2018版数学新导学同步选修2-2人教A版课件：章末复习提升课03
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版课件：2.1.1合情推理
方法归纳
类比推理的一般步骤
跟踪训练 3 “由勾股定理，得 c2＝a2＋b2”换成“cos2A ＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．
解析：如图，在 Rt△ABC 中，cos2A＋cos2B＝ bc2＋ac2＝a2＋c2 b2＝1.
于是把结论类比到四面体 P－A′B′C′中，我们猜想，三 棱 锥 P－ A′B′C′ 中，若三 个侧面 PA′B′ ， PB′C′ ， PC′A′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为 α，β，γ，则 cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
跟踪训练 2 在古希腊，毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这 些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一般表 达式 f(n)＝( )
A．n＋2
B．n(n＋1)
n－1n＋2
C.
2
nn＋1 D. 2
解析：当 n＝1 时，1＝1×2 2；当 n＝2 时，3＝2×2 3；当 n＝ 3 时，6＝3×2 4；当 n＝4 时，10＝4×2 5；…，猜想：f(n)＝nn2＋1.
【课标要求】 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推 理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用.
自主学习 基础认识
|新知预习|
1．归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有某 由两类对象具有某些类似
定 义
些特征，推出该类事物的全部对 象都具有这些特征的推理，或者 由个别事实概括出一般结论的
特征和其中一类对象的某 些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理
推理，称为归纳推理(简称归纳) 称为类比推理(简称类比)
2018版数学新导学同步选修2-2人教A版：课时作业3几个常用函数的导数含解析
基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝(－x 12-)′＝12x 32-＝12x x，所以④正确，故选B.答案：B2．曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.D.⎝ ⎭⎪2解析：因为y ′＝－1x 2，令－1x 2＝－4，得x ＝±12，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，故选B.答案：B5．曲线y ＝ln x 在点M 处的切线过原点，则该切线的斜率为( ) A ．1 B ．eC ．－1 D.1e解析：设M (x 0，ln x 0)，由y ＝ln x 得y ′＝1x ，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1x 0，所以切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)．由题意得0－ln x 0＝1x 0(0－x 0)＝－1，即ln x 0＝1，所以x 0＝e.所以k ＝1x 0＝1e .故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2，即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－13(3)y ＝x ；(4)y ＝2cos 2x2－1.解析：(1)y ′＝(lg5)′＝0；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ln 12；(3)∵y ＝x 2x ＝x 12-2＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12；(4)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .10．在曲线y ＝1x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝－2x －3，所以y ′|x ＝x 0＝－2x －30＝tan135°＝－1， 即2x －30＝1， 所以x 0＝32.将x 0＝32代入曲线方程得y 0＝3164， 所以所求P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，3164. |能力提升|(20分钟，40分)11．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( )赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
( 人教A版)2017-2018学年高中数学选修2-2：1.2.1-1.2.2第2课时导数的运算法则课件 (共36张PPT)
1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第 2 课时 导数的运算法则
考纲定位
重难突破
1.能利用导数的四则运算法 则求解导函数. 2.能运用复合函数的求导法 则进行复合函数的求导.
重点：用导数的运算法则求 函数的导数. 难点：求复合函数的导数.
则 _的__导__数__与___u_对 ___x__的__导__数__的__乘__积____
1．下列求导运算正确的是( A．(x＋1x)′＝1＋x12 B．(log2x)′＝xln1 2 C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x
[双基自测] )
解析：A 中(x＋1x)′＝1－x12， C 中(3x)′＝3xln 3， D 中(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x. 答案：B
2．求下列函数的导数：
(1)y＝ 1－1 2x2；(2)y＝esin x；
(3)y＝sin2x；(4)y＝5log2(2x＋1)．
解析：(1)设
y＝u
1 2
，u＝1－2x2，
则
y′x＝yu′·ux′＝(u
1 2
)′(1－2x2)′＝－12u
3 2
·(－4x)＝－12(1－2x2)
3 2
·(－4x)＝2x(1
[典例] (本题满分 12 分)已知函数 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求 a，b 的值； (2)若函数的导函数 f′(x)在区间(－1,1)内有零点，求实数 a 的取值范围． [解析] (1)因为 f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b， 所以 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，…………………………………………………2 分 又函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3， 所以得ff′0＝0b＝＝－0，aa＋2＝－3， ……………………………………………………4 分
2018版高中数学人教A版选修2-2课件：2-2-1-1 综合法
2������ . ������+3
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
反思用综合法证明数列问题时的证明依据主要来源于以下数列的 相关知识: (1)数列的概念,特别是等差数列、等比数列的定义; (2)等差数列与等比数列的基本性质以及数列前 n 项和的性质; (3)数列的通项公式 an 与数列的前 n 项和 Sn 之间的关系 an= ������1 ,������ = 1, ������������ -������������ -1 ,������ ≥ 2; (4)递推公式与通项公式的关系.
