2017年第九届全国大学生数学竞赛非数学类预赛题和参考答案
2017年数学竞赛预赛(非数学类)试题评分标准及参考答案 .doc
2017年数学竞赛预赛（非数学类）试题评分标准及参考答案一 1. 已知可导函数满足, 则()f x解： 在方程两边求导得'()c o s +()s i n f x x f x x =,'()+()tan sec f x f x x x =.从而tan tan ()sec xdx xdx f x e xe dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰l n c o sl n c o s211==cos cos cos x x ee dx c x dx c x x --⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()=c o s t a n =s i n c o sx x c x cx ++ 由于(0)1f =，故()sin cos f x x x =+。
2．求()n n n +∞→22sin lim π解 由于 ()=+n n 22sin π()ππn n n -+22sin=2sin 1⎛⎫→。
3. 设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则21xx yy w w c-=_________。
解: 12+x w f f =，1112222xx w f f f =++，21()y w c f f =-，()()()22111122122111222=2yy w cf f c cf cf cf cf c f f f y∂=-=--+-+∂。
所以1221=4xx yy w w f c-。
4. 设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，则24(s i n )l i m x f xx →=______解：21()(0)'(0)"()2f x f f x f x ξ=++，所以241(sin )"()sin 2f x f x ξ=。
这样244400(sin )"()sin lim=lim 32x x f x f xx x ξ→→=。
第九届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷
f (0, 0) = 0 ，则 f ( x, y ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 1 du (t ) 4.满足 = u (t ) + ∫ u (t )dt 及 u (0) = 1 的可微函数 u (t ) = ＿＿＿＿＿＿＿. 0 dt
5. 设 a, b, c, d 是互不相同的正实数，x, y, z , w 是实数， 满足 a = bcd ，b = cda ，
(x ) 在闭区间 [0,1] 上连续且 ∫0 f ( x)dx ≠ 0 ， 证明：在区间 [ 0,1] 上存在三个不同的点 x1， x 2， x 3 ，使得
设函数 f
1
得分 评阅人
四 (本题满分 12 分) 求极限： lim n +1 ( n + 1)! − n n ! .
n →∞
x1 1 π 1 = c (x )dx c (t ) d t + c (x1 ) arctan x1 x 3 2 ∫ ∫ 8 0 1 + x 1 0 x2 1 = ( ) d ( ) arctan + c t t c x x 2 2 (1 − x 3 ). 2 ∫ 1 + x 2 0
3 当题空白不够,可写在当页背面,并注明题号.
得分 评阅人
一 (填空题，本题满分 30 分, 共 5 小题, 每小题 6 分) 1. 极限 lim
x →0
tan x − sin x = ＿＿＿＿＿＿＿. x ln(1 + sin 2 x)
2. 设一平面过原点和点 (6, −3, 2) ，且与平面 4 x − y + 2 z = 8 垂直，则此平面方程 为＿＿＿＿＿＿＿. 3. 设 f ( x, y ) 具有一阶连续偏导数，满足 df ( x, y= ) ye dx + x(1 + y )e dy ，及
2017-2018学年度第九届高等数学竞赛(答案)
中山大学新华学院第九届高等数学竞赛姓名 学号 班级 成绩一、填空题（每题3分，共18分） 1.函数()11y ln x =++()()1,00,-⋃+∞。
2. 2111.dx x+∞=⎰。
3.曲线236x x y +=的拐点横坐标为=x 2-;4. 11(1x x -+=⎰2π. 5.a =6.设A =“某人投注的号码中一等奖”，则P （A ）=861331615.64310C C -=⨯二、计算题（每题7分，共49分） 1. 设)1ln(2x x y ++=，求dy ． )1ln(2++=x x d dy )1(1122++++=x x d x x ............3分dx x xx x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++=111122 ----------5分.112dx x +=------------7分2、已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处有极小值2-，(1) 求a 与b 的值； (2) 求()f x 的极大值点与极大值。
解：（1）由(1)2f =-且为极小值知，12320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩，解得0;3a b =⎧⎨=-⎩------------------ 2分（2）322()3,()333(1)3(1)(1),f x x x f x x x x x '=-=-=-=+-由上表可得，极大值(1)2f -=。
