知识点060--平方差公式的几何背景(选择)
平方差公式及其几何意义PPT课件
例题：用平方差公式计算
（1）( 3x + 1 )( 3x－1 )； （2）( a + 3b )( a－3b )； （3）(－x + 3 )(－x－ 3 )； （4）( b + a )( a－ b )； （5）( a－b )( a + b )( a2 + b2 ).
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思考：用平方差公式计算 （1）( 3 + 2a )( －3 + 2a )；
（2）( －3a － 2 )( 3a － 2)；
（3）102×98.
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a
a ？ a-b
a-b b？
平方差公式的几何意义
b b
面积 = a2-b2 a2-b2= (a+b)(a-b)
面积 = (a+b)(a-b)
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教学反思： 教学过程中，公式的形式是难点，尤其 有一例子是需要通过变形才能看出平 方差公式的形式的，因此，教师在教学 过程中应讲清楚“形式”，并在练习中得 到辨析。
（3）( 3－x )( 3 + x )；= 9－x2
（4）( 2m + n )( 2m－n）=. 4m2－n2
观察原式和结果，在式子的形式上你发现了什么共同点？
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新知：平方差公式 ( a + b )( a － b )= a2－b2
(两数和) × (这两数差) = 这两数的平方差 ( △ + □ ) × ( △－□ ) = △2 － □2
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感谢您的观看！
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学习目标： 1、能观察给出的式子和结果，归纳出 形式上的共同点，得到平方差公式； 2、能套用公式进行计算； 3、能在老师的引导下，探究得出平方 差公式的几何意义。
《平方差公式》课件(共24张PPT)【推荐】
例2 运用平方差公式计算.
（1）1998×2002； （2）20202-2017×2023. 分析 应用平方差公式可使运算简便. （1）中，1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2）； （2）中，20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）. 解析（1）1998×2002＝（2000-2）×（2000＋2） ＝20002-4＝4000000-4＝3999996. （2）20202-2017×2023＝20202-（2020-3）× （2020＋3）＝20202-（20202-9）＝9.
3 3 9 9 9
81
（2）（2x＋1）（4x2＋1）（2x-1）（16x4＋1）
＝（2x＋1）（2x-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（4x2-1）（4x2＋1）（16x4＋1）
＝（16x4-1）（16x4＋1）
＝256x8-1
解析 （1） . x 乘除
6 平方差公式
知识点一 平方差公式
平方差 公式
内容
字母表示
知识 详解
知识点一 平方差公式
内容
字母表示
平方差 两个数的和与这两个数的差的积，等于 （a＋b）（a-b）＝a2-
公式
它们的平方差
b2
知识 详解
（1）平方差公式的特点:（i）等号左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数. （ii）等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.（2）对于形 如两数和与这两数差相乘的多项式乘法，都可以用平方差公式计 算. （3）公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式. （4）探究平方差公式的几何意义:如图①，边长为a的大正方形中 有一个边长为b的小正方形，阴影部分的面积为a2-b2； 如图②，将图①中的阴影部分剪拼成一个长方形，面积为（a＋b ）（a-b），所以有（a＋b）（a-b）＝a2-b2
第03讲乘法公式(原卷版)
第03讲 乘法公式 课程标准 学习目标①平方差公式②完全平方公式 1. 能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应用。
2. 能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式进行应用。
1. 平方差公式的内容：两个数的和乘以两个数的差等于这两个数 的差。
即()()=-+b a b a 。
注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。
用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。
2. 式子特点分析：()()22b a b a b a -=-+：两个二项式相乘，若其中一项 ，另一项 ，则等于他们 项的平方减去 项的平方。
3. 平方差公式的几何背景：如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。
图①的面积为：()()b a b a -+；图②的面积为：22b a -；图①与图②的面积相等。
所以()()22b a b a b a -=-+题型考点：①平方差公式的计算。
②利用平方差公式求值。
③平方差公式的几何背景应用。
④利用平方差公式简便计算。
【即学即练1】1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）A ．B ．（﹣2x +3y ）（﹣3y ﹣2x ）C ．（﹣2x +y ）（﹣2x ﹣y ）D ．（x ﹣1）（﹣x +1）【即学即练2】2．计算：（1）（a +b ）（a ﹣2）； （2）；（3）（m +n ）（m ﹣n ）； （4）（0.1﹣x ）（0.1+x ）； （5）（x +y ）（﹣y +x ）．【即学即练3】3．若x ﹣y ＝2，x 2﹣y 2＝6，则x +y ＝ ．【即学即练4】4．已知m ﹣n ＝1，则m 2﹣n 2﹣2n 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．0D ．2【即学即练5】5．如图（1），在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分拼成一个长方形，如图（2），此过程可以验证（ ）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab 【即学即练6】6．20142﹣2013×2015的计算结果是 ．知识点02 完全平方公式1. 完全平方公式的内容：①完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的 的和 这两个数乘积的两倍。
平方差公式课件PPT
$(a+b-c)^2 = a^2 + b^2 - c^2 + 2ab - 2bc$
$(a-b+c)^2 = a^2 - b^2 + c^2 + 2(ab)c$
平方差公式的其他变种形式