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
3 1 ������(������������ − 1)(������∈N*,n≥2),求证: 2 ������������
利用综合法证明与数列有关的问题 【例1】 设数列{an}的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(n∈N*), 其中m为非零常数,且m≠-3. (1)求证:{an}是等比数列; (2)若数列{an}的公比为 q=f(m),数列{bn}满足 b1=a1,bn=
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列. 证明:由an+2=2an+1-an+2, 得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 故{bn}是首项为1,公差为2的等差数列.
*
������������+1 ������������
=
2018学年人教A版数学选修2-2课件 第一章 导数及其应用 1-3-3函数的最大小值与导数 精品
(2)由题设可知，方程 f ′(x)＝3x2＋2ax－a2＝0 在[－1，
1]上没有实根，
f′（－1）<0， 3－2a－a2<0，
所以
即
f′（1）<0， 3＋2a－a2<0.
因为 a＞0，所以解得 a＞3.
(3)因为 a∈[3，6]，所以a3∈[1，2]，－a≤－3， 又 x∈[－2，2]，所以当 x∈－2，a3时，f ′(x)<0，f(x) 单调递减， 当 x∈a3，2时，f(x)单调递增，故 f(x)的最大值为 f(2) 或 f(－2)．
A．20 B．18 C．4 D．0 解：因为 f(x)＝x3－3x－1，
所以 f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，
所以当 x∈(－∞，－1)和 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0；
当 x∈(－1，1)时，f′(x)＜0； 所以 f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－ 1，1)上是减函数； 而 f(－3)＝－27＋9－1＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3， f(2)＝8－6－1＝1， 所以最大值为 f(－1)＝1，f(－3)＝－19，
故 f(x)的最大值与最小值的差为 20. 答案：A
归纳升华 (1)求可导函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步骤如 下： ①求 f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； ②计算函数 f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大 的一个为最大值，最小的一个为最小值．
(2)若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极 大值就是最大值，极小值就是最小值．
最小值是唯一的．如 y＝sin x，有无数个极值点，但最大
值和最小值分别是 1 和－1.
[思考尝试·夯基]
2018-2019版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版讲义：第一章+导数及其应用+章末复习
章末复习学习目标 1.理解导数的几何意义，并能解决有关切线的问题.2.能熟练应用求导公式及运算法则.3.掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，并能应用其解决一些实际问题.4.了解定积分的概念及其简单的应用．1．导数的概念(1)定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数．(2)几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数是函数图象在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，表示为f ′(x 0)，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝0. (2)(x α)′＝αx α－1.(3)(a x )′＝a x ln a (a >0)． (4)(e x )′＝e x .(5)(log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a (a >0，且a ≠1)． (6)(ln x )′＝1x .(7)(sin x )′＝cos x . (8)(cos x )′＝－sin x . 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 4．复合函数的求导法则 (1)复合函数记法：y ＝f (g (x ))． (2)中间变量代换：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)逐层求导法则：y x ′＝y u ′·u x ′.5．函数的单调性、极值与导数 (1)函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． (2)函数的极值与导数①极大值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≥f (x )，当x <a 时，f ′(x )>0，当x >a 时，f ′(x )<0，则点a 叫做函数的极大值点，f (a )叫做函数的极大值；②极小值：在点x ＝a 附近，满足f (a )≤f (x )，当x <a 时，f ′(x )<0，当x >a 时，f ′(x )>0，则点a 叫做函数的极小值点，f (a )叫做函数的极小值． (3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 6．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a )． 7．定积分的性质(1)ʃb a kf (x )d x ＝k ʃb a f (x )d x (k 为常数)．(2)ʃb a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x .(3)ʃb a f (x )d x ＝ʃc a f (x )d x ＋ʃb c f (x )d x (其中a <c <b )．1．f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) 2．函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( × )3．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0.( √ )类型一 导数几何意义的应用例1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l 的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行． (1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程． 考点 求函数在某点处的切线方程题点 求曲线的切线方程解 (1)f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9， f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)． 故a ＝1.(2)由(1)得a ＝1， ∴f ′(x )＝x 2＋2x －9， 则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)， 即6x －y －28＝0.反思与感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种：一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)，求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1 直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝x 3＋ax ＋1相切于点(2,3)，则b ＝ . 