------------------ 7分 3.设函数()f x 在0x =处有二阶导数,且 0()lim0,x f x x→=(0)4,f ''= 求(0),(0),f f '10()lim 1.xx f x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：4、设211()x x f x e-⎧⎪+=⎨⎪⎩00x x >≤，求31(2)d f x x -⎰. 解：令2=-t x，则d d =x t ，当1=x 时，1=-t ; 当3=x 时，1=t ------------------ 3分3101111(2)d ()d ()d ()d ---==+⎰⎰⎰⎰f x x ft t f t t f t t 0211d 1+x x -=⎰1-0e d x x +⎰114eπ=-+ ------------------ 7分5. 计算40⎰t =，则2,2x t dx tdt == ------------------ 2分4202t te dt =⎰⎰ ------------------- 4分222220002()2422(1)t t t te e dt e e e =-=-=+⎰ -----------------7分2000011()1()()lim ln 1lim lim 0000()1()(0)1limlim (0)222002()(0)lim ()lim 000,()(0)()(0)lim lim 0,()lim 1.x x x x f x f x f x xx x xx xx x x x f x f x f f xxx x f x f f x x xf x f f x f x xf x e eex eeee →→→→⎛⎫+•⎪⎝⎭→→→==→'''-''→→===⨯=-'===⎛⎫+= ⎪⎝⎭====6.解：)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++, ------------------ 2分yx xe y z y x +++=∂∂+11, ------------------ 4分 于是 =)0,1(dz dy e edx )2(2++. ------------------ 7分7. 计算二次积分 23120y xx I dx e dy =⎰⎰．解：被积函数是22y e ，对于y 而言，它的原函数不能用初等函数表示，需改变积分次序才能进行．区域D ： 3,01,y x y y ⎧≤≤⎨≤≤⎩ 如图所示．--------- 2分2312y xxI dx e dy=⎰⎰2312y yye dy dx=⎰⎰=2122201(1)2y e y dy -⎰， 令22y u =， 由上式得----- 4分 1112220111222(12)212()|23uuu u u I e u du e du ue du e ue e e =-=-=---=-⎰⎰⎰------------------ 7分 三、（10分）0()()()()2.().设有任意阶导数，且满足试求xf x x t f t dt f x x f x -=-⎰12()()()2()+()()()2()=()2()()()xxxxx x f t dt tf t dt f x xx f t dt x f x xf x f x f t dt f x x f x f x f x c e c e -=-'⋅-'-''==+⎰⎰⎰⎰000解：由题意： 等式两端对变量求导：-=即：等式两端再次对变量求导: 上式微分方程对应通解为：12 0,(0)0,(0)21,()xx x x f f c c f x e e --'=====-令可得，从而=-1,故.四、应用题（每题9分，共18分）3x y =oxy x=-111 1y o1. 解：如图（略），曲线与x 轴的交点为)0,1(-和)0,1(，..........2分(1) ⎰112)1(--=dx x S 34=............5分(2) 12V dy π=⎰()12101122y dy y y πππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰ .......9分 2. 解：设L 为获得的总利润,L R C =-= 1p 1q +2p 2q -C=1p ()1120.1p -+2p ()220.01p --(())123540q q ++=2211220.1160.01 2.4595p p p p -+-+- (2)分解方程组1112220.2160,0.02 2.40,p p L p p L p p =-+=⎧⎪⎨=-+=⎪⎩解得1p =80, 2p =120,唯一驻点是(80,120)．又 ..........6分A =L 11=－0.2<0,B =L 12=0,C =L 22=－0.02<0,因此 Δ=AC －B 2=0.004>0．故L 在驻点(80,120)处有极大值. .........8分于是可以断定,当两个市场售价分别为80和120个单位时,利润最大,最大利润为L (80,120)=189． ...............9分五、综合拓展题（5分）兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。
第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类)
得分
四 (本题满分 15 分) 设函数 f (x) 0 且在实轴上连续，
评阅人
若对任意实数 t ，有 e|tx| f (x)dx 1 ，证明 a,b ，
a b ，有 b f (x)dx b a 2 .
