基于秩统计量的粗糙集精度的度量方法
一般关系粗糙集的近似分类精度和质量
Ｋｅｗ ｒ ｓ ｙ ｏ ｄ
』 ∑ Ｊ Ｘｌ ’ １ Ｐ ０
称 为分类 关于 Ｐ的近似 精度 ， 简称 为近似分 类精度 。
系数 ：
（ ）
ｙ ）：
＝ ｉ 厂 川） ］
… ）
同理 ， 一般二元关 系粗糙 集的近似质量应定 义为 ：
． （ ）＝旦 ｙ
∑ Ｉ Ｘｌ Ｐ １ ０
表 明了应用知识 Ｒ能确切地划入 已知分 类的对象 的百分 比。将近似 分类精度和 分类质量 的概念推广 到一般 （ 元） 系所决定 的 二 关
广 义 近 似 空 间上 。 通 过 引 入 独 立 集 概 念 ， 出 了度 量 公 式 ， 后 通 过 实例 验 证 了其 合 理 性 。 给 最
Ａ ｓｒｃ ｂｔ ｔ ａ
Ｉ ｐｒｘ ｔ ｎ ｓａｅ （ Ｒ） ｄｔ ｍｉ ｄ ｂ ｑ ｉ ｌ ｃ ｅａｏ ｔｅａｐｏｉ ａ ｌ ｓｉ ｔ ｎａｃｒｃ ｘｒｓｅ ｅ ｎａｐｏｉ ｉ ｐｃ Ｕ， ｍａｏ ｅ ｒ ｎ ｙｅｕｖ ｅ ｅｒｌ ｉ Ｒ， ｐ ｒｘｍ ｔ ｃ ｓｉｃ ｉ ｃｕａｙｅｐｅｓｓｔ ｅ ｅ ａｎ ｔｎ ｈ ｅ ａ ｆａｏ ｈ
百分 比 ； 近似分类质量则表 明了应 用知识 Ｒ能确切 地划人 已知 分类 的对象 的百分 比。本文通 过引入 独立集 ， 将这 两个概 念推 广 到一般二元关 系下的粗糙 集 中。给出 了度量 公式 ， 并通 过实
收稿 日期 ：０ ０— ３—１ 。国家 自然科 学基金 （ ０ ７ １ １ 兰州 市 ２１ ０ ２ １７ １７ ）；
一种新的基于粗糙集的案例特征权值确定方法
度量 方法 ， 分析 了案例特 征属 性的知识 熵与权重之 间的联 系， 出 了基 于知识熵 的案例特 征权 提
值确 定方 法． 通过 实例 验证 了运 用该方 法确定 的权值具 有 更高的 可信 度．
关键 词 ： 案例特征 ； 权值 ； 粗糙 集 ； 知识 熵 中图 号 ： ＴＰ ８ １ 文 献标志 码 ： Ａ 性 分类 的影 响程度来 确定权 值 ， 响越大 则权值 越 影
象 空 间 ， 中 的元 素称 为对象或 实例 ； 一 ｛ ａ ， Ｕ Ａ ａ ，。
…
主要 区别 ， 也是 最 重 要 的优 点 ｌ ］ 因此 ， 用 粗 糙 ２． 。 应
集 理论确 定案例 特征 属性 的权重 系数 ， 以克 服传 可
统 方法 的局 限性 ， 案例 相 似 性 匹配 更 具 客 观性 ， 使
第 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ期
陈 虹 等 ： 种 新 的基 于 粗 糙 集 的案 例 特 征 权 值 确 定 方 法 一
４３ ０
如果 Ａ — Ｃ Ｕ Ｄ， 一 ， ＣＮ Ｄ 则称 信息 系统
对 于每个 ａ Ｃ Ａ， 一 个 映射 ｆ ： — ａ 己） 且 － － 有 Ｕ （， ，
ｎ Ｕ）一 ｛ （ ∈ Ｕ｝其 中 口 Ｕ） 为属性 ａ的 （ ｎ ）ｌ ， （ 称
提 高匹配 精度．
值 域 ． 论域 Ｕ、 属性集 Ａ、 值域 和映射 ． 厂组成 了 信 息系统 的 四个 要素 ， 因此信 息 系统 Ｓ也 可 以表 示
基 于案 例 推理 （ ａｅＢ ｓｄＲｅｓ ｎｎ ， Ｂ Ｃ ｓ — ａ ｅ ａｏ ｉｇ Ｃ Ｒ）
因为避开 了传统 的基 于 规则 的系 统在 知 识 获取 问
题上 的瓶 颈 而在越来 越 多的领域 里得 到 了应 用． 案
