河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
河北省保定市部分高中2024届高三上学期期末数学试题含答案
2023-2024学年高三年级上学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合{}01A x x =≤≤，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅B.(]0,1 C.[)0,2 D.[]0,12.若虚数z 是关于x 的方程()220R x x m m -+=∈的一个根，且z =，则m =（）A.6B.4C.2D.13.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式((15)0)2x x f --<的解集为（）A .5(,2),42⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B.(4,)+∞ C.52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞-4.已知函数()3131-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则20231i i a ==∑（）A.0B.1C.675D.20235.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11m n+的值为（）A.710B.37C.47D.576.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为（）A.35500cmB.36000cmC.36500cmD.37000cm7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，12AP BC =，Q 为11A C 上一点，11112A Q A C =，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）A.72B.4C.92D.58.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤⎢⎣⎦B.14ln 23ln 2,122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .2ln 23,6-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知实数a ，b 11>，则（）A.0.20230.2023log log a b <B.33a b <C.11b b a a +>+ D.11ab ab ++的最小值为110.若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的渐近线方程为y = B.17PF =C.12F PF △的面积为 D.126cos 7F PF ∠=12.已知函数()32,0e 23,0x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为（）A.5B.6C.7D.8三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a______．14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.15.l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆223:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点,,,A B C D 满足3AB BC CD DA DB =====cm，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为_______2cm .四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11n n na a n -=-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,cos )m C C =，(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．（1）求角C 的值；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD，PD PC ==，122CB BA AD ===，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点.（1）求证：CE 面PAB ；（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值为13，求λ.20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）1.52≈；②若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，M 为椭圆C 上的一个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．22.已知()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈．（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；（2）设()()2g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．2023-2024学年高三年级上学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合{}01A x x =≤≤，1,12xB y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A.∅ B.(]0,1 C.[)0,2 D.[]0,1【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，后由交集定义可得答案.【详解】集合{}01A x x =≤≤，因12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()1,-+∞上单调递减，则{}02B y y =<<，得(]0,1A B = 故选：B ．2.若虚数z 是关于x 的方程()220R x x m m -+=∈的一个根，且z =，则m =（）A.6B.4C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】设复数i z a b =+，将其代入方程求得1a =，21m b =+，然后利用复数z =即可求解.【详解】依题意，设i z a b =+（,R a b ∈且0b ≠），代入方程220x x m -+=，得()()2i 2i 0a b a b m +-++=，整理得222(22)i 0b a m ab b a --++-=．所以2220220a b a m ab b ⎧--+=⎨-=⎩，解得211m b a ⎧=+⎨=⎩，因为z ==，即222a b +=，所以21,2b m ==．故选：C ．3.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，则不等式((15)0)2x x f --<的解集为（）A.5(,2),42⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.(4,)+∞ C.52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.(,2)-∞-【答案】C 【解析】【分析】依题意作函数图像，根据单调性和奇偶性求解.【详解】依题意，函数的大致图像如下图：因为()f x 是定义在R 上的偶函数，在[0,)+∞上单调递减，且(3)0f =，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且(3)0f -=，则当3x >或3x <-时，()0f x <；当33x -<<时，()0f x >，不等式((15)0)2x x f --<化为250(1)0x f x ->⎧⎨-<⎩或250(1)0x f x -<⎧⎨->⎩，所以25013x x ->⎧⎨->⎩或25013x x ->⎧⎨-<-⎩或250313x x -<⎧⎨-<-<⎩，解得4x >或x ∈∅或522x -<<，即522x -<<或4x >，即原不等式的解集为52,(4,)2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；故选：C.4.已知函数()3131-=+x x f x ，数列{}n a 满足11a =，()*3N n n a a n +=∈，()()1230f a f a a ++=，则20231i i a ==∑（）A.0B.1C.675D.2023【答案】B 【解析】【分析】利用函数计算可得1230a a a ++=，再利用数列的周期性可求20231ii a =∑.【详解】()f x 的定义域为R ，且()()31313131x x x x f x f x -----==-=-++，故()f x 为R 上的奇函数.而()2131x f x =-+，因31x t =+在R 上为增函数，21y t=-在()1,+∞为增函数，故()f x 为R 上的增函数.又()()1230f a f a a ++=即为()()123f a f a a =--，故1230a a a ++=，因为()*3Nn n a a n +=∈，故{}na 为周期数列且周期为3.因为20232022136741=+=⨯+，所以()202312320231167401ii aa a a a a ==+++=+=∑.故选：B.5.已知向量()2,3a =- ，()1,2b = ，()9,4c = ，若正实数m ，n 满足c ma nb =+ ，则11m n+的值为（）A.710B.37C.47D.57【答案】A 【解析】【分析】利用向量线性运算的坐标表示求得,m n ，从而得解..【详解】因为()2,3a =- ，()1,2b =，()9,4c = ，所以()()2,329,4c ma nb m n m n =+=+-+=，所以29324m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得25m n =⎧⎨=⎩，所以111172510m n ++==.故选：A.6.如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文.铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文字记载.“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量，该组合体的深度约为30cm ，上口的内径约为20cm ，圆柱的深度和底面内径分别约为20cm,16cm ，则“何尊”的容积大约为（）A.35500cmB.36000cmC.36500cmD.37000cm 【答案】C 【解析】【分析】根据圆柱以及圆台的体积公式计算，即可得答案.【详解】由题意可知圆台的高为302010(cm)-=，故组合体的体积大约为22216280ππ820π(881010)10657333⨯⨯+⨯+⨯+⨯=≈3(cm )，故选：C7.直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ===，P 为BC 中点，12AP BC =，Q 为11A C 上一点，11112A Q A C =，则经过A ，P ，Q 三点的平面截此三棱柱所成截面的面积是（）A.72B.4C.92D.5【答案】C 【解析】【分析】如图，在11B C 上取点M ，使得11114C M B C =，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则//QM AP ，利用线面垂直的判定定理与性质可得AP ⊥PM ，则截面为直角梯形APQM ，结合题意求出QM 、AP 、PM ，由梯形的面积公式计算即可求解.【详解】如图，在11B C 上取点M ，使得11114C M B C =，取11B C 的中点N ，连接1,QM A N ，则1//QM A N ，又1//AP A N ，所以//QM AP ，得A 、P 、M 、Q 四点共面，又AB AC =，P 为BC 的中点，所以⊥AP BC ，由1AP A A ⊥，得1AP BB ⊥，又11,BB BC B BB BC =⊂ 、平面11BCC B ，所以AP ⊥平面11BCC B ，由PM ⊂平面11BCC B ，得AP ⊥PM ，所以截面为直角梯形APQM ，且AB AC ⊥，得4BC ==，所以11111224QM A N AP BC ====，作MD BC ⊥于D ，则3PM ==，所以19)1((21)3222APQM S M AP PM Q +=⨯+⨯==梯形.故选：C ．8.若曲线ln 1y x =+与曲线23y x x a =++有公切线，则实数a 的取值范围（）A.2ln 233ln 2,62--⎡⎤⎢⎣⎦B.14ln 23ln 2,122--⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2ln 23,6-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.14ln 2,12-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a 关于切点x 的解析式，根据解析式的值域确定a 的范围.【详解】设()11,x y 是曲线ln 1y x =+的切点，设()22,x y 是曲线23y x x a =++的切点，对于曲线ln 1y x =+，其导数为'1y x=，对于曲线23y x x a =++，其导数为'21y x =+，所以切线方程分别为：()()1111ln 1y x x x x -+=-，()()()22222321y x x a x x x -++=+-，两切线重合，对照斜率和纵截距可得：21212121ln 3x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得()22212222213ln ln ln 2121a x x x x x x =+=+=-+++（212x >-），令()()2ln 21h x x x =-++（12x >-），()()()2'2121242220212121x x x x h x x x x x +-+-=-+===+++，得：12x =，当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()'0h x <，()h x 是减函数，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0h x >，()h x 是增函数，∴()min 11ln224h x h ⎛⎫==-⎪⎝⎭且当x 趋于12-时，，()h x 趋于+∞；当x 趋于+∞时，()h x 趋于+∞；∴13ln24a ≥-，∴14ln212a -≥；故选：D ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知实数a ，b11>，则（）A.0.20230.2023log log a b <B.33a b <C.11b b a a +>+D.11ab ab ++的最小值为1【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质可得0a b <<.结合对数函数、幂函数的单调性即可判断AB ；利用作差法计算即可判断C ；结合基本不等式计算即可判断D.11>可知0a >，0b >，由不等式的性质可知11a b>，则0a b <<．选项A ：因为对数函数.02023log y x =为减函数，0a b <<，所以0.20230.2023log log a b >，故A 错误；选项B ：由函数3y x =的单调性可知33a b <，故B 正确；选项C ：因为()()()()1110111b a a b b b b a a a a a a a +-++--==>+++，所以11b b a a +>+，故C 正确；选项D ：()11111111ab ab ab ab +=++-≥-=++，当且仅当111ab ab +=+，即0ab =时取得等号，显然等号不成立，故D 错误．故选：BC.10.若函数()πtan 238f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的定义域为5ππ,162k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C.()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D.()f x 的图象关于点π,016⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BC【解析】【分析】A 选项，由πT ω=求出最小正周期；B 选项，整体法得到()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，求出定义域；C 选项，得到ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，得到()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，整体法求解出函数的对称中心.【详解】A 选项，()f x 的最小正周期为ππ2ω==T ，A 错误；B 选项，由()ππ2π82x k k -≠+∈Z ，得()5ππ162k x k ≠+∈Z ，B 正确；C 选项，由π3π,1616x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得ππ20,84x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因为sin y z =在π40,z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在π3π,1616⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，C 正确；D 选项，由()ππ282k x k -=∈Z ，得()ππ164k x k =+∈Z ，当0k =时，π16x =，所以()f x 的图象关于点π,316⎛⎫⎪⎝⎭对称，D 错误.