河北省衡水中学2016届高三小学期一调考试数学(文)试题
河北省衡水中学2016届高三(下)同步月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．24．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④ D．①③④6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．110．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．311．设数列{a n}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx满足若，则数列{c n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为．14．设等差数列{a n}满足，其前n项和为S n，若数列也为等差数列，则的最大值为．15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=．（1）求p，t的值；（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=（S△OAB 表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，【解答】解：∵，，i5=i4•i=i，|﹣i|=1．又A={﹣1，i}，∴i5∈A．故选：C．2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1}D．{x|1≤x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）==﹣1，由f[f（2）]=f（﹣1），能求出结果．【解答】解：∵，∴f（2）==﹣1，f[f（2）]=f（﹣1）=2e﹣1+1=2．故选：D．4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【考点】散点图．【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④C．①②④ D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③错误；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的命题是①②④．故选：C．6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．故选：B．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin+sin+…+=0（k∈Z），2015=335×6+5，所以S=sin+sin+…+sin=sin+sin+…+sin=0，故选：A．8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，帮选：A10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知：=，设=λ，=+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m的值．【解答】解：N为线段AC上接近A点的四等分点，∴=，设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，∵=m+，∴，即λ=，m=，故答案选：A．11．设数列{a n}满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx满足若，则数列{c n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】依题意，可求得a n﹣2a n+1+a n+2=0，于是知数列{a n}是等差数列，设其公差为d，由a1=1，a2+a4=6，可求得a n=n，于是知c n=a n+=n+，利用分组求和的方法即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=（a n﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx，∴f′（x）=a n﹣a n+1+a n+2﹣a n+1•sinx﹣a n+2cosx，=a n﹣2a n+1+a n+2，∵f′（）=0，∴a n﹣2a n+1+a n+2=0，即2a n+1=a n+a n+2，∴数列{a n}是等差数列，设其公差为d，∵a2+a4=6，∴2a1+4d=6，a1=1，∴d=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n，∴c n=a n+=n+，∴S n=c1+c2+…+c n=（1+2+…+n）+（++…+）=+=﹣．故选：C．12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=log a|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为﹣1或﹣5．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．【解答】解：令x=1，则（a+3）n的展开式的系数和为256，据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n∴2n=256，∴n=8，∴a+3=±2，解得a=﹣1或﹣5．故答案是：﹣1或﹣5．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 121 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，可得=1+，解得d ，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a n ，S n +10，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，∴=1+，解得d=2，∴S n +10=（n +10）×1+×2=（n +10）2，=[1+2（n ﹣1）]2=（2n ﹣1）2．∴===≤121，当n=1时取等号，∴的最大值为121．故答案为：121．15．已知实数x ，y 满足条件，若不等式m （x 2+y 2）≤（x +y ）2恒成立，则实数m 的最大值是 ．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵m （x 2+y 2）≤（x +y ）2在可行域内恒成立．且m ≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A （2，3），则OA 的斜率k=，BC 的斜率k=1， 由图象可知即1≤k ≤， ∵z=k +在1≤k ≤， 上为增函数，∴当k=时，z 取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m≤，故m的最大值为，故答案为：16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．【考点】函数恒成立问题．【分析】当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由恒成立且k＞0，则，可求【解答】解：∵当x＞0时，==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c 的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．∴P（a+b=7）==．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），∴P（B）==．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．∴P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．∴E（ξ）=3×=．19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）等边△ABC的边长为3，且==，求得AD和AE的值．进而由余弦定理得DE，根据AD2+DE2=AE2，判断AD⊥DE折叠后A1D⊥DE，根据平面A1DE⊥平面BCED，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A1D⊥平面BCED，进而可知A1D⊥EC．（2）作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，推断出A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH⊥平面A1BD，推断出∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设出PB，分别表示出BH，PH，DH进利用勾股定理求得A1H的表达式，继而在Rt△PA1H中，表示出tan∠PA1H，对x进行分类讨论，利用函数的思想求得tan∠PA1H的最大值．【解答】证明：（1）因为等边△ABC的边长为3，且==，所以AD=1，AE=2．在△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理得DE==．因为AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．折叠后有A1D⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCED，又平面A1DE∩平面BCED=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE，所以A1D⊥平面BCED故A1D⊥EC．（2）如图，作PH⊥BD于点H，连结A1H、A1P，由（1）有A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED，所以A1D⊥PH，又A1D∩BD=D，所以PH⊥平面A1BD，所以∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，设PB=x（0≤x≤3），则BH=，PH=，DH=BD﹣BH=2﹣所以A 1H==所以在Rt △PA 1H 中，tan ∠PA 1H==①若x=0，则tan ∠PA 1H===0，②若x ≠0则tan ∠PA 1H===令=t （t ≥），y=20t 2﹣8t +1因为函数y=20t 2﹣8t +1在t ≥上单调递增，所以y min =20×﹣+1=所以tan ∠PA 1H 的最大值为=（此时点P 与C 重合）20．