如何利用粗糙集理论进行特征选择
如何利用粗糙集理论进行特征选择特征选择是机器学习和数据挖掘领域中的一个重要问题，它的目标是从原始数据中选择出最具有代表性和区分性的特征子集，以提高模型的性能和效率。
粗糙集理论是一种有效的特征选择方法，它通过分析数据之间的粗糙关系来识别重要的特征。
粗糙集理论是由波兰学者Zdzisław Pawlak于1982年提出的，它基于不确定性和近似的概念，通过将数据集划分为不同的等价类来描述数据之间的关系。
在粗糙集理论中，一个等价类表示了数据集中的一个模糊概念，而特征的重要性则可以通过计算等价类的数量来衡量。
在进行特征选择时，首先需要将原始数据集进行离散化处理，将连续型特征转化为离散型特征。
然后，根据粗糙集理论的原理，通过计算每个特征对应的等价类数量来评估特征的重要性。
具体而言，可以使用下近似和上近似来计算等价类的数量，下近似表示了特征对等价类的覆盖程度，上近似表示了特征对等价类的区分能力。
通过计算每个特征的下近似和上近似，可以得到一个特征重要性的排序。
根据排序结果，可以选择排名靠前的特征作为最终的特征子集。
这样做的好处是可以减少特征空间的维度，提高模型的训练和预测效率，同时还可以降低模型的复杂度和过拟合的风险。
除了计算特征的下近似和上近似，还可以使用其他的度量指标来评估特征的重要性。
例如，可以使用信息增益、信息增益比、基尼指数等指标来衡量特征的信息量和区分能力。
这些指标可以通过计算特征与目标变量之间的关联程度来得到，关联程度越高，特征的重要性越大。
在实际应用中，特征选择是一个非常重要且具有挑战性的任务。
特征的选择不仅仅依赖于数据本身，还取决于具体的应用场景和任务需求。
因此，在使用粗糙集理论进行特征选择时，需要根据具体的情况选择合适的度量指标和算法。
此外，特征选择还可以与其他的数据预处理方法相结合，例如特征提取和特征降维。
特征提取通过从原始数据中提取新的特征来改进模型的性能，特征降维则通过减少特征空间的维度来简化模型的复杂度。
第三章秩统计量与秩方法-上海交通大学数学系
第三章秩统计量与秩方法王成*/faculty/chengwang/上海交通大学数学系1秩(Rank)的定义Definition1.1(秩)对于互不相等的一组实数x1,...,x n,x k在从小到大的次序x(1)<···<x(n)中所在位置r k称为其秩；对应的对于样本X1,...,X n,R=(R1,...,R n)(1)称为(X1,...,X n)的秩统计量。
Definition1.2(符号秩)对于一组实数x1,...,x n,假定|x1|,...,|x n|互不相等，记ϕi=I(x i>0),R+i为|x i|在|x1|,...,|x n|中的秩，则R+=(ϕ1R+1,...,ϕn R+n)(2)称为(x1,...,x n)的符号秩。
Theorem1.1假定X1,...,X n iid来自于一个连续分布，以R=(R1,...,R n)记样本(X1,...,X n)的秩，则有对称性质，对于(1,...,n)的任意一个置换π(1,...,n),有P(R=π(1,...,n))=1 n! .思考：如果不是连续分布，定理结果会如何？对于符号秩，我们可以想象因为其涉及到符号，对于不同的分布F,ϕ取0或者1的情况完全不同，所以一般的符号秩统计量应该与F密切相关，下面定理考虑了一个特别的分布族。
Theorem1.2若F连续且关于0对称，则ϕ1,|X1|,...,ϕn,|X n|，相互独立。
