学年论文之资本市场线(CML)和证券市场线(SML)详细解析

学年论文
成绩
国际会计专业0701 年级
学生姓名
指导教师
**大学会计学院
2010年09月14日
证券市场线的数学解析
摘要
在财务管理中，证券市场线和资本市场线的学习是尤为重要的一章，尤其是对于各个证券投资者，投资风险的度量极其重要。

本论文即是基于对财务管理的学习，所整理出的证券市场线和资本市场线的数学推导过程，以帮助广大财务理论学习者。

关键字
证券市场线 资本市场线 CML SML 投资风险
正文
在财务管理中，各种证券的选择一直备受投资者关注，其中，各个证券组合与其对应的投资风险和期望报酬率的关系也是财务管理的一个重要组成部分。

在证券市场的投资中，对于单一证券来说，所投资证券组合的期望报酬率与其相对的投资风险总是正相关，投资风险越大，投资者所要求的报酬率也越高，这是由市场特性所决定的。

然而，通过对证券市场的学习，我们可以知道，每一单一证券所蕴含的风险由两部分构成，系统风险和非系统风险，其中系统性风险是指由市场等系统因素给市场上所有的证券带来损失的风险，非系统风险是指由于某些微观层面上的因素如上市公司摘牌风险从而对单一证券到来损失的可能性，并且非系统风险可以通过多种证券的有效组合被分散，即多种证券的组合的风险小于单一证券的风险。

由此可得，市场组合（即市场上所有证券的同比例组合）M 的投资风险即为整个证券市场的系统风险，小于各个单一证券的风险（无风险证券国债除外，无风险证券的投资风险为零）。

基于此理论，我们可以得到资本市场线，资本市场线反映的是有效资产组合(市场资产组合与无风险资产构成的资产组合)的风险溢价，是该资产组合标准差的函数，在资本市场线中，我们用标准差测度投资者总的资产组合的风险。

设市场组合M 和无风险证券RF 两者比重分别为W 和1-W ， 则P
K ˆ可以表示为:()M
RF RF RF P K W K W K ˆ1ˆ-+= 由于无风险证券的投资风险为零， 证券组合P 的风险与组合中M 的风险成线形关系， 证券组合P 的投资风险P σ可以表示为:
()M RF P W σσ-=1
由此可得， P
K ˆ与P
σ成线性关系，在坐标轴中，任何一个证券都将位于这条直线的
下方。

它的解析式CML 是:
P M RF M RF P K K K K σσ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=ˆˆ
其图像如图下所示，是一条过点(0， RF K )与点(M
σ，M K )的直线：
然而在现实生活中，投资者的投资规模是有限的，无法对市场组合M 进行投资，而往往只投资一个或几个证券，所以单一证券的风险计算便变得尤其重要。

由于单一证券的投资风险与期望报酬率的相关性，投资者投资时可以通过对所投资证券期望报酬率的计算来确定各证券投资风险的大小，从而在不同证券中根据自己的风险承受能力做出选择。

以下是求解单一证券i 的期望报酬率i K 的过程。

设某一组合P ，由市场组合M 和证券i 构成，两者比重分别为w 和1-w ， 则P
K ˆ和P
σ分别为:
()i
M P K W K W K ˆ1ˆˆ-+⋅=
○1
[]
2
/12
222)1(2)1(i M iM i M P r W W W w σσσσσ-+⋅-+⋅= ○
2
由于市场组合M 和证券i 的投资风险均不为零， 其构成的证券组合P 的投资风险与两者的比重和各自的风险相关，不与任何单一风险成线性关系， 所以其图像为过点(M
σ
,M K )， (i σ，i K )的一条曲线， 如图所示:
， P σ
P 组合位于曲线iM 上而且该曲线与投资者的有效集曲线必然相切。

若曲线iM 与有效集曲线相交，则曲线iM 上至少存在一点A 与有效集上的B 点相比，
A 点具有相同的风险，但有更高的期望报酬率，显然A 比
B 更有效。

这暗示着有市场证券组合M 与风险证券i 构成的某个组合要优于有效集上具有相同风险的组合。

但在均衡状态下，所有有效的资产组合都位于有效集曲线上。

有以上矛盾可得，曲线iM 只会与有效集相切于M 点。

对公式○
1○2分别求导可得(对w 求导): ()i
M P K K dw
K d ˆˆˆ-+= ○
3 2
/122
22
2
2
2
)1(2)1(2i
M iM i
M
i
M
iM i M iM i i M
P
r w w w w
r w r w w dw
d σσσ
σσσ
σσσσσ
σ
-+-+⋅-+-+=
○4
○3/○4， 可得: [][
]i
M iM i M
iM i
i
M
i M
iM i M i M
P
P r w r w w r w w w w K K
d K d σσσσ
σ
σ
σ
σσσσσ
⋅-+-+-+-+-+=
2)1(2)1()ˆ(ˆˆ2222
/12
222 ○5
由于此曲线过M 点，过M 点时，w=1，带入○5并化简可得: i
M
iM M
M
i
M P
P r K K d K d σσ
σ
σσ
-⋅-=
2
)ˆˆ(ˆ
由于在M 点，有效集曲线的斜率为M
RF
M K K σ-ˆ， 又因为有效集曲线与曲线iM 相切于M
点，所以在M 点，两斜率相等:
， P σ
M
RF
M i
M
iM M
M
i
M K K r K K σσσ
σ
σ-=
-⋅-⇒
ˆ)ˆˆ(2
)ˆ)(()ˆˆ(22RF
M i M iM M M i M K K r K K --=⋅-⇒σσσσ 整理并化简得:
i
M iM RF M M RF i M r K K K K σσσσ⋅-+⋅=⋅⇒)ˆˆ(ˆˆ22 iM
i M
iM iM
M
i C M i COV r r M i COV ==∴=⋅),()
,(σσσσ
iM
RF M M RF i M C K K K K ⋅-+⋅=⋅⇒)ˆˆ(ˆˆ22σσ 2
)ˆˆ(ˆˆM
iM RF M RF i C K K K K σ⋅-+=⇒ ()
2
2
,M
iM
M
M
i iM i
M M i i C r
r K K COV
b σσσ
σσσβ==
⋅=
=
即 β⋅-+=)ˆˆ(ˆˆRF
M RF i K K K K 由于在均衡状态下， i
i K K ˆ=，所以()i
RF M RF i b K K K K -+=
此公式即为资本市场线SML 的表达公式，其反映的是单个证券的风险溢价，是该证券风险的函数，在这个公式中，测度单个资产风险的工具不再是该资产的方差或标准差，而是该资产对于资产组合方差的影响程度或贡献度β。

参考文献
经济学论坛—中国经济学教育科研./ MBA 智库百科/wiki/
中国注册会计师协会编 财务成本管理 中国财政经济出版社 2010
EugeneF.Brigham, JoelF.Houston, Fundamentals of Financial Management 10e 沈洪涛 改编 财务管理基础 高等教育出版社 2004。