2019年高考等值预测卷(全国Ⅲ卷)数学(理)试卷及答案

2019年高考等值试卷★预测卷理科数学（全国Ⅲ卷）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1．设集合 A ={x |x ≤x }，B ={x | A ． (，1]C ． (0，1]1x≥1}，则 A ∩B =B ． [0，1] D ． (，1]∪ (0，1]2．已知 i 为虚数单位，则2 i 1 i=3 1 A ． i2 23 1 B ． i2 21 3 C ． i2 21 3 D ． i2 23．“0<x <1”是“sin x <sin x ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．运行如图所示的程序框图，设输出的数据构成集合A ，从集否结束开始i =-1i <3?是 y =i +2i输出 y 合 A 中任取一个元素 a ，则函数 y x a 在(0，+∞)上是增函i =i +1数的概率为A ．1 2 3 B ． C ．545D ．3 4 5．若函数 f ( x ) a x (a >0，且 a ≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为 2，则实数2 2 2a =A ．22B ． 2C ．1 2D ．26．我国古代木匠精于钻研，技艺精湛，常常设计出巧 夺天工的建筑，如图．在 24 主视图2 2 左视图一座宫殿中，有一件特别 的“柱脚”的三视图如右 图所示．则其体积为8A ． +4π3C ．8+4π8B ． +8π3D ．8+8π俯视图7．已知斜率为 2 的直线 l 过抛物线 C ：y =2px (p >0)的焦点 F ，且与抛物线交于 A ，B 两 点，若线段 AB 的中点 M 的纵坐标为 1，则 p =A ．1B ． 2C ．2D ．48．将函数 f ( x ) sin 2x 3 cos 2x 的图象向右平移位，所得图象经过点(，1)，则 的最小值为8 (>0)个单位，再向上平移 1 个单A ．512B ．712C ．524D ．7249．已知双曲线x 2 y 21(a>0，b >0)的左、右焦点分别为 F ，F ，过 F 作 x +y 1 2 1=a 2的切线，交双曲线右支于点 M ，若∠F MF =45º，则双曲线的离心率为12A ． 2B ． 3C ．2D ．310．有一个长方体木块，三个侧面积分别为 8，12，24，现将其削成一个正四面体模型，则该正四面体模型棱长的最大值为A ．2B ． 2 2C ．4D ． 4 211．已知在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，A (0，2)，|OB |+|OA |2 =20，若平面内点 P 满足 PB 3P A ，则|PO |的最大值为 A ．4B ．5C ．6D ．72 22 a b 22 2e x 2a ，x a ， 12．已知 A 、B 是函数f ( x )(其中 a >0)图象上的两个动点，点 P (a ，0)，e ，x a若 PA PB 的最小值为 0，则函数 f ( x ) 的最小值为A ．1e 2B ．1e C ．1e 2D ．1 e二、填空题：本大题共 4 小题 每小题 5 分，共 20 分。

13．已知函数f ( x )log x ， x 1 ，2则 f ( 2)=________． f ( x 3)，x 1 ，14．已知向量 a ，b 的夹角为 45º，若 a =(1，1)，|b |=2，则|2a +b |=________．15．记 (2 x ) aa (1 x ) a (1 x )a(1x)127aaa =________． 1267，则316．已知△ABC 的内角 A ，B ，C 所对边分别为 a ，b ，c ，且 a cos C -c cos A= b ，则 tan(A -C )5的最大值为________．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。

第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：（共 60 分） 17．（本小题满分 12 分）设等比数列{a }的公比为 q ，S 是{a }的前 n 项和，已知 a +2，2a ，a +1 成等差数nnn123列，且 S =4a -1，q >1．32（1）求{a }的通项公式；nn（2）记数列{}的前 n 项和为 T ，试问是否存在 n ∈N *使得 T <3？如果存在，n nn请求出 n 的值；如果不存在，请说明理由．18．（本小题满分 12 分）为加快经济转型升级，加大技术研发力度，某市建立高新科技研发园区，并力邀某 高校入驻该园区．为了解教职工意愿，该高校在其所属的 8 个学院的教职员工中作了 “是否愿意将学校整体搬迁至研发园区”的问卷调查，8 个学院的调查人数及统计数据 如下：调查人数（x ）愿意整体搬迁人数（y ）1082017302540315039604770558066（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量 y 关于变量 x 的线性回归方x 72a程 y ˆbx a ˆ（ b保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500 人，请预测 该校愿意将学校整体搬迁至研发园区的人数；（2）若该校的 8 位院长中有 5 位院长愿意将学校整体搬迁至研发园区，现该校拟 在这 8 位院长中随机选取 4 位院长组成考察团赴研发区进行实地考察，记 X 为考察团 中愿意将学校整体搬迁至研发园区的院长人数，求 X 的分布列及数学期望．参考公式及数据： bx y n x y iii 1x 2 n · x 2 i， a ˆy b x8， x y16310 i ii 1，i 18 x i 2 20400．i 119．（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ADE -BCF 中，侧面 ABCD 是为菱形， E 在平面 ABCD 内的射影 O 恰为线段 BD 的中点．（1）求证：AC ⊥CF ； （2）若∠BAD =60º，AE =AB ，求二面角 E -BC -F 的平 面角的余弦值．DEFCO20．（本小题满分 12 分）ABx y3已知椭圆 E ： 1 (a >b >0)的离心率为 ，A 、B 分别为 E 的左顶点和上顶a b21点，若 AB 的中点的纵坐标为 ．F ，F 分别为 E 的左、右焦点．1 2（1）求椭圆 E 的方程；（2）设直线 L ： x my m 2 2与 E 交于 M ，N 两点，△MF △F ，△NF △F 的重心分1 21 2别为 G ，H ．若原点 O 在以 GH 为直径的圆内，求实数 m 的取值范围．21．（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) a (1 x ) ln x 2 (a ∈R )，且 f ( x ) 在(0，+∞)上满足 f ( x ) ≤0 恒成立． （1）求实数 a 的值；（2）令 g ( x ) xf ( x ) ax x a在 (a ，) 上的最小值为 m ，求证：11 f ( m ) 10 ．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答。