进一步的ϕ1,...,ϕn,(R+1,...,R+n)相互独立，且P(ϕk=0)=P(ϕk=1)=1/2;P((R+1,...,R+n)=π(1,...,n))=1/n!.*关于讲义中的任何错误或者建议，请联系******************.cn1从定理我们可以看出，符号秩统计量可以用来检验对称性质，例如取W+=n∑i=1ϕi R+i,(3)如果统计量太大或者太小都说明总体分布函数F不关于0对称。
掌握粗糙集理论在机器学习中的高效应用方法
掌握粗糙集理论在机器学习中的高效应用方法近年来，机器学习技术的快速发展为我们提供了许多强大的工具和方法来解决实际问题。
而粗糙集理论作为一种重要的数据分析方法，已经被广泛应用于机器学习领域。
本文将介绍如何高效地应用粗糙集理论在机器学习中，以提高数据分析和模型构建的效率和准确性。
一、粗糙集理论简介粗糙集理论是由波兰学者Zdzislaw Pawlak于1982年提出的一种数据分析方法。
它基于近似推理和不确定性的概念，通过对数据集进行粗化和细化操作，从而得到数据的粗糙和精确描述。
粗糙集理论主要包括近似集合、属性约简和决策规则等概念和方法。
二、粗糙集理论在特征选择中的应用特征选择是机器学习中非常重要的一步，它能够从原始数据中选择出最具代表性的特征，提高模型的准确性和泛化能力。
而粗糙集理论提供了一种有效的方法来进行特征选择。
通过计算属性的重要性和依赖度等指标，可以得到数据集的属性约简，从而减少特征的数量，提高模型的效率和可解释性。
三、粗糙集理论在分类问题中的应用分类是机器学习中最常见的任务之一。
而粗糙集理论可以帮助我们构建有效的分类模型。
通过计算属性的依赖度和决策规则等指标，可以得到数据集的决策规则集合，从而实现对数据的分类和预测。
此外，粗糙集理论还可以通过属性约简和决策规则的合并等操作，提高分类模型的准确性和泛化能力。
四、粗糙集理论在聚类分析中的应用聚类分析是机器学习中另一个重要的任务，它能够将数据集中的对象划分为若干个相似的组。
而粗糙集理论可以帮助我们进行有效的聚类分析。
通过计算对象之间的相似度和属性的重要性等指标，可以得到数据集的粗糙聚类结果。
此外，粗糙集理论还可以通过属性约简和对象的合并等操作，提高聚类模型的准确性和稳定性。
五、粗糙集理论在异常检测中的应用异常检测是机器学习中重要的一项任务，它能够帮助我们发现数据中的异常行为和异常对象。
而粗糙集理论可以提供一种有效的方法来进行异常检测。
通过计算对象的异常度和属性的重要性等指标，可以得到数据集的异常检测结果。
基于知识含量的粗糙集不确定性度量
Ａｎ Ｕｎｃ ｒａ ｎｔ ｅ ｓ ｒ ｏｒＲｏ ｇ Ｓ ｔ ｓ ｄ ｎ ｅ ｔ ｉ ｙ Ｍ ａ ｕ ｅ ｆ ｕ ｈ ｅ ｓＢａ ｅ ｏ Ｋｎｏ ｅ ｅ Ｃａ ａ ｉｙ ｗｌｄｇ ｐ ｃ ｔ
Ｌ Ｕ ｉ ｎ Ｓ ａ Ｑｕ ｎ Ｉ Ｊ Ｑｉ ＨＩ ｉ ａ － Ｋ —
（ ｅ ａｔ ｎ ｆ ｔ ｔ ｔ ｓａ ｄＭ ａｈ ｍａ ｉ ，Ｓ ａ ｄ ｎ ｉａ ｃ ｓｉ ｔ ， ｉａ ５ ０ ４ Ｄ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ａｉ ｉ ｎ ｔ ｅ ｔ ｓ ｈ ｎ ｏ ｇ Ｆ ｎ ｎ ｅＩ ｔ ｕ ｅ Ｊｎ ｎ ２ ０ １ ） Ｓ ｓｃ ｃ ｎ ｔ （ ｃ ｏ ｌ ｆ ｔ ｅ ｔ ｓａ ｄＳ ｓｅ Ｓ ｉｎ ｅ ， ｈ ｎ ｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉ ， ｉａ ５ １ ０ Ｓ ｈ ｏ ｈ ｍａ ｉ ｎ ｙ ｔｍ ｅ ｃ ｓ Ｓ ａ ｄ ｎ ｉｅ ｓ ｙ Ｊｎ ｎ ２ ０ ０ ） ｏ Ｍａ ｃ ｃ ｔ