已知F 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点P （1，t ）在抛物线C 上，且|PF |=． （1）求p ，t 的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A （A 与O 不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D ，E ，且满足S △OAB =（S △OAB 表示△OAB 的面积，S △ODE 表示△ODE 的面积）？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，进而可得t 值； （2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A ，B 的坐标，进而可得E 的坐标，利用S △OAB =，即可得出结论．【解答】解：∵点 P （1，t ）为抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线的焦点，|PF |=，∴1+=，解得：p=1，故抛物线的方程为：y 2=2x ，将x=1代入可得：t=±；（2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设直线OA 的方程为y=kx （k ＞0），OA ⊥OB ，直线OB 的方程为y=﹣x ．由，得k 2x 2=2x ，∴x=0（舍去）或x=，即A （，）．同理B （2k 2，﹣2k ）．∵k=1时，AB ⊥y 轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为y +2k=（x ﹣2k 2），即y +2k=（x ﹣2k 2），∴E （0，）． ∵S △OAB =，∴|y A |+|y B |=|y E |， ∵y A ，y B 异号，∴|y A |+|y B |=|y A ﹣y B |=|y E |，∴||=•||∴k 2=或2，∴A （4，2）或A （1，），由对称性，可得A （4，±2）或A （1，±）．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣（3a +1）x +2a （a +1）lnx （a ＞0）（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y +2=0平行，求a 的值：（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（I ）的条什下，若对职∀x ∈[1，e ]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a 进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x ∈[1，e ]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，即求f （x ）min ≥k 2+6k 恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）=x ﹣（3a +1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y +2=0平行，∴f ′（1）=1﹣（3a +1）+2a （a +1）=3，即2a 2﹣a ﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′（x ）=x ﹣（3a +1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min≥k2+6k恒成立，即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．【解答】解：（1）曲线，可得：，曲线C的普通方程：x2+y2=4．直线=，直线l的直角坐标方程：x+y﹣2=0．（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，，圆心C到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l1与l2上，如图：直线l1与l2与l的距离为1．l1：x+=0，l2：x+﹣4=0．，可得，，两个交点（﹣，1），（，﹣1）；，解得（1，），这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，解得：k≥2；（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当x≤2时，变形为5x＞6，解得：x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当2＜x＜3时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为2＜x＜3；当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，此时不等式解集为x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．2016年11月3日。
(衡水万卷)2016年普通高等学校招生全国统一考试高考置换卷数学(文)试题(四) Word版含解析
2016高考置换卷4数学（文数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A=1{|,Z}6x x a a =+∈，B={x|x=1,Z 23b b -∈}，C={1{|,Z}26c x x c =+∈},则A.B.C 之间的关系是( ) A.A B C =⊂≠B. A B C ⊂=≠C. A B C ⊂⊂≠≠D.B C A ⊂=≠2. 已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若0a G A b G B++=，则角A 为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π3. .已知复数z =，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于（ ） A 4B 2C 1D144.某学校高中每个年级只有三个班，且同一年级的三个班的羽毛球水平相当，各年级举办班级羽毛球比赛时，都是三班得冠军的概率为（ ） A.127B.19 C.18D.1365.设1F 、2F 是双曲线2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使22()0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点）且1||PF λ=2||PF 则λ的值为（ ）A ．2B ．21C ．3D ．316. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ） A.1升 B.升 C.升 D.升7. 等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于 A.-24 B.0 C.12 D.248.函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（ ）（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z （C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z 9.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M=A .203 B .165 C .72 D .15810. 已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π⎧=⎨>⎩≤≤若a 、b 、c 互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则a＋b ＋c 的取值范围是（ ） A ．（1，2014） B ．（1，2015） C ．（2，2015） D ．[2，2015] 11.已知某几何体的三视图如图（正视图的弧线是半圆），根据图中标出数据，这个几何体的体积是 ()A ．28836π+B ．60πC ．28872π+D ．28818π+12.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是A 1[,]e eB 2(,]e eC 2(,)e +∞D 21(,)e e e+第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
河北省衡水中学2016届高三(下)同步月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．24．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④ C．①②④D．①③④6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1） B．（，1）C．[，）D．（0，）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．110．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．311．设数列{a n }满足a 1=1，a 2+a 4=6，且对任意n ∈N *，函数f （x ）=（a n ﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx 满足若，则数列{c n }的前n 项和S n 为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 都满足f （x+2）=f （x ），当﹣1≤x ＜1时，f （x ）=sinx ，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x|至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]∪（5，+∞）B ．（0，）∪[5，+∞）C ．（，]∪（5，7）D ．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a 的值为 ．