考点 求曲线在某点处的切线方程 题点 曲线的切线方程的应用 答案 －15解析 由题意知f (2)＝3，则a ＝－3.f (x )＝x 3－3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(2)＝3×22－3＝9＝k ， 又点(2,3)在直线y ＝9x ＋b 上， ∴b ＝3－9×2＝－15.类型二 函数的单调性、极值、最值问题 例2 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1. 考点 利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0，即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.反思与感悟本类题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．跟踪训练2已知函数f(x)＝x ln x.(1)求f(x)的最小值；(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围；(3)若关于x的方程f(x)＝b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点函数极值的综合应用题点函数零点与方程的根解 (1)f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e . (2)∵f (x )＝x ln x ，当x ≥1时，f (x )≥ax －1恒成立， 等价于x ln x ≥ax －1(x ≥1)恒成立， 等价于a ≤ln x ＋1x(x ≥1)恒成立，令g (x )＝ln x ＋1x ，则a ≤g (x )min (x ≥1)恒成立；∵g ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x 2，∴当x ≥1时，g ′(x )≥0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (1)＝1， ∴a ≤1，即实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根， 即y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点， 由(1)知当0<x <1e时，f (x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ln 1e ＝－1e； 故当－1e <b <0时，满足y ＝b 和y ＝f (x )在(0，＋∞)上有两个不同的交点，即若关于x 的方程f (x )＝b 恰有两个不相等的实数根，则－1e <b <0.类型三 定积分及其应用例3 求由曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成的图形的面积．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 需分割的图形的面积求解 解 所求面积S ＝5π4ππ22sin d =sin d x x x x---⎰⎰＋ʃπ0sin x d x5π4πsin d x x -⎰＝－(－cos x )0π2|-＋(－cos x )|π0－(－cos x )5π4π|＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22.反思与感悟 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状． (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标． (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．(4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形的面积分为相等的两部分，求k 的值．考点 利用定积分求曲线所围成图形面积 题点 已知曲线所围成图形的面积求参数解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴的两交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－x 331＝12－13＝16.抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－x 331－k 0 ＝16(1－k )3， 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4考点 导数的几何意义的应用 题点 导数的几何意义解析 ∵直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，∴f (3)＝1.又点(3,1)在直线l 上， ∴3k ＋2＝1，从而k ＝－13，∴f ′(3)＝k ＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 则g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 2．函数F (x )＝ʃx 0t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 考点 微积分基本定理的应用 题点 微积分基本定理的综合应用 答案 B解析 F ′(x )＝()ʃx0t (t －4)d t ′＝x 2－4x ，令F ′(x )＝0，解得x ＝0或4，当F ′(x )>0时，x >4或x <0，当F ′(x )<0时，0<x <4. ∴F (x )在[0,4]上单调递减，在[－1,0]和[4,5]上单调递增． 又F (0)＝0，F (－1)＝－73，F (4)＝－323，F (5)＝－253，所以当x ＝0时，F (x )取最大值0，当x ＝4时，F (x )取最小值－323.故选B.3．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )A ．(－∞，2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C ．[－2,3]D.⎣⎡⎭⎫98，＋∞考点 函数极值的综合应用 题点 函数极值在函数图象上的应用解析 不妨取a ＝1，又d ＝0，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 由题图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0， ∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0， ∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94，当x >98时，y ′>0，即单调递增区间为⎣⎡⎭⎫98，＋∞，故选D.4．体积为16π的圆柱，当它的半径为 时，圆柱的表面积最小． 考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求面积的最值问题 答案 2解析 设圆柱底面半径为r ，母线长为l . ∴16π＝πr 2l ，即l ＝16r2.则S 表面积＝2πr 2＋2πrl ＝2πr 2＋2πr ×16r 2＝2πr 2＋32πr ，由S ′＝4πr －32πr 2＝0，得r ＝2.∴当r ＝2时，圆柱的表面积最小． 5．已知函数f (x )＝e x ＋bx过点(1，e)．(1)求y ＝f (x )的单调区间； (2)当x >0时，求f (x )x的最小值；(3)试判断方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数． 考点 函数极值的综合应用 题点 函数零点与方程的根解 (1)由函数f (x )＝e x ＋bx 过点(1，e)，得e 1＋b ＝e ，即b ＝0，∴f (x )＝e xx (x ≠0)，f ′(x )＝e x (x －1)x 2，令f ′(x )>0，得x >1，令f ′(x )<0，得0<x <1或x <0，y ＝f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0,1)． (2)设g (x )＝f (x )x ＝e xx 2，x >0，g ′(x )＝e x (x 2－2x )x 4，令g ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝0(舍去)，当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0， 当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，∴g (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， ∴f (x )x 的最小值为g (2)＝e 24. (3)方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)等价于m ＝f (x )x ＝g (x )，g ′(x )＝e x (x 2－2x )x 4，易知当x <0时，g ′(x )>0.