a
2
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________
密封线
密封线
省市____________学校____________准考证号_____________姓名____________
全国大学生数学竞赛预赛（非数学类,2017）-1
第九届全国大学生数学竞赛预赛试卷 (非数学类, 2017 年)
6. 记曲面 z2 x2 y2 和 z 4 x2 y2 围成空间区域为 V ，则三重积分
得分 评阅人
一 (本题满分 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分)
1. 已知可导函数 满足
x
f (x)cos x 20 f (t)sin tdt x 1
则 f (x) =_______
2. 极限 lim sin 2 n2 n =__________. n
3. 设 w f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且 u=x cy，v=x+cy ，其中 c 为非零
得分 评阅人
二 (本题满分 14 分) 设二元函数 f (x, y) 在平面上有连 续的二阶偏导数. 对任何角度 ，定义一元函数
g (t) f (t cos , t sin ) ，
若对任何
都有
dg (0) dt
0
且
d 2 g (0) dt 2
0
.
第九届全国大学生数学竞赛非数类参考答案(白兔兔)
学校
由 α 的任意性得
"
fx p0, 0q “ 0 fy p0, 0q “ 0
, 从而 p0, 0q 是 f px, yq 的驻点.
˘ d2 gα pt q d` fx cos α ` fy sin α “ 2 dt dt ` ˘ ˘ ` “ fxx cos α ` fxy sin α cos α ` fyx cos α ` fyy sin α sin α 省市 “ fxx cos2 α ` 2 fxy sin α cos α ` fyy sin2 α “ ‰ “ sin α cos α fxx cot2 α ` 2 fxy ` fyy tan2 α
所以 f p0, 0q 是 f px, yq 极小值. 三、 (本题满分 14 分) 设曲线 Γ 为曲线 x ě 0, y ě 0, z ě 0 ∫ 上从点 Ap1, 0, 0q 到点 Bp0, 0, 1q 的一段. 求曲线积分 I “ y dx ` z dy ` x dz
Γ
x2 ` y2 ` z2 “ 1 ,
Γ1 Σ
第 4 页, 共 6 页
曲线 Γ 在 xOy 面上投影的方程为
` ˘2 x´ 1 y2 2 ` 1 ˘2 ` ` 1 ˘2 “ 1 座位号
2 ? 2
又该投影（半个椭圆）的面积得知 1 π 这样就有 I “ ´ ? 2 2 2
Σ
π dx dy “ ? . 同理, 4 2
Σ
π dy dz “ ? 4 2
密封线 答题时不要超过此线 姓名
一、 (本题满分 42 分, 共 6 小题, 每小题 7 分) ∫ x 1. 已知可导函数 f pxq cos x ` 2 f pt q sin t dt “ x ` 1 满足 则 f pxq “
全国大学生数学竞赛第九届(非数学)决赛试卷
xi2 − xi xi+1 ， n ≥ 2 .
=i 1=i 1
(1) 证明：对任一非零 x ∈ Rn ， H (x) > 0 ； (2) 求 H (x) 满足条件 xn = 1的最小值.