ｎ ｗ ｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ｅ ｓ ｒ ． ｅ ｕ ｃ ｒａｎ ｙ ｍ ａ ｕ ｅ
Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｒｏ ｇ ｅ ｓ Ｕｎ ｅ ｔ ｉ ｔ ， ｏ ｅ ｇ ａ ａ ｉｙ ｍｅ ｓ ｒ ， ｃ ｒ ｃ Ｒｏ ｇ ｎ ｓ ｙ ｒｓ ｕ ｈ ｓ ｔ ， ｃ ｒ ａｎ ｙ Ｋｎ ｗｌｄ ｅ ｃ ｐ ｃ ｔ ａ ｕ ｅ Ａｃ ｕ ａ ｙ， ｕ ｈ ｅ ｓ
ｏ ｈ ｅ ｕ ｃ ｒａｎ ｙｍ ｅ ｓ ｒ ｒ ｕ ｔ ｅ ｉｃ ｓ ｅ ． Ｉ ｈ ｎ ，ａ ｘ ｍｐｅｓ ｏ ｈ ａｉｎ ｌｙａ ｄｓｍｐｉｉ ｆ ｈ ｆｔ ｅｎ ｗ ｎ ｅｔｉｔ ａｕ ｅａ ｅｆ ｒｈ ｒｄｓ ｕ ｓ ｄ ｎｔ ｅｅ ｄ ｎ ｅ ａ ｌ ｈ ｗｓｔ ｅｒ ｔ ａｉ ｎ ｉ ｌ ｔ ｏ ｅ ｏ ｔ ｃｙ ｔ
基于粗糙集的模糊决策算法
基于粗糙集的模糊决策算法
粗糙集是一种高效的认知模型，可用于建立根据不同情况和状态来进行决策的模糊决策算法。
它通过联合不同的决策准则来构建评估函数，从而实现动态环境下可变的决策。
粗糙集的组成有两部分：粗糙规则和粗糙度度量，其中粗糙规则是以简短的英语语言条件式表示的准则，描述了决策的前提和结果，而粗糙度度量是用来分析粗糙规则的强度的度量。
通过计算粗糙规则的强度，可以给定不同的权重并通过比较权重来影响决策。
基于粗糙集的模糊决策算法首先需要搜集所有可能的粗糙规则，然后对所有粗糙规则计算粗糙度度量，以评估其强度。
接下来，将每一条粗糙规则的权重汇总成整体评估函数，根据该函数的输出做出最终决定。
这种方法不仅有限度考虑了不确定性因素，而且可以及时处理临时决策情况。
粗糙集理论的常见使用方法介绍
粗糙集理论的常见使用方法介绍粗糙集理论是一种用于处理不确定性和模糊性问题的数学工具，它在数据挖掘、模式识别和人工智能等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍粗糙集理论的常见使用方法，包括近似集的构建、属性约简和决策规则的提取。
一、近似集的构建近似集是粗糙集理论的核心概念之一，它用于描述数据集中的不确定性信息。
在实际应用中，我们通常需要根据给定的数据集构建近似集。
构建近似集的方法有多种，其中最常见的是基于属性约简的方法。
首先，我们需要将原始数据集进行离散化处理，将连续属性转换为离散属性。
然后，根据数据集中的属性之间的关系构建一个属性关系矩阵。
属性关系矩阵中的每个元素表示两个属性之间的关系强度，可以使用不同的度量方法来计算。
接下来，我们可以根据属性关系矩阵来构建近似集，其中每个近似集表示一个属性的约简。
二、属性约简属性约简是粗糙集理论中的一个重要问题，它用于减少数据集中的冗余属性，提高数据挖掘和模式识别的效率。
属性约简的目标是找到一个最小的属性子集，使得该子集能够保持数据集中的信息完整性。
属性约简的方法有多种，其中最常用的是基于启发式算法的方法。
启发式算法通过迭代搜索的方式，逐步减少属性集合的大小，直到找到一个最小的属性子集。