结合(2)可得函数g (x )在区间(0,2)上单调递减，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增． 原问题转化为y ＝m 与y ＝g (x )的交点个数，其图象如图，当m ≤0时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为0； 当0<m <e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为1；当m ＝e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为2；当m >e 24时，方程f (x )－mx ＝0(m ∈R 且m 为常数)的根的个数为3.1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．明确“过点P (x 0，y 0)的曲线y ＝f (x )的切线方程”与“在点P (x 0，y 0)处的曲线y ＝f (x )的切线方程”的异同点．2．借助导数研究函数的单调性，经常同三次函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．4．不规则图形的面积可用定积分求解，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标.一、选择题1．已知函数f (x )＝－a πsin πx ，且lim h →0f (1＋h )－f (1)h ＝2，则a 的值为( ) A ．2B ．－2C ．2πD ．－2π 考点 导数的概念题点 导数的概念的简单应用答案 A解析 ∵lim h →0 f (1＋h )－f (1)h＝2， ∴f ′(1)＝2，f (x )＝－a πsin πx ， f ′(x )＝－a cos πx ，∴－a cos π＝2，∴a ＝2，故选A.2．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0，则过曲线上该点的切线( )A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定考点 导数的几何意义的应用题点 导数的几何意义答案 B解析 ∵曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0，∴切线的斜率为0，故选B.3．若函数f (x )的导数是f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，则函数f (x )的单调递减区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤1a ，0B.(]－∞，0，⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞C.⎣⎡⎦⎤0，－1a D ．(－∞，0]，⎣⎡⎭⎫－1a ，＋∞ 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 C解析 ∵f ′(x )＝－x (ax ＋1)(a <0)，令f ′(x )<0，即－x (ax ＋1)<0，解得0<x <－1a，故选C. 4．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( ) A ．π2(sin cos )d x x x -⎰ B ．20π4(sin cos )d x x x -⎰ C ．π20(cos sin )d x x x -⎰ D ．20π4(cos sin )d x x x -⎰考点 定积分的几何意义及性质题点 定积分的几何意义答案 D解析 如图所示，两个阴影部分面积相等，所以两个阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍，故选D.5.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )·f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)C ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)考点 函数极值的综合应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 D解析 由函数的图象可知，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0，并且当x <－2时，f ′(x )>0，当－2<x <1，f ′(x )<0，函数f (x )有极大值f (－2)．又当1<x <2时，f ′(x )<0，当x >2时，f ′(x )>0，故函数f (x )有极小值f (2)，故选D.6．已知a ≤1－x x＋ln x 对任意x ∈⎣⎡⎦⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 A解析 令f (x )＝1－x x＋ln x ， ∴f ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x ， 当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )≥f (1)＝0，则a ≤0，即a 的最大值为0.7．若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[3,5]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极大值为( )A.23b 2－16b 3 B.32b －23 C ．2b －43 D ．0考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题答案 C解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)，∵函数f (x )在区间[3,5]上不是单调函数，∴3<b <5，由f ′(x )>0，得x <2或x >b ，由f ′(x )<0，得2<x <b ，故f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，b )上单调递减，在(b ，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )的极大值为f (2)＝2b －43. 二、填空题8．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ．考点 求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点 求函数在某点处的切点坐标答案 (－2,15)解析 y ′＝3x 2－10，令y ′＝2，解得x ＝±2.又∵点P 在第二象限内，∴x ＝－2，此时y ＝15，∴点P 的坐标为(－2,15)．9．已知曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成的封闭区域的面积为a 3，则a ＝ . 考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 已知曲线所围成图形的面积求参数答案 3123解析 由题意得a 3＝ʃa 0x d x ＝ ⎪⎪⎪2332x a 0＝2332a ， 即32a ＝23，解得a ＝3123. 10．已知定义在区间(－π，0)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递减区间是 ． 考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，0解析 f ′(x )＝x cos x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－π2，0. 11．若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则实数a 的值为 ． 