西经课后题课后大题,期末

5．假定某消费者关于某种商品的消费数量Ｑ与收入M之间的函数关系为M＝100Q2。

求：当收入M＝6 400时的需求的收入点弹性。 解：由已知条件M＝100Q2，可得： 于是有： 进一步，可得： 观察并分析以上计算过程及其结果可发现，当收入函数M＝aＱ2（其中a＞0且为常数）时，则无论收入M为多少，相应的需求的收入点弹性恒等于1/2。 6．假定需求函数为Ｑ＝MP－N，其中M表示收入，P表示商品价格，N（N＞0）为常数。 求：需求的价格点弹性和需求的收入点弹性。 解：由已知条件Ｑ＝MP－N可得： 由此可见，一般地，对于幂指数需求函数Ｑ（P）＝MP－N而言，其需求的价格点弹性总等于幂指数的绝对值N。而对于线性需求函数Ｑ（M）＝MP－N而言，其需求的收入点弹性总是等于1。 7．假定某商品市场上有100个消费者，其中，60个消费者购买该市场31的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为3；另外40个消费者购买该市场32的商品，且每个消费者的需求的价格弹性均为6。 求：按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是多少？ 解：令在该市场上被100个消费者购买的商品总量为Ｑ，相应的市场价格为P。 根据题意，该市场31的商品被60个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是3，于是，单个消费者i的需求的价格弹性可以写为： 即： （1） 且： （2） 相类似地，再根据题意，该市场32的商品被另外40个消费者购买，且每个消费者的需求的价格弹性都是6，于是，单个消费者j的需求的价格弹性也可以写为： 即： （3） 且： （4） 此外，该市场上100个消费者合计的需求的价格弹性可以写为： 将（1）式、（2）式代入上式，得： 再将（2）式、（4）式代入上式，得： 所以，按100个消费者合计的需求的价格弹性系数是5。 8．假定某消费者的需求的价格弹性ed＝1.3，需求的收入弹性eM＝2.2。 求：（1）在其他条件不变的情况下，商品价格下降2％对需求数量的影响。 （2）在其他条件不变的情况下，消费者收入提高5％对需求数量的影响。

解：（1）由于dddQQePP，于是将1.3de，PP＝2%代入，有：

1.30.0260.02ddddQQQQ； 所以在其他条件不变的情况下，价格降低2%使需求增加2.6%。 （2）由于，于是有： ； 因此，其他条件不变收入提高5%时，需求增加11%。 9．假定在某市场上A、B两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对A厂商的需求曲线为PA＝200－QA，对B厂商的需求曲线为PB＝3 00－0.5QB；两厂商

目前的销售量分别为QA＝50，QB＝100。求： （1）A、B两厂商的需求的价格弹性edA和edB各是多少？ （2）如果B厂商降价后，使得B厂商的需求量增加为QB＝160，同时使竞争对手A厂商的需求量减少为QA＝40。那么，A厂商的需求的交叉价格弹性eAB是多少？ （3）如果B厂商追求销售收入最大化，那么，你认为B厂商的降价是一个正确的行为选择吗？ 解：（1）关于A厂商： 由于PA＝200－QA＝200－50＝150，且A厂商的需求函数可以写成： QA＝200－PA

于是，A厂商的需求的价格弹性为：

关于B厂商： 由于PB＝300－0.5QB＝300－0.5×100＝250，且B厂商的需求函数可以写成： QB ＝600－2PB

于是，B厂商的需求的价格弹性为：

（2）令B厂商降价前后的价格分别为PB和PB′，且A厂商相应的需求量分别为ＱA和ＱA′，根据题意有：

ＱA ＝50

ＱA′＝40

因此，A厂商的需求的交叉价格弹性为： （3）由（1）可知，B厂商在PB＝250时的需求的价格弹性为edB＝5，也就是说，对B厂商的需求是富有弹性的。对于富有弹性的商品而言，厂商的价格和销售收入成反方向的变化，所以，B厂商将商品价格由PB ＝250下降为PB′＝220，将会增加其销售收入。具体地有： 降价前，当PB＝250且QB＝100时，B厂商的销售收入为： 降价后，当PB′＝20，且Q B′＝100，B厂商的销售收入为： 显然，，即B厂商降价增加了它的销售收入，所以，对于B厂商的销售收入最大化的目标而言，它的降价行为是正确的。 12.假定某商品销售的总收益函数为TR＝120Q－3Q2。 求：当MR＝30时需求的价格弹性。 解答：由已知条件可得