故选：BC 11.已知双曲线:C 22213x y a -=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线28y x =的焦点与双曲线C 的焦点重合，点P 是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线C 的渐近线方程为y =B.17PF =C.12F PF △的面积为D.126cos 7F PF ∠=【答案】AB【解析】【分析】先根据抛物线方程得出2F 的坐标，即c 的值，进而求出a ，得出双曲线的方程.即可得出A 项；联立双曲线与抛物线的方程，求出P 点坐标，即可求得1PF 的值，判断B 项、得出12F PF △的面积，判断C 项、求得2PF 的值，根据余弦定理，得出12cos F PF ∠的值，判断D 项.【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为()2,0，所以双曲线右焦点()22,0F ，即2c =.又23b =，所以2221a c b =-=，所以，双曲线的方程为2213y x -=.对于A 项，双曲线的C的渐近线方程为b y x a=±=，故A 项正确；对于B 项，联立双曲线与抛物线的方程222138y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，整理可得，23830x x --=，解得3x =或13x =-（舍去负值），所以3x =，代入28y x =可得，y =±.设(P ，又()12,0F -，所以17PF =，故B 项正确；对于C项，易知122211422F PF S F F =⨯⨯=⨯⨯= ，故C 项错误；对于D 项，因为25PF ==，所以，由余弦定理可得，22212121212cos 2PF PF F F F F P P P F F +⨯=-∠222754296275357+-==≠⨯⨯，故D 项错误.故选：AB.12.已知函数()32,0e 23,0x x f x x mx x ⎧>⎪=⎨⎪--≤⎩，若函数()()1g x f x =-恰有3个零点，则实数m 的值可以为（）A.5B.6C.7D.8【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根，再讨论0x >时可得有1个根，进而当0x ≤时，方程()1f x =有2个实数根，再构造函数()242(0)x x x xϕ=-<，求导分析单调性与最值即可.【详解】令()()10g x f x =-=，解得()1f x =，故问题转化为方程()1f x =恰有3个实数根.当0x >时，令21ex =，解得ln2x =，故当0x ≤时，方程()1f x =有2个实数根.令3231x mx --=，即324x mx -=，显然0x =不是该方程的根，242m x x ∴=-.令()242(0)x x x xϕ=-<，则()()()()322224141144x x x x x x x x xϕ'++-+=+==，故当1x <-时，()0x ϕ'<，当1x >-时，()0x ϕ'>，故当=1x -时，()x ϕ有极小值6，而x →-∞时，()x ϕ→+∞，当0x <，且0x →时，()x ϕ→+∞，故实数m 的取值范围为()6,+∞.故选：CD三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知0:p x ∃∈R ，200430x ax -+<，请写出一个使p 为假命题的实数a 的值，=a ______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】利用命题的否定来找到一个满足条件即可.【详解】由题意，:p x ⌝∀∈R ，2430x ax -+≥为真命题，当0a =时，224330x ax x -+=+≥恒成立，满足题意，故答案为：0（答案不唯一）.14.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为_________.【答案】13【解析】【分析】利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算.【详解】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为1333C A 18=种；（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为122332C C A 18=种，即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为181836n =+=.若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为12123232C A C A 12m =+=，故所求的概率为121363m P n ===.故答案为：1315.l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且与该抛物线交于,A B 两点，若8,AB P =为该抛物线上一点，Q 为圆223:(1)12C x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭上一点，则PF PQ +的最小值为__________.【答案】1-##1-+【解析】【分析】利用直线的点斜式方程写出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式，结合三点共线线段最小及两点间的距离公式即可求解.【详解】由题可知直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，则由222p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩,消去y ，整理得22122030x px p -+=，，所以1253p x x +=，所以1258833p p AB x x p p =++=+==，解得3p =，所以3,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而圆C 的圆心3,12C ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为1PF PQ QF CF CQ CF +≥≥-=-，当且仅当点,,,C Q P F 在同一条直线上取等号，且点Q 位于点,C P 之间，如图所示：又CF ==所以PF PQ +1.1-.16.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某“鞠”的表面上有四个点,,,A B C D满足3AB BC CD DA DB =====cm ，AC =cm ，则该“鞠”的表面积为_______2cm .【答案】112π9【解析】【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.【详解】取BD 的中点E ，连接,AE CE ，因为3AB BC CD DA DB =====cm ，所以3BE DE ==cm 且,CE BD AE BD ⊥⊥，故m 3c 2CE AE ===，因为AC =，所以22244121cos 22222AE CE AC AEC AE CE +-+-∠===-⋅⨯⨯，故120AEC ∠=︒，在CE 上取点F ，使得2CF EF =，则点F 为等边BCD △的中心，则m 24,3cm c 3EF CF ==，设点O 为三棱锥A BCD -的外接球球心，则OF ⊥平面BCD ，连接,OA OC ，设外接球半径为cm r ，则cm OA OC r ==，过点A 作AP ⊥CE ，交CE 延长线于点P ，则60AEP ∠=︒，由于O 在平面ACE 中，故//AP OF ，故AP ⊥平面BCD ，过点O 作OH ⊥AP 于点H ，则,OH PF PH OF ==，m cos 0c 61PE AE =︒=，m sin 06AP AE =︒=，25133PF PE EF =+=+=()cm ，故cm 53OH PF ==，设OF PH h ==，则AH AP HP h =-=，由勾股定理得)2222259AO AH OH h =+=+，2222169OC OF CF h =+=+，故)22251699h h +=+，解得cm 233h =，故22231628399r ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故该“鞠”的表面积为22281124π4ππ9cm 9r =⨯=.故答案为：112π9四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①11n n n a a n -=-()2n ≥且11a =；②22n S n n =+；③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：（1）已知数列{}n a 满足______，求{}n a 的通项公式；（2）已知正项等比数列{}n b 满足12b a =，2312b b +=，求数列2212log log n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）n a n=（2）21n n T n =+【解析】【分析】（1）若选①，由已知可推得11n n a a n n -=-，进而得出数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，从而得出n a n =；若选②，由已知推得222n n n S =+，进而根据n a 与n S 的关系，即可推得n a n =；若选③，根据等差中项的性质，可推得数列{}n a 是等差数列.然后由已知求得1d =，即可得出n a n =.（2）根据已知可求出2n n b =，然后根据对数运算以及裂项化简可得2212112log log 1n n b b n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，然后相加即可得出n T .【小问1详解】若选①11n n n a a n -=-()2n ≥且11a =由11n n n a a n -=-可得11n n a a n n -=-.又111a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，且1n a n =，所以n a n =.若选②22n S n n=+由已知22n S n n =+可得，222n n n S =+.当1n =时，有21111122a S ==+=；当2n ≥时，有222n n n S =+，()211122n n n S ---=+，两式作差可得，()221112222n n n n n n S S n --=+----=，所以n a n =.又11a =满足，所以n a n =.若选③2120n n n a a a +++-=且11a =，33a =由2120n n n a a a +++-=可得，212n n n a a a +++=，所以，数列{}n a 是等差数列.又11a =，33a =，所以3122a a d -==，所以1d =，所以()1111n a a n d n n =+-=+-=.【小问2详解】由（1）知，n a n =，所以22a =.设等比数列{}n b 公比为q ()0q >，由已知可得12223112120b a b b b q b q q ==⎧⎪+=+=⎨⎪>⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以112n n n b b q -==.所以()221122222112log log log log 1221n n n n b b n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅⋅++⎝⎭，所以1111121222231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ +⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.18.已知锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(sin ,cos )m C C = ，(2sin cos ,sin )n A B B =-- ，且m n ⊥ ．（1）求角C 的值；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．【答案】（1）π6C =（2）(32++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C ；（2）法一：将,b c 用A 的三角函数表示出来，结合ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A 求周长范围；法二：首先得到3b ⎫∈⎪⎪⎭，再用b 表示周长，利用函数的单调性求范围.【小问1详解】sin (2sin cos )cos sin m n C A B C B ⋅=--=2sin sin (sin cos cos sin )0C A C B C B -+=，（法一）2sin (cos cos )0a C c B b C -+=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，∴2sin 0a C a -=，则1sin 2C =，又ABC 为锐角三角形，故π6C =.（法二）则2sin sin sin()2sin sin sin 0C A C B C A A -+=-=，sin 0A ≠，∴1sin 2C =，且ABC 为锐角三角形，故π6C =.【小问2详解】52sin πsin cos cos 6sin sin sin sin A a B A A A b A A AA⎛⎫- ⎪+⎝⎭====，sin 1sin sin a C c A A ==，由于ABC 为锐角三角形，则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且5ππ062C A <=-<，解得ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ，（法一）周长cos 1cos 122sin sin sin A A l a b c A A A+=++=+++=++22cos 12222cossin tan222A A AA =+=+，而ππ,264A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan ,123A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1tan 2A ∈，故ABC 的周长l 的取值范围为(32++．（法二）由上433b ⎫∈⎪⎪⎭，由余弦定理得c ==周长2l a b c b =++=++，记()2f b b =++，则()f b 在433⎫⎪⎪⎭单调递增，∴ABC 的周长l 的取值范围为(32++．19.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PDC ⊥平面ABCD ，PD PC ==，122CB BA AD ===，AD CB ，90BAD ∠=，E 为PD 中点.（1）求证：CE 面PAB ；（2）点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P －CD －Q 余弦值为13，求λ.【答案】（1）答案见解析；（2）34λ=【解析】【分析】（1）取PA 中点为F ，连接EF ，FB .通过证明EC FB ，可得CE 面PAB.（2）如图建立以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，由(01)PQ PA λλ=<<，可得()131,CQ λλ=+--，后分别求出平面PCD 法向量1n ，平面CDQ 法向量2n ，则121313cos ,n n=，据此可得答案.【小问1详解】取PA 中点为F ，连接EF ，FB .因E ，F 分别为PD ，PA 中点，则12,EF DA BC EF DA BC == ，即四边形ECBF 为平行四边形，则∥EC FB ，又EC ⊄平面PAB ，FB ⊂平面PAB ，则CE 面PAB ；【小问2详解】取CD 中点为G ，因PD PC =，则PG CD ⊥.又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD CD =，PG ⊂平面PDC ，则PG ⊥平面ABCD .过C 点作BA 平行线，交AD 于M .因,CB CM ⊂平面ABCD ，则PG ⊥,CB PG CM ⊥.过C 做PG 平行线CN ，则以C 为原点，CM 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CN 所在直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系.则()()()000220220,,,,,,,,.C D A -注意到CD =，则PG =(11,P -.则(13,,PA =，(11,CP =- ，()2,2,0CD =-，()131,CQ CP PQ CP λPA λλ=+=+=+--.设平面PCD 法向量为()1111,,n x y z =，则11111110220n CP x y n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取()1110,,n = ；设平面CDQ 法向量为()2222,,n x y z = ，则()())222222213110220n CQ x y z n CD x y λλλ⎧⋅=++-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令221x y ==，则()22410λλz z +-=⇒=211,n ⎛⎫ = ⎝ .因二面角P －CD －Q余弦值为13，则12121213cos ,n n n n n n ⋅===⋅，()()28189043230λλλλ=⇒-+=⇒--=.又01λ<<，则34λ=..20.全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x （单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．