考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数 答案 3－1解析 f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，令f ′(x )＝0，得x ＝±a ， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．若a ≥1，即a ≥1，则当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33， 解得a ＝32<1，不合题意，∴a <1， 且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33， 解得a ＝3－1，满足a <1.三、解答题12．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3与其在点(0，－3)和点(3,0)处的切线所围成的图形的面积． 考点 求函数在某点处的切线方程题点 曲线的切线方程的应用解 如图，∵y ′＝－2x ＋4，∴y ′|x ＝0＝4，y ′|x ＝3＝－2.∴在点(0，－3)处的切线方程是y ＝4x －3，在点(3,0)处的切线方程是y ＝－2(x －3)． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝3， 得交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，3.所以由它们围成的图形面积为S ＝33222302[(43)(43)]d [2(3)(43)]d x x x x x x x x ---+-+----+-⎰⎰ ＝33222302d (69)d x x x x x +-+⎰⎰＝x 33320|＋⎝⎛⎭⎫x 33－3x 2＋9x 332|＝94. 13．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x 22－kx ln x ＋x 24. (1)若f (x )在定义域内单调递增，求实数k 的值；(2)若f (x )的极小值大于0，求实数k 的取值范围．考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数解 (1)依题意可知f ′(x )＝(x －k )(ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，可得x 1＝k ，x 2＝1e. 若x 1≠x 2，则在x 1，x 2之间存在一个区间，使得f ′(x )<0，不满足题意．因此x 1＝x 2，即k ＝1e. (2)当k <1e时，若k >0，则f ′(x )在⎝⎛⎭⎫k ，1e 上小于0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上大于0，若k ≤0，则f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上小于0，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上大于0， 因此x ＝1e 是极小值点，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝k e －14e 2>0，解得k >14e ，∴14e <k <1e. 当k >1e时，f ′(x )在⎝⎛⎭⎫1e ，k 上小于0，在(k ，＋∞)上大于0， 因此x ＝k 是极小值点，f (k )＝k 24(1－2ln k )>0， 解得k <e ，∴1e<k < e. 当k ＝1e时，f (x )没有极小值点，不符合题意． 综上可得，实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫14e ，1e ∪⎝⎛⎭⎫1e ，e .四、探究与拓展14．设函数f (x )＝ln x ＋m x (m ∈R )，若对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立，则实数m 的取值范围是 ．考点 数学思想方法在导数中的应用题点 转化与化归思想在导数中的应用答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a<1恒成立， 等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．设函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋m x－x ， 则h (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，即h ′(x )＝1x －m x2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m ≥－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x >0)恒成立， 得m ≥14， 所以实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 15．已知函数f (x )＝ln x －a (x －1)，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ≥1时，f (x )≤ln x x ＋1恒成立，求实数a 的取值范围．考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax x， 若a ≤0，则f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝1a， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． ∴当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)f (x )－ln xx ＋1＝x ln x －a (x 2－1)x ＋1， 令g (x )＝x ln x －a (x 2－1)，x ≥1，g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，令F (x )＝g ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，F ′(x )＝1－2ax x， ①若a ≤0，F ′(x )>0，g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增， g ′(x )≥g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意． ②若0<a <12，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，F ′(x )>0， ∴g ′(x )在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递增， 从而g ′(x )>g ′(1)＝1－2a >0，∴g (x )在⎣⎡⎭⎫1，12a 上单调递增，g (x )≥g (1)＝0，从而f (x )－ln x x ＋1≥0，不符合题意． ③若a ≥12，F ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g ′(x )在[1，＋∞)上单调递减，g ′(x )≤g ′(1)＝1－2a ≤0， 从而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )≤g (1)＝0，f (x )－ln x x ＋1≤0， 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.。
2018-2019学年人教A版数学选修2-2同步导学精品课件：第一章 导数及其应用1.2.2
• 『规律总结』 1．用导数的定义求导是求导数的基本方 法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求 导过程，降低运算难度． • 2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地 选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、 分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导． • 3．求函数在某点处的导数的步骤：先求导函数，再代′