得分 评阅人
六 (本题满分 12 分)
{ } 设函 数 f (x, y) 在区= 域 D (x, y) x2 + y2 ≤ a2 上 具
第九届全国大学生数学竞赛决赛试卷
得分
(非数学类, 2018 年 3 月)
评阅人
添加作者个人微信，备注知乎数学竞赛，可进入300多人的数学竞赛微信群
二 (本题满分 11 分)
设函数 f (x) 在区间 (0,1) 内连续，且存在两两互 异的点 x1, x2 , x3, x4 ∈ (0,1) ，使得
题号 满分
−x 1 1 1
cz = dab ， d w = abc ，则行列式 1 − y 1
1 = ＿＿＿＿＿＿＿.
1 1 −z 1
1 1 1 −w
省市____________学校____________准考证号____________姓名____________考场号______座位号______ 密封线密封线密封线
有一阶连续偏导数，且满足 f (x, y) x2 + y2 = a2 = a2 ，以及
∫∫ max
( x, y )∈D
∂f ∂x
2
+
∂f ∂y
2
= a2 ，其中
a
>
0
.
证明：
D
f (x, y)dxdy
≤ 4πa4 . 3
全国大学生数学竞赛决赛（非数学类,2018）-4
第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准
第九届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准(非数学类, 2018 年 3 月)一、 填空题(满分 30 分，每小题 6 分)：(1) 极限lim tan x - sin x =1.x →0 x ln(1+ s in 2 x )2(2) 设一平面过原点和点(6, -3, 2) ，且与平面4x - y + 2z = 8 垂直，则此平面方 程为 2x + 2 y - 3z = 0 .(3) 设函数 f (x , y ) 具有一阶连续偏导数，满足d f (x , y ) = ye y d x + x (1+ y )e y d y ， 及 f (0, 0) = 0 ，则 f (x , y ) =xye y .d u (t ) 1 2e t - e +1 (4) 满足 d t = u (t ) + ⎰0 u (t )d t 及u (0) = 1的可微函数u (t ) =3 - e.(5) 设a , b , c , d 是互不相同的正实数，x , y , z , w 是实数，满足a x = bcd ，b y = cda ， c z = dab ， d w = abc ，则行列式= 0.二、(本题满分 11 分) 设函数 f (x ) 在区间(0,1) 内连续，且存在两两互异的点 x 1, x 2 , x 3, x 4 ∈(0,1) ，使得α =f (x 1) - f (x 2 ) < x 1 - x 2 f (x 3 ) - f (x 4 ) =β ，x 3 - x 4证明：对任意λ ∈(α , β ) ，存在互异的点 x , x ∈(0,1) ，使得λ = f (x 5 ) - f (x 6 ) . 5 6 x - x56【证】 不妨设 x 1 < x 2 , x 3 < x 4 ，考虑辅助函数F (t ) =f ((1- t )x 2 + tx 4 ) - f ((1- t )x 1 + tx 3 )，……… 4 分(1- t )(x 2 - x 1) + t (x 4 - x 3 )则 F (t ) 在闭区间[0, 1] 上连续，且 F (0) = α < λ < β = F (1) . 根据连续函数介值定理，存在t 0 ∈(0,1) ，使得 F (t 0 ) = λ .………………… 3 分-x 11 1 1 - y11 1 1 -z11 11 -wn n !1⎣ ⎦- ∑π令 x 5 = (1- t 0 )x 1 + t 0 x 3 ， x 6 = (1- t 0 )x 2 + t 0 x 4 ，则 x 5, x 6 ∈(0,1) ， x 5 < x 6 ，且λ = F (t ) = f (x 5 ) - f (x 6 ).