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 ．15．已知实数x ，y 满足条件，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m 的最大值是 ．16．设函数f （x ）=，对任意x 1、x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ． （1）求a+b=7的概率；（2）求点（a ，b ）在函数y=2x 的图象上的概率；（3）将a ，b ，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．19．已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D、E分别是边AB，AC上的点，且满足==．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，并使得平面A1DE⊥平面BCED．（1）求证：A1D⊥EC；（2）设P为线段BC上的一点，试求直线PA1与平面A1BD所成角的正切的最大值．20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，点P（1，t）在抛物线C上，且|PF|=．（1）求p，t的值；（2）设O为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A（A与O不重合），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线C交于点B，直线AB分别交x轴、y轴于点D，E，且满足S△OAB=（S△OAB 表示△OAB的面积，S△ODE表示△ODE的面积）？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数 f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，求a的值：（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，【解答】解：∵，，i5=i4•i=i，|﹣i|=1．又A={﹣1，i}，∴i5∈A．故选：C．2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）==﹣1，由f[f（2）]=f（﹣1），能求出结果．【解答】解：∵，∴f（2）==﹣1，f[f（2）]=f（﹣1）=2e﹣1+1=2．故选：D．4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【考点】散点图．【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①②B．①④ C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③错误；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的命题是①②④．故选：C．6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．故选：B．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin+sin+…+=0（k∈Z），2015=335×6+5，所以S=sin+sin+…+sin=sin+sin+…+sin=0，故选：A．8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1） B．（，1）C．[，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，帮选：A10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知：=，设=λ， =+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m 的值．【解答】解：N 为线段AC 上接近A 点的四等分点，∴=，设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，∵=m +，∴，即λ=，m=，故答案选：A ．11．设数列{a n }满足a 1=1，a 2+a 4=6，且对任意n ∈N *，函数f （x ）=（a n ﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx 满足若，则数列{c n }的前n 项和S n 为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】数列的求和．【分析】依题意，可求得a n ﹣2a n+1+a n+2=0，于是知数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，由a 1=1，a 2+a 4=6，可求得a n =n ，于是知c n =a n +=n+，利用分组求和的方法即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）=（a n ﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx ﹣a n+2sinx ，∴f′（x ）=a n ﹣a n+1+a n+2﹣a n+1•sinx﹣a n+2cosx，=a n ﹣2a n+1+a n+2， ∵f′（）=0，∴a n ﹣2a n+1+a n+2=0，即2a n+1=a n +a n+2， ∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∵a 2+a 4=6， ∴2a 1+4d=6，a 1=1， ∴d=1，∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ，∴c n =a n +=n+，∴Sn =c1+c2+…+cn=（1+2+…+n）+（++…+）=+=﹣．故选：C．12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当﹣1≤x＜1时，f（x）=sin x，若函数g（x）=f（x）﹣loga|x|至少6个零点，则a的取值范围是（）A．（0，]∪（5，+∞）B．（0，）∪[5，+∞）C．（，]∪（5，7）D．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【分析】分a＞1与0＜a＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可．【解答】解：当a＞1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=loga|x|的图象如下，，结合图象可知，，故0＜a ≤． 故选A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a 的值为 ﹣1或﹣5 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．【解答】解：令x=1，则（a+3）n 的展开式的系数和为256， 据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n ∴2n =256， ∴n=8， ∴a+3=±2， 解得a=﹣1或﹣5． 故答案是：﹣1或﹣5．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 121 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，可得=1+，解得d ，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a n ，S n+10，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，∴=1+，解得d=2，∴S n+10=（n+10）×1+×2=（n+10）2， =[1+2（n ﹣1）]2=（2n ﹣1）2．∴===≤121，当n=1时取等号，∴的最大值为121．故答案为：121．15．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵m（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立．且m≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A（2，3），则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，由图象可知即1≤k≤，∵z=k+在1≤k≤，上为增函数，∴当k=时，z取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m≤，故m的最大值为，故答案为：16．设函数f （x ）=，对任意x 1、x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是 k ≥1 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】当x ＞0时，=，利用基本不等式可求f （x ）的最小值，对函数g （x ）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g （x ）的最大值，由恒成立且k ＞0，则，可求【解答】解：∵当x ＞0时，==2e∴x 1∈（0，+∞）时，函数f （x 1）有最小值2e∵∴=当x ＜1时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在（0，1）上单调递增 当x ＞1时，g′（x ）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减 ∴x=1时，函数g （x ）有最大值g （1）=e则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e∵恒成立且k ＞0，∴∴k ≥1 故答案为k ≥1三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c 的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．∴P （a+b=7）==．（2）设“点（a ，b ）在函数y=2x 的图象上”为事件B ，包含两个基本事件（1，2），（2，4），∴P （B ）==．