（1）求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间中点值代表）．（2）由直方图可认为农户家庭年收入X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为ξ，求()3P ξ≤．（结果精确到0.001）2.3 1.52≈；②若()2,X Nμσ ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=；③40.841350.501≈．【答案】（1）8x =，2 2.3s =（2）①317户；②(3)0.499P ξ≤≈【解析】【分析】（1）由平均数和方差的计算公式求解即可；（2）①根据正态分布的对称性得出(9.52)P X ≥，进而得出所求户数；②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.【小问1详解】这2000户农户家庭年收入的样本平均数50.160.1570.280.390.2100.18x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.这2000户农户家庭年收入的样本方差22222220.1(3)0.15(2)0.2(1)0.300.210.12 2.3s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】①农户家庭年收入X 近似服从正态分布(8,2.3)N .因为89.52+≈，所以()(9.52)0.50.50.341350.158652P x P X μσμσ-<<+≥=-=-=.因为20000.15865317.3317⨯=≈，所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.②年收入不超过9.52万元的农户家庭数ξ服从二项分布(4,0.84135)B ξ .所以444(3)1(4)1C (0.84135)10.5010.499P P ξξ≤=-==-≈-=.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，M 为椭圆C 上的一个动点，且点M 到右焦点2F 距离的最大值为2+．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，当1F AB 的面积最大时，求此时直线l 的方程．【答案】（1）2214x y +=（2）0x -=或0x -=．【解析】【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得32c a =、2a c +=+，结合222a b c =+求出a 、b 即可求解；（2）设直线l 的方程为x my =11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立椭圆方程，利用韦达定理表示12y y +、12y y ，根据弦长公式表示1F AB S ，结合基本不等式计算即可求解.【小问1详解】椭圆C的离心率为2c a =，又点M 到右焦点2F距离的最大值为2+，即2a c +=解得2a =，c =又由222a b c =+，可得1b =．∴椭圆C 的方程为：2214x y +=．【小问2详解】由题意，设直线l的方程为x my =+联立221,4x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(4)10m y ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122234y y m -+=+，12214y y m =-+，1122112F AB S F F y y =-=△2==，当且仅当=m =时取等号．∴所求直线l的方程为0x +=或0x -=．22.已知()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈．（1）求()f x 在点()()π,πP f 的切线方程；（2）设()()2g x f x x =-，()0,2πx ∈，判断()g x 的零点个数，并说明理由．【答案】（1）π(1e )(π)y x =--（2）存在唯一零点，理由见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可；（2）先根据题意得到2()(e 1)sin x g x x x =--，再分[π,2π)x ∈，π[,π)2x ∈，π(0,2x ∈三种情况讨论，结合构造函数，二次求导，零点存在性定理即可得到结论．【小问1详解】由()()e 1sin =-xf x x ，()0,2πx ∈，则()e (sin cos )cos x f x x x x +-'=，所以π(π)e 1f =-+'，()0f π=，所以()f x 在点()()π,πP f 的切线方程为π(1e )(π)y x =--．【小问2详解】依题意得2()(e 1)sin x g x x x =--，①当[π,2π)x ∈时，因为(e 1)sin 0x x -≤，20x -<，所以()0g x <，即()g x 无零点；②当π[,π)2x ∈时，()e (sin cos )cos 2x g x x x x x =+--'，()2e cos sin 2x g x x x '+'=-，因为2e cos 0x x ≤，sin 20x -<，所以()0g x ''<，即()g x '在π[,π)2上递减，令()2=e 1x x x ϕ--，[)1,x ∞∈+，则()=e 2x x x ϕ'-，()=e 20xx ϕ'-'>，所以()x ϕ'在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 20x x ϕϕϕ''-'≥>，所以()2=e 1x x x ϕ--在[)1,+∞上单调递增，则()()()min =1=e 110x x ϕϕϕ≥-->，所以当π2x =，2π2ππ=e 1022ϕ⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即π22πe 104-->；当πx =，()π2π=e π10ϕ-->，即π22e π1π>+>，即π2e π>，则π2π(e π02g ='->，π(π)e 12π0g '=-+-<，所以存在0π(,π)2x ∈，使得()g x 在0π(,)2x 上递增，在0(,π)x 上递减，又π22ππ()e 1024g =-->，所以0π()()02g x g >>，而2(π)π0g =-<，所以()g x 在π[,π)2上存在唯一零点；③当π(0,2x ∈时，设()()h x g x ''=，则()2e (cos sin )cos x h x x x x =-+'，()4e sin sin x h x x x =--''，因为()4e sin sin 4e sin 10x xx x x --=-+<，所以()0h x ''<，即()h x '在π(0,)2上递减，又(0)30h '=>，π2π()2e 02h =-<'，所以存在1π(0,)2x ∈，使得()g x ''在1(0,)x 上递增，在1π(,)2x 上递减，又(0)0g ''=，π()102g =-'<'，所以存在2π(0,)2x ∈，使得()g x '在2(0,)x 上递增，在2π(,)2x 上递减，又(0)0g '=，π2π()e π02g ='->，所以()g x 在π(0,)2上递增，所以()(0)0g x g >=，所以()g x 在π(0,)2上无零点，综上可知，()g x 在(0,2π)上存在唯一零点．【点睛】关键点点睛：涉及函数零点问题，利用导函数研究函数的单调性，极值和最值情况，结合零点存在性定理是解答这类题的关键．。
2023-2024学年河北省衡水中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知命题p：∀x＞0，都有（x+1）e x＞1．则￢p为（）A．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1D．∀x＞0，总有（x+1）e x≤12．函数f（x）＝的定义域是（）A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）3．若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜04．已知，则＝（）A．B．C．D．5．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量r n满足函数模型，其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．14次B．15次C．16次D．17次6．函数y＝（1﹣a）x与y＝log a x（其中a＞1）的图象只可能是（）A．B．C．D．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，则不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）8．若关于x的方程（sin x+cos x）2+cos2x＝m在区间[0，π）上有两个根x1，x2，且|x1﹣x2|，则实数m的取值范围是（）A．[0，2）B．[0，2]C．[1，]D．[1，）二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.）9．已知a＞b＞0，a+b＝1，则（）A．B．C．2a﹣b＜2D．log2（ab）＞﹣210．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11．若a＞b＞1，x＝log a b，y＝log b a，z＝a b，则下列结论一定正确的是（）A．x＜y B．y＜z C．x＜z D．y＞z12．已知函数f（x）＝1+2cos x cos（x+2φ）是偶函数（0，π），则下列关于函数g（x）＝cos（2x﹣φ）（）A．g（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣B．g（x）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到C．点是g（x）的图象的一个对称中心D．是g（x）的一个单调递增区间三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝．14．设m，n∈R+且m+n＝1，则最小值为．15．已知函数，现将该函数图象先向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数g（x），已知函数g（x）在区间，则ω的取值范围是．16．已知函数，给出下列三个结论：①当a＝﹣2时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f（x）1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正确结论的序号是．四、解答题：本题共6小题，70分，其中第17题10分，其余均12分.17．（10分）记不等式a﹣x≤0（a∈R）的解集为A，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为B．（Ⅰ）当a＝1时，求A∪B；（Ⅱ）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+cos2x﹣sin2x+a（x∈R）的最大值为5．（Ⅰ）求a的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．19．（12分）已知函数的部分图像如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变（x）的图像，求函数y＝g （x）上的最大值及函数取最大值时相应的x值．20．（12分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax﹣1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）＝．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x），并解不等式f（x）＜﹣1．①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）是奇函数．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．（12分）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中J0（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，J b （单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．（1）求h的值；（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：lg2≈0.30102023-2024学年河北省衡水中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知命题p：∀x＞0，都有（x+1）e x＞1．则￢p为（）A．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1D．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0x＞1．则￢p为∃x3＞0，使得（x0+4）≤1．故选：B．2．函数f（x）＝的定义域是（）A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）解：要使函数有意义，则，即，即x≥﹣2且x≠1，即函数的定义域为[﹣4，1）∪（1，+∞）故选：C．3．若α为第四象限角，则（）A．cos2α＞0B．cos2α＜0C．sin2α＞0D．sin2α＜0解：α为第四象限角，则﹣+2kπ＜α＜6kπ，则﹣π+4kπ＜2α＜8kπ，∴2α是第三或第四象限角或为y轴负半轴上的角，∴sin2α＜3，故选：D．4．已知，则＝（）A．B．C．D．解：因为，所以．故选：A．5．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/m3，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.21g/m3，第n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量r n满足函数模型，其中r0为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，r1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/m3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．14次B．15次C．16次D．17次解：依题意，r0＝2.25，r4＝2.21，当n＝1时，7.25+t＝1，可得t＝﹣0.25，于是，由r n≤0.25，得30.25（n﹣1）≥50，即，则 ，又n∈N*，因此n≥16，所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．故选：C．6．函数y＝（1﹣a）x与y＝log a x（其中a＞1）的图象只可能是（）A．B．C．D．解：对于A，因为a＞1，其图象应下降；对于B，a＞1时，y＝log a x为（6，+∞）上增函数；对于C，a＞1时a x为（0，+∞）上增函数；对于D，a＞3时a x为（0，+∞）上增函数．故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，则不等式f（2x﹣1）＞f（x+1）（）A．（0，2）B．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，∴不等式f（2x﹣3）＞f（x+1）等价为f（|2x﹣3|）＞f（|x+1|），即|2x﹣4|＜|x+1|，平方得4x6﹣4x+1＜x5+2x+1，即5x2﹣6x＜6，即3x（x﹣2）＜8，得0＜x＜2，即不等式的解集为（7，2），故选：A．8．若关于x的方程（sin x+cos x）2+cos2x＝m在区间[0，π）上有两个根x1，x2，且|x1﹣x2|，则实数m的取值范围是（）A．[0，2）B．[0，2]C．[1，]D．[1，）解：关于x的方程（sin x+cos x）2+cos2x＝m在区间[5，π）上有两个根x1，x2，方程即sin8x+cos2x＝m﹣1，即sin（6x+，∴sin（2x+）＝ ，π）上有两个根x1，x6，且|x1﹣x2|．∵x∈[0，π）∈[，）≤≤，求得5≤m≤2，故选：B．二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.）9．已知a＞b＞0，a+b＝1，则（）A．B．C．2a﹣b＜2D．log2（ab）＞﹣2解：对于A，，且a≠b，故A正确；对于B，（a+b）4＝a2+b2+8ab≤2（a2+b4），又因为（a+b）2＝1，所以，又a≠b等号不成立；对于C，因为a＞b＞0，所以b＝1﹣a，可得，，所以4＜a﹣b＜1，因为y＝2x在x∈R是单调递增函数，所以4a﹣b＜2，故C正确；对于D，，因为y＝log2x在x＞2是单调递增函数，所以，故D错误．故选：ABC．10．已知θ∈（0，π），，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．解：∵，∴两边平方得：2+2sinθcosθ＝，∴，∴sinθ与cosθ异号，又∵θ∈（4，∴，∴sinθ＞cosθ，∴，∴，又∵，∴，，故选：ABD．11．若a＞b＞1，x＝log a b，y＝log b a，z＝a b，则下列结论一定正确的是（）A．x＜y B．y＜z C．x＜z D．y＞z解：由a＞b＞1，则0＝log a2＜log a b＜log a a＜1，即0＜x＜8，∵x＝log a b，y＝log b a，∴，所以y＞x，∵z＝a b＞a5＝a＞1，所以z＞x，取a＝4，b＝6，∵y＝log24＝8，z＝42＝16，此时z＞y，取a＝3，b＝，∵，，此时z＜y，y的大小不定．故选：AC．12．已知函数f（x）＝1+2cos x cos（x+2φ）是偶函数（0，π），则下列关于函数g（x）＝cos（2x﹣φ）（）A．