………………… 4 分x - x5 6三、(本题满分 11 分)设函数 f (x ) 在区间[0,1] 上连续且⎰1f (x )d x ≠ 0 ，证明： 在区间[0,1] 上存在三个不同的点x 1，x 2，x 3 ，使得π1f (x )d x =⎡ 1x 1f (t ) d t + f (x ) arctan⎤8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰01x 1 ⎥ x 3⎣ 1 = ⎡ 1x 2 f (t ) d t + f (x ) a rctan x ⎦ ⎤ (1 - x ). ⎢1 + x 2 ⎰0 2 2 ⎥ 3 ⎣ 2 ⎦【证】 令 F (x ) = 4 arctan x ⎰0 ，则F (0) = 0, F (1) = 1且函数F (x )在闭⎰f (t )d t区间[0,1] 上可导. 根据介值定理，存在点x 3 ∈(0,1) ，使F (x 3 ) = 1. 2………………… 5 分再分别在区间[0, x 3 ] 与[x 3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x 1 ∈(0,x 3) ， 使得F (x 3) - F (0) = F '(x 1)(x 3 - 0) ，即π1⎡ 1 x 1⎤8 ⎰0 f (x )d x = ⎢1 + x 2 ⎰0 f (x ) d x + f (x 1) arctan x 1 ⎥ x 3 ； ……… 3 分⎣ 1 ⎦且存在x 2 ∈(x 3 ,1) ，使F (1) - F (x 3) = F '(x 2 )(1 - x 3) ，即π1f (x )d x =⎡ 1x 2f (x ) d x + f (x) arctan x ⎤(1 - x ) .8 ⎰⎢1 + x 2 ⎰022⎥ 3⎣2⎦………………… 3 分四、(本题满分 12 分) 求极限： lim ⎡n +1 (n +1)! - n n !⎤ .n →∞【解】 注意到n +1(n +1)! - n⎡ n +1 (n +1)! n !=n ⎢ ⎤ 1⎥ ， 而 ………… 3 分 ⎢ nn ! ⎦⎥ nlim1 nk lnln x d x1lim= en →∞ n k =1n = e ⎰0= ，…………… 3 分nn !xf (t )d t1n n en n ! nn ! ∑∑ 【证】 (1) 二次型 H (x ) = ∑ x -⎝ ⎭n -1 ⎭n n +1- 1 ⋅1 ∑n +1lnk=(n +1)n[(n +1)!] (n !)n +1 = (n +1)n (n +1)= e(n +1)!n n +1k =1 n +1， …… 3 分利用等价无穷小替换e x -1 x (x → 0) ，得lim ⎡ n +1 (n +1)! ⎤ n - 1 n +1 k 1n →∞ nn ! 1⎥ = - lim n +1∑ln n +1 = -⎰0 ln x d x = 1 ， ⎢⎣因此，所求极限为⎦⎥ n →∞⎤k =1⎡ n +1 (n +1)! ⎤ 1lim - = limlim n ⎢ -1⎥ = . …… 3 分n →∞⎦ n →∞ n n →∞ ⎢⎣n n ! ⎦⎥ enn -1五、(本题满分 12 分) 设 x = (x , x , , x )T ∈ R n ，定义 H (x ) =x 2 -xx，n ≥ 2 .1 2 ni =1ii i +1i =1(1)证明：对任一非零 x ∈ R n ， H (x ) > 0 ；(2)求 H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值.nn -1 2ii i 1的矩阵为i =1⎛i =11 ⎫2 ⎪ ⎪ - 1 1 - 1 ⎪ 2 2 ⎪ 1 ⎪A = -2 ⎪ ， ……………3 分⎪ 1 ⎪ 1 - ⎪2 ⎪ - 11⎪⎪ ⎝ 2 ⎭因为 A 实对称，其任意k 阶顺序主子式∆k > 0 ，所以 A 正定，故结论成立. ………………… 3 分 (2) 对 A 作分块如下 A = ⎛ A n -1 α ⎫ ，其中α = (0, , 0, - 1)T ∈ R n -1 ，取可逆矩⎛ I - A -1 α ⎫α T 1 ⎪ ⎛ A n -1 2 0 ⎫ ⎛ A n -1 0 ⎫ 阵 P = n -1 n -1 ⎪ ，则 P T AP = ⎪ = ⎪ ，其中⎝ 01 ⎭ ⎝ 0 1- α T A -1α ⎝ 0 a ⎭ n +1(n +1)!nn !