（3）记“以a ，b ，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C ，共包含14个基本事件．∴P （C ）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P （ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．∴E （ξ）=3×=．19．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足==．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，并使得平面A 1DE ⊥平面BCED ． （1）求证：A 1D ⊥EC ；（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正切的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）等边△ABC 的边长为3，且==，求得AD 和AE 的值．进而由余弦定理得DE ，根据AD 2+DE 2=AE 2，判断AD ⊥DE 折叠后A 1D ⊥DE ，根据平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A 1D ⊥平面BCED ，进而可知A 1D ⊥EC ．（2）作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H 、A 1P ，由（1）有A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，推断出A 1D ⊥PH ，又A 1D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH ⊥平面A 1BD ，推断出∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角，设出PB ，分别表示出BH ，PH ，DH 进利用勾股定理求得A 1H 的表达式，继而在Rt △PA 1H 中，表示出tan ∠PA 1H ，对x 进行分类讨论，利用函数的思想求得tan ∠PA 1H 的最大值．【解答】证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且==，所以AD=1，AE=2．在△ADE 中，∠DAE=60°，由余弦定理得DE==． 因为AD 2+DE 2=AE 2， 所以AD ⊥DE ． 折叠后有A 1D ⊥DE ，因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面A 1DE∩平面BCED=DE ， A 1D ⊂平面A 1DE ，A 1D ⊥DE ，所以A 1D ⊥平面BCED 故A 1D ⊥EC ．（2）如图，作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H 、A 1P ， 由（1）有A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ， 所以A 1D ⊥PH ，又A 1D∩BD=D，所以PH ⊥平面A 1BD ， 所以∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角，设PB=x （0≤x ≤3），则BH=，PH=，DH=BD ﹣BH=2﹣所以A 1H==所以在Rt △PA 1H 中，tan ∠PA 1H==①若x=0，则tan ∠PA 1H===0，②若x ≠0则tan ∠PA 1H===令=t （t ≥），y=20t 2﹣8t+1因为函数y=20t 2﹣8t+1在t ≥上单调递增，所以y min =20×﹣+1=所以tan ∠PA 1H 的最大值为=（此时点P 与C 重合）20．已知F 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点P （1，t ）在抛物线C 上，且|PF|=． （1）求p ，t 的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A （A 与O 不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D ，E ，且满足S △OAB =（S△OAB表示△OAB 的面积，S △ODE 表示△ODE 的面积）？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，进而可得t 值；（2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A ，B 的坐标，进而可得E 的坐标，利用S △OAB =，即可得出结论．【解答】解：∵点 P （1，t ）为抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线的焦点，|PF|=，∴1+=， 解得：p=1，故抛物线的方程为：y 2=2x ，将x=1代入可得：t=±；（2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设直线OA 的方程为y=kx （k ＞0），OA ⊥OB ，直线OB 的方程为y=﹣x ．由，得k 2x 2=2x ，∴x=0（舍去）或x=，即A （，）．同理B （2k 2，﹣2k ）．∵k=1时，AB ⊥y 轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为y+2k=（x ﹣2k 2），即y+2k=（x ﹣2k 2），∴E （0，）．∵S △OAB =，∴|y A |+|y B |=|y E |， ∵y A ，y B 异号，∴|y A |+|y B |=|y A ﹣y B |=|y E |，∴||=•||∴k 2=或2，∴A （4，2）或A （1，），由对称性，可得A （4，±2）或A （1，±）．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣（3a+1）x+2a （a+1）lnx （a ＞0）（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y+2=0平行，求a 的值： （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（I）的条什下，若对职∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k 恒成立，即求f（x）≥k2+6k恒成立．min【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）≥k2+6k恒成立，min即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l 的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．【解答】解：（1）曲线，可得：， 曲线C 的普通方程：x 2+y 2=4．直线=，直线l 的直角坐标方程：x+y ﹣2=0． （2）∵圆C 的圆心（0，0）半径为：2， ，圆心C 到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l 1与 l 2上，如图：直线l 1与 l 2与l 的距离为1．l 1：x+=0，l 2：x+﹣4=0．，可得，，两个交点（﹣，1），（，﹣1）；，解得（1，），这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，≥3﹣k，即（|x﹣3|+|x﹣2|）min又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，=1≥3﹣k，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min解得：k≥2；（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当x≤2时，变形为5x＞6，解得：x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当2＜x＜3时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为2＜x＜3；当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，此时不等式解集为x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．2016年11月3日。
河北省衡水中学2016届高三上学期五调考试(文)数学试题 含答案
2015~2016学年度上学期高三年级五调考试文数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.“z y x lg ,lg ,lg 成等差数列"是“xz y =2“成立的（） A.充分非必要条件 B 。
必要非充分条件C.充要条件 D 。
既不充分也不必要条件 2.已知向量)2,1(=a ，)4,(x b =，若向量b a ⊥，则=x (） A.2 B.2- C.8D.8-3。
对于不重合的两个平面α和β,给定下列条件：①存在直线l ,使得α⊥l 且β⊥l ；②存在平面γ，使得γα⊥且γβ⊥;③α内有不共线的三点到β的距离相等；4.下图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（）A.π8B.π6 C 。
34+D 。
32+ 5.函数R x x x x f ∈-+-=,1)4cos()4sin(2)(ππ是（)A.最小正周期为π2的奇函数 B 。
最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数 D 。
最小正周期为π的偶函数6。
过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以C 的右焦点为圆心、半径为2的圆经过A 、O 两点(O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为（） A.1322=-y x B.1422=-y x C.112422=-y x D 。
141222=-y x 7。
已知函数2)(x ex f x +=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是（) A 。
)1,31( B 。
),1()31,(+∞-∞ C 。
)1,31(- D 。
),31()31,(+∞--∞ 8。
过点)2,11(A 作圆01644222=--++y x y x的弦,其中弦长为整数的共有(） A 。