$(a+b)^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ $(a-b)^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
平方差公式课件
目录
CONTENTS
• 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的推导过程 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用举例 • 平方差公式的变种 • 总结与回顾
01 平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
总结词
平方差公式是数学中一个重要的恒等 式，用于表示两个数的平方差与这两 个数之间的关系。
$(a+b+c)^3 = (a+b+c)(a^2 - ab + b^2 - ac + bc - c^2)$
06 总结与回顾
本节课的重点回顾
01
02
03
04
平方差公式的形式和结 构
平方差公式的推导过程
平方差公式的应用范围 和条件
平方差公式的代数表示 和几何意义
本节课的难点解析
01
02
03
04
如何理解和记忆平方差公式的 形式和结构
目标
证明该公式成立
证明的步骤
01
02
03
步骤1
展开左侧，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2 + ab - ab$
步骤2
合并同类项，得到 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$
平方差公式几何推导
平方差公式几何推导在咱们的数学学习之旅中，平方差公式那可是个相当重要的家伙！平方差公式是：(a + b)(a - b) = a² - b²。
这看起来好像有点抽象，不过别担心，咱们通过几何的方法来推导它，就能让它变得清晰明了，就像在迷雾中突然看到了光明大道一样！想象一下，咱们有一个边长为 a 的大正方形。
这个大正方形可威风啦，四平八稳地站在那里。
然后呢，在这个大正方形的一角，咱们切去一个边长为b 的小正方形。
这时候，剩下的图形就变得有点特别了。
咱们先来看剩下图形的面积怎么算。
从整体上来看，大正方形的面积是 a²，小正方形的面积是 b²，那剩下部分的面积就是 a² - b²。
那咱们换个角度来瞅瞅。
剩下的部分可以分成两个长方形，一个长方形的长是 a - b ，宽是 a ；另一个长方形的长是 a ，宽是 a - b 。
所以这两个长方形的面积加起来就是 (a + b)(a - b) 。
你瞧，从不同的角度去计算剩下图形的面积，结果都是一样的！这不就得出了平方差公式 (a + b)(a - b) = a² - b²嘛。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个小调皮鬼一直皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“这咋就相等了呢？”我就耐心地又给他比划了一遍，看着他恍然大悟的表情，我心里那叫一个欣慰。
咱们再深入一点理解这个公式。
比如说，你要计算 98×102 ，这要是直接算，是不是有点头疼？但咱们用平方差公式，把 98 看成 100 - 2 ，把 102 看成 100 + 2 ，那式子就变成了 (100 - 2)(100 + 2) ，这不就是100² - 2²嘛，答案一下子就出来了，是 9996 。
是不是简单又快捷？在实际生活中，平方差公式也能派上用场呢。
比如装修房子的时候，要计算一块不规则地面的面积，如果能巧妙地转化成符合平方差公式的形状，就能轻松算出面积，方便购买合适数量的地砖。
平方差公式课件
07
CATALOGUE
总结与回顾
本节课的主要内容回顾
平方差公式的推导过 程
平方差公式与实际生 活的联系
平方差公式的形式和 应用
需要进一步理解的问题
如何根据题目选择合适的公式进行解答
对于一些变形公式，如何正确理解和使用
下节课预告
将介绍新的数学概念和公式， 如完全平方公式和平方差公式 的扩展形式
习题与解答
习题一
总结词：简单基础
详细描述：本题主要考察平方差公式 的简单应用，适合基础薄弱的同学练 习。
习题二
总结词：中等难度
详细描述：本题涉及平方差公式的变形和组合，需要学生 具备一定的思维能力和计算能力。
习题三
总结词：较难
VS
详细描述：本题综合考察了学生的数 学能力和思维深度，需要学生灵活运 用平方差公式和其他数学知识。
平方差公式课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 平方差公式的基本概念 • 平方差公式的证明 • 平方差公式的应用 • 平方差公式的扩展与推广 • 习题与解答 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引言
课程背景
平方差公式是数学中基础且重要的公式之一，它描述了两个 数的平方差与这两个数之间的关系。在代数、几何和三角学 中，平方差公式都有广泛的应用。
在几何中的应用
证明勾股定理 求几何图形的面积和体积
通过平方差公式，我们可以证明勾股定理，了解三角形 三边的关系。
利用平方差公式，我们可以计算一些几何图形的面积和 体积，例如矩形、梯形、圆等。
在三角函数中的应用
01 02 03 04
三角恒等式的证明
通过平方差公式，我们可以证明一些三角恒等式，例如两角和与差的 余弦、正弦公式等。
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
知识点060--平方差公式的几何背景(选择)
知识点060 平方差公式的几何背景〔选择〕1、〔2010•达州〕如图所示,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形〔a ＞b 〕,将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为〔 〕A ．〔a-b 〕2=a2-2ab+b2B ．〔a+b 〕2=a2+2ab+b2C ．a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕D ．a2+ab=a 〔a+b 〕 考点：平方差公式的几何背景．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积,两式联立即可得到关于a 、b 的恒等式．解答：解：正方形中,S 阴影=a2-b2；梯形中,S 阴影=21〔2a+2b 〕〔a-b 〕=〔a+b 〕〔a-b 〕； 故所得恒等式为：a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕．故选C ．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．2.〔2009•内江〕在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形〔a ＞b 〕〔如图甲〕,把余下的部分拼成一个矩形〔如图乙〕,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证〔 〕A ．〔a+b 〕2=a2+2ab+b2B ．〔a-b 〕2=a2-2ab+b2C ．a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕D ．〔a+2b 〕〔a-b 〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕．故选C ．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．3.〔2006•襄阳〕如图,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形〔a ＞b 〕,把余下的部分剪拼成一矩形如图,通过计算两个图形〔阴影部分〕的面积,验证了一个等式,则这个等式是〔 〕A ．〔a-b 〕〔a+2b 〕=a2-2b2+abB ．〔a+b 〕2=a2+2ab+b2C ．〔a-b 〕2=a2-2ab+b2D ．〔a-b 〕〔a+b 〕=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2,右图中矩形面积=〔a+b 〕〔a-b 〕,根据二者相等,即可解答．解答：解：由题可得：〔a-b 〕〔a+b 〕=a2-b2．故选D ．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．4.〔2006•天门〕如图所示,从边长为a 的大正方形中挖去一个边长是b 的小正方形,小明将图甲中的阴影部分拼成了一个如图乙所示的矩形,这一过程可以验证〔 〕A ．a2+b2-2ab=〔a-b 〕2B ．a2+b2+2ab=〔a+b 〕2C ．2a2-3ab+b2=〔2a-b 〕〔a-b 〕D ．a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为=a2-b2,根据矩形面积公式可知阴影部分面积=〔a+b 〕〔a-b 〕,二者相等,即可解答．解答：解：由题可知a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选D．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．5.〔2006•##〕在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,再沿虚线剪开,如图〔1〕,然后拼成一个梯形,如图〔2〕,根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=〔a-b〕2 考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：〔1〕中的面积=a2-b2,〔2〕中梯形的面积=〔2a+2b〕〔a-b〕÷2=〔a+b〕〔a-b〕,两图形阴影面积相等,据此即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示,表示出图形阴影部分面积是解题的关键．6.如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把剩下的部分拼成一个矩形,通过计算两处图形的面积,验证了一个等式,此等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab+b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2,而新形成的矩形是长为a+b,宽为a-b,根据两者相等,即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．7.如图,在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把剩下的部分剪拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,由此可以验证的等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a〔a-b〕考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形和梯形的面积公式,观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．8.如图所示,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,再把剩余的部分剪拼成一个矩形,通过计算图形〔阴影部分的面积〕,验证了一个等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2,而新形成的矩形面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两者相等,即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题主要考查平方差公式,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．9.从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,如图,然后将剩余部分剪后拼成一个矩形,上述操作所能验证的等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a〔a+b〕考点：平方差公式的几何背景．分析：由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积,进而可以证明平方差公式．解答：解：大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2,矩形的面积=〔a+b〕〔a-b〕,故a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题主要考查平方差公式的几何意义,用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．10.如图〔一〕,在边长为a的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把余下的部分剪成一个矩形〔如图〔二〕〕,通过计算两个图形〔阴影部分〕的面积,验证了一个等式,则这个等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：应用题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2,右图中矩形面积=〔a+b〕〔a-b〕,根据二者相等,即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=〔a-b〕〔a+b〕．故选A．点评：本题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．11.如图,在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形〔如图Ⅰ〕,将剩余部分沿虚线剪开后拼接〔如图Ⅱ〕,通过计算,用接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2 D．〔a-b〕2=a2-2ab+b2考点：平方差公式的几何背景．分析：易求出图〔1〕阴影部分的面积=a2-b2,图〔2〕中阴影部分进行拼接后,长为a+b,宽为a-b,面积等于〔a+b〕〔a-b〕,由于两图中阴影部分面积相等,即可得到结论．解答：解：图〔1〕中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差,即为a2-b2；图〔2〕中阴影部分为矩形,其长为a+b,宽为a-b,则其面积为〔a+b〕〔a-b〕,∵前后两个图形中阴影部分的面积,∴a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．