服从正态分布2

(,)N μσ,则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=,

160.997 40.959 2=0.09≈.

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2.(17全国1文19.(12分))

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm ).下面是检验员在一天依次抽取的16个零件的尺寸:

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经计算得16119.9716i i x x ===∑,0.212

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s ==≈,18.439≈,16

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1

()(8.5) 2.78i i x

x i =--=-∑,

其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1,2,,16i =???.

(1)求(,)i x i (1,2,,16)i =???的相关系数r ,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺

寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若||0.25r <,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).

(2)一天抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件,就认为这条生

产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查?

(ⅱ)在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产

线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)

附:样本(,)i i x y (1,2,,)i n =???的相关系数()()

n

i

i

x x y y r --=

∑,

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0.09≈.

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3.(17全国2理18.(12分))

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海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg)某频率分布直方图如下:

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;

(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:

箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到

0.01)

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

4.(17全国3理18.(12分))

P()0.050 0.010 0.001

k 3.841 6.635 10.828

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,

未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

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)(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?

5.(17全国3文18.(12分))

某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20

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,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表: 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进

货量为450瓶时,写出Y 的所有可能值,并估计Y 大于零的概率.

6.(17理(17)(本小题13分))

为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药,一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示为服药者.

2017年高考数学—概率统计(解答+问题详解)

(Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;

(Ⅱ)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大

Eξ;

于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望()

(Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)

7.(17文(17)(本小题13分))

某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),......,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:

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(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;

(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)的人

数;

(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数

相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

8.(17理(18)(本小题满分12分))

在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将

参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙中心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名

男志愿者123456,,,,,A A A A A A 和4名1234,,,B B B B 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示。

(I )求接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的频率。

(II )用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望EX 。

9.(17文(16)(本小题满分12分))

某旅游爱好者计划从3个亚洲国家123,,A A A 和3个欧洲国家123,,B B B 中选择2个国家去旅游。

(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率; (Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中个任选1个,求这2个国家包括1A 但不包括`B 的

概率。

10.(17理16.(本小题满分13分))

从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为

111

,,234

. (Ⅰ)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

11.(17文(16)(本小题满分13分))

某电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

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已知电视台每周安排甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用,,x y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

(I )用,x y 列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (II )问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使收视人次最多? 12.((本小题满分10))

已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈ 2N ,n ≥ 2),这些球除颜色外全部相同。现将口袋中的球随机的逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,……,m+n 的抽屉,其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,……,m+n ).

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(1)试求编号为2的抽屉放的是黑球的概率p;

(2)随机变量x 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(x)是x 的数学期望,证

明:()()(1)

n

E X m n n <+-

参考答案:

1.解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026,故~(16,0.0026)X B ,因此

16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=

(2)(i )如果生产状态正常,一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026,

一天抽取的16个零件中,出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小。因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的。

(ii )由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为?9.97,μ

σ=的估计值为?0.212σ=,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外,因此需对当天

的生产过程进行检查。

剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的平均数为 1

(169.979.22)10.0215

?-= 因此μ的估计值为10.02

16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑

剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为 221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈ 因此σ

0.09≈

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2.解:(1)由样本数据得(,)(1,2,...,16)i x i i =的相关系数为

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3.解:(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”, C 表示事件“新养殖法的

箱产量不低于50kg ”.

由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为

(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62++++?=,

故()P B 的估计值为0.62

新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为

(0.0680.0460.0100.008)50.66+++?=,

故()P C 的估计值为0.66

因此,事件A 的概率估计值为0.620.660.4092?= (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表

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2

2

200(62663438)15.70510010096104

K ??-?=≈???

由于15.705 6.635>,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。 (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg 的直方图面积为

(0.0040.0200.044)50.340.5++?=<,

箱产量低于55kg 的直方图面积为

(0.0040.0200.0440.068)50.680.5+++?=>,

故新养殖法箱产量的中位数的估计值为

0.50.34

5052.35()0.068

kg -+

4.解:(1)由题意知,X 所有可能取值为200,300,500,由表格数据知

()2162000.290P X +==

=,()363000.490P X ===,()2574

5000.490

P X ++===. 因此X 的分布列为:

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(2200,因此只需考虑

200n ≤≤500 当300500n ≤≤时,

若最高气温不低于25,则642Y n n n =-=;

若最高气温位于区间[20,25),则63002(300)412002Y n n n =?+--=-; 若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =?+--=- 因此20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n =?+-?+-?=- 当200300n ≤<时,

若最高气温不低于20,则642Y n n n =-=;

若最高气温低于20,则62002(200)48002Y n n n =?+--=- 因此2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n =?++-?=+ 所以300n =时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元。

5.解:(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为21636

0.690

++=,所以这种酸奶一天的需求量不超过300

瓶的概率的估计值为0.6

(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,

若最高气温不低于25,则64504450900Y =?-?=;

若最高气温位于区间[20,25),则63002(450300)4450300Y =?+--?=; 若最高气温低于20,则62002(450200)4450100Y =?+--?=- 所以,Y 的所有可能值为900,300,-100

Y 大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为

362574

0.890

+++=,因此Y 大于零的概率的估计值为0.8

6.解:(Ⅰ)由图知:在50名服药患者中,有15名患者指标y 的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标小于60的概率为:1535010

P =

= (Ⅱ)由图知:A 、C 两人指标x 的值大于1.7,而B 、D 两人则小于1.7,可知在私人中随

机选出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0,1,2.