2016年河北省衡水中学高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2． （5 分）设 a，b∈R 且 b≠0，若复数（a+bi）3 是实数，则（ A．b2＝3a2 B．a2＝3b2 C．b2＝9a2
D．a2＝9b2
3． （5 分）等差数列{an}中， 集合为（ A．{1} ） B．
是一个与 n 无关的常数，则该常数的可能值的
C．
D． ，则△ABC 为（ ）
4． （5 分）△ABC 中三边上的高依次为 A．锐角三角形 C．钝角三角形
15． （5 分）如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点 O 顺时针旋转 30°后，构 成一个斜坐标平面 xOy．在此斜坐标平面 xOy 中，点 P（x，y）的坐标定义如 下：过点 P 作两坐标轴的平行线，分别交两轴于 M，N 两点，则 M 在 Ox 轴 上表示的数为 x，N 在 Oy 轴上表示的数为 y．那么以原点 O 为圆心的单位圆 在此斜坐标系下的方程为 ．
，其中 m≤n，m，n∈N*．设 1≤x≤m，1≤y≤n，则 ） B． C． D．
的最小值为（ A．
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Байду номын сангаас
12． （5 分）已知 a，b∈R，直线 y＝ax+b+
与函数 f（x）＝tanx 的图象在 x＝﹣
处相切，设 g（x）＝ex+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式 m≤g（x）≤ m2﹣2 恒成立，则实数 m（ A．有最小值﹣e C．有最大值 e ） B．有最小值 e D．有最大值 e+1
16 1 7 1 8
19 20
67 93 8 0 9 4 9 2 6 5 6 7 8 4 9 8 7 1 6 4 7 8 7 7 9 0 5 7 8 3 7 2
83
84 9 1 7 1 5 8 8 2 9 3 8 1 7 7 8 2 4 8 8 5 6 9 9 1 6 1 7 8
精品：【全国百强校】河北省衡水中学2016届高三下学期第六次调研考试文数试题(A卷)解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知i 是虚数单位，则复数131ii-=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．12i --D ．12i -+【答案】C考点：复数的运算．2．已知集合{}{}0,1,2,3xP Q y y ===，则PQ =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．∅【答案】C 【解析】试题分析：由于}2,1{),,0(=+∞=Q P Q ,因此应选C. 考点：集合的运算．3．命题:p 若sin sin x y >，则x y >；命题22:2q x y xy +≥，下列命题为假命题的是（ ） A ．p 或qB ．p 且qC ．qD ．p ⌝【答案】B 【解析】试题分析：由于p 是假命题,q 是真命题,因此p 且q 是假命题；命题q , p 或q 和p ⌝都是真命题.应选B. 考点：复合命题的真假和判定．4．设函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()2log f x x =，则(f =（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-【答案】B 【解析】试题分析：由于函数()f x 为偶函数,因此212log )2()2(2===-f f ,应选B. 考点：函数的奇偶性和对数的运算． 5．已知cos ,,,2k k R πααπ⎛⎫=∈∈⎪⎝⎭，则()sin πα+=（ ）A ． BC ．D ．k -【答案】A考点：同角的关系和诱导公式的运用．6．函数()()tan 0f x x ωω=>的图象的相邻两支截直线2y =所得线段长为2π，则6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A ．BC ．1D【答案】D 【解析】试题分析：由于2πωπ==T ,因此2=ω,所以33tan ==π,应选D. 考点：正切函数的图象和性质．7．执行下面的程序框图，如果输入的依次是l ，2，4，8，则输出的S 为（ ）A ．2B．C ．4D ．6【答案】A 【解析】试题分析：由于当1=i 时,211,111=+==⨯=i S ; 当2=i 时,312,22121=+==⨯=i S ; 当3=i 时,413,2423132=+==⨯=i S ,再次运行时4514>=+=i ,这时就输出了2=S ,应选A.考点：算法流程图的识读和理解．8．在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且112BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ） A ．1B ．32C ．92D ．与M 点的位置有关【答案】B考点：三棱锥体积的运算．9．已知,,O A B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2km 处，B 地在O 地正北方向2km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O 地为一磁场，在其不超的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ） A．1 BC．1 D ．12【答案】A 【解析】试题分析：如图,当点设在线段PQ 上测绘结果不准确,由于2==OB OA ,因此22=AB ,由于3==OQ OP ,所以2232=-=PQ ,因此测绘时得到不准确数据的概率为21222==P ,所以测绘时得到准确数据的概率为2212111-=-=-P ,应选A. 考点：几何概型的计算公式．【易错点晴】本题将解三角形和概率有机地结合在一起,重点考查的是几何概型的计算公式和求解方法.解答时充分借助题设中提供的有效信息,以点O 为圆心半径为3画圆,记交点为Q P ,,从而将问题转化为求线段PQ 的长的问题.由于3==OQ OP ,点O 到AB 的距离为2,运用勾股定理求出了2232=-=PQ .然后依据题设求出得到准确数据的概率为2212111-=-=-P . 10．已知抛物线()220y px p =>的交点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线过点F ，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．1+D ．1【答案】C考点：双曲线和抛物线的几何性质．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的离心率问题.解答这类问题的一般方法是借助题设条件和已知的事实合理构建关于c b a ,,的方程或等式,然后再通过解方程使得问题获解.本题在求解时充分借助题设条件先确定交点的坐标,再将坐标代入双曲线的标准方程中,建立了关于c b a ,,的方程,最后通过解方程求出了双曲线的离心率使问题获解,较好地考查和检测了转化化归的数学思想和运算求解能力. 11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．12+B ．12C ．4D 12 【答案】A考点：三视图及几何体的表面积．12．已知函数()()()[)11,2222,xx f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，设方程()122x f x -=的根从小到大依次为*12,,,,,n x x x n N ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，则数列(){}n f x 的前n 项和为（ ）A ．2nB ．2n n +C ．21n-D ．121n +-【答案】C 【解析】试题分析：根据分段函数的解析式容易计算当12,,7,5,3,1-⋅⋅⋅=n x 时,方程()122x f x -=两边相等,即12,,7,5,3,14321-=⋅⋅⋅====n x x x x x n ,所以1211222)12()(---==-=n n n n f x f ,由于数列(){}n f x 是首项为1,公比为2等比数列,故其前n 项和为121212-=--=n n n S ,所以应选C.考点：分段函数与数列的求和．【易错点晴】本题以函数的图像为背景,将数列的通项和求和等问题有机地结合在一起,较好地考查和检测了学生数形结合数学思想和归纳猜想的合情推理的能力.解答时充分借助题设中提供的分段函数的表达形式,分别算出满足函数方程的根12,,7,5,3,14321-=⋅⋅⋅====n x x x x x n ,然后再借助等式()122x f x -=,直接将问题进行合理转化和化归.直接利用等比数列的求和公式求出其前n 项和为121212-=--=n n n S ,使得问题巧妙获解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．已知平面向量,a b 的夹角为23π，2,1a =b =，则+=a b ______．【解析】试题分析：3)21(21214||=-⨯⨯⨯++=+b a .考点：向量的模及运算．14．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=，则()tan A B -的最大值为______． 【答案】34考点：正弦定理及运用．15．若不等式组30303x y y kx x +-≥⎧⎪≤+⎨⎪≤≤⎩表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的范围是______．【答案】()0,1 【解析】试题分析：因直线3+=kx y 过定点)3,0(P ,故当直线3+=kx y 与3=x 垂直时,0=k ；当直线3+=kx y 与直线03=-+y x 垂直时,斜率1=k ,所以经过)3,0(P 的直线)3,0(P 斜率满足10<<k 时,不等式组表示的区域是一个锐角三角形及其内部. 考点：线性规划的知识及运用．【易错点晴】本题设置的是一道逆向型的线性规划问题,考查的仍是数形结合的数学思想和分析问题解决问题的能力.解答本题时充分借助题设条件和图形的直观,先确定极限点的情况,算出此时的斜率的值,再移动动直线的位置,找出适合题设条件的参数的取值范围,从而使问题简捷巧妙获解.值得提醒的是解答这类问题,一定要结合图形,数形结合,将数的问题直观化,使得问题变得简单明了,更加容易理解. 16．