2017年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)(含参考答案及评分标准)
2017年高中数学联赛一二试及详解版
2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(l o g )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥ABC P -中，1=AB ，2=AP ，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为__________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC ∆的面积为3，则⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )1(2+≥，这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.6.7.9.10.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二、。
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
2017年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)答案
说明：2017 年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分 40 分）如图，在∆ABC 中， AB = AC ，I 为∆ABC 的内心．以 A 为圆心， AB 为半径作圆Γ 1 ，以 I 为圆心， IB 为半径作圆Γ 2 ，过点 B 、 I 的圆 Γ 3 与Γ 1 、Γ 2 分别交于点 P 、Q （不同于点 B ）．设 IP 与 BQ 交于点R ．证明： BR ⊥ CR ．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：连接 IB ， IC ， IQ ， PB ， PC ．由于点Q 在圆Γ 2 上，故 IB = IQ ，所以∠IBQ = ∠IQB ． 又 B ， I ， P ， Q 四点共圆，所以∠IQB = ∠IPB ，于是∠IBQ = ∠IPB ，故∆IBP ∽ ∆IRB ，从而有∠IRB = ∠IBP ，且IB = IP ． …………………10 分 IR IB注意到 AB = AC ，且 I 为∆ABC 的内心，故 IB = IC ，所以IC = IP ，IR IC 于是∆ICP ∽ ∆IRC ，故∠IRC = ∠ICP ． …………………20 分又点 P 在圆Γ 的弧 BC 上，故∠BPC = 180 - 1∠A ，因此12∠BRC = ∠IRB + ∠IRC = ∠IBP + ∠ICP= 360 - ∠BIC - ∠BPC= 360 - ⎛90 + 1 ∠A ⎫ - ⎛180 - 1 ∠A ⎫2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= 90 ，故 BR ⊥ CR ．…………………40 分2017201820173 -2019--=二、（本题满分40 分）设数列{an }定义为a1=1 ，a =⎧an+n,若an≤n, n = 1, 2, ．n+1 ⎨a -n, 若a >n,⎩n n求满足ar<r ≤ 3 的正整数r 的个数．解：由数列的定义可知a1=1,a2=2．假设对某个整数r≥ 2 有ar=r，我们证明对t = 1, , r - 1 ，有ar +2t -1= 2r +t -1 >r + 2t -1, 对t 归纳证明．ar +2t=r -t <r + 2t ．①当t =1 时，由于ar =r ≥r ，由定义，ar +1=ar+r =r +r = 2r >r +1 ，ar +2 =ar +1- (r +1) = 2r - (r +1) =r -1 <r + 2 ，结论成立．设对某个1 ≤t <r -1 ，①成立，则由定义ar +2t +1=ar +2t+ (r + 2t) =r -t +r + 2t = 2r +t >r + 2t +1，ar +2t +2=ar +2t +1- (r + 2t +1) = 2r +t - (r + 2t +1) =r -t -1 <r + 2t + 2 ，即结论对t +1 也成立．由数学归纳法知，①对所有t = 1, 2, , r - 1 成立，特别当t =r -1时，有a3r -2 = 1 ，从而a3r-1 =a3r-2 + (3r - 2) = 3r - 1 ．若将所有满足ar =r 的正整数r 从小到大记为r1, r2, ，则由上面的结论可知r 1=1, r2= 2 ，rk +1= 3rk-1，k = 2, 3, ．…………………20 分由此可知，，从而．32017 +1201732018 +1由于r =< 3 <=r ，在1, 2, , 32017 中满足a =r 的数r 2018 2 22019 r共有2018个，为r1, r2, , r2018．…………………30 分由①可知，对每个k =1, 2, , 2017 中恰有一半满足a r <r．由于r2018+1 = 32017 +12+1与32017 均为奇数，而在r +1, , 32017 中，奇数均满足ar >r ，偶数均满足ar<r，其中的偶数比奇数少1 个．因此满足ar<r≤ 3的正整数r 的个数为1 (3201720172018 1)．…………………40 分2 2三、（本题满分50 分）将33⨯33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L ．