g（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣B．g（x）的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到C．点是g（x）的图象的一个对称中心D．是g（x）的一个单调递增区间解：由f（﹣x）＝f（x）得2cos（﹣x）cos（﹣x+2φ）＝2cos x cos（x+2φ），所以cos（﹣x+2φ）＝cos（x+2φ）恒成立，得x＝2φ是曲线y＝cos x的对称轴，所以2φ＝kπ（k∈Z），由φ∈（4，，x∈[﹣，]，7x∈[，]，∴g（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣；f（x）＝1+2cos x cos（x+π）＝4﹣2cos2x＝﹣cos6x，函数f（x）的图象向左平移，可得y＝﹣cos2（x+）＝sin2x，函数g（x）＝cos（2x﹣）＝sin2x；x＝，g（x）＝sin3x＝1不是g（x）的图象的一个对称中心；x＝，g（x）＝sin2x＝7不是g（x）的一个单调递增区间；故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）＝，则f（f（﹣1））＝﹣4．解：因为f（x）＝，所以f（﹣2）＝2﹣1＝，则f（f（﹣1））＝f（）＝1﹣8＝﹣4．故答案为：﹣4．14．设m，n∈R+且m+n＝1，则最小值为9．解：因为＝，当且仅当，即n＝时取等号．故答案为：9．15．已知函数，现将该函数图象先向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数g（x），已知函数g（x）在区间，则ω的取值范围是．解：＝sinωx（1+sinωx）﹣sin5ωx＝sinωx，由题意，．当时，由ω＞4，则．若g（x）在上单调递增，则，可得不等式组．若g（x）在上单调递减，则，可得不等式组，解得，由，解得，则k＝0，则．综上，ω的取值范围为．故答案为：．16．已知函数，给出下列三个结论：①当a＝﹣2时，函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1）；②若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，+∞）；③若a＜1且a≠0，则∃b∈R，使得函数y＝f（x）1，x2，x3，且x1x2x3＝﹣1．其中，所有正确结论的序号是②③．解：对于①，当a＝﹣2时，0]单调递减，5）上单调递减，1）不单调递减；对于②，因为y＝|lnx|≥0，x≤2，此时函数的最小值为0；当a＞0时，y＝ax+5在（﹣∞，没有最小值，y→﹣∞；当a＜0时，y＝ax+1在（﹣∞，最小值为5；若函数f（x）无最小值，则a的取值范围为（0，②正确；对于③，令f（x）﹣b＝0，ax+4＝b，|lnx|＝b；不妨设x1≤0＜x3＜x3，若函数有三个零点，则x1＝≤0，x2＝e﹣b，x4＝e b，则x2x3＝6．令x1＝＝﹣3．a＜0时，b＝1﹣a＞21x2x7＝﹣1．0＜a＜4时，1＞b＝1﹣a＞51x2x4＝﹣1．综上可得：③正确．故答案为：②③四、解答题：本题共6小题，70分，其中第17题10分，其余均12分.17．（10分）记不等式a﹣x≤0（a∈R）的解集为A，不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为B．（Ⅰ）当a＝1时，求A∪B；（Ⅱ）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）由a﹣x≤0得，x≥a，由x2﹣2x﹣3＞0得，x＜﹣6或x＞3，或x＞3}，当a＝7时，A＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≥1，或x＜﹣8}；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A＝{x|x≥a}，∁R B＝{x|﹣1≤x≤3}，∵A∩∁R B≠∅，∴a≤6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，3]．18．（12分）已知函数f（x）＝2sin x cos x+cos2x﹣sin2x+a（x∈R）的最大值为5．（Ⅰ）求a的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．解：（Ⅰ）f（x）＝2sin x cos x+cos6x﹣sin2x+a＝sin3x+cos2x+a＝2sin（7x+，∵f（x）的最大值为5，∴2+a＝5，得a＝3．f（x）的最小正确为T＝＝π．（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+即函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]19．（12分）已知函数的部分图像如图所示：（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变（x）的图像，求函数y＝g （x）上的最大值及函数取最大值时相应的x值．解：（1）如图可知，，∴．∵f（）＝7sin（2×，由五点作图法可得2×，∴，即函数解析式为；（2）根据图象变换原则得，∵，∴，∴，当，即时，函数g（x）在．20．（12分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax﹣1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）＝．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上有解，求实数k的取值范围．解：（1）g（x）的对称轴为在直线x＝1，开口向上，∴g（x）在区间[2，6]上是增函数，∴，解得．（2）由（1）可得f（x）＝x+﹣8，∴f（2x）＝2x+﹣2，∵f（4x）﹣k•2x≥0，即，∴，令＝t2﹣4t+1，∵x∈[﹣1，4]，4]2﹣2t+7＝（t﹣1）2，则h（t）在[，2]上先减后增，∵h（）＝，∴h（t）max＝h（2）＝1，∴k≤1．21．（12分）已知函数f（x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x），并解不等式f（x）＜﹣1．①函数f（x）是偶函数；②函数f（x）是奇函数．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：若选择①：函数f（x）是偶函数，函数f（x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x）的定义域为（﹣8，1），∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣）＝f（）+klg+klg，经检验知，k＝1符合题意，∵f（x）＝lg（4+x）+lg（1﹣x）＝lg（1﹣x3），∴f（x）＜﹣1⇔lg（1﹣x6）＜lg⇔1﹣x8＜，∴﹣1＜x＜﹣或＜x＜1，∴不等式f（x）＜﹣5的解集为（﹣1，﹣）∪（．若选择②：函数f（x）是奇函数．函数f（x）＝lg（1+x）+klg（1﹣x）的定义域为（﹣2，1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣）＝﹣f（）+klg+klg），经检验知，k＝﹣1符合题意，∵f（x）＝lg（5+x）+lg（1﹣x）＝lg，∴f（x）＜﹣1⇔lg＜lg⇔＜，∴﹣1＜x＜﹣，∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1，﹣）．22．（12分）随着科技的发展，手机上各种APP层出不穷，其中抖音就是一种很火爆的自媒体软件，记录美好生活的视频平台．在大部分人用来娱乐的同时，部分有商业头脑的人用抖音来直播带货，抖音上商品的价格随着播放的热度而变化．经测算某服装的价格近似满足：，其中J0（单位：元）表示开始卖时的服装价格，J（单位：元）表示经过一定时间t（单位：天）后的价格，J b （单位：元）表示波动价格，h（单位：天）表示波动周期．某位商人通过抖音卖此服装，开始卖时的价格为每件120元，服装价格降到70元每件时需要10天时间．（1）求h的值；（2）求服装价格降到60元每件时需要的天数．（结果精确到整数）参考数据：lg2≈0.3010解：（1）由题意，得J＝20+100×，J＝70＝70，h＝10；（2）令J＝60，即20+100×，解得﹣7）≈11天．。
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷+答案解析(附后)
2023年河北省衡水中学高考数学模拟试卷1. 已知全集，，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，，若z在复平面上对应的点在第三象限，则( )A. 4B.C.D.3.已知等差数列的前n项和为，，则( )A. 66B. 78C. 84D. 964. 条件p：，，则p的一个必要不充分条件是( )A. B. C. D.5. 函数的部分图象大致是( )A. B. C. D.6. 在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知抛物线C：过点，动点M，N为C上的两点，且直线AM 与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为，且过C的焦点F，l把分成面积相等的两部分，则直线MN的方程为( )A. B.C. D.8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球与内切球的研究.其中的一些研究思想启发着后来者的研究方向.已知正四棱锥的外接球半烃为R，内切球半径为r，且两球球心重合，则( )A. 2B.C.D.9. 统计学是源自对国家的资料进行分析，也就是“研究国家的科学”.一般认为其学理研究始于希腊的亚里士多德时代，迄今已有两千三百多年的历史.在两千多年的发展过程中，将社会经济现象量化的方法是近代统计学的重要特征.为此，统计学有了自己研究问题的参数，比如：均值、中位数、众数、标准差.一组数据：，，⋯，记其均值为m，中位数为k，标准差为s，则( )A.B.C.新数据：，，，⋯，的标准差为D.新数据：，，，⋯，的标准差为2s10. 已知，，且满足，则的取值可以为( )A. 10B. 11C. 12D. 2011. 圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，则( )A. r的取值范围是B. 若，矩形ABCD的面积为C. 若，矩形ABCD的对角线所在直线是E的渐近线D. 存在，使四边形ABCD为正方形12. 已知函数的导函数为，则( )A. 有最小值B. 有最小值C. D.13. 已知角终边上有一点，则______ .14. 甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为假定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下是等可能的，则甲、乙各胜一局的概率为______ .15. 已知函数的部分图像如图所示，在区间内单调递减，则的最大值为______ .16. 如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD为菱形，，，，且平面ABCD，四边形BEFG是正方形，则______ ；异面直线AG与DE所成角的余弦值为______ .17. 已知数列满足，且，求证：是等比数列，并求的通项公式；若数列的前n项和为，求使不等式成立的n的最小值.18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求的最小值；若M为的重心，，求19. 第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会.为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A社区参加市亚运知识竞赛.已知A社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响.求这3人中至多有2人通过初赛的概率；求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；某品牌商赞助了A社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元.若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好.20. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是平行四边形，，，AD与平面所成的角为求；求二面角的余弦值.21. 如图，已知椭圆的右顶点为A，下顶点为B，且直线AB的斜率为，的面积为1，O为坐标原点.求C的方程；设直线l与C交于，两点，且，N与B不重合，M与C的上顶点不重合，点Q在线段MB上，且轴，AB平分线段QN，点到l的距离为d，求当d取最大值时直线MN的方程.22. 已知函数证明：当时，为增函数；若有3个零点，求实数a的取值范围，参考数据：，答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为，，所以，又因为，所以则故选：求出集合M、N，再利用并集和补集的定义，即可求解．本题主要考查交集、补集的混合运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：因为，则，解得，因为复数z在复平面上对应的点在第三象限，则，解得，因此，故选：利用复数的除法化简复数z，利用复数的模长公式以及复数的几何意义可求得实数a的值．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由可得，整理可得，所以，则故选：设等差数列的首项为，公差为d，结合题意可得，结合等差数列的性质代入等差数列的前n项和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：若，使得，则，可得，则，因为函数在上单调递减，在上单调递增，且，故当时，，即p：，所以p的一个必要不充分条件是故选：对于命题p，由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，可得出实数a的取值范围，再利用必要不充分条件的定义可得出合适的选项．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，因为，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项．故选：分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项．本题主要考查了函数的奇偶性在函数图象判断中的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：取PQ的中点N，则，可得，，当且仅当N在线段AM上时，等号成立，故，显然当时，取到最小值，，故故选：根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果．本题主要考查了向量的线性表示及向量数量积的性质的应用，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：因为抛物线C：过点，所以，解得：，所以，设，，直线MN：，代入中整理得，所以，，所以，即，则，解得：，所以直线MN：，直线l的斜率为，且过C的焦点，所以l：，则到直线l的距离为，所以l把分成面积相等的两部分，因为直线l与直线MN平行，所以到直线l：的距离为到直线MN：距离的，，解得：或舍去所以直线MN的方程为故选：由题意求出抛物线方程为，设，，直线MN：，联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由，可求出，再求出直线l的方程，由题意可转化为到直线l：的距离为到直线MN：距离的，代入求解即可得出答案．本题主要考查了抛物线的性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：设底面正方形ABCD的对角线长为2a，高为h，，正方形的中心为O，外接球的球心为，则有即，在中，，①，②，以O为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则有，，设平面PCD的一个法向量为，则有，即，令，解得，，设向量与平面PCD的夹角为，则，球心到平面PCD的距离，，由①得，即③，故设，则③可整理成，两边平方得，，由①②得故选：正四棱锥的外接球和内接球球心重合，说明其结构特殊，找出结构的特殊性，再计算．本题主要考查了正四棱锥的外接球和内切球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．9.【答案】AD【解析】解：对于A选项，因为，样本数据最中间的项为，由中位数的定义可知，A对；对于B选项，不妨令，则，B错；对于C选项，数据，，，⋯，的均值为，方差为，所以，数据，，，⋯，的标准差为s，C错；对于D选项，数据，，，⋯，的均值为，其方差为，所以，新数据：，，，⋯，的标准差为2s，D对．故选：利用中位数的定义可判断A选项；取，可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项．本题主要考查了均值、中位数和标准差的计算公式，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确．故选：根据条件及基本不等式可得，进而即得．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．11.【答案】BD【解析】解：对于选项A，双曲线的顶点坐标为，渐近线方程为，因为圆O：与双曲线交于A，B，C，D四点，所以，故A错误；对于选项B，C，当时，圆O：，联立方程，解得，所以或或或，不妨令，，，，所以，，所以，则，所以AC：，故不是双曲线的渐近线，即B正确，C错误；对于选项D，若四边形ABCD为正方形，不妨设A为第一象限内的交点，设，，由，解得，又，所以，所以当时，使四边形ABCD为正方形，故D正确；故选：首先求出双曲线的顶点坐标与渐近线方程，即可判断A，对于B、C，求出交点坐标，即可判断B、C，设，求出m、r，即可判断本题主要考查了双曲线的性质，考查了圆与双曲线的综合问题，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：由于函数的导函数为，则，又得其导函数为，故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；当时，，，，故；当时，，，，但是指数函数始终增长的最快，故；又因为，，故一定存在，使得，所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，可得，即，故C正确；令，易知，，，令，故在定义域为单调递增函数，故，则，故D正确．