如果多做，则按所做 的第一题记分。

22． [选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）ˆ ˆ ˆnn ˆ 2 22 22在平面直角坐标系 xOy 中，P (2，0)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 M 为 PQ 的中点．2 ，点 Q (ρ，θ)(0≤θ≤)为 C 上的动点，（1）请求出 M 点轨迹 C 的直角坐标方程；1（2）设点 A 的极坐标为 A (1，π)，若直线 l 经过点 A 且与曲线 C 交于点 E ，F ，弦1EF 的中点为 D ，求AD AE AF的取值范围．23． [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）已知 a >0，b >0． （1）若关于 x 的不等式|x +3|-|x -1|≤a 值；-3a 对任意实数 x 都成立，求实数 a 的最小（2）求证：ab≥ a b ． b a2019年相阳教育“黉门云”高考等值试卷★ 预测卷理科数学（全国Ⅲ卷）参考答案及评分标准一、选择题：每小题 5 分，共 60 分．1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C8．D9．B10．B11．B12．D二、填空题：每小题 5 分，共 20 分．13．214．2515．126 16．34三、解答题：共 70 分．17．解：（1）∵ a +2，2a ，a +1 成等差数列，123∴ 4a =a +2+a +1= a +a +3，2 13 1 3即 4a q =a +a q +3，①…………………………………………………………………2 111分由 S =4a -1 可得 a +a q +a q =4a q -1，即 a -3a q +a q +1=0，②…………………3 3 21111111分联立①②及 q >1 解得 a =1，q =2，1∴ a 2n 1．……………………………………………………………………………5 n2 2 2 2（2）T = n12 3 n20 21 222n1，1 123 n 1 n T = ， 2 21 22 23 2n 1 2n1 1 1 1 1 n 两式作差得 T =2 20 21 22 2n 1 2n=11 1nn n 2 2 ，1 2n 2n2于是 T4nn 2 2n 1．……………………………………………………………………8 分∵ n ≥2 时， T T n n 14n 2 n 1 n4 0 ，2n 1 2n 2 2n 1 ∴ {T }(n ∈N *)单调递增．……………………………………………………………10 n分而 T =1<3，T =2<3，T = 1 2 311 13 <3，T = >3，4 4∴ 当 n =1，2，3 时，T <3． (12)n分18．解：（1）由已知有 x 45，y 36 ，bx yn .x . y i ii 1 x 2n .x 2 i16310 8 45 36 20400 8 450.80， a ˆ36 0.8045 0 i 1， (4)分故变量 y 关于变量 x 的线性回归方程为 y =0.80x ， (5)分所以当 x =2500 时，y=2500×0.80=2000． (6)分（2）由题意可知 X 的可能取值有 1，2，3，4． (7)n n2 4ˆnn 2P ( X 1)C C 5 3 C 81 14， P ( X 2)C C 5 3 C 83， 7P ( X 3)C C 3 C 15 3 ， P ( X 4) 5 ． …………………………………11 C 7 C 14 88分所以 X 的分布列为X1 234P1143 73 71 14E (X )= 11 3 3 1 52 3 4 ． (12)14 7 7 14 2 分19．（1）证明：如图，连接 AC ，易知AC ∩BD =O ． ∵ 侧面 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ．又由题知 EO ⊥面 ABCD ，AC 面 ABCD ， ∴ EO ⊥AC ，zEF 而 EO ∩BD =O ，且 EO ，BD 面 BED ，DC∴ AC ⊥面 BED ． ∴ AC ⊥ED ．xAOBy∵ CF //ED ，∴ AC ⊥CF ． (5)分（2）解：由（1）知 AO ⊥BO ，OE ⊥AO ，OE ⊥BO ，于是以 O 为坐标原点，OA ， OB ，OE 所在直线分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设 AB =AE =2． ∵ 在菱形 ABCD 中，∠BAD =60º，∴ AO =3，BO =1．1 3 42 24 2 1 4 4 4在 △R t EAO 中，EO =EA 2 AO 2=1．