⎡n +1 (n +1)! ⎣⎢ 1 -n -1 ⎛ f ⎫ ∂x ∂y a = 1- α T A -1α .………………… 3 分记 x = P (x ,1)T ，其中 x = (x , x , , x )T ∈ R n -1 ，因为12n -1H (x ) = x T Ax = (x T ，1)P T (P T )-1 ⎛ An -10 ⎫ P -1P ⎛ x 0 ⎫ = x TA x + a ，0 0a ⎪ 1 ⎪ 0 n -1 0⎝⎭ ⎝ ⎭且 A 正定，所以 H (x ) = x T A x + a ≥ a ，当 x = P (x ,1)T = P (0,1)T 时， H (x ) = a .n -10 n -1 0因此， H (x ) 满足条件 x n = 1的最小值为a .………………… 3 分六、(本题满分 12 分) 设函数 f (x , y ) 在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ a 2}上具有一阶连续偏导数，且满足 f (x , y )⎡ ∂ 2 = a 2，以及 max ⎢⎛ ∂f ⎫2⎤ +⎥ = a 2 ，其x 2 + y 2 =a 2中a > 0 . 证明： ⎰⎰ f (x , y )d x d y ≤ 4π a 4 .( x , y )∈D⎪ ⎢⎣⎝ ⎭ ⎪ ⎝ ⎭ ⎥⎦D3 【解】 在格林公式P (x , y )d x + Q (x , y )d y = ⎛ ∂Q - ∂P ⎫d x d y ⎰ ⎰⎰ ∂x ∂y ⎪C D ⎝⎭中，依次取 P = yf (x , y ) ， Q = 0 和取 P = 0 ， Q = xf (x , y ) ，分别可得⎰⎰ f (x , y )d x d y = - ⎰ yf (x , y )d x - ⎰⎰ y ∂fd x d y ， D C D ∂y⎰⎰ f (x , y )d x d y = ⎰ xf (x , y )d y - ⎰⎰ x ∂fd x d y .两式相加，得D C D ∂x= a 2 -+- 1⎛ ∂f +∂f ⎫= + ⎰⎰ f (x , y )d x d y2⎰ y d x x d y 2 ⎰⎰ x∂x y ∂y ⎪d x d y I 1 I 2DCD ⎝ ⎭ ………………… 4 分a224对 I 1 再次利用格林公式，得 I 1 =2⎰ - y d x + x d y = a ⎰⎰ d x d y = π a ， …… 2 分CD对 I 2 的被积函数利用柯西不等式，得I 2 ≤ 1⎰⎰ x∂f+ yd x d y ≤1 ⎰⎰d x d y∂f ∂y2 D ∂x2 Dn n =1≤ax d y = 1π a 4 ，………………… 4 分2 D3因此，有⎰⎰f (x , y )d x d y ≤ π a 4 + 1 π a 4= 4 π a 4 . …………… 2 分D七、(本题满分 12 分) 设0 < a 3 3ln 1< 1 ,n = 1, 2, ，且lim a n= q (有限或+ ∞ ).nn →∞ln n∞∞(1)证明：当q > 1 时级数∑ a n 收敛，当q < 1 时级数∑ a n 发散；n =1n =1(2)讨论q = 1 时级数∑ a n 的收敛性并阐述理由.n =1证: (1)若 q > 1 ，则∃ p ∈ R ,s.t. q > p > 1 .根据极限性质， ∃N ∈ Z + ，s.t.ln 1a n1 ∞1∞∀n > N ，有ln n> p ，即a n <n p，而 p > 1时∑n p 收敛,所以∑ a n 收敛.n =1n =1若q < 1 ，则 ………………… 3 分∃ p ∈ R ，s.t. q < p < 1. 根据极限性质，∃N ∈ Z + ,s.t. ∀n > N ，ln 1a n1∞1∞有 ln n < p ，即a n > n p ，而 p < 1时∑ n p 发散,所以∑ a n 发散. n =1 n =1………………… 3 分(2) 当q = 1 时，级数∑ an可能收敛，也可能发散.n =11∞例如： a n = 满足条件，但级数∑ a n 发散； ………………… 3 分n =11 ∞又如： a n =n ln 2 n满足条件，但级数∑ a n 收敛. ………………… 3 分∞∞。