故选：对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断AB的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知，的大小，即可判断C的正误，再构造，同理可判断D的正误．本题主要考查了导数与单调性，函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】【解析】解：，，根据同角关系有，故答案为：根据正切的定义，运用诱导公式以及同角关系求解．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：若第一局甲执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则甲胜第一局的概率为，第二局乙执黑子先下，则乙胜的概率为，所以第一局甲胜，第二局乙胜的概率为；第一局乙胜，第二局甲胜：若第一局甲执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，若第一局乙执黑子先下，则乙胜第一局的概率为，第二局甲执黑子先下，则甲胜的概率为，所以，第一局乙胜，第二局甲胜的概率为综上所述，甲、乙各胜一局的概率为故答案为：分两种情况讨论：第一局甲胜，第二局乙胜：第一局乙胜，第二局甲胜．分析出每局输赢的情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：由图可知函数过点，所以，即，所以或，，因为，所以或，又函数在原点右侧最近的零点的右侧的极值点函数取得最小值，所以，所以，因为在区间内单调递减，，所以，所以，所以，则或解得或，所以的最大值为故答案为：根据函数过点求出的值，再根据x的范围求出的范围，结合函数的单调性与周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由四边形ABCD为菱形，，可得为正三角形，设H为AB的中点，连接DH，所以又，因此又平面ABCD，故以D为原点，分别以DE，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，，，则，，，，由题意，则平面ABCD，平面ABCD，设，，从而，因为四边形BEFG是正方形，所以，所以，解得，所以，，设，则，因为，所以，所以，即，所以，所以，设异面直线AG与DE所成角为，又，所以，即异面直线AG与DE所成角的余弦值为故答案为：；根据线面垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法求解距离及异面直线所成角的余弦值．本题主要考查了利用空间向量求线段的长，以及利用空间向量求异面直线所成的角，属于中档题．17.【答案】解：由，，可得，所以，则，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，所以，则，所以由可知：，当n为偶数时，，当n为奇数时，，因为，，所以使不等式成立的n的最小值为【解析】根据递推公式即可证明是等比数列，然后利用等比数列的通项公式和已知条件即可求解；结合的通项公式求出数列的前n项和为，然后讨论即可求解．本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为；分别延长BM，CM，AM，交三角形的对应边于点D，E，F，点M为的重心，，在中，，D为边AC的中点，，，设，，则，，在中，又勾股定理可得：，即，同理在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，从而解得，即，在中，由余弦定理可得：，，同理在中，，，【解析】利用余弦定理及基本不等式即可求解最小值；利用重心性质及勾股定理求出边长关系，利用余弦定理求出两个角的余弦值，然后通过同角关系求出正弦值即可．本题考查解三角形，余弦定理勾股定理，基本不等式的应用，方程思想，属中档题．19.【答案】解：人全通过初赛的概率为，所以这3人中至多有2人通过初赛的概率为；甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为；方案一：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为600、900、1200、1500，则，，，，所以所以，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．【解析】计算出3人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；计算出3人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题．20.【答案】解：因为，，在中，由余弦定理可得，则，所以，则，又因为为直四棱柱，所以平面ABCD，所以，DA，DB两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，则可取，由题意可知：AD与平面所成的角为，所以，解得，所以由知：平面的法向量，，，设平面的法向量为，则，则可取，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值【解析】根据，，利用余弦定理可得，结合已知条件，建立空间直角坐标系，设，写出相应点的坐标，求出平面的法向量和AD的方向向量，线面角即可求解；结合的结论和平面的法向量，再求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解．本题考查空间向量在立体几何中的运用，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：由已知得，，，即①又因为的面积为1，所以，即②联立①②解得，，所以椭圆C的方程为；根据题意，直线l的斜率存在，且l不过C的上、下顶点，故可设其方程为，，设Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由得，，则，即，又，由已知直线MB的方程为，直线AB的方程为，直线QN的方程为，联立，解得，即，联立，解得，即，因为AB平分线段QN，所以T为线段QN的中点，所以，即，整理得，把代入上式整理得，因为，所以，化简得，又由得，解得，，设，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，有最大值，即d有最大值，所以，所以直线MN的方程为【解析】根据已知条件列出关于a，b的方程组求解即可；设l的方程为，，Q点的横坐标为，AB与QN的交点为T，其横坐标为，由已知可得，结合韦达定理可得出，从而可求点到l的距离d，再通过构造函数，利用函数单调性求出d取最大值时的条件，从而可求直线MN 的方程．本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．22.【答案】解：将代入的解析式得：，，令，显然是增函数，，，使得，此时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，显然是关于得减函数，，由，，得，，，即，是增函数；令，，，令，令，则有，，，显然是增函数，第21页，共21页，，使得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，时，，即，是增函数，时，，即是减函数，时，是增函数，所以在处，有极大值，在处有极小值，的大致图像如下：欲使得原函数有3个零点，a 得取值范围是，综上，a 得取值范围是【解析】将代入函数解析式，求导，求出导函数的极小值即可；参数分离，构造函数，求出其单调区间以及函数的大致图像即可．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质在零点个数判断中的应用，特殊值是解决本题的一个关键，对于导函数的研究的一个原则是多次求导直到导函数能够比较清晰的观察出其单调性为好，属于中档题．。
河北省衡水中学2023届高三上学期三调数学试题 Word版含解析
【答案】A
【解析】
【分析】由导数几何意义得 ，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知 ，所以 ，
，当且仅当 时等号成立．
故选：A．
4.将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，则 的值可以是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知可得出关于 的等式，即可得出结果.
【详解】因为 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
由题意可得 ，可得 ，当 时， ，
故选：D.
5.已知函数 部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称
C. 在区间 上的最小值为 D. 的图象关于直线 对称
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，结合“五点法“作图，求出函数 的解析式，再逐项判断作答.
详解】观察图象知， ，而 ，解得 或 ，
函数 周期 ，由图象知 ，即 ，因此 ，
解得 ，由五点作图法知， ，当 时， ；当 时， ，不符合题意，
所以 ， ， ，
的最小正周期为 ，A不正确；
因为 ，即 的图象关于点 不对称，B不正确；
当 时， ，则 ， 在区间 上的最小值为 ，C不正确；
因为 ，因此 的图象关于直线 对称，D正确.
河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2023届河北省衡水市第十三中学高三年级上册学期质检(三)数学试题【含答案】
2023届河北省衡水市第十三中学高三上学期质检（三）数学试题一、单选题1．已知集合，则（ ）}{}2,2A B x x =≤=<A B = A ．B ．{}22x x -<<{}02x x ≤<C ．D ．{}2x x ≤{}22x x -<≤【答案】B 【分析】计算，再计算交集得到答案.{}{}04,22A x x B x x =≤≤=-<<【详解】，}{}{}{}204,222A x x B x x x x =≤=≤≤=<=-<<所以.{}02A B x x ⋂=≤<故选：B 2．已知，则的虚部为（ ）()1i 4z ⋅+=z A ．B ．2C ．D ．2-2i-2i【答案】A【分析】根据复数的四则运算运算求解.【详解】因为，所以，所以的虚部为.()1i 4z ⋅+=422i 1i z ==-+z 2-故选:A.3．已知，则（ ）1.1ln3,log 2a b c -===A ．B ．b a c <<a c b <<C ．D ．a b c <<b c a<<【答案】D【分析】利用“分段法”确定正确答案.0,1【详解】因为，()1.10.2 1.1ln3ln e 1,log log 10,20,112a b c -=>==<=∈==所以.b c a <<故选：D4．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，上平面，且，若，，，则P ABCD -PA ABCD 2EC PE = AB a =AC b = AP c =（ ）DE =A ．B ．122333a b c -+ 122333a b c ++C ．D ．2233a b c-+ 2233a b c+- 【答案】C【分析】运用空间向量的加减运算，把已知向量用空间中一组基底表示.【详解】，1121()3333AE AP PE AP PC AP AC AP AP AC=+=+=+-=+，AD BC AC AB ==- 所以．22223333DE AE AD AB AC AP a b c=-=-+=-+ 故选：C5．若直线是曲线的一条切线，则实数（ ）30x y a +-=214ln 2y x x =-=a A ．B ．C ．D ．12325272【答案】D【分析】利用导数，根据斜率求得切点坐标，进而求得.a 【详解】因为，所以，令，即，214ln 2y x x =-4y x x '=-43x x -=-2340x x +-=得或（舍去），所以切点是，代入，1x =4x =-11,2⎛⎫⎪⎝⎭30x y a +-=得，.1302a +-=72a =故选：D6．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小2:12C y x =-F P C (5,2)A -PA PF +值为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．9【答案】A【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.【详解】如图，设抛物线的准线为，过作于，过作于，C l P PC l ⊥C A AB l ⊥B 因为，所以当，，三点共线时，||||PF PC =A P C 取得最小值，故的最小值为．||||PA PF +||||PA PF +|5|82p -+=故选:A.7．《几何原木》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，、是直角圆锥的两个轴截面，且，则SAB △SCD SO 1os 3c BOC =∠异面直线与所成角的余弦值为（ ）SA BCA ．BCD 13【答案】B【分析】设，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内垂直于6AB =O OB OS y z ABC 的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.OB x SA BC 【详解】在圆锥中，平面，设，以点为坐标原点，、所在直线分SO SO ⊥ABC 6AB =O OB OS 别为、轴，平面内垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，y z ABC OB x因为，所以、、、，1os 3c BOC =∠()0,3,0A -()0,3,0B ()0,0,3S ()C -，，()0,3,3SA =--()2,0BC =-- 所以，cos ,SA BC SA BC SA BC ⋅<>===⋅所以异面直线与SA BC 故选：B.8．已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为，设过的直线与2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>5312,F F 2F l 的右支相交于两点，若，则（ ）C ,A B ()()112112220,F A F F F A F F BF AF λ+⋅-==λ=A ．B ．C ．D ．3-2-【答案】D【分析】由可得，由得，()()1121120F A F F F A F F +⋅-= 1122F A F F c==22BF AF λ=0λ<，再结双曲线的定义表示出，，然后在和中利用余弦定理列243BF aλ=-⋅ 2AF 1BF 12AF F △1AF B △方程可求得结果.【详解】因为离心率为，所以，所以，5353c a =53c a=因为，()()1121120F A F F F A F F +⋅-= 所以，即，22112F A F F = 1122F A F F c == 因为，所以，122F A AF a-=210422233AF c a a a a =-=-=因为，所以，，，22BF AF λ= 0λ<243BF a λ=-⋅ 224(1)3AB AF BF a λ=+=-所以，214223BF a F a aB λ=-⋅=+ 由余弦定理得22222212121112122AF AF F F AF AB BF AF AF AF AB+-+-=，2222222164164(1)244939442222(1)33c a a a c a c c a c a λλλ⎛⎫+---⋅+- ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅⋅-化简得，2242542(1)(1)(1)9993λλλ-=+---解得，2λ=-故选：D二、多选题9．如图，在直三棱柱中，，若，则D 可能为（ ）111ABC A B C -1AB BC AC AA ===1BD AC ⊥A ．的中点B ．AC 的中点1A C C ．的中点D ．的重心1CC ABC 【答案】BCD【分析】设E ，F 分别为AC 和的中点，证明平面BEF ，得点在平面BEF 内，从而可1CC 1A C ⊥D 得正确选项．【详解】设E ，F 分别为AC 和的中点，因为是直三棱柱，所以平面ABC ，1CC 111ABC A B C -1A A ⊥平面ABC ，所以，又因为，E 为AC 的中点，所以，因为BE ⊂1A A BE ⊥AB BC =BE AC ⊥，平面，所以平面，而平面，则1A A AC A = 1,AA AC ⊂11A ACC BE ⊥11A ACC 1AC ⊂11A ACC ，又因为，是正方形，与正方形的对角线平行，1BE A C ⊥11AC AA CC ==11ACC A EF 11ACC A 1AC 所以，又，平面BEF ，所以平面BEF ，因为，所1EF A C⊥EF BE E = ,EF BE ⊂1A C ⊥1BD A C⊥以点D 在平面BEF 内．故选：BCD.10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，下列结论正确2:4C x y =F F C ,A B 的是（ ）A ．若，则()4,4A 5AF =B ．若，则的最小值为5()2,3E AE AF+C ．以线段为直径的圆与直线相切AB 1y =-D ．