于是 O (0，0，0)，A (3 ，0，0)，B (0，1，0)，E (0，0，1)，C (-3 ，0，0)，∴ AB =(-3 ，1，0)， BE =(0，-1，1)， BC =(-3 ，-1，0)． (7)分又由 EF AB ， 可解得 F (-3 ，1，1)，于是 BF =(-3 ，0，1)． ……………8 分设平面 BCE 的法向量为 n =(x ，y ，z )，1111则由 n • BE =0，n • BC =0 得113 3令 y =1，则 x = ， z =1，即 n =( ，1，1)．…………10 111 1 分同理可得平面 BCF 的法向量 n =( 2n n 1∴ cos<n ，n >=12=1 2n n 71233，-1，1)．1故二面角 E -BC -F 的平面角的余弦值为 ． (12)7分20．解：（1）设椭圆的半焦距为 c ，由题意有 A (-a ，0)，B (0，b )，于是c 3b 1，且 ，a 2 2 2结合 a=b+c ，解得 a =2，b =1，x∴ 椭圆 E 的方程为y 421． (4)分（2）设 M ( x ，y ) ， N ( x ，y ) ，11221 1y z 0， 1 13 3 3xy0， 2222由已知联立方程m 2 x my ，2 m 消去 x ，得 (m 4) y m y 4 0 ， x 2 4y 2 1， 4由0 可得 m 4 4m 2 16 0 ，解得 m <2 2 5 ．且 y y1 2m 3m 4 16，y y ，………………………………………………7 m 244( m 2 4)分x y x y由题意得△MF △F ，△NF △ F 的重心G ( 1 ， 1 )，H ( 2 ， 2 ) ，……………………8 3 3 3 3分∵ 原点 O 在以 GH 为直径的圆内，∴ OG OH 0 ，即x xy y 1 21 290 ． (9)分∵ x xy y(m 1 21 221) y y12m m ( y y )24(m1)m16 m m m ( ) 04(m4) 2 m 44，m16m 16 整理得 0 4(m 4)， 即 m 4 -16m 2 -16=0，变形为 (5m 4)( m 4) 0 ， 即 m <4，满足 m <2+25， (11)分故-2<m <2． (12)分21．解：（1）当 x >0 时，原函数可化为 f ( x ) a (1x ) 2ln x ，则 f(x)2 2 axa ，x x (1)分当 a ≤0 时， f(x) >0，故 f ( x ) 在 (0，)上单调递增，42 2 32 1 212 1 234 1 2 2 4 334 2 2 4 2 2 2 2 2 2由于f(1)=0，所以当x 1时，f(x)f(1)0，不合题意． (2)分当a 0时，f (x)2a(x )ax，22∴当0x 时，f (x)0 ；当x 时，fa a(x)0，所以f(x)22在(0，)上单调递增，f(x)在(，)上单调递减，a a即f(x)2f( )max aa 22ln22ln a．所以要使f(x)≤0在(0，)时恒成立，则只需f(x)≤0，max亦即a 22ln22ln a≤0． (3)分令(a)a 22ln22ln a，则(a)12a 2，a a∴当0a 2时，(a)0；当a 2时，(a)0，即(a)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增．又(2)0，所以满足条件的a只有2，即a 2． (5)分（2）由（1）知a=2，f(x)22x 2ln x，∴g(x)x f(x)ax2x 2x ln xx a x 2(x 2)，于是g (x)2(x 2ln x 4)(x 2)2． (6)分令s(x)x 2ln x 4，则s (x)12x 2，x x由于x 2，所以s (x)0，即s(x)在(2，)上单调递增；又s(8)0，s(9)0 ，∴x (8，9)，使得s(x)0，即2ln x x 4，0000且当2x x时，s(x)0；当x x时，s(x)0，00即g(x)在(2，x)上单调递减；在(x ，)上单调递增，00∴g(x)min g(x )2x 2x ln x000x 2x22x00x 2x． (10)分即m x，∴f(m)f(x)22x 2ln x x 2(11，10)，0000即11f(m)10． (12)分22．解：（1）∵C的直角坐标方程为x+y=4， (1)分∴点Q(x，y)满足x+y=4(y≥0)． (20)分设M(x，y)，则x x 2y0，y 0，即x=2x-2，y=2y，22∴(2x-2)+(2y)=4(y≥0)，整理得C的轨迹方程为(x-1)+y=1(y≥0)． (51)分（2）直线l过点A(-1，0)，所以直线l的参数方程为x 1t c os ，(θ为参数，θ为倾斜角，[0，)) y t sin ，6代入C：t24t cos 30，则∴t t 4cos ，12t t 3，12t t12AD22cos 32(，]AM.AN t .t 33312． (10)22220022221分23．解：（1）∵|x+3|-|x-1|=|x+3|-|1-x|≤|(x+3)+(1-x)|=4， (3)分∴a2-3a≥4，解得a≥4，或a≤-1（舍去）．∴a的最小值为4． (5)分（2）∵a bb a-(a b)=a ab b a b b aab==a(a b)b(a b)ab(a b)( a b)ab=( a b)2( a b)ab≥0∴a bb a≥( a b)． (10)分。