MR＝dTRdQ＝120－6Q＝30(1) 得 Q＝15 由式(1)式中的边际收益函数MR＝120－6Q，可得反需求函数 P＝120－3Q(2)

将Q＝15代入式(2)，解得P＝75，并可由式(2)得需求函数Q＝40－P3。最后，根据需求的价格点弹性公式有 ed＝－dQdP·PQ＝－－13·7515＝53 13.假定某商品的需求的价格弹性为1.6，现售价格为P＝4。 求：该商品的价格下降多少，才能使得销售量增加10% ？ 解答：根据已知条件和需求的价格弹性公式，有

ed＝－ΔQQΔPP＝－10%ΔP4＝1.6 由上式解得ΔP＝－0.25。也就是说，当该商品的价格下降0.25，即售价为P＝3.75时，销售量将会增加10%。 2. 假设某消费者的均衡如图3—1(即教材中第96页的图3—22)所示。其中，横轴OX1和纵轴OX2分别表示商品1和商品2的数量，线段AB为消费者的预算线，曲线 图3—1 某消费者的均衡 U为消费者的无差异曲线，E点为效用最大化的均衡点。已知商品1的价格P1

＝2元。

(1)求消费者的收入； (2)求商品2的价格P2； (3)写出预算线方程； (4)求预算线的斜率； (5)求E点的MRS12的值。 解答：(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量为30单位，且已知P1＝2元，所以，消费者的收入M＝2元×30＝60元。 (2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位，且由(1)

已知收入M＝60元，所以，商品2的价格P2＝M20＝6020＝3元。 (3)由于预算线方程的一般形式为 P1X1＋P2X2＝M 所以，由(1)、(2)可将预算线方程具体写为：2X1＋3X2＝60。

(4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X2＝－23X1＋20。很清楚，预算线的斜率

为－23。 (5)在消费者效用最大化的均衡点E上，有MRS12＝P1P2，即无差异曲线斜率的绝对值即MRS等于预算线斜率的绝对值P1P2。因此，MRS12＝P1P2＝23。 6．假定某消费者的效用函数为U＝x13/8x25/8，两商品的价格分别为P1，P2，消费者的收入为M。分别求该消费者关于商品l和商品2的需求函数。 解：建立拉格朗日函数：12121122(,,)(,)()LxxUxxPxPxM

即358812121122(,,)()LxxxxPxPxM

令0,0LLx，

得：528113()08xPx ① 318

2

2

5()08xPx ②

1122PxPxM ③ 由①②③联立可得：121235,88MMxxPP 此即为二者的需求函数。 7．令某消费者的收入为M，两商品的价格为P１、P2。假定该消费者的无差异曲线是线性的，且斜率为－a。 求：该消费者的最优商品消费组合。 解：据题意，可知预算方程为：12PxPyM，预算线斜率为12PP 由于无差异曲线是直线，且斜率为－a，所以无差异曲线斜率的绝对值为： adXdXMRS12

12。

所以，该消费者的最优商品消费组合为： （1）当12PaP时，边角解是预算线与横轴的交点，如图3-9（a）所示。 这时，0y 由预算方程得：1MxP

即最优商品组合为1(,0)MP （2）当12PaP时，边角解是预算线与纵轴的交点，如图3-9（b）所示。 这时，0x 由预算方程得：2MyP

即最优商品组合为2(0,)MP （3）当12PaP时，无差异曲线与预算线重叠，预算线上各点都是最优商品组合点。 （a） （b） （c） 图3-9 最优商品组合 8．假定某消费者的效用函数为，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：

（1）该消费者的需求函数。 （2）该消费者的反需求函数。 （3）当q＝4时的消费者剩余。 解：（1）由题意可得，商品的边际效用为： 货币的边际效用为： 于是，根据消费者均衡条件MUp，有：

整理得需求函数为q＝2136p

（2）由需求函数q＝2136p可得反需求函数为： （3）由反需求函数16pq可得消费者剩余为： 将p＝112,q＝4代人上式，则有消费者剩余： 3．已知生产函数22(,)20.50.5QfLKKLLK，假定厂商目前处于短期生产，且K＝10。 （1）写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的平均产量APL函数和劳动的边际产量MPL函数；

（2）分别计算当劳动的总产量TP、劳动的平均产量AP和劳动的边际产量MPL

各自达到极大值时的厂商的劳动投入量；

（3）什么时候APL＝MPL？它的值又是多少？ 解：（1）将K＝10代入生产函数22(,)20.50.5QfLKKLLK中， 得：2

0.52050QLL