设过曲线()xf x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______．【答案】[]1,2-考点：导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路．【易错点晴】本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数的取值范围问题.解答时先求导将切线的斜率表示出来,再借助题设中提供的两切线的位置关系,将其数量化,最后再依据恒成立和存在等信息的理解和处理,从而使问题获解.本题在解答时最为容易出错的地方有两处:其一是将切点设为一个；其二是将存在问题当做任意问题来处理.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和n S ，()*111,1,1n n a a S n N λλ+==+∈≠-，且123,2,3a a a +为等差数列{}n b 的 前三项．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （ 2）求数列{}n n a b 的前n 项和． 【答案】(1) 12n n a -=，23-=n b n ；(2) ()3525nn T n =-⋅+.解法2：∵()111,1n n a a S n Nλ*+==+∈，∴()2213211,111121a S a S λλλλλλλ=+=+=+=+++=++，∴()2411213λλλ+=++++，整理得2210λλ-+=，得1λ=……………………………………2分∴()11n n a S n N*+=+∈，∴()112n n a S n -=+≥∴1n n n a a a +-=，即()122n n a a n +=≥， 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，…………………………………………………………4分 ∴12n n a -=，()13132n b n n =+-=-………………………………………………………………………………………6分考点：等差数列等比数列的通项前n 项和等有关知识的运用． 18．（本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润50元，若供大于求，剩余商品全部 退回，但每件商品亏损10元，若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润30元． （1）若商店一天购进商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，*n N ∈） 的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[]400,550的概率．【答案】(1) ()()30200,10,60100,10,n n n N y n n n N +≥∈⎧⎪=⎨-<∈⎪⎩；(2)2518.考点：分段函数的解析式和概率等有关知识的运用． 19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，1,,22ADBC BAD AB BC AD a π∠====，E 是AD 的中点，O 是 OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（1）证明：CD ⊥平面1AOC ； （2）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为，求a 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)6a =.由图1可知，1AO AB ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=， 从而四棱锥1A BCDE -的为2311133V S AO a =⨯⨯=⨯=，3=6a = (12)考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用． 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点()1,0且与直线1x =-相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程； （2）已知点()5,0A ，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交（不经过点O 或点A ）且与曲线E 交于M 、N两点，求AMN ∆的面积的最大值，及此时直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；(2) ，此时直线l 的方程为1y x =-.令()()329152505f m m m m m =-++<<，()()()()231815315,05f m m m m m m '=-+=--<<所以函数()f m 在()0,1上单调递增，在()1,5上单调递减。
2016届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学(文)试题(解析版)
2016届河北省衡水中学高三上学期七调考试数学（文）试题一、选择题1．已知集合{}{}|12,|03A x x B x x =-<<=<<，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A【解析】试题分析：由已知{|13}A B x x =-<< ，故选A ． 【考点】集合的运算．2．i 是虚数单位，复数5225ii-=+（ ） A ．i - B ．iC ．21202929i -- D ．4102121i -+ 【答案】A【解析】试题分析：252(52)(25)102541025(25)(25)29i i i i i i i i i i -----+===-++-，故选A ．另解：25252(25)252525i i i i i i i i i----+===-+++． 【考点】复数的运算．3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的离心率为，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =± 【答案】C【解析】试题分析：由已知2c e a ==，2222221()24b c a a a a =-=-=，12b a =，所以渐近线方程为12y x =±，故选C ． 【考点】双曲线的几何性质．4．已知向量()1,1a =- ，向量()1,2b =-，则()2a b a +⋅= （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 【答案】C【解析】试题分析：由已知得22(1,1)(1,2)a b +=-+-=，所以【考点】向量的坐标运算与数量积．5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A【解析】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以135333a a a a ++==，31a =，5355S a ==，故选A ．【考点】等差数列的性质．6．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示（单位:cm ）,则该几何体的体积为（ ）A ．1203cm B ．803cm C ．1003cm D ．603cm 【答案】C【解析】试题分析：由已知311456456100()32V cm =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故选C ． 【考点】三视图，几何体的体积．7．某算法的程序框图如图所示，若输入的,a b 的值分别为60与32，则程序执行后的结果是（ ）A ．0B ．4C ．7D ．28【答案】B【解析】试题分析：由程序框图知，本题算法是求两整数的最大公约数，60与32的最大公约数是4，因此输出结果为4．故选B ．8．已知等比数列{}n a 满足()13541,414a a a a ==-，则2a =（ ） A ．2 B ．1 C ．12 D ．18【答案】C【解析】试题分析：由题意235444(1)a a a a ==-，解得42a =，所以4331142a a q q ===，2q =，211242a =⨯=．故选C ． 【考点】等比数列的性质与通项公式．9．设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）A ．252 B ．492C ．12D ．14 【答案】A【解析】试题分析：作出题设不等式组表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作曲线xy k =（因为要求k 的最大值，因此0k >），当k 增大时，曲线ky x=向右上移动，当曲线k y x =与直线AB 相切时，k 最大，由210k y xx y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，并整理得22100x x k -+=，10080k ∆=-=，252k =，所以xy k =的最大值为252．故选A ．【考点】简单的线性规划的非线性应用．10．点,,,A B C D在同一个球的球面上，AB BC AC ==ABCD 体） A ．16916π B ．8π C ．28916π D ．2516π【解析】试题分析：设球心为O ，ABC ∆的中心为M ，由当D 在MO 延长线上时，四面体ABCD 体积最大，244ABC S ∆==，134V DM =⨯=，4DM =，设球半径为r ，13MA ==，则222(4)1r r -+=，178r =，221744()8S r ππ==⨯28916π=．故选C ．【考点】棱锥的体积，棱锥的外接球，球的表面积．11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D【解析】试题分析：如果乙车速度大于80千米/小时，消耗1升汽油时，乙车行驶路程超过5千米，A 错；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，乙错；甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率是10千米/升，行驶1小时，路程为80千米，消耗8升汽油，C 错；在最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率高于乙车，因此丙车比乙车更省油，D 正确．故选D ． 【考点】函数的图象与应用．