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56 条分隔边，即L = 56 ． (10)分17 16⎩ ∑ ∑∑∑∑ ∑ ∑ ∑ 16 1711111133下面证明 L ≥ 56 ．将方格纸的行从上至下依次记为 A 1, A 2 , , A 33 ，列从左至右依次记为 B 1, B 2 , , B 33 ．行 A i 中方格出现的颜色数记为n ( A i ) ，列 B i 中方格出现的颜色个数记为n (B i ) ．三种颜色分别记为c 1, c 2 , c 3 ．对于一种颜色c j ，设n (c j ) 是含有c j色方格的行数与列数之和．记δ ( A , c ) = ⎧1,i j ⎨0,类似地定义δ (B i , c j ) ．于是若A i 行含有c j 色方格否则， 3333 3(n (A i) + n (B i)) = (δ ( A i, c j) + δ (B i, c j)) i =1i =1 j =13 33 3= (δ ( A i , c j ) + δ (B i , c j )) = n (c j ) ．j =1 i =1j =1由于染c 色的方格有 1⋅ 332 = 363个，设含有c 色方格的行有a 个，列有b 个，j3j则c j 色的方格一定在这a 行和b 列的交叉方格中，因此ab ≥ 363 ，从而n (c j ) = a + b ≥故 n (c j ) ≥ 39, ≥ 38 ，j = 1, 2, 3．① ………………20 分由于在行 A i 中有n ( A i ) 种颜色的方格，因此至少有n ( A i ) -1条分隔边．同理在列B j 中，至少有n (B j ) -1条分隔边．于是3333L ≥ (n (A i ) -1) + (n (B i ) -1)i =133i =1= ∑(n (A i ) + n (B i )) - 66② i =1 3= ∑ n (c j ) - 66 ．③j =1下面分两种情形讨论．………………30 分情形 1: 有一行或一列全部方格同色．不妨设有一行全为c 1 色，从而方格纸的 33 列中均含有c 1 色的方格，由于c 1 色方格有 363 个，故至少有 11 行中含有c 1 色方格，于是∑ 1 2 n 1 2 n 1 2 n由①，③及④即得n (c 1) ≥ 11+ 33 = 44 ．④L ≥ n (c 1) + n (c 2 ) + n (c 3 ) - 66 ≥ 44 + 39 + 39 - 66 = 56 ．………………40 分情形 2: 没有一行也没有一列的全部方格同色．则对任意1 ≤ i ≤ 33 ，均有 n ( A i ) ≥ 2 ， n (B i ) ≥ 2 ．从而由②知33L ≥ (n (A i ) + n (B i )) - 66 ≥ 33 ⨯ 4 - 66 = 66 > 56 ．i =1 综上所述，分隔边条数的最小值等于 56．…………………50 分四、（本题满分 50 分）设m , n 均是大于 1 的整数， m ≥ n ． a 1, a 2 , , a n 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且a 1, a 2 , , a n 互素．证明: 对任意实数 x ，均存在一个i （1 ≤ i ≤ n ），使得‖a x ‖≥2‖x ‖，这里‖y ‖表示实数 y 到与它最近的 整数的距离．im (m + 1) 证明：首先证明以下两个结论. 结论 1：存在整数 c 1, c 2 , , c n ，满足 c 1a 1 + c 2a 2 + + c n a n = 1 ，并且| c i |≤ m ， 1 ≤ i ≤ n ．由于(a 1, a 2 , , a n ) = 1，由裴蜀定理，存在整数c 1, c 2 , , c n ，满足c 1a 1 + c 2a 2 + + c n a n = 1． ①下面证明，通过调整，存在一组c 1, c 2 , , c n 满足①，且绝对值均不超过m ．记S 1(c 1, c 2 , , c n ) = ∑ c i ≥ 0, c i >mS 2 (c 1, c 2 , , c n ) = ∑ | c j |≥ 0 ．c j <-m如果S 1 > 0 ，那么存在c i > m > 1 ，于是c i a i > 1，又因为a 1, a 2 , , a n 均为正数，故由①可知存在c j < 0 ．令 c i ' = c i - a j ， c j ' = c j + a i ， c k ' = c k (1 ≤ k ≤ n ， k ≠ i , j )，则c 'a + c 'a + + c 'a = 1，②1 12 2n n并且0 ≤ m - a j ≤ c i ' < c i ， c j < c j ' < a i ≤ m ．因为 c i ' < c i ，且 c j ' < m ，所以 S 1(c ', c ', , c ') < S 1(c 1, c 2 , , c n ) ．又 c j ' > c j 及12nc i ' > 0 ，故 S 2 (c ', c ', , c ') ≤ S 2 (c 1, c 2 , , c n ) ． 如果 S 2 > 0 ，那么存在c j < -m ，因此有一个c i > 0 ．令 c i ' = c i - a j ，c j ' = c j + a i ， c k ' = c k (1 ≤ k ≤ n ，k ≠ i , j )，那么②成立，并且-m < c i ' < c i ，c j < c j ' < 0 ．与上面类似地可知 S 1(c ', c ', , c ') ≤ S 1(c 1, c 2 , , c n ) ，且 S 2 (c ', c ', , c ') < S 2 (c 1, c 2 , , c n ) ． 因为 S 1 与 S 2 均是非负整数，故通过有限次上述的调整，可得到一组c 1, c 2 , , c n ，使得①成立，并且 S 1 = S 2 = 0 ．