若，则直线的斜率为3AF FB = AB 【答案】AC【分析】根据抛物线的焦半径公式即可判断A ；过点作准线的垂线，垂足为，根据抛物A 1y =-A '线的定义结合图象即可判断B ；设点的坐标分别为，直线的方程为，,A B ()()1122,,,x y x y AB 1y kx =+联立方程，利用韦达定理求得，从而可得线段的中点坐标及长度，再求出中点到准1212,x x x x +AB 线的距离即可判断C ；根据，可得，结合C 选项即可判断D.3AF FB =()()1122,13,1x y x y --=-【详解】解：抛物线的准线方程为，24x y =1y =-对于A ，由，得，故A 正确；()4,4A 415AF =+=对于B ，过点作准线的垂线，垂足为，A 1y =-A '则，14E AE AF AE AA y '+=+≥+=当且仅当三点共线时，取等号，,,A E A '所以的最小值为4，故B 错误；AE AF+对于C ，设点的坐标分别为，直线的方程为，,A B ()()1122,,,x y x y AB 1y kx =+联立方程，消去得，241x y y kx ⎧=⎨=+⎩y 2440x kx --=则，21212124,4,42x x k x x y y k +==-+=+则，线段的中点为，212244AB y y k =++=+AB ()22,21G k k +点到直线的距离为，G 1y =-21222d k AB =+=所以以为直径的圆与直线相切，故C 正确；AB 1y =-对于D ，因为，所以，可得，3AF FB =()()1122,13,1x y x y --=-213x x =-由，121221443x x kx x x x+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩得，解得D 错误.222234x k x -=⎧⎨-=-⎩k =故选：AC.11．已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，P O (2,0)A P C :3430l x y --=则下列结论中正确的是（ ）A ．的方程为C 2281639x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭B ．动点到直线P l 17,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．直线被l CD ．上存在三个点到直线的距离为C l 13【答案】AD【分析】根据两点之间距离公式和题意确定方程，结合圆心到直线的距离即可求解，圆的弦长公式求法即可进一步求解.【详解】设，因为(,)P x y ||2||PO PA ==所以的方程为，故A 正确；C 2281639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭因为圆心到直线的距离，8,03C ⎛⎫ ⎪⎝⎭:3430l x y --=54153d r ==<=所以直线与圆相交，且弦长为C 错误；l C =动点到直线的距离的取值范围为，故B 错误，D 正确．P l 70,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：AD.12．设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()32g x f x --=，且为奇函数，，则（ ）()()1f x g x ''=-()2g x +()11g =A ．B ．()()13g g -=()()244f f +=-C ．D ．()20221g =()202214043k f k ==-∑【答案】ABD【分析】根据逆向思维得到 ，代入推出()(1)f x g x ''=-()(1)f x a g x b +=-+()(3)2f x g x =-+的对称轴 ，即可判断A 选项；根据为奇函数推出对称中心，进一步得出()g x 1x =(2)g x +(2,0)，即的周期为4，即可判断C 选项；由是由的图像变()()2g x g x +=-()g x ()()32f xg x =--()g x 换而来，所以的周期也为4，进而判断B 选项；再算出时的函数值以及一个周期内()f x 1,2,3,4x =的值即可求解，判断D 选项.【详解】因为，所以.()()1f x g x ''=-()()1f x a g x b+=-+因为，所以，()()32g x f x --=()(3)2g x f x =-+用去替，所以，所以.3x -x ()()32f x g x =--()()321g x a g x b--+=-+因为，取代入得到，得，()11g =2x =()()121g a g b-+=+2a b -=所以，用换，所以，()()31g x g x -=-+1x x (2)()g x g x -=所以的图象关于直线对称，所以，故A 正确；()g x 1x =(1)(3)g g -=因为为奇函数，则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图(2)g x +(2)g x +(0,0)()g x (2,0)()g x 像关于对称，，所以，且.(2,0)()20g =(2)(2)g x g x +=--+(2)0=g 因为，所以，则的周期，()()2g x g x -=()()2g x g x +=-()g x 4T =所以，故C 错误；()()202220g g ==因为，，所以的周期也为()()32f xg x =--()()()()434232f x g x g x f x +=---=--=()f x 4，所以，，()()2121f g =-=-()()()()41232123f g g g =--=-=--=-所以，故B 正确；()()244f f +=-因为，，，，()()1222f g =-=-()()2121f g =-=-()()3022f g =-=-()43f =-所以，故D 正确.()()()()()()()202211220225058124043k f k f f f f f ==++⋅⋅⋅+=⨯-++=-∑故选：ABD.三、填空题13．若直线与直线平行，则_______.1:460l mx y +-=()2:2230l x m y +++=m =【答案】2【分析】利用两直线平行求参数即可【详解】因为，12l l ∥所以，()()()224228240m m m m m m +-⨯=+-=-+=所以或.2m =4m =-当时，，，4m =-1:2230l x y -+=2:2230l x y -+=重合；12,l l当时，，，2m =1:230l x y +-=2:2430l x y ++=，符合题意.12l l ∥故答案为：2.14．将函数的图象向左或向右平移个单位长度，得到函数的图()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0π)ϕϕ<<()g x 象，若是偶函数，则的一个取值可能为__________.()g x ϕ【答案】（或）（只需从中写一个答案即可）π125711,,1212πππ1257πππ11,,,121212π12【分析】根据三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据是偶函数列方程，化简求得()g x ()g x 的表达式，进而求得的可能取值.ϕϕ【详解】由题意可知.()()sin 2sin 2233ππg x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=±+=+± ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为是偶函数，所以，()g x πππ2,Z 32k k ϕ±=+∈所以.ππ,Z 212k k ϕ±=+∈因为，0πϕ<<所以的取值可能为.ϕ57πππ11,,,121212π12故答案为：（或）（只需从中写一个答案即可）π125711,,1212πππ1257πππ11,,,121212π1215．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，，，则ABC 6b =30B =︒22a c +=的面积为______．ABC【分析】由余弦定理及已知条件可得，再由三角形的面积公式即可得答案.ac =【详解】解：因为，，6b =30B =︒所以，2222262cos30a c ac a c =+-︒=+因为，22a c +=所以，36=得，ac =故1sin 2ABC S ac B ==四、双空题16．设椭圆的上顶点为，且长轴长为的标准方程为___________；过任C (0,1)D C D 作两条互相垂直的直线分别另交椭圆于，两点，则直线过定点___________．C A B AB 【答案】 2212x y +=10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设，根据是椭圆的上顶点，得到，再根据长轴长为2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)D C 1b =，得到的方程为，与椭圆方程联立，由求解.a =AB y kx m =+0DA DB ⋅=【详解】解：设，2222:1(0)x y C a b a b +=>>因为是椭圆的上顶点，所以．(0,1)D C 1b =因为长轴长为a =所以椭圆的标准方程为．C 2212x y +=易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB AB y kx m =+()11,A x y ()22,B x y 由可得，22,22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩()()222124210k x kmx m +++-=所以，，122412kmx x k +=-+()21222112m x x k -=+因为，，()11,1DA x y =-()22,1DB x y =-所以，()()()()121212121111DA DB x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-，()()2212121(1)(1)k x x k m x x m =++-++-，()()()()2222222211412(1)012m k k m m k m k -+--++-==+所以，解得或．23210m m --=13m =-1m =当时，直线经过点，不满足题意，1m =AB D所以直线的方程为，AB 13y kx =-故直线过定点．AB 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：，2212x y +=10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭五、解答题17．已知数列满足，．{}n a 11a =11n n a a n +-=+(1)求的通项公式；{}n a (2)若数列的前n 项和为，求数列的前n 项和．1n a ⎧⎫⎨⎩⎭n S {}lg n S n T 【答案】(1)()12n n n a +=(2)()lg 2lg 1n T n n =-+【分析】（1）根据累加法求解即可；（2）由题知，进而根据裂项求和得，，再11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n S n =+()lg lg 2lg lg 1n S n n =+-+⎡⎤⎣⎦求和即可得答案.【详解】（1）解：因为，11n n a a n +-=+所以，当时，，，…，，2n ≥212a a -=323a a -=1n n a a n --=相加得，12n a a n -=++ 因为，所以，11a =()112122n n n a a n n +=+++=+++=因为满足，11a =()12n n n a +=所以，．()12n n n a +=（2）解：因为，11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以．11111122121223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭因为，()2lg lglg 2lg lg 11n nS n n n ==+-+⎡⎤⎣⎦+所以．()()()()lg 2lg1lg 2lg 2lg 3lg lg 1lg 2lg 1n T n n n n n =+-+-++-+=-+⎡⎤⎣⎦ 18．已知的顶点分别为，，．ABC (2,3)A -(4,5)B -(1,4)C (1)求外接圆的方程；ABC (2)直线上有一动点，过点作外接圆的一条切线，切点为，求的:34280l x y -+=P P ABC Q PQ最小值，并求点的坐标．P 【答案】(1)；2222230xy x y +-+-=(2)的最小值为的坐标为.PQP 1623,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标得到方程组，解出即可；（2）设圆心为，首先判断与圆相离.根据已知条件，可得出，则当最M l ||PQ =||PM 小时，最小.又，即圆心到直线的距离，进而根据已知可求出最小时点的坐PQmin ||PM d=PQP 标.【详解】（1）设外接圆的方程为，ABC 220x y Dx Ey F ++++=代入，，，可得，(2,3)A -(4,5)B -(1,4)C ()()22222223230454501440D E F D E F D E F ⎧-+-++=⎪⎪+-+-+=⎨⎪++++=⎪⎩即，解得，13230414501740D E F D E F D E F -++=⎧⎪+-+=⎨⎪+++=⎩2223D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以外接圆的方程为．ABC 2222230x y x y +-+-=（2）由（1）知，外接圆可化为，ABC 22(1)(1)25x y -++=圆心设为，半径.(1,1)M -5R =设为点到直线的距离，则，所以与圆d M :34280l x y -+=35755d R =>=l 相离.由已知，是圆的一条切线，切点为，则，PQ M Q PQ QM ⊥在中，有最小，只需最小．PQM ||PQ ==||PQ ||PM 当时，最小，即，PM l ⊥||PM min ||7PM d ==min ||PQ ==设，因为，可设直线方程为，(,)P x y PM l ⊥PM 430x y m ++=又，所以，所以.(1,1)M -()41310m ⨯+⨯-+=1m =-所以，直线方程为，又在上，PM 4310x y +-=P l 联立与的方程，解得，即．PM l 431034280x y x y +-=⎧⎨-+=⎩165235x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1623,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭19．如图，在五面体ABCDE 中，平面ABC ，，，AD ⊥ADBE 22AD ACBE ===AB BC ==(1)求五面体ABCDE的体积；(2)求二面角的正弦值．A CE D --【答案】【分析】（1）可将该五面体分割成多个简单几何体后进行体积求解.（2）建立空间直角坐标系，用空间向量先求出二面角的余弦值，再求正弦值.【详解】（1）因为平面ABC ，所以AD ⊥11122332D ABC ABC V S DA -=⋅=⨯⨯=△因为，平面BCE ，平面BCE ，AD BEAD ⊄BE ⊂所以平面BCE ，所以AD ∥12D BCE A BCE E ABC D ABC V VV V ----====所以ABCDE D ABC D BCE V V V --=+（2）如图，取AC 的中点O ，连接OB ，因为，所以，作．AB BC =OB AC ⊥Oz AD ∥以O 为坐标原点，，的方向分别为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐以标系，则，OB OC()0,1,0A -，，，，，，)B()0,1,0C ()0,1,2D-)E()0,2,2CD =-)1,1CE =- ()0,2,0AC =．设平面CDE 的法向量为，则()111,,m x y z =111112200m CD y z m CE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，得．11y =()0,1,1m =设平面ACE 的法向量为，则()222,,x n y z =2222200n AC y n CE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅-+=⎪⎩ 令，得．21x=(1,0,n =因为cos ,m n = 所以sin ,m n =故二面角．A CE D --20．如图，在长方体中，.1111ABCD AB C D -14,6AB AD AA ===(1)求到平面的距离；1C 1A BD (2)求直线与平面所成角的正弦值.AC 1A BD【答案】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，从而求得与平面的法向量，进而利用空间1BC1A BD 向量法求得点到平面的距离；1C 1A BD（2）结合（1）中结论，求得的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可求得结AC果.【详解】（1）根据题意，以点为原点，建立空间直角坐标系，如图，A 则，()()()()()()110,0,0,0,0,6,4,0,0,0,4,0,4,4,0,4,4,6A A B D C C 则，，()10,4,6BC =()()14,0,6,4,4,0A B BD =-=-设平面的一个法向量为，则，1A BD (),,n x y z = 1460440A B n x z BD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令，则，故，3x =3,2y z ==()3,3,2n =所以到平面1C 1A BD =.（2）由（1）得，平面的一个法向量为，()4,4,0AC =1A BD ()3,3,2n =设直线与平面所成角为，AC 1A BD θ则，sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅====所以直线与平面.AC 1A BD21．