【名题点睛】本题考查函数的图象，题中给出一个新概念“燃油效率”，正确理解新概念是解题的基础与关键，题中“燃油效率”是汽车每消耗1升汽油所行驶的路程，因此“燃油效率”越高，则每消耗1升汽油所行驶的路程越多或者是行驶同样的距离消耗的汽油越少，其次“燃油效率”与汽车行驶速度有关，本题图形就是反应速度与“燃油效率”的关系的图象．只要正确理解了图象，就能判别题中每个命题的正确性． 12．已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,-∞B ．(,-∞C ．(0,D ．()+∞【解析】试题分析：由题意可得()2x x e e g x -+=，()2x xe e h x --=，不等式(2)()0g x a h x -≥为22022x x x xe e e e a --+--⨯≥，设x x t e e -=-，则不等式化为220t at +-≥，又x x t e e -=-是增函数，则当(0,2]x ∈时，221(0,]t e e ∈-，此时不等式220t at +-≥可化为222t a t t t+≤=+，易知2t t +≥t =取等号），因此2t t+的最小值是a ≤B ． 【考点】函数的奇偶性，不等式恒成立问题，基本不等式．【名题点睛】换元法经常和数列、超越函数等知识点结合在一起．运用局部换元：解决超越方程、超越不等式、超越函数（指数对数和高次函数等）问题，运用三角换元：一般来说具有有界性的式子，都能用三角换元来方便运算，难点是均值换元：均值换元可用在数列求通项和参数方程以及不等式中应用简化运算．换元时要注意新元的取值范围不能发生改变．二、填空题13．给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关越强；反之，线性相关性越弱； ②由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程：:l y bx a ∧=+，则l 一定经过(),P x y ； ③从越苏传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程0.110y x ∧=+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧增加0．1个单位，其中真命题的序号是 ． 【答案】②④⑤【解析】试题分析：线性相关系数为r ，当r 越接近1时，两个变量的线性相关越强，当r 越接近0时，两个变量的线性相关越弱，①错；由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程：:l y bx a ∧=+，则l 一定经过(),P x y ，②正确；每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，③错；相关指数2R 用来刻画回归的效果，其计算公式是22121()1()nii nii y y R y y ==-=--∑∑，在含有一个解释变量的线性模型中，2R 恰好2拟合效果越好，④正确；在回归直线方程0.110y x ∧=+表示解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧增加0．1个单位，⑤正确，故填②④⑤． 【考点】线性相关，线性回归直线方程，抽样方法，残差． 14．在三棱锥S ABC -内任取一点P ，使得12P ABC S ABC V V -->的概率是 ． 【答案】18【解析】试题分析：如图，,,D E F 是所在棱的中点，当点P 在面DEF 上时，P 到底面ABC 的距离d 是顶点S 到底面ABC 距离h 的一半，则11113232P A B C A B C A B C S A B C V S d S h V -∆∆-=⋅=⨯=，当P 在平面DEF 与平面ABC 之间时，12P ABC S ABC V V --<，当P 在平面DEF 与顶点S 之间时，12P ABC S ABC V V -->，又18S DEF S ABC V V --=，所以所求概率为18S DEF S ABC V P V --==．CAS【考点】几何概型．15．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点()()(),0,,00A m B m m ->，若圆上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是 ． 【答案】[]4,6【解析】试题分析：由已知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点，AB 中点为原点，2ABm =，则11m m -≤≤+，解得46m ≤≤，【考点】两圆的位置关系．【名题点睛】判断两圆的位置关系有两种方法，一是解由两圆方程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离，若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切，若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交，二是讨论两圆的圆心距与两圆半径之间的关系．第一种方法在计算上较繁琐，因此一般采用第二种方法．16．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = ．【解析】试题分析：设()ln f x x x =+，则1'()1f x x=+，'(1)2f =，过点(1,1)切线方程为12(1y x -=-，即21y x =-．记2()(2)1g x ax a x =+++，'()22g x ax a =++，令'()2(g x a x a =++=，则12x =-，又1111()(2)12424g a a a -=-++=-，所以112()142a -=⨯--，8a =．【考点】导数的几何意义，导数与切线．【名题点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： （1）已知切点A （x 0，f （x 0））求斜率k ，即求该点处的导数值：0'()k f x =； （2）已知斜率k ，求切点A （x 1，f （x 1）），即解方程f ′（x 1）＝k ； （3）已知过某点M （x 1，f （x 1））（不是切点）的切线斜率为k 时，常需设出切点A （x 0，f （x 0）），利用k ＝求解．三、解答题17．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c cos cos CA =． （1）求角A 的值；（2）若,6B BC π∠=边上中线AM =ABC 的面积．【答案】（1）6A π=；（2【解析】试题分析：本题是解三角形的应用，已知条件是边角关系（1）中要求角，因coscos C A =，化简可得cos 2A =；（2）由6B π=，知ABC ∆是等腰三角形，要求其面积，必须先求出一边，这里可先腰长b ，在AMC ∆中应用余弦定理可得，则三角形面积可得．试题解析：（1）cos cos C A =,∴cos cos CA =，cos 26A A π∴==． （2）2,63B C A B πππ∠=∴=--=，可知ABC 为等腰三角形，在AMC 中，由余弦定理，得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒，即2272c o s 120222b b b b b ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒∴= ⎪⎝⎭21【考点】解三角形应用，正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形面积． 18．某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．【答案】（1）7,7x x ==乙甲，2s 甲 5.2=，22s =乙，两组技工的总体水平相同，甲组中技工的奇数水平差异比乙组大；（2）1725． 【解析】试题分析：（1）根据给出的数据进行计算即可，方差大的差异大；（2）两组里各有5人，从两组里分别抽1人，抽检方法有5525⨯=中，其中质量合格的有17种（可用列举法把25种基本事件列举出来），由古典概型概率公式可得结论．试题解析：（1）依题中的数据可得：()()114579107,56789755x x =++++==+++++=甲乙 ()()()()()222222147577797107 5.25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲()()()()()222222221576777879725s x x s s ⎡⎤=-+-+-+-+-==>⎣⎦ 乙甲乙甲乙，∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的奇数水平差异比乙组大． （2）设事件A 表示：该车间“质量合格”，则从甲，乙两种各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为()()()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,4,77,5,7()()()()()()()()()()9,5,9,6,9,7,9,8,9,9,10,5,10,6,10,7,10,8,10,9，共25种，事件A 包含的基本事件有17种．()1725P A ∴=，即该车间“质量合格”的概率为1725．【考点】平均数，方差，古典概型．19．已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，若,SB AC SA SC ⊥=．（1）求证：平面SBD ⊥平面ABCD ；（2）若12,3,cos ,608AB SB SCB SAC ==∠=-∠=︒，求四棱锥S ABCD -的体积．【解析】试题分析：（1）本题证明面面垂直，比较简单，已经有AC SB ⊥，又有SA SC =，设AC BD O = ，则O 是AC 中点，于是有AC SO ⊥，从而有线面垂直，再有面面垂直；（2）要求棱锥体积，作SH BD ⊥，垂足为H ，由（1）可得SH 就是四棱锥的高，同样由（1）可得ABCD 是菱形，因此可在SBC ∆中由余弦定理求得SC ，又SAC ∆是正三角形，这样,SO AC 已知了，于是求得BO （ABCD S 可得了），SBO ∆的边BO 边上的高SH 也可求得，从而得体积． 试题解析：．