12.如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分面积,可以验证下面一个等式是〔〕A．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕D．a2+b2=1/2[<a+b>2+<a-b>2]考点：平方差公式的几何背景．分析：分别计算这两个图形阴影部分面积,根据面积相等即可得到．解答：解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是梯形,则面积是：1/2〔2a+2b〕•〔a-b〕=〔a+b〕〔a-b〕．则a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何背景,正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．13.如图,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕〔如图1〕,把余下的部分拼成一个梯形〔如图2〕,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证〔〕A．a2-b2=1/2<2a-2b><a-b> B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形的面积公式与梯形的面积公式,列出两个图形中的阴影部分的面积,再根据两个阴影部分的面积相等解答即可．解答：解：图1中,阴影部分的面积=a2-b2,根据图1可得,图2中梯形的高为〔a-b〕,因此图2中阴影部分的面积=1/2〔2a+2b〕〔a-b〕,根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2-b2=1/2〔2a+2b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题考查了平方差公式的几何解释,根据面积相等,列出两个图形的面积表达式是解题的关键．14.关于以如图形面积从左到右的变化过程,能正确表示其中变化规律的等式是〔〕A．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 B．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕C．a2-2ab+b2=〔a-b〕2 D．〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2,而新形成的矩形面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两者相等,即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选B．点评：本题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．15.将图〔甲〕中阴影部分的小长方形变换到图〔乙〕位置,根据两个图形的面积关系得到的数学公式是〔〕A．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：首先求出甲的面积为a2-b2,然后求出乙图形的面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式．解答：解：甲图形的面积为a2-b2,乙图形的面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两个图形的面积相等知,a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕,故选C．点评：本题主要考查平方差的几何背景的知识点,求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．16.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为〔〕A．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2 D．a〔a-b〕=a2-ab 考点：平方差公式的几何背景．专题：证明题．分析：分别求出两个图形的面积,再根据两图形的面积相等即可得到恒等式．解答：解：图甲面积=〔a-b〕〔a+b〕,图乙面积=a〔a-b+b〕-b×b=a2-b2,∵两图形的面积相等,∴关于a、b的恒等式为：〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何解释,根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键．17.比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到因式分解公式〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a〔a-b〕考点：平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,得出矩形AEFD,求出BE值,求出高AE,根据矩形和正方形的面积公式求出第一个和第二个图形阴影部分的面积,根据阴影部分的面积相等即可得出答案．解答：解：过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,∵AD∥BC,∴∠AEF=∠DAE=∠DFE=90°,则四边形ADFE是矩形,∴AD=EF,BE=CF=1/2〔a-b〕,由图形可知：∠B=45°,∴AE=BE=1/2〔a-b〕,∴第一个图形阴影部分的面积等于矩形QMNH的面积,是〔a+b〕×1/2〔a-b〕×2=〔a+b〕〔a-b〕,第二个图形阴影部分的面积是a2-b2,∴a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕,故选A．点评：本题考查了对平方差公式的几何图形的运用,表示出阴影部分的面积是解此题的关键．。
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知识点060 平方差公式的几何背景〔选择〕1、〔2010•达州〕如图所示,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形〔a ＞b 〕,将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为〔 〕A ．〔a-b 〕2=a2-2ab+b2B ．〔a+b 〕2=a2+2ab+b2C ．a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕D ．a2+ab=a 〔a+b 〕 考点：平方差公式的几何背景．分析：可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积,两式联立即可得到关于a 、b 的恒等式．解答：解：正方形中,S 阴影=a2-b2；梯形中,S 阴影=21〔2a+2b 〕〔a-b 〕=〔a+b 〕〔a-b 〕； 故所得恒等式为：a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕．故选C ．