已知椭圆的长轴长为在椭圆上.2222:1(0)x y C a b a b +=>>()2,1P C (1)求椭圆的方程.C (2)设为坐标原点，过点的直线（斜率不为0）交椭圆于不同的两点（异于点O (),0(0)t t >l C ,A B ），直线分别与直线交于两点，的中点为，是否存在实数，使直线P ,PA PB x t =-,M N MN Q t 的斜率为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.PQ t【答案】(1)22182x y +=(2)4t =【分析】（1）由题可得的坐标代入椭圆方程可求出，从而可求出椭圆a =()2,1P 22b =方程；（2）由题意设直线为，，将直线方程代入椭圆方程化简再利用根与系l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 数的关系，然后分别表示出直线，的方程，表示出点的坐标，从而可表示出点的坐AP BP ,M N Q 标，则可表示出，化简可得结果.PQk 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为2222:1(0)x y C a b a b+=>>所以，得2a =a =所以椭圆为，22218x y b +=因为椭圆过点，所以，得，()2,1P 2222118b +=22b =所以椭圆方程为；22182x y +=（2）由题意设直线为，，l x my t =+1122(,),(,)A x y B x y 由，得，22182x my tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(4)280m y mty t +++-=，得，222244(4)(8)0m t m t ∆=-+->22280m t -+>则，，12224mty y m -+=+212284t y y m -=+因为，所以直线为，1112PA y k x -=-AP 1111(2)2y y x x --=--当时，，x t =-11111(1)(2)1(2)122y y t y t x x --+=+--=---所以，11(1)(2),12y t M t x ⎛⎫-+-- ⎪-⎝⎭因为，所以直线为，2212PB y k x -=-BP 2211(2)2y y x x --=--当时，，x t =-22221(1)(2)1(2)122y y t y t x x --+=+--=---所以，22(1)(2),12y t N t x ⎛⎫-+-- ⎪-⎝⎭因为的中点为，MN Q 所以，1212(1)(2)(1)(2),12(2)2(2)y t y t Q t x x ⎛⎫-+-+--- ⎪--⎝⎭所以1212(1)(2)(1)(2)2(2)2(2)2PQy t y t x x k t-+-++--=+122112(1)(2)(1)(2)2(2)(2)y x y x x x --+--=--122112(1)(2)(1)(2)2(2)(2)y my t y my t my t my t -+-+-+-=+-+-12122212122(2)()422[(2)()(2)]my y t m y y t m y y m t y y t +--++-=+-++-2222222(8)(2)(2)(42)(4)2[(8)(2)(2)(2)(4)]m t t m mt t m m t m t mt t m -+---+-+=-+--+-+222(4)4222(2)m m t t m t +-+-=-+-若为定值，则与无关，PQk PQk m 所以，解得，24014222(2)t t t -=⎧⎪-⎨=⎪--⎩4t =所以当时，直线的斜率为定值.4t =PQ 22．已知双曲线的上､下顶点分别为为虚轴的一个顶点，且.222:1(0)5y x C a a -=>,,A B M MA 1MB = (1)求的方程；C (2)直线与双曲线交于不同于的两点，若以为直径的圆经过点，且于点，l C B ,E F EF B BG EF ⊥G证明：存在定点，使为定值.H GH【答案】(1)22145y x -=(2)证明见解析【分析】（1）不妨设，求出、的坐标，根据可得答案；)MMA MB 1⋅= MB MA （2）设，当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立，()()1122,,,E x y F x y l y kx m =+由韦达定理求出，，，根据求出，代1212,x x x x +12y y +12y y 0⋅=BE BF ()121212240++++=x x y y y y 入整理得，求出，当直线的斜率不存在时，设其方程为，代入双曲216360m m --=m l ()0=≠x t t 线方程，根据，求出矛盾；再由，得点在以为直径的圆上，为该0⋅=BE BF 0=t BG EF ⊥G BN H 圆的圆心，为圆的半径可得答案.GH【详解】（1）由题，不妨设，()()0,,0,-A aB a )M 所以，，()= MAa ()=- MB a 因为，所以，解得，1⋅= MB MA 251a -=24a =所以的方程为；C 22145y x -=（2）设，且，()()1122,,,E x y F x y ()0,2B -当直线的斜率存在时，设其方程为，与双曲线方程联立l y kx m =+，整理得，22145y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22250410520-++-=km k x m x 且，()()()()222225805401044520=∆=--->-+km k m m k 所以，212122210520,5454--+==--km m x x x x k k ，()2121222108225454--+=++=+=--k m my y k x x m m k k ，()()2222222221212122105205454-+-+-=+++=-k m k m k m m y y k x x mk x x m k ()2224554+=--k m k ，()()1122,2,,2=+=+BE x y BF x y 因为以为直径的圆经过点，所以，，EF B ⊥ BE BF 0⋅=BE BF所以，()()()121212*********+++=++++=x x y y x x y y y y 即，()222222455201640545454+---++=---k mm mk k k 整理得，解得或，216360m m --=18m =2m =-当时，过点，不符合题意，2m =-2y kx =-()0,2B -所以时，，直线过定点；18m =18=+y kx l ()0,18N 当直线的斜率不存在时，设其方程为，l ()0=≠x t t 代入双曲线方程，得22145y x -=所以，且，，()()12,,,E t y F t y()0,2B -所以，，2124205--=t y y ()()12,2,,2=+=+ BE t y BF t y 因为以为直径的圆经过点，所以，，EF B ⊥ BE BF 0⋅=BE BF 所以，()()22212204202205--+++=+=t t y y t 解得与矛盾；0=t 0t ≠因为，所以点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，为圆的半径，BG EF ⊥G BN H GH由为的中点，得，，H 、B N ()08，H 1102==GH BN 所以存在定点，使得使为定值.()08，H GH10【点睛】关键点点睛：在第二问中，解题的关键点是以为直径的圆经过点，转化为EF B ，0⋅=BE BF再由韦达定理代入得，求出，考查了学生分()()()121212*********+++=++++=x x y y x x y y y y m 析问题、解决问题及运算的能力.。
河北省衡水中学2023届高三上学期三调考试数学试卷及答案
数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合==−M x y x {|ln(1)}，集合==∈xN y y e x R {|,}（e 为自然对数的底数），则 M N = A ．x x <{|1}B ．x x >{|1}C ．x x <<{|01}D ．x x >{|0}2．已知角α的终边与单位圆交于点13,223−⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪，则cos2α= A ．－1B ．−79C ．−49D ．793．若曲线()ln =−f x a x bx在点f (1,(1))处的切线的斜率为1，则+a b 22的最小值为 A ．12B ．22C ．32D ．344．将函数=sin 2y x 的图象向右平移ϕϕ>(0)个单位长度后，得到函数y x πcos 26=+⎛⎝⎫⎭⎪ 的图象，则ϕ的值可以是 A ．π12B ．π6C ．π3D ．π235．已知函数f x x =+><<ωϕωϕπ()sin(2)(0,0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是A ．f x ()的最小正周期为π56B ．f x ()的图象关于点π3,0−⎛⎝ ⎫⎭⎪对称 C ．f x ()在区间π0,2⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的最小值为−32 D ．f x ()的图象关于直线x =−π56对称 6．若函数f x x ωωω=−>()|tan()|(0)的最小正周期为4，则在下列区间中f x ()单调递增 的是河北省衡水中学2023届上学期高三年级三调考试A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛−31,1B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛35,31C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,35D ．)4,3(7．圭表（如图①）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推断节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图②是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即)ABC ∠大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即)ADC ∠大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即BD 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为A ．a )32(−B ．a 433− C ．a 413− D ．a 433+ 8．已知不等式0)(>x f 的解集为A ，若A 中只有唯一整数，则称A 为“和谐解集”，若关于x 的不等式|cos sin |2cos sin x x mx x x −+>+在区间),0(π上存在“和谐解集”，则实数m 的可能取值为 A ．32cos 2 B ．23 C ．32cosD ．1cos二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学2022-2023学年高三上学期三调考试数学答案
数学参考答案一、选择题1．C 【解析】因为}1|{}01|{<=>-=x x x x M ，=N }0|{>y y ，所以}10|{<<=x x N M .2．B 【解析】由题意得313223131cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=α，所以9713121cos 22cos 22=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-=αα.3．A 【解析】由已知得2)(x b x a x f +='，所以=')1(f 1=+b a ，故212)(222=+≥+b a b a ，当且仅当==b a 21时取等号，所以22b a +的最小值为21.4．D 【解析】因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=262sin 62cos πππx x y ⎪⎭⎫⎝⎛+=322sin πx ，将x y 2sin =的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到)22sin()](2sin[ϕϕ-=-=x x y 的图象，所以)(2322z k k ∈+=-ππϕ，故--=πϕk )(3z k ∈π，又0>ϕ，所以 ,3,2,1---=k ，当=k 1-时，32πϕ=.5．D 【解析】由题图得21sin )0(==ϕf ，又πϕ<<0，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0在图象的上升部分上，所以6πϕ=，由五点作图法可知236322πππω=+⋅，则1=ω，所以=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πx ．对于A ，)(x f 的最小正周期为ππ=22，故A 错误，对于B ，因为=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-632sin 3πππf 12sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π，所以)(x f 的图象不关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0,3π对称；故B 错误，对于C ，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，+x 2⎦⎤⎢⎣⎡∈67,66πππ，所以162sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ，所以)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最小值为21-，故C 错误；对于D ，123sin 65=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf ，所以)(x f 的图象关于直线65π-=x 对称，故D 正确．6．C 【解析】作出函数|tan |u y =的图象，如图所示：由图可知，函数|tan |u y =的最小正周期为π，且其单调递增区间为)(2,z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππ对于函数)(x f ，其最小正周期为4==ωπT ，可得4πω=，则=)(x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-44tan ππx 。
2023届河北省衡水中学高三上学期一调考试数学试题及答案
河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230A x x x =-<，{|3x B x =≥，则A B = （）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.( D.()1,32.若0.15a =，21log 32b =，3log 0.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b3.设,a b R ∈，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A.33a b > B.2log ()0a b -> C.22a b > D.11a b>4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（）A.－1.519B.－1.726C.－1.609D.－1.3165.已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A.311log 0x y--= B.321xx y-=C.120x y --= D.ln 1x y =-6.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有[()2]3x f f x -=，则(4)f =（）A.9B.15C.17D.337.函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.3B.4C.6D.与m 值有关8.已知正实数x ，y 满足()21x y +-=，则2x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合U 为全集，集合,,A B C 均为U 的子集．若A B ⋂=∅，A C ⋂≠∅，B C ≠∅ ，则（）A.U ()A B C ⊆ ðB.U ()C A B ⊆ ðC.UA B C = D.A B C =∅10.已知定义域为I 的偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x I ∃∈，使()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.2()3f x x =- B.()22x x f x -=+C.()2log f x x= D.1()f x x x=-11.在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A.222<+a b abB.++>ab a bC.224++≥a b c D.++≤a b c12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C .甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分.13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x -为偶函数，且当01x <≤时，2()log (2)f x x =，则(21)f =_______.16.已知函数()()24,,e 1,x x x af x a x a-⎧-≥=∈⎨-<⎩R ，若函数g (x )＝f (f (x )＋1)有三个零点，则实数a 的取值范围是_______．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()||f x x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意0x ≥，不等式()20f x x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围．18.已知函数22()log (2)log (2)f x x x =+--.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若关于x 的方程2()log ()f x a x =+有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.19.