（1）设AC BD O ⋂=，连接SO ，,.,SA SC AC SO SB AC SO SB S AC =∴⊥⊥⋂=∴⊥ 平面SBD ，AC ⊂ 平面ABCD ，∴平面SBD ⊥平面ABCD（2）作SH BD ⊥ 平面SBD ⊥平面ABCD ，且平面SBD ⋂平面ABCD BD =SH ∴⊥平面ABCD ，即13S A B C D A B C D V SS H -=⋅，由（1）知，AC BD ⊥∴底面ABCD 是菱形，2B C A B ∴==，13,cos 8SB SCB =∠=-∴ 由余弦定理可得260SC SAC SAC =∠=︒∴ 是等边三角形，122ABCD SO BO S ∴=∴==⨯=又在SOB 中，3SO OB SB ==，由余弦定理，1206S O B S O H ∴∠=︒∴∠=︒，在R t S O 中，则31s i n 602323S A BCD S H S O V -=⨯︒=∴⨯⨯= 【考点】面面垂直的判断，棱锥的体积．20．已知P 为圆()22:18A x y ++=上的动点，点()1,0B ，线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ的方程； （1）求曲线Γ的方程；（2）当点P 在第一象限，且cos BAP ∠=时，求点M 的坐标．【答案】（1）2212x y +=；（2）． 【解析】试题分析：（1）本题用定义法求曲线方程，由对称性可得MA MB MA MP +=+=Γ是以,A B 为焦点，以为长轴长的椭圆；（2）由cos 3BAP ∠=，一种方法可得P 为坐标，得直线AP 方程，也可试题解析：（1）圆A 的圆心为()1,0A -，半径等于，由已知MB MP =于是MA MB MA MP +=+=故曲线Γ是以,A B 为焦点，以1,1a b c ===故曲线Γ的方程为2212x y +=．（2）由点P 在第一象限，cos 3BAP AP ∠==53P ⎛ ⎝⎭于是直线AP 方程为)14y x =+，代入椭圆方程，消去y 可得212752701,5x x x x +-=∴==-由于点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为1,2⎛ ⎝⎭．【考点】定义法求曲线方程，直线与曲线的交点坐标．【名题点睛】求轨迹方程的常用方法（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系或F （x ，y ）＝0；（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；（4）代入转移法：动点P （x ，y ）依赖于另一动点Q （x 0，y 0）的变化而变化，并且Q （x 0，y 0）又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程． 21．已知函数()()1ln 0x f x x a ax-=-≠． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，求()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值()0.69ln 20.70<<；（3）求证：21ln e x x x+≤． 【答案】（1）若0a <，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减；若0a >，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）最大值为0，最小值为1ln 2-+；（3）证明见解析．．'()0f x <得减区间，注意要对a 分类讨论；（2）由（1）能确定()f x 的单调区间，最大值与最小值一定在极值点或区间的端点处取得，计算比较大小即可；（3）不等式21ln e x x x+≤，化为12ln 1x x -<+，即11l n x x -<，这可利用函数()11ln f x xx =--的单调性证明．试题解析：．（1）函数的定义域为()()()'2110,,ln x x a f x x f x ax x--+∞=-∴=- ， 若0a <，又10,0x x a>∴->，故()'0f x <，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 在区间1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．综上，若0a <，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减；若0a >，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；函数()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （2）1a =时，()11ln 1ln x f x x x x x -=-=--，由（1）可知，()11ln f x x x=--在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，故在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间[]1,2上单调递减，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()10f =，而()111112ln 1ln 2,21ln 2ln22222f f ⎛⎫=--=-+=--=-⎪⎝⎭()1322ln 2 1.520.70.1022f f ⎛⎫-=->-⨯=> ⎪⎝⎭，所以()122f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为11ln 22f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ⑶由（2）可知，函数()11ln f x x x=--在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，故函数()f x 在区间()0,+∞上的最大值为()10f =，即()0f x ≤，故有1111ln 01ln 2ln 1x x x x x x--≤∴-≤∴-≤+即21ln e x x x+≤． 【考点】用导数求单调区间，函数的最值，由函数单调性证明不等式．【名题点睛】本题考查函数的基本性质，导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．本题先利用导数研究函数的单调性，同时考查分类讨论思想，利用这个单调性的结论可以很顺利地求得函数在某个区间上的最值，第（3）小题证明不等式，表面上看来无从下手，而根据以往经验，应该利用上面的结果，实质只要构造函数就可由第（2）小题的结论得其单调性，而证得不等式成立．本题体现了“从基础到中等，再由中等到难”这样一种阶梯式增难的特色，层层相扣，解题时要特别注意．22．选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点,E DB 垂直BE 交圆于点D ．（1）证明：DB DC =（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF 外接圆的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】试题分析：本题考查弦切角定理，考查圆的性质，由ABE BCE ∠=∠，而ABE CBE ∠=∠，故,CB E B CE B E CE ∠=∠=，再由DB BE ⊥，所以DE 为直径，易得结论；（2）实质上垂径定理知DE 垂直平分BC （设BC 与DE 的交点为G ），则2BG =，在Rt B O G ∆中可得60BOG ∠=︒，从而可得CF BF ⊥，BC 是BCF ∆是外接圆直径．试题解析：（1）连接DE ，交BC 于点G由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠，而A B E C ∠=∠，故,C B E B C E B E C E∠=∠=又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，所以90DCE ∠=︒，由勾股定理可得DB DC =；（2）由（1）知，,CDE BDE DB DC ∠=∠=，故DG 是BC 的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连接BO ，则60BOG ∠=︒，从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒ 所以CF BF ⊥，故RtBCF外接圆的半径等于2． 【考点】弦切角定理与圆周角定理，切线的性质，圆的性质． 23．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2ρ= （1）分别写出1C 的普通方程，2C 的直角坐标方程；（2）已知,M N 分别为曲线1C 的上，下顶点，点P 为曲线2C 上任意一点，求PM PN +的最大值【答案】（1）224x y +=； （2）【解析】试题分析：试题解析：（1）曲线1C 的普通方程为22143x y +=，曲线2C 的普通方程为224x y += （2）方法一：由曲线2:C 224x y +=，可得其参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，所以P 点坐标为()2cos ,2sin αα 由题意可知((,,0,3M N ，因此PM PN +==()214PMPN+=+所以当sin 0α=时，()2PM PN +有最大值28．因此PM PN +的最大值为方法二：设点(),P xy ，则224x y+=，由题意可知((,0,M N ．因此PM PN +==()214PMPN+=+0y =时，()2PM PN +有最大值28．因此PM PN +的最大值为 【考点】24．选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x =R ．（1）求实数m 的取值范围；（2）若m 的最大值为n ，当正数,a b 满足2132n a b a b+=++时，求74a b +的最小值．【答案】（1）(],4-∞； （2）94． 【解析】试题分析：试题解析：（1）因为函数定义域为R ，所以130x x m ++--≥恒成立．设函数()13g x x x =++-，则m 不大于()g x 的最小值，又134x x ++-≥，所以()g x 的最小值为4，所以4m ≤ 故m 的取值范围为(],4-∞． （2）由（1）可知4n =，所以()()()2123227455493223744444a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+++⋅+++⎪+++⎝⎭+++==≥= 当且仅当323210a b a b b a +=+∴==时，等号成立，所以74a b +的最小值为94．【考点】。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。