结论 1 获证． ………………20 分结论 2: （1）对任意实数a , b ，均有‖a + b ‖≤‖a ‖ + ‖b ‖． （2）任意整数u 和实数 y 有‖uy ‖≤| u | ⋅‖y ‖．由于对任意整数u 和实数 x ，有‖x + u ‖=‖x ‖，故不妨设a , b ∈[- 1 , 1]，此时2 2 ‖a ‖=| a | ，‖b ‖=| b | . 若ab ≤ 0 ，不妨设a ≤ 0 ≤ b ，则a + b ∈[- 1 , 1] ，从而2 2‖a + b ‖=| a + b |≤| a | + | b |=‖a ‖+‖b ‖．若ab > 0 ，即a , b 同号．当| a | + | b |≤ 1 时，有a + b ∈[- 1 , 1] ，此时2 2 2‖a + b ‖=| a + b |=| a | + | b |=‖a ‖+‖b ‖． 当| a | + | b |> 1 时，注意总有‖a + b ‖≤ 1，故2 2‖a + b ‖≤ 1<| a | + | b |=‖a ‖+‖b ‖． ………………30 分2故（1）得证．由（1）及‖- y ‖=‖y ‖即知（2）成立．回到原问题，由结论 1，存在整数c 1, c 2 , , c n ，使得c 1a 1 + c 2a 2 + + c n a n = 1，并且| c i |≤ m ，1 ≤ i ≤ n ．于是利用结论 2 得‖x ‖=∑c i a ix = x ．i =1∑c i a ix ≤ ∑| c i| ⋅‖a ix ‖≤ m ∑‖a ix ‖．i =1因此i =1i =1max ‖a x ‖≥ 1‖x ‖．③1≤i ≤n imn若n ≤ 1(m +1) ，由③可知2………………40 分max ‖a x ‖≥‖x ‖≥ 2‖x ‖ ．1≤i ≤n imn m (m +1)若n > 1(m +1) ，则在a , a , , a 中存在两个相邻正整数. 不妨设a , a 相邻，则21 2 n 1 2‖x ‖=‖a 2 x - a 1x ‖≤‖a 2 x ‖+‖a 1x ‖．故‖a x ‖与‖a x ‖中有一个≥‖x ‖≥ 2‖x ‖ ．2 1 2m (m +1) 综上所述，总存在一个i （1 ≤ i ≤ n ），满足‖a x ‖≥ 2‖x ‖．………50 分im (m + 1)n n n n。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
解：a2－a1= (y－x)，b4－b3= (y－x)， = ．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
解：( +2)2n+1－( －2)2n+1=2(C 2xn22n+1)．
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 =．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；
⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为 ，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
2017年全国高中联合竞赛竞赛一试(A卷)数学试题含答案
2017年全国数学联合竞赛一试（A 卷）试 题一、填空题：本大题共8小题,每小题8分，共64分.1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅→+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=,则)100(-f 的值为________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是________。
3。
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点,A 为C 的右顶点,P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为________。
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是________。
5.正三棱锥ABC P -中，21==AP AB ，,过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________。
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为________。
7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点。
若ABC A ∆=∠，π3的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为________。
8.设两个严格递增的正整数数列{}n a ，{}n b 满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12,n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为________。
二、解答题 （本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9。
设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b 。
10。
设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求()⎪⎭⎫⎝⎛++++5353321321x x x x x x 的最小值和最大值。
2017年全国高中数学联合竞赛试题(A卷)与答案
.