x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12 x＋1－x－1 2 ＝ ＝ ； x＋12 x＋12 x－1 x＋1－2 2 解法 2：∵y＝ ＝ ＝1－ ， x＋1 x＋1 x＋1
2 2 2 1 － － ∴y′＝ ′＝ x＋1′＝x＋12． x ＋ 1
2x ②y＝ 2 ； x ＋1 2 ③y＝xsinx－cosx； ④y＝cos 2．
2x
初等函数经过四则运算得到的简单 函数，求导时，可直接利用导数的四 则运算法则进行求导．
[ 解析]
(1)∵f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex
∴f′(0)＝3． (2)①y′＝x′· ex＋x· (ex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex． 2x′x2＋1－2xx2＋1′ 2x2＋1－4x2 2－2x2 2x ②y′＝( 2 )′＝ ＝ ＝ 2 2 2 2 2 2． x ＋1 x ＋1 x ＋1 x ＋1 2 2sinx ③y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝sinx＋xcos－cos2x． 1＋cosx 1 1 ④y＝cos 2＝ 2 ＝2＋2cosx，
[ 解析]
(1)y′＝(x14)′＝14x13．
1 4 －4 －5 (2)y′＝ x4 ′＝(x )′＝－4x ＝－x5．
3 3 2 3 (3)y′＝( x )′＝(x5)′＝5x－5＝ ． 5 2 5 x 5
2018版高中数学人教A版选修2-2课件：1-3-2 函数的极值与导数
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
解:因为f(x)在x=-1时有极值0,
������'(-1) = 0, 且 f'(x)=3x +6ax+b,所以 ������(-1) = 0, 3-6������ + ������ = 0, ������ = 2, ������ = 1, 即 解得 或 -1 + 3������-������ + ������2 = 0, ������ = 9. ������ = 3
典例透析 题型一 题型二 题型三 题型四
3
【变式训练 1】 求函数 y=(x-1) x 2 的极值(������ > 0).
解:y'=
2 x3
2 + (������ 3
− ���-2 3 ������
3
.
令 y'=0,解得 x= , ������′不存在时,x=0. 所以函数只可能在这两点有极值. 当 x 变化时,y',y 的变化情况如下表: 2 2 2 x 0, ,+∞ 5 5 5 y' 0 + y ↘ 极小值 ↗
令 f'(x)=0,解得 x=e. 当 x 变化时,f'(x)与 f(x)的变化情况如下表: x (0,e) e (e,+∞) f'(x) + 0 f(x) ↗ ↘
1 e
故当 x=e 时函数取得极大值,且极大值为 f(e)= , 函数无极小值.
反思求函数的极值应注意以下几点: (1)在讨论可导函数f(x)在定义域内的极值时,若方程f'(x)=0的实 根较多时,应注意使用表格,使极值点一目了然. (2)讨论函数的性质要遵循定义域优先的原则.
2018版数学人教A版选修2-2学案：第二章 推理与证明 章末复习课 含答案 精品
学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．知识点一合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．知识点二演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．知识点三直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．知识点四数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．类型一 合情推理的应用例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}；…，试观察每组内各数之和f (n )(n ∈N *)与组的编号数n 的关系式为________． 答案 f (n )＝n 3解析 由于1＝13,3＋5＝8＝23，7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n 组内各数之和f (n )与组的编号数n 的关系式为f (n )＝n 3.(2)在平面几何中，对于Rt △ABC ，AC ⊥BC ，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则 ①a 2＋b 2＝c 2； ②cos 2A ＋cos 2B ＝1；③Rt △ABC 的外接圆半径为r ＝a 2＋b 22.把上面的结论类比到空间写出相类似的结论；试对其中一个猜想进行证明． 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a ，b ，c ，则这个四面体的外接球的半径为R ＝a 2＋b 2＋c 22.下面对①的猜想进行证明．如图在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，面ABC ，面ABD ，面ACD 为三个两两垂直的侧面．设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝a 2＋b 2，S Rt △ABC ＝12ab .同理，CD ＝b 2＋c 2，S Rt △ACD ＝12bc .BD ＝a 2＋c 2，S Rt △ABD ＝12ac .∴S △BCD ＝14[BC 2·BD 2－14(BC 2＋BD 2－CD 2)2]. 经检验，S 2Rt △ABC ＋S 2Rt △ACD ＋S 2Rt △ABD ＝S 2△BCD .即所证猜想为真命题．反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容，通过观察给定的规律，得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法．(2)类比推理重在考查观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． 跟踪训练1 (1)观察下列图形中小正方形的个数，则第n 个图形中有________个小正方形．(2)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则有性质“若S m ＝S n (m ，n ∈N *且m ≠n )，则S m ＋n ＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n }为等比数列时，写出一个正确的性质：________________. 答案 (1)n 2＋3n ＋22(2)数列{b n }为等比数列，T m 表示其前m 项的积，若T m ＝T n (m ，n ∈N *，m ≠n )，则T m ＋n ＝1 解析 (1)第1个图有3个正方形记作a 1， 第2个图有3＋3个正方形记作a 2， 第3个图有6＋4个正方形记作a 3， 第4个图有10＋5个正方形记作a 4， …，正方形的个数构成数列{a n }， 则a 2－a 1＝3， (1) a 3－a 2＝4, (2) a 4－a 3＝5, (3) ⋮⋮ a n －a n －1＝n ＋1，(n －1)(1)＋(2)＋…＋(n －1)，得a n －a 1＝3＋4＋5＋…＋(n ＋1)，a n ＝3＋(n －1)(4＋n )2＝n 2＋3n ＋22.类型二 综合法与分析法例2 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．证明 方法一 (综合法) 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，所以1ab ≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab≥4， 所以1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．方法二 (分析法)因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋a ＋bab ≥8，只需证(1a ＋1b )＋(1b ＋1a )≥8，即证1a ＋1b≥4.也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4.即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab≥2恒成立，所以原不等式成立．