最终版第9届全国大学生数学竞赛(非数学)决赛试卷答案
点 x1, x2 , x3, x4 ∈ (0,1) ，使得
α = f (x1) − f (x2 ) < f (x3) − f (x4 ) =β ，
x1 − x2
x3 − x4
证明：对任意 λ ∈ (α , β ) ，存在互异的点 x5, x6 ∈ (0,1) ，使得 λ
=
f (x5 ) − f (x6 ) . x5 − x6
x1 x3
；
……… 3 分
且存在 x2 ∈ (x3 ,1) ，使 F (1) − F (x3)= F ′(x2 )(1− x3) ，即
∫ ∫ π
8
1
c (x )dx =
0
1
1
+
x
2 2
x2 0
c
(x
)
d
x
+
c
(x 2
)
arctan
x2
(1
−
x3)
.
………………… 3 分
四、(本题满分 12 分)
存在 t0 ∈ (0,1) ，使得 F (t0 ) = λ .
1
………………… 3 分
令 x5 =(1− t0 )x1 + t0 x3 ， x6 =(1− t0 )x2 + t0 x4 ，则 x5, x6 ∈ (0,1) ， x5 < x6 ，且
=λ F= (t0 )
f (x5 ) − f (x6 ) . x5 − x6
1 .
2
………………… 5 分
再分别在区间[0, x3 ] 与[x3，1]上利用拉格朗日中值定理，存在x1 ∈ (0,x3) ，
使得 F (x3) − F (= 0) F ′(x1)(x3 − 0) ，即
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛题和参考答案
2017
年10月28日
一、填空题（满分42分，共六小题，每小题7分） 1、已知可导函数
满足
,
则()f x == 。
2、求极限()
n n n +∞
→22sin lim π == 。
3、设(,)w f u v =具有二阶连续偏导数，且==+u x cy v x cy -，，其中c 为非零常数。
则2
1
xx yy w w c - = _ ___。
4、设()f x 有二阶导数连续，且(0)'(0)0,"(0)6f f f ===，
则24
0(sin )lim x f x x → = ______ 。
5、不定积分 sin 2sin 2(1sin )x e x
I dx x -=-⎰= ________。
6. 记曲面222z x y =+和224z x y =--围成空间区域为V ，
则三重积分V
zdxdydz ⎰⎰⎰ = ____ ______。
二、（本题满分14分)
设二元函数(,)f x y 在平面上有连续的二阶偏导数。
对任何角度α，定义一元函数
()(cos ,sin )g t f t t ααα=。
若对任何α都有(0)0dg dt α=且22(0)
0d g dt α>。
证明)0,0(f 是(,)f x y 的极小值。
三、(本题满分14分)
设曲线Γ为在2221x y z ++=，1x z +=，0,0,0x y z ≥≥≥上从(1,0,0)A 到(0,0,1)B 的一段。
求曲线积分⎰Γ
++=xdz zdy ydx I 。
四、(本题满分15分)
设函数()0f x >且在实轴上连续，若对任意实数t ，有||()1t x e f x dx +∞
---∞≤⎰，则,()a b a b ∀<，
2
()2
b
a
b a f x dx -+≤
⎰。
五、(本题满分15分)
设{}n a 为一个数列，p 为固定的正整数。
若()
lim n p n n a a λ+→∞
-=，其中λ为常数，
证明 lim
n
n a n
p
λ→∞=。