解答
√
依题意，A
=
π 3 , S△ABC
=
1bc sin A 2
=
3 bc
=
√ 3
⇒
bc
=
4.
4
A# M» = 1(A# B» + A# C»), B# N» = 1B# C» ⇒ A# N» = 3A# B» + 1A# C»，
2
4
4
4
于是
#» AM
·
#» AN
=
1#» (AB
+
#» #» AC )(3AB
1 4− =
33 .
2
3
33
cos ∠P CB = 1 ⇒ BD2 = 1 + 1 − 2 × 1 = 3
√4
√
42
⇒ BD =
6 ⇒ DE =
5.
2
2
在 △CDE 中，作 CF ⊥ DE，P O ⊥ 平面 ABC
⇒ AB ⊥ 平面 CDE ⇒ CF ⊥ 平面 ABD.
由
S△CDE
=
1 CE ·
2√
数 n，有 an+2 = an+1 + an, bn+1 = 2bn，则 a1 + b1 的所有可能值为
.
解答
a10 = a9 + a8 = 2a8 + a7 = 3a7 + 2a6 = 5a6 + 3a5 = 8a5 + 5a4 = 13a4 + 8a3
= 21a3 + 13a2 = 34a2 + 21a1，
.
解答
1 f (x + 3) = −
2017全国数学竞赛一试word打印版
2017年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一，填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分1. 设()x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有()().143-=-⋅+x f x f 又当时70<≤x ，()()x x f -=9log 2，则()100-f 的值为__________.2. 若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是___________.3. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110922=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积最大值为____________.4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是__________.5. 正三棱锥，，，中21==-AP AB ABC P α的平面过AB 将其面积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6. 在平面直角坐标系xOy 中，点集(){}1,0,1,,-==y x y x K 丨.在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点之间距离为5的概率为_________.7. 在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ,△ABC 的面积为3，则AN AM ⋅的最小值为________.8. 设两个严格递增的正整数数列{}{}2017,1010<=b a b a n n 满足：，对任意整数n,有n n n a a a +=++12，.______,2111的所有可能值为则b a b b n n +=+二，解答题：本大题共三小题，满分56分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤9. （本题满分16分）设k,m 为实数，不等式[]b a x m kx x ,12∈≤--对所有成立。
证明：22≤-a b10. （本题满分20分）设,,,321x x x 是非负实数，满足1321=++x x x 求()⎪⎭⎫⎝⎛++++5353321321x x x x x x 的最小值和最大值. 11. （本题满分20分）设复数()()()()2Re Re 0Re ,0Re ,22212121==>>z z z z z z ，且满足（其中()z Re 表示复数z 的实部）.（1）()的最小值；求21Re z z（2）求的最小值212122z z z z --+++参考答案及解析一，填空题： 1. 【答案】21-【解析】由条件知，()()()x f x f x f =+-=+7114，所以()()()()214log 15127141001002-=-=-=-=⨯+--f f f f 2. 【答案】[]13,1+-，【解析】由于[]3,1cos 212-∈-=y x ，故[]3,3-∈x ，由21cos 2x y -=可知，()112121cos 22-+=--=-x x x y x .因此当1-=x 时，y x cos -有最小值-1（这时2π可以取y ）；当()π可以取这时有最大值时，y y x x 13cos 3+--.由于()11212-+x 的值域是[]131+-，，从而[]13,1cos +--，的取值范围是y x3. 【答案】2113 【解析】：易知()()10,0,3，F A .