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何表示,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．2.〔2009•内江〕在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形〔a ＞b 〕〔如图甲〕,把余下的部分拼成一个矩形〔如图乙〕,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证〔 〕A ．〔a+b 〕2=a2+2ab+b2B ．〔a-b 〕2=a2-2ab+b2C ．a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕D ．〔a+2b 〕〔a-b 〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕．故选C ．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．3.〔2006•襄阳〕如图,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形〔a ＞b 〕,把余下的部分剪拼成一矩形如图,通过计算两个图形〔阴影部分〕的面积,验证了一个等式,则这个等式是〔 〕A ．〔a-b 〕〔a+2b 〕=a2-2b2+abB ．〔a+b 〕2=a2+2ab+b2C ．〔a-b 〕2=a2-2ab+b2D ．〔a-b 〕〔a+b 〕=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2,右图中矩形面积=〔a+b 〕〔a-b 〕,根据二者相等,即可解答．解答：解：由题可得：〔a-b 〕〔a+b 〕=a2-b2．故选D ．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．4.〔2006•天门〕如图所示,从边长为a 的大正方形中挖去一个边长是b 的小正方形,小明将图甲中的阴影部分拼成了一个如图乙所示的矩形,这一过程可以验证〔 〕A ．a2+b2-2ab=〔a-b 〕2B ．a2+b2+2ab=〔a+b 〕2C ．2a2-3ab+b2=〔2a-b 〕〔a-b 〕D ．a2-b2=〔a+b 〕〔a-b 〕考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为=a2-b2,根据矩形面积公式可知阴影部分面积=〔a+b 〕〔a-b 〕,二者相等,即可解答．解答：解：由题可知a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选D．点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．5.〔2006•##〕在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,再沿虚线剪开,如图〔1〕,然后拼成一个梯形,如图〔2〕,根据这两个图形的面积关系,表明下列式子成立的是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=〔a-b〕2 考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：〔1〕中的面积=a2-b2,〔2〕中梯形的面积=〔2a+2b〕〔a-b〕÷2=〔a+b〕〔a-b〕,两图形阴影面积相等,据此即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示,表示出图形阴影部分面积是解题的关键．6.如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把剩下的部分拼成一个矩形,通过计算两处图形的面积,验证了一个等式,此等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab+b2考点：平方差公式的几何背景．专题：计算题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2,而新形成的矩形是长为a+b,宽为a-b,根据两者相等,即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．7.如图,在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把剩下的部分剪拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分的面积,由此可以验证的等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a〔a-b〕考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形和梯形的面积公式,观察图形发现这两个图形阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．解答：解：阴影部分的面积=a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．8.如图所示,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,再把剩余的部分剪拼成一个矩形,通过计算图形〔阴影部分的面积〕,验证了一个等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2,而新形成的矩形面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两者相等,即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题主要考查平方差公式,即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．9.从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形,如图,然后将剩余部分剪后拼成一个矩形,上述操作所能验证的等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a〔a+b〕考点：平方差公式的几何背景．分析：由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积,进而可以证明平方差公式．解答：解：大正方形的面积-小正方形的面积=a2-b2,矩形的面积=〔a+b〕〔a-b〕,故a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题主要考查平方差公式的几何意义,用两种方法表示阴影部分的面积是解题的关键．10.如图〔一〕,在边长为a的正方形中,挖掉一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把余下的部分剪成一个矩形〔如图〔二〕〕,通过计算两个图形〔阴影部分〕的面积,验证了一个等式,则这个等式是〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．专题：应用题．分析：左图中阴影部分的面积=a2-b2,右图中矩形面积=〔a+b〕〔a-b〕,根据二者相等,即可解答．解答：解：由题可得：a2-b2=〔a-b〕〔a+b〕．故选A．点评：本题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．