常见的启发式算法包括遗传算法、模拟退火算法和粒子群优化算法等。
三、决策规则的提取决策规则是粗糙集理论的另一个重要应用，它用于从数据集中提取出具有决策能力的规则。
决策规则的提取可以帮助我们理解数据集中的规律和模式，从而做出准确的决策。
决策规则的提取方法有多种，其中最常用的是基于属性约简的方法。
首先，我们可以根据属性约简的结果，将数据集划分为多个等价类。
然后，对每个等价类进行进一步分析，提取出具有决策能力的规则。
最后，通过对规则进行评估和选择，得到最终的决策规则集合。
四、案例分析为了更好地理解粗糙集理论的应用方法，我们可以通过一个案例来进行分析。
假设我们有一个销售数据集，其中包含了客户的属性信息和购买的产品信息。
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关键 词 ： 粗糙集； 秩统计量 ； 精度； 改进知识含量测度 中图分 类号 ： Ｔ Ｐ １ １ 文献 标 志码 ： Ａ
识库 （ 或称 为 Ｐ ａ ｗ ｌ ａ ｋ近 似空 间 ） ．
０ 引言
一
定义 １ （ 不可分 辨 关 系 ）
设 Ｋ＝（ ， Ａ）为
知识库 ， Ｐ Ｒ ， Ｐ≠ （ ２ ｊ ， 则 ｎ Ｐ也是一种等价关
Ｖｏ １ ． ３ ７ Ｎｏ． １
Ｊ ａ ｎ ． ２ ０ １ ３
文章 编号 ： １ ０ ０ ０ － ５ ８ ６ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ １ ４ ３ ０ ２ ３ － ０ ５
基 于秩 统 计 量 的粗 糙 集 精 度 的度 量 方 法
吴根 秀， 刘佩红 ， 罗冰辉 ， 谢 君
本文在分析传统精度工 作 的基础 上 ， 充 分考 虑 到知识 颗粒 块数
的 边界 域． 显然有 Ｒ（ Ｘ）：Ｒ（ Ｘ）Ｕ Ｂ ｎ （ ） ． 当 尺（ ）≠ Ｒ（ ）时 ， 称 二元 组 （ Ｒ（ ） ， Ｒ（ ） ） 为 近似 空 间 中的 粗 糙 集 ． Ｂ ｎ （ ）中 的元 素 表示 根 据 知识 不 能分 辩是 属于 还 是属 于 ～ （ 即 —
的元素表示根据知识 Ｒ分辩一定属于 的 中元 素； Ｒ（ ）中的元素 表示 根据 知识 Ｒ分辩 可能 属于
的 中元素 ． 在 粗糙 集理 论 中 ， 集合 的不 精 确性 是 由于 边 界 区域 的存在 而引 起 ， 集 合 的边界 区域越 大 ， 其 精确 性 越 低． 为 了更 准确 地表 达这 一点 ， 引入 精度 的概念．
（ Ｚ ｊ ｝ 为 关 于近 似 空 问 （ ， Ａ ）的上 近 似 集 ， 称
Ｐ ｏ ｓ （ Ｘ）＝Ｒ（ Ｘ） 为 的 Ｒ正 域 ， 称Ｎ ｅ ｇ Ｒ （ Ｘ）：Ｕ—
Ｒ（ ） 为 的 Ｒ负 域 ， 称Ｂ ｎ （ ）＝Ｒ（ ）一Ｒ（ ） 为
从 距 离角 度定 义划 分 的散 度来 描述 划分 的颗 粒块 的 大小 ， 再 给 出了近 似精度 的定 义 ．
据值 的大小的信息对精度 的影响 ， 提出了一种基于 秩统计 量 的粗糙 集 精 度 的度 量方 法 ， 并 给 出这 一 度
量 的优 良性质 ， 最 后通过 ２个 实例 ， 说 明 了所 给 出 的 精度 度量 的合 理性 、 有效 性 ．
） 的 中元素； Ｎ ｅ ｇ （ ） 中的元素表示根据知识 Ｒ
集合 ， 符号 ［ ］ 表示包含 ∈Ｕ的Ｒ等价类． 设Ａ 是 上 的一族等价关系 ， 称二元组 Ｋ ＝（ ， Ａ ） 为一知