设P 的坐标是()⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0,sin 10,cos 3πθθθ则()()ϕθθθπθθ+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⋅=+=∆∆sin 2113sin cos 10232,0,sin 10321OFP OAP OAPF S S S其中211310arctan .1010arctan 面积的最大值为时，四边形当OAPF ==θϕ 4. 【答案】75【解析】考虑平稳数abc{}个平稳数有则若2,1,0,1,0∈==c a b{}{}个平稳数有则，若632,2,1,0,2,11=⨯∈∈=c a b{}个平稳数有，则，若422,98,9=⨯∈=c a b综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=755. 【答案】1053 【解析】设AB,PC,的中点分别为K,M ，则易证平面ABM 就是平面α，由中线长公式知()()23241122141212222222=⨯-+=-+=PC AC AP AM 所以252123222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=AK AM KM 又易知直线PC 在平面α上的射影是直线MK ，而CM=1，23=KC ,所以 10535431452cos 222=-+=⋅-+=∠MC KM KC MC KM KMC 故棱PC 与平面α所成角的余弦值为1053 6. 【答案】74 【解析】易知K 中有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为8439=C 种.将K 中的点按右图标记为O A A A ,821，，，⋯,其中有8对点之间的距离为5.由对称性，考虑取41A A ，两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有5687=⨯个三点组（不计每组中三点的次序）.对每个()53,8,2,1++⋯=i i i A A K i A 中恰有，，两点与之距离为5（这里下标按模8理解），因而恰有{}()8,,2,1,,53⋯=++i A A A i i i 这8个三点组被计了两次，从而满足条件的三点组个数为56-8=48，进而所求概率为748448=7. 【答案】13+【解析】由条件知，()AC AB AN AC AB AM 4143,21+=+=,故().481414321⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=⋅AC AB AC AB AC AB AN AM由于443sin 213==⋅==∆A S ABC ，进一步可得2cos =⋅=⋅A AC AB ,从而1321481+=⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+≥⋅AC AB AC AB AN AM1332,3244+⋅⨯==的最小值为，时AN AM8. 【答案】13,20【解析】有条件可知：121,,b a a 均为正整数，且21a a <，由于191051222017b b b =⋅=>，故{}3,2,11∈b .反复运用{}n a 的递推关系知122334455667788910213413218135835232a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+=+=+=+=+=+=+=因此()34m od 1251221110101b b b a a ≡==≡而()34m od 262132113183421131111b b a a =⨯=⨯=+⨯=⨯故有，， ① 另一方面，注意到故有,512213455,112121b a a a a a =+<<1155512b a <② ()无解②分别化为，①，时当,55512,34mod 261111<==a a b ()551024,34mod 522111<==a a b 时，①，②分别化为当得到唯一的正整数181=a 20,11=+b a 此时()551536,34mod 783111<==a a b ，②分别化为，①时当，得到唯一正整数101=a ，此时 1311=+b a综上所述，11b a +的所有可能值为13,20 9. 【证明】()()③②，①，.122211222-≥-+⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤--=≤--=m b a k b a b a f m kb b b f m ka a a f③知，②由①⨯-+2 ……………………4分()()()42222≤⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-b a f b f a f b a22≤-a b 故 ……………………16分10.