反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 已知x >0，y >0，求证：1222()x y +>1333()x y +. 证明 要证明1222()x y +>1333()x y +， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. 又x >0，y >0，∴x 2y 2>0， ∴只需证3x 2＋3y 2>2xy .∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ， ∴3x 2＋3y 2>2xy 成立， 故1222()x y +>1333()x y +.类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2或1＋yx <2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋yx <2都不成立，则有1＋x y ≥2和1＋yx ≥2同时成立．因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2. 这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2至少有一个成立．反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根． 证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法 例4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子2＋3＋4＝9 第三个式子3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.证明：①当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(2－1)2＝1，所以等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立， 即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1) ＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2 ＝[2(k ＋1)－1]2. 右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②知，等式对任意n ∈N *都成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1.(1)写出a 2，a 3，a 4； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)因为a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，所以a 2＝12a 1＋1＝12＋1＝32.a 3＝12a 2＋1＝12·32＋1＝74.a 4＝12a 3＋1＝12·74＋1＝158.(2)方法一 猜想a n ＝2n －12n －1.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1＝21－121－1＝1，满足上式，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，a k ＝2k －12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12a k ＋1＝12·2k－12k －1＋1＝2k －12k ＋1＝2k －1＋2k 2k ＝2k ＋1－12k，满足上式，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立，由①②可知，对于n ∈N *，都有a n ＝2n －12n －1.方法二 因为a n ＋1＝12a n ＋1，所以a n ＋1－2＝12a n ＋1－2，即a n ＋1－2＝12(a n －2)．设b n ＝a n －2，则b n ＋1＝12b n ，即{b n }是以b 1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以b n ＝b 1·q n －1＝－12n －1，所以a n ＝b n ＋2＝2n －12n －1.1．观察按下列顺序排序的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n (n ∈N *)个等式应为( ) A ．9(n ＋1)＋n ＝10n ＋9 B ．9(n －1)＋n ＝10n －9 C ．9n ＋(n －1)＝10n －1 D ．9(n －1)＋(n －1)＝10n －10 答案 B解析 由已知中的式子，我们观察后分析： 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号， 等式右边是一个等差数列． 根据已知可以推断：第n (n ∈N *)个等式为9(n －1)＋n ＝10n －9. 故选B.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋yb ＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋zca＝1C.xyab＋yzbc＋zxca＝1 D．ax＋by＋cz＝1答案 A解析∵在平面直角坐标系中，方程xa＋yb＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为xa＋yb＋zc＝1.故选A.3．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 4．如图，这是一个正六边形的序列：则第n个图形的边数为________．答案5n＋1解析图(1)共6条边，图(2)共11条边，图(3)共16条边，其边数构成以6为首项，5为公差的等差数列，则图(n)的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.5．用数学归纳法证明(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2n－1)(2n)2－2n(2n＋1)2]＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明当n＝1时，左边＝－14，右边＝－1·2·7＝－14，等式成立．假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)·(2k)2－2k(2k＋1)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)．那么当n＝k＋1时，(1·22－2·32)＋(3·42－4·52)＋…＋[(2k－1)(2k)2－2k(2k＋1)2]＋[(2k＋1)(2k＋2)2－(2k＋2)(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)－2(k＋1)[4k2＋12k＋9－4k2－6k－2]＝－(k＋1)[4k2＋3k＋2(6k＋7)]＝－(k＋1)[4k2＋15k＋14]＝－(k ＋1)(k ＋2)(4k ＋7)＝－(k ＋1)[(k ＋1)＋1][4(k ＋1)＋3]． 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．根据以上论证可知，等式对任何n ∈N *都成立．1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n ＝n 0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n ＝k 时，结论成立，推得当n ＝k ＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．课时作业一、选择题1．古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A ．n B.n (n ＋1)2C ．n 2－1 D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．非以上错误答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断．本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误． 3．