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － ０ ９ — １ ５
定义 ３ （ 近似精度） 关于等价关系刖拘集合
的近似 精度 为
基金项 目 ： 江西省 自然科学基金（ ２ ０ １ １ ４ Ｂ Ａ Ｂ ０１ ２ ） 和江西师范大学研究生创新基金（ Ｙ Ｊ Ｓ ０１ ２ ０８ ２ １ ） 资助项 目 作者简介 ： 吴 根秀（ １ ９ ６ ５ 一 ） ， 女， 江西南丰人 ， 教授 ， 主要从事不确定推理与信息融合的研究．
一
Ｒ （ Ｘ ）＝｛ ∈Ｕ Ｉ ［ ］
Ｘ｝ 为 关于近似空问（ ，
种基 于 知 识 含 量 的 粗 糙 集 不 确 定 性 度 量 ． 文献 ［ ６ ］ 提 出 了论域 的 ２个 等 价 类 之 间 的距 离 ， 然 后
Ａ）的下 近似 集 ， 称 Ｒ（ Ｘ）＝ ｛ ∈Ｕ ｌ［ ］ ｎ ≠
分 辩 一定 不属 于 的 中元 素 ； Ｒ（ Ｘ） 或Ｐ ｏ ｓ （ ） 中
１ 粗 糙 集 理 论 基 础 知 识
设 ￡ ， 是一 个非 空有 限集合 ， 称 为论 域 ’ ． 称 任 何 子集 为 中的 １ 个 概念 或 范畴． 设 是 Ｕ 上的 １ 个 等价 关 系 ， Ｕ ／ Ｒ是 尺的 所有 等 价 类 构成 的
等 价类． 为 了表述 简便 ， 将 Ｉ Ｎ Ｄ（ Ｐ） 记 为 Ｐ ． 定义 ２ （ 上、 下 近似 及边 界 ） “ ＶＸ Ｕ， 称
颗粒的大小 ， 存在一定的局限性 ． 文献 ［ ４ ］ 利用过
剩 熵 给 出 了粗 糙 集 的不 确 定 性 度 量 ． 文献 ［ ５］ 给 出
系， 用Ｉ Ｎ Ｄ （ Ｐ ）＝｛ （ ， Ｙ ）∈Ｕ×Ｕ Ｉ Ｖ ０∈Ｐ ， 厂 （ ， ０ ）＝． Ｙ ， ０ ） ｝ 表示属性集 Ｐ上 的不 可分辨关系 ， Ｉ Ｎ Ｄ（ Ｐ ）＝ Ｏ Ｐ是 上 的等 价关 系， ［ ］ 肿㈣ ＝ ｎ ［ ］ 即 ∈Ｕ 表示不可分辨关系Ｉ Ｎ Ｄ （ Ｐ ） 的所有
Ｚ ． Ｐ ａ ｗ ｌ ａ ｋ等¨ 在２ ０世纪 ８ Ｏ年 代初提 出的粗 糙集理论是处理不完全和不精确信息的一种新 的数 学 工具 Ｌ ２ Ｊ ， 粗 糙集 的不确 定 性 主要 由 系统 的不 确定
性 和概 念 的不确 定 性 ２个 原 因 引起 的． 经 典 的粗糙 集 的近似 精度 ， 没有 考 虑 到 由等 价关 系导 出 的划 分
第３ ７卷 第 １ 期 ２ ０ １ ３年 １月
江 西师 范大 学学报 （ 自然科学 版 ） Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ａ ｎ ｇ ｘ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍ ａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｌ ａ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
（ 江西师范大学数 学与信 息科学学 院， 江西 南昌 ３ ３ ０ ０ ２ ２ ）
摘要 ： 提出一种基于秩统计量的粗糙集精度的度量方法 ， 该方法既考虑了知识颗粒块数据值的大小的信
息， 又考虑 了论域 大小 ， 并给出这一度量 的若干性质 ， 实例表明 所给出的精度度量是合理的 、 有效 的．