【证明】解：由柯西不等式()()15533535323212332211321321=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++x x x x x x x x x x x x x x x0,0,1321===x x x 时不等式等号成立，故欲求的最小值为1， ……………………5分因为()()()596662011063146201)355(534151)355)(53(515353232123212321321321321321321=++≤⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⋅≤++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x 分21,0,21321===x x x 当时不等式等号成立，故欲求的最大值为59.………………20分11，【答案】 解：（1）对()()()2Re ,0Re .,i ,2,1222==->=∈+==kkkk k x k k k k z y x z x R y x y x z k 由条件知设因此()()()()()()()2222i i Re e 21212122212121221121≥-+≥-++=-=++=y y y y y y y yy y x x y x y x z z R又当()()2Re .2Re 2212121的最小值为，这表明，时z z z z z z === ……………………5分的右支上均位于双曲线，2:2221=-'y x C P P . 设()()02,022121，，的左，右焦点，易知分别是，F F C F F - 根据双曲线定义，有222222122111+'='+=F P F P F P F P ，，进而得 2424222221222121121121212121≥'-'++='-'+=+-+++=+-+++P P F P F P P P F P F P z z z z z z z z………………15分等号成立当且仅当()的中点恰是时，例如，当上位于线段21221212i 22P P F z z P P F '+=='综上可知，24222121的最小值为z z z z +-+++ ……………………20分。
2017年全国高中数学联赛一试(A卷)答案
．
y A2
A3
O A6
A4 A5
x
中 恰 有 Ai3 , Ai5 两 点 与 之 距 离 为 5 （ 这 里 下 标 按 模 8 理 解 ） ，因而恰有 { Ai , Ai3 , Ai5}(i 1, 2, , 8) 这 8 个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个 48 4 数为 56 8 48 ，进而所求概率为 ． 84 7
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 设 f ( x) 是定义在 R 上的函数， 对任意实数 x 有 f ( x 3) f ( x 4) 1 ． 又 当 0 x 7 时， f ( x) log 2 (9 x) ，则 f (100) 的值为 ． 1 答案： − ． 2 1 解：由条件知， f ( x 14) f ( x) ，所以 f ( x 7) 1 1 1 f (100) f (100 14 7) f (2) ． f (5) log 2 4 2 2 则 x cos y 的取值范围是 ． 2. 若实数 x, y 满足 x 2 cos y 1 ， 答案： [1, 解：由于 由 有最小值 可知， （这时 y 可以取 ） ； 当 时，
2023年全国高中数学联合竞赛加试(B)卷参考答案及评分标准
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，ABC 的外心为O ，在边AB 上取一点D ，延长OD 至点E ，使得,,,A O B E 四点共圆．若2,3,4,5OD AD BD CD ，证明：ABE 与CDE 的周长相等．证明：由,,,A O B E 共圆得AD BD OD DE ，又2,3,4OD AD BD ，所以6DE ． ……………10分由OA OB 得OAD OEA ，故OAD OEA ∽，故OA OE AE OD OA AD． 所以22(26)16OA OD OE ，得4OA ． 进而26OE AE AD AD OA． 同理可得OBD OEB ∽ ，28BE BD ． ……………20分 由于22OC OA OD OE ，故OCD OEC ∽． ……………30分 因此EC OC CD OD． 由2,8OD OE OD DE 知4OC ，又5CD ，故210EC CD ． 计算得76821AB AE BE ，561021CD DE EC ，即ABE 与CDE 的周长相等． ……………40分二．（本题满分40分）设,m n 是给定的整数，3m n ≥≥.求具有下述性质的最小正整数k ：若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在m 个红色的数12,,,m x x x （允许相同），满足121m m x x x x -+++< ，或者存在n 个蓝色的数12,,,n y y y （允许相同），满足121n n y y y y -+++< ． C E O A B D C E O A B D解：答案是1mn n -+．