2411(0)6

P C ξ==

=, 1122242

(1)3

C C P C ξ===,

2

411(2)6

P C ξ==

=, 所以,ξ的分布列如下:

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()0121636

E ξ=?+?+?=

(Ⅲ)由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大。

7.解:(Ⅰ)由频率分布直方图知,分数小于70的频率为1(0.40.2)0.4-+= (Ⅱ)设样本中分数在区间[40,50)的人数为x ,则由频率和为1得

50.10.20.40.21100100

x +++++= 解得5x =

(Ⅲ)因为样本中分数不小于70的人数共有(0.40.2)10060+?=(人)

所以,分数不小于70的人中男女各占30人

所以,样本中男生人数为30+30=60人,女生人数为100-60=40人 所以,总体中男生和女生的比例为603

402

=

8.解:(Ⅰ)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ,则

485105

().18

C P M C ==

(Ⅱ)由题意知X 可取的值为:0,1,2,3,4.则

565101

(0)42

C P X C ===

41645105

(1),21C C P X C ===

326451010

(2),21C C P X C ===

23645105

(3),21C C P X C ===

14645101

(4),42

C C P X C ===

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X 的数学期望是

0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =?=+?=+?=+?=+?=

151051012344221212142

=?

+?+?+?+? 2=

9.解:(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:

121323111213212223{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A B A B A B A B A B A B 313233121323{,},{,},{,},{,},{,},{,},A B A B A B B B B B B B 共15个

所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:

121323{,},{,},{,},A A A A A A 共3个,

则所求事件的概率为:31

155

P =

= 解法二:232631

155

C P C ===

(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:

111213212223313233{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A B A B A B A B A B A B A B A B A B ,共

9个

包括1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有:

1213{,},{,}A B A B ,共2个,

则所求事件的概率为29

P =

解法二:111211

332

9

C C P C C ==

10.(Ⅰ)解:随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.

1111

(0)(1)(1)(1)2344P X ==-?-?-=,

11111111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424

P X ==?-?-+-??-+-?-?=

, 1111111111

(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-??+?-?+??-=,

1111

(3)23424

P X ==??=

. 所以,随机变量X 的分布列为

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随机变量X 的数学期望()012342442412

E X =?+?+?+?=.

(Ⅱ)解:设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求

事件的概率为

(1)(0,1)(1,0)P Y Z P Y Z P Y Z +====+==

(0)(1)(1)(0)P Y P Z P Y P Z ===+==

11111111

42424448

=?+?=

. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148

.

11.(Ⅰ)解:由已知,,x y 满足的数学关系式为

7060600,5530,2,0,0,x y x y x y x y +≤??+≥??≤??≥?≥??即7660,6,20,0,0,

x y x y x y x y +≤??+≥??-≤??≥?≥??

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

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(Ⅱ)解:设总收视人次为z 万,则目标函数为6025z x y =+

考虑6025z x y =+,将它变形为12525z y x =-

+

,这是斜率为12

5

-,随z 变化的一族平行直线,25z 为直线在y 轴上的截距,当25

z

取得最大值时,z 的值最大。又因为

,x y 满足约束条件,所以由图2可知,当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时,截距

25

z

最大,即z 最大。 解方程组7660,

20x y x y +=??-=?

得点M 的坐标为(6,3)

所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

12.解:(1)编号为2的抽屉放的是黑球的概率p 为:1

1

n m n n m n C n p C m n

-+-+==

+ (2)随机变量X 的概率分布为:

X 1

n

11n + 12

n + ...

1k

...

1

m n

+ P

11

n n n

m n

C C --+ 1

n n n

m n

C C -+ 11

n n n

m n

C C -++ (11)

n k n

m n

C C --+ ...

11

n n m n

m n

C C -+-+ 随机变量X 的的期望为:

1

1

111(1)!

()(1)!()!

n m n

m n

k n n

k n k n m n m n

C k E X k C C k n k n -++-==++-==--∑∑ 所以1

(2)!1

(2)!

()(1)!()!(1)(2)!()!m n

m n

n

n k n k n

m n

m n

k k E X C n k n n C n k n ++==++--<

=-----∑∑ 222

121(1...)(1)n n n n n m n n

m n

C C C n C ----+-+=

++++- 1222

1121(...)(1)n n n n n n n m n n

m n

C C C C n C ------+-+=

++++- 1222

21(...)(1)n n n n n n n m n n

m n

C C C C n C ----+-+=

++++- 12

221...()(1)n n m n m n n

m n

C C n C --+-+-+==

+- 11

(1)()(1)n m n n

m n

C n n C m n n -+-+==-+-, 即()()(1)

n

E X m n n <+-

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