11.如图,在边长为a的正方形中裁掉一个边长为b的小正方形〔如图Ⅰ〕,将剩余部分沿虚线剪开后拼接〔如图Ⅱ〕,通过计算,用接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证等式〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2 D．〔a-b〕2=a2-2ab+b2考点：平方差公式的几何背景．分析：易求出图〔1〕阴影部分的面积=a2-b2,图〔2〕中阴影部分进行拼接后,长为a+b,宽为a-b,面积等于〔a+b〕〔a-b〕,由于两图中阴影部分面积相等,即可得到结论．解答：解：图〔1〕中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差,即为a2-b2；图〔2〕中阴影部分为矩形,其长为a+b,宽为a-b,则其面积为〔a+b〕〔a-b〕,∵前后两个图形中阴影部分的面积,∴a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．12.如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕,把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分面积,可以验证下面一个等式是〔〕A．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕D．a2+b2=1/2[<a+b>2+<a-b>2]考点：平方差公式的几何背景．分析：分别计算这两个图形阴影部分面积,根据面积相等即可得到．解答：解：第一个图形的阴影部分的面积=a2-b2；第二个图形是梯形,则面积是：1/2〔2a+2b〕•〔a-b〕=〔a+b〕〔a-b〕．则a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何背景,正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．13.如图,在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形〔a＞b〕〔如图1〕,把余下的部分拼成一个梯形〔如图2〕,根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证〔〕A．a2-b2=1/2<2a-2b><a-b> B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：根据正方形的面积公式与梯形的面积公式,列出两个图形中的阴影部分的面积,再根据两个阴影部分的面积相等解答即可．解答：解：图1中,阴影部分的面积=a2-b2,根据图1可得,图2中梯形的高为〔a-b〕,因此图2中阴影部分的面积=1/2〔2a+2b〕〔a-b〕,根据两个图形中阴影部分的面积相等可得a2-b2=1/2〔2a+2b〕〔a-b〕．故选A．点评：本题考查了平方差公式的几何解释,根据面积相等,列出两个图形的面积表达式是解题的关键．14.关于以如图形面积从左到右的变化过程,能正确表示其中变化规律的等式是〔〕A．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 B．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕C．a2-2ab+b2=〔a-b〕2 D．〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2考点：平方差公式的几何背景．专题：几何图形问题．分析：利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2-b2,而新形成的矩形面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两者相等,即可验证平方差公式．解答：解：由题意得：a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕．故选B．点评：本题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差,这个公式就叫做平方差公式．15.将图〔甲〕中阴影部分的小长方形变换到图〔乙〕位置,根据两个图形的面积关系得到的数学公式是〔〕A．〔a+b〕2=a2+2ab+b2 B．〔a-b〕2=a2-2ab+b2C．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕D．〔a+2b〕〔a-b〕=a2+ab-2b2考点：平方差公式的几何背景．分析：首先求出甲的面积为a2-b2,然后求出乙图形的面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两个图形的面积相等即可判定是哪个数学公式．解答：解：甲图形的面积为a2-b2,乙图形的面积为〔a+b〕〔a-b〕,根据两个图形的面积相等知,a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕,故选C．点评：本题主要考查平方差的几何背景的知识点,求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．16.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a、b的恒等式为〔〕A．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2 D．a〔a-b〕=a2-ab 考点：平方差公式的几何背景．专题：证明题．分析：分别求出两个图形的面积,再根据两图形的面积相等即可得到恒等式．解答：解：图甲面积=〔a-b〕〔a+b〕,图乙面积=a〔a-b+b〕-b×b=a2-b2,∵两图形的面积相等,∴关于a、b的恒等式为：〔a+b〕〔a-b〕=a2-b2．故选C．点评：本题考查了平方差公式的几何解释,根据面积相等分别求出图形的面积是解题的关键．17.比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到因式分解公式〔〕A．a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕B．〔a+b〕2=a2+2ab+b2C．〔a-b〕2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a〔a-b〕考点：平方差公式的几何背景；矩形的判定与性质．专题：证明题．分析：过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,得出矩形AEFD,求出BE值,求出高AE,根据矩形和正方形的面积公式求出第一个和第二个图形阴影部分的面积,根据阴影部分的面积相等即可得出答案．解答：解：过A作AE⊥BC于E,过D作DF⊥BC于F,∵AD∥BC,∴∠AEF=∠DAE=∠DFE=90°,则四边形ADFE是矩形,∴AD=EF,BE=CF=1/2〔a-b〕,由图形可知：∠B=45°,∴AE=BE=1/2〔a-b〕,∴第一个图形阴影部分的面积等于矩形QMNH的面积,是〔a+b〕×1/2〔a-b〕×2=〔a+b〕〔a-b〕,第二个图形阴影部分的面积是a2-b2,∴a2-b2=〔a+b〕〔a-b〕,故选A．点评：本题考查了对平方差公式的几何图形的运用,表示出阴影部分的面积是解此题的关键．。