若k mn n =-，将1,2,,1n - 染为蓝色，,1,,n n mn n +- 染为红色．则对任意m 个红色的数12,,,m x x x ，有121(1)m m x x x n m x -+++≥-≥ ，对任意n 个蓝色的数12,,,n y y y ，有1211n n y y y n y -+++≥-≥ ，上述例子不满足要求．对k mn n <-，可在上述例子中删去大于k 的数，则得到不符合要求的例子．因此所求1k mn n ≥-+． ………………10分下面证明1k mn n =-+具有题述性质．假设可将1,2,,1mn n -+ 中的每个数染为红色或蓝色，使得结论不成立． 情形一：若1是红色的数，则红色的数均不超过1m -，否则可取一个红色的数m x m ≥，再取1211m x x x -==== ，则11m m x x x -++< ，与假设矛盾． ………………20分故,1,,1m m mn n +-+ 均为蓝色的数，此时取121,1n n y y y m y mn n -=====-+ ，有121(1)11n n y y y m n mn m mn n y -+++=-<-+≤-+= ，（*） 与假设矛盾． ………………30分情形二：若1是蓝色的数，则同情形一可知蓝色的数均不超过1n -，故,1,,1n n mn n +-+ 均是红色的数．此时取121,1m m x x x n x mn n -=====-+ ，与（*）类似，可得矛盾．故1k mn n =-+时结论成立．综上，所求最小的正整数1k mn n =-+． ………………40分三．（本题满分50分）是否存在2023个实数122023,,,(0,1]a a a ，使得20236120231110i j i j k ka a a 证明你的结论．解：记20231202311i j i j k kS a a a． 假设存在122023,,,(0,1]a a a ，使得610S ．不妨设12202301a a a ，则将12023i j i j a a 去掉绝对值后，k a 的系数为22024k ，从而 202311(22024)k k kS k a a ． ……………10分 当11011k 时，由基本不等式知11(22024)(20242)220242k k k kk a k a k a a ． ……………20分当10122023k 时，由于1()(22024)k f x k x x在(0,1]上单调增，故1(22024)(1)22025k k k k a f k a． 从而1011202311012220242(22025)k k S k k1011110101012202422k k k ． ……………30分 注意到202422(20242)2202444k k k k ，故61010101210114410S ，这意味者不存在122023,,,a a a 满足条件． ……………50分四．（本题满分50分）设正整数,,,a b c d 同时满足：(1) 2023a b c d +++= ；(2) ab ac ad bc bd cd +++++ 是2023的倍数；(3) abc bcd cda dab +++是2023的倍数．证明：abcd 是2023的倍数．证明：易知22023717=⨯．首先，由(1)，(3)知2()()()()() a b a c a d a a b c d abc bcd cda dab +++=+++++++是2023的倍数，故,,a b a c a d +++中至少有一个是 7的倍数． ……………10分由对称性，不妨设a b +是7的倍数，则) 2023( c d a b +=-+也是7的倍数，()()ac ad bc bd a b c d +++=++也是7的倍数，故结合(2)知ab cd +是7的倍数，因此22) (()()a c a a b c c d ab cd +=+++-+也是 7的倍数．又平方数除以 7的余数只能是0,1,2,4，因此22,a c 只能同时是 7的倍数， 这表明,,,a b c d 都是 7的倍数． ………………20分同上面分析可知：) ()()( a b a c a d +++是217的倍数，故或者其中有一个因子是217的倍数，或者其中有两个因子是 17的倍数．如果有一个因子是217的倍数，不妨设a b +是217的倍数，结合 ,a b 都是7的倍数知，a b +是 22023717=⨯的倍数，但这与2023a b c d +++=及,,,a b c d 是正整数相矛盾！ ………………30分因此,,a b a c a d +++中至少有两个是17的倍数．不妨设,a b a c ++都是17的倍数，那么b d +也是17的倍数，由2()()(2)()ab ac ad bc bd cd a b d b d c a a b a a c a +++++=+++++++-知，22a 是17的倍数，故a 是17的倍数．因此,,,a b c d 都是17的倍数，这就说明了abcd 是44717⨯的倍数，也就是2023的倍数．………………50分。