用反证法证明命题：“a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b ＝1，c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数 C ．a ，b ，c ，d 全部大于等于0 D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数 答案 C解析 “a ，b ，c ，d 中至少有一个负数”的否定为“a ，b ，c ，d 全都大于等于0”． 4．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1)．故选A.5．设函数f (x )＝2x ＋1x－1(x ＜0)，则f (x )( ) A ．有最大值B ．有最小值C ．为增函数D ．为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值． 故选A.6．设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算?为：A i ?A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3，则满足关系式(x ?x )?A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 当x ＝A 0时，(x ?x )?A 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x ?x )?A 2＝A 0?A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x ?x )?A 2＝A 2?A 2＝A 0，成立．故选B.7．O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD 的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．二、填空题8．已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______． 答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .9．α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________．答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)10．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一 (补集法)令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0 即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二 (直接法)依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 三、解答题11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2－S n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值并写出其通项公式；(2)用三段论证明数列{a n }是等比数列．(1)解 由a n ＝2－S n ，得a 1＝1；a 2＝12；a 3＝14； a 4＝18，猜想a n ＝(12)n －1(n ∈N *)． (2)证明 对于通项公式为a n 的数列{a n }，若a n ＋1a n＝p ，p 是非零常数，则{a n }是等比数列，大前提因为通项公式a n ＝(12)n －1，又a n ＋1a n ＝12，小前提 所以通项公式为a n ＝(12)n －1的数列{a n }是等比数列．结论 12．设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 证明 I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca＝a 2＋b 2＋c 2＋2S .欲证3S ≤I 2<4S ，即证ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca .先证明ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2，只需证2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ，即(a －b )2＋(a －c )2＋(b －c )2≥0，显然成立；再证明a 2＋b 2＋c 2<2ab ＋2bc ＋2ca ，只需证a 2－ab －ac ＋b 2－ab －bc ＋c 2－bc －ca <0，即a (a －b －c )＋b (b －a －c )＋c (c －b －a )<0，只需证a <b ＋c ，且b <c ＋a ，且c <b ＋a ，由于a ，b ，c 为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3S ≤I 2<4S .13．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立． 证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立． 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0.又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立．四、探究与拓展14．设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________． 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x －ln x －1，则g ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x ，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 15．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *)．(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立．(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512.n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立．。
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用 1-3-2
解答
(2)求函数f(x)的极值.
a x－a 解 由 f′(x)＝1－x＝ x ，x>0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a. 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，
(2)极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的
函数值都大，f′(b)＝ ，而且在点x＝ b附近的左侧 ， f′ (x)>0 f′(x)<0 0 右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极大值点， 叫 f(b) 点b 做函数y＝f(x)的极大值. 极值 极值点 (3)极大值点、极小值点统称为 ；极大值、极小
由题意得f′(－1)＝1＋2＋a＝0， 解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1 处取得极大值.
出x＝0，但f(x)在R上是递增的，不满足在x＝0的左、右
两侧符号相反，故x＝0不是f(x)＝x3的极值点.
答案
梳理
(1)极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的
函数值都小，f′(a)＝ ，而且在点x＝a附近的左侧 f′(x)>0 ， f′(x)<0 0 右侧 ，就把 叫做函数y＝f(x)的极小值点， 叫 点a f(a) 做函数y＝f(x)的极小值.
值统称为
.
知识点二 函数极值的求法与步骤
(1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
①如果在 x0 附近的左侧函数单调递增，即 f′(x) ＞ 0 ，在 x0 的右