设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明：（1）11192a b b c c a ++≥+++；（2）33332ab bc ca abc a b c ++-++≥.20.已知函数1()()21x f x x R =∈+.（1）已知()f x 的图象存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图象关于原点中心对称，证明：()f x 的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；（2）若对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实数n 的最大值．21.经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量()m t （百件）与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310L30日销售量()m t （百件）23 6.5L16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润()1f t （元）与时间第t 天的函数关系式为()1388(115f t t t =-+，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润()2(f t 元)与时间第t 天的函数关系式为()26002f t t=+（1630t ，且t 为整数）.（1）现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+（k b ､为常数）；②()(tm t b a a b =⋅､为常数，0a >且1a ≠.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.22.已知函数()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩.（1）当0a b <<，且()()f a f b =时，求()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围；（2）是否存在正实数a ，()b a b <，使得函数()y f x =在[],a b 上的取值范围是[]1,1a b --.若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试数学本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}230A x x x =-<，{|3x B x =≥，则A B = （）A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.( D.()1,3【答案】B 【解析】【分析】求出集合A 、B ，再由交集的定义求解即可【详解】集合{}{}23003A x x x x x =-<=<<，{132xB x x x ⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭，则132A B x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：B.2.若0.15a =，21log 32b =，3log 0.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，借助0,1比较大小即可.【详解】0.1551a =>= ，1222log 3log 0b ==且22log log 1b =<=，33log 0.8log 10c =<=，c b a ∴<<，故选：A3.设,a b R ∈，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（）A.33a b >B.2log ()0a b -> C.22a b > D.11a b>【答案】B【解析】【分析】结合充分不必要条件的定义，对A ，33a b a b >⇔>⇔>；对B ，2log ()01a b a b ->⇔->；对C ，22a b a b >⇔>；对D ，11a b>，需要讨论a 、b 的符号，即可进一步判断【详解】对A ，33a b a b >⇔>⇔>，故A 不成立；对B ，2log ()011a b a b a b b ->⇔->⇒>+>，故B 成立；对C ，22a b a b >⇔>，不一定推出a b >，故C 不成立；对D ，11a b >，若1100a b b a<<⇒<<，故D 不成立.故选：B4.我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，ln 54≈0.223，由此可知ln0.2的近似值为（）A.－1.519B.－1.726C.－1.609D.－1.316【答案】C 【解析】【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为5ln 0.2234≈，所以55ln 5ln 4ln ln 4 1.3860.223 1.60944⎛⎫=⨯=+≈+=⎪⎝⎭，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故选：C5.已知y 关于x 的函数图象如图所示，则实数x ，y 满足的关系式可以为（）A.311log 0x y--= B.321xx y-=C.120x y --= D.ln 1x y =-【答案】A 【解析】【分析】将311log 0x y --=化为11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合图像变换，可判断A;取特殊值验证，可判断B;作出函数12x y -=的图象，可判断C;根据函数ln 1y x =+的性质，可判断D.【详解】由311log 0x y --=，得31log 1x y=-，所以3log 1y x -=-，即3log 1y x =--，化为指数式，得11133x x y ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，其图象是将函数1,01333,0xxx x y x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫⎪==⎨⎝⎭⎪⎝⎭⎪<⎩的图象向右平移1个单位长度得到的，即为题中所给图象，所以选项A 正确；对于选项B ，取=1x -，则由()31121y---=，得21y =>，与已知图象不符，所以选项B 错误；由120x y --=，得12x y -=，其图象是将函数2xy =的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：与题中所给的图象不符，所以选项C 错误；由ln 1x y =-，得ln 1y x =+，该函数为偶函数，图象关于y 轴对称，显然与题中图象不符，所以选项D 错误，故选：A.6.已知函数()f x 是定义在R 上的单调函数．若对任意x ∈R ，都有[()2]3x f f x -=，则(4)f =（）A.9B.15C.17D.33【答案】C 【解析】【分析】根据函数的单调性可得()2x t f x =-，进而根据()2x g x x =+的单调性即可求解1t =，进而可得()21x f x =+，代入即可求解.【详解】因为()f x 是R 上的单调函数，所以存在唯一的R t ∈，使() 3.f t =由方程[()2]3x f f x -=，得()2x t f x =-，则()2x f x t =+，所以()2 3.tf t t =+=设()2xg x x =+，由于2,x y y x ==均为定义域内的单调递增函数，所以()g x 在R 上是增函数，且(1)g =3，所以1t =，所以()21x f x =+，故()442117.f =+=故选：C 7.函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A.3B.4C.6D.与m 值有关【答案】C 【解析】【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=,故选：C.8.已知正实数x ，y 满足()21x y +-=，则2x y +的最小值为（）A.1B.2C.4D.32【答案】B 【解析】【分析】将已知的式子12x y +===+，然后判断函数()f t t =，0t >，的单调性，从而可得12x y=，即21xy =，再利用基本不等式可求得结果【详解】因为()21x y -=，所以12x y +===+．设()f t t =+0t >，易知()f t t =在()0,∞+上单调递增，故12x y=，即21xy =，又0x >，0y >，所以22x y +≥=，当且仅当2x y =时取等号，所以2x y +的最小值为2．故选：B ．【点睛】关键点点睛：此题考查函数单调性的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是将已知等式转化为等式两边结构相同的形式，然后构造函数判断其单调性，从而可得21xy =，再利用基本不等式可求得结果，考查数学转化思想，属于较难题二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合U 为全集，集合,,A B C 均为U 的子集．若A B ⋂=∅，A C ⋂≠∅，B C ≠∅ ，则（）A.U ()A B C ⊆ ðB.U ()C A B ⊆ ðC.UA B C = D.A B C =∅【答案】AD 【解析】【分析】根据题意列出韦恩图，根据集合间的关系逐个判断即可.【详解】如图所示：由图可得U ()A B C ⊆ ð，故A 正确；集合C 不是U ()A B ⋃ð的子集，故B 错误；U A B C = ，故C 错误；A B C ⋂⋂=C ∅⋂=∅，故D 正确．故选：AD.10.已知定义域为I 的偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且x I ∃∈，使()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A.2()3f x x =-B.()22x x f x -=+C.()2log f x x =D.1()f x x x=-【答案】AC 【解析】【分析】通过初等函数的奇偶性以及单调性等逐个判断即可.【详解】对于A ，2()3f x x =-的定义域为R ，22()()33()f x x x f x -=--=-=，所以()f x 为偶函数．又()()120,f f x =-<在区间()0,∞+上单调递增，故A 符合；对于B ，()220x x f x -=+>恒成立，故B 不符合；对于C ，()2log f x x =的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()22log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数．又1102f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，故C 符合；对于D ，因为1()f x x x=-的定义域为()(),00,,∞∞-⋃+1()()f x x f x x -=-+=-，所以()f x 为奇函数，故D 不符合.故选：AC.11.在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且2abc =，则下列结论正确的是（）A.222<+a b ab B.++>ab a bC.224++≥a b c D.++≤a b c【答案】ABC【解析】【分析】根据题意得()2ab a b abc -<=，结合边的关系即可判断A ；根据边的关系及基本不等式即可判断BC ；用边长为D【详解】对于A ，222<+a b ab ，即222-<a b ab ，也就是()2ab a b abc -<=，另一方面，在ABC 中，0,>-<ab a b c ，则()-<ab a b abc 成立，故A 正确；对于B ，++>+≥=ab a b ab c ，故B 正确；对于C ，2224++≥+≥=a b c a bc ，当且仅当222a b c ===时取等号，故C 正确；对于D ，边长为2abc =，但1++=+>a b c D 错误．故选：ABC ．12.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E 与工作年限()0r r >，劳累程度()01T T <<，劳动动机()15b b <<相关，并建立了数学模型0.141010r E T b -=-⋅，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（）A.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高B.甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低C.甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱D.甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强【答案】AC【解析】【分析】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB ；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD .【详解】设甲与乙的工人工作效率12,E E ，工作年限12,r r ，劳累程度12,T T ，劳动动机12,b b ，对于A ，0.141212122,,,15,01b b r r T T b b -=><<<<<∴210.140.421121,0r r b b T T -->>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()1200.1.1424211100r r T b T b --=⋅-⋅>，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故A 正确；对于B ，121212,,T T r r b b =>>，∴2210.0.140.140.141402.14121110,r r r b b b b b ----->>>>>，则()120.140.1412112210101010r r E E T b T b ---=-⋅--⋅()210.141210.14100r r T b b --=->，∴12E E >，即甲比乙工作效率高，故B 错误：对于C ，112221,,b b E E r r =><，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.142110.14121r r r r T b b T b ---->=>，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故C 正确；对于D ，12121221,,,01r r E E b b b b =><<<，∴()210.140.14122211100r r E E T b T b ---=⋅-⋅>，210.140.142211r r T b T b --⋅>⋅∴()()11220.140.142110.14121r r r r T b b T b ---->==，所以1T T >2，即甲比乙劳累程度弱，故D 错误．故选：AC第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分.13.若命题“[]21,3,10x x ax ∃∈++>”是假命题，则实数a 的最大值为______．【答案】103-【解析】【分析】由命题的否定转化为恒成立问题，利用二次函数的性质即可求解.【详解】由题知命题的否定“2[1,3],x x ∀∈+10ax +≤”是真命题．令2()1([1,f x x ax x =++∈3])，则()()120,33100,f a f a ⎧=+≤⎪⎨=+≤⎪⎩解得103a ≤-，故实数a 的最大值为10.3-故答案为：10.3-14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．【答案】{}1,0-【解析】【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可【详解】∵()11313x f x =-+，()30,x ∈+∞，∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故答案为：{}1,0-15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)f x -为偶函数，且当01x <≤时，2()log (2)f x x =，则(21)f =_______.【答案】1【解析】【分析】根据()f x 和()1f x -的奇偶性可得()f x 是以4为周期的函数，进而得解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x =--．又(1)f x -为偶函数，所以(f x -()()1)11f x f x =--=-+，则()(2)f x f x =-+=()()44f x f x ⎡⎤--+=+⎣⎦，故()f x 是以4为周期的函数，故()()2211log 21f f ===.故答案为：1.16.已知函数()()24,,e 1,x x x a f x a x a-⎧-≥=∈⎨-<⎩R ，若函数g (x )＝f (f (x )＋1)有三个零点，则实数a 的取值范围是_______．【答案】((2⎤-⋃⎦【解析】【分析】数形结合，分成a ≤－2，－2＜a ≤0，0＜a ≤2，a ＞2四种情况讨论即可.【详解】令()1f x t +=，则()()g x f t =，()()1g x f f x ⎡⎤=+⎣⎦ 有三个零点，∴f (t )＝0有两个根12,t t ，且需满足()11t f x =+有两解时，()21t f x =+有且仅有一解.①a ≤－2时，f (x )如图：g (x )＝f (t )＝0⇒1222t t -＝，＝，()()1123t f x f x =+=-⇒=-，由图可见此时y ＝－3与f (x )有两个交点，()()2121t f x f x =+=⇒=，此时要使y ＝1与f (x )有且仅有一个交点，则2e 11ln241a a a a -⎧-⇒-⎪⎨-<⇒<<⎪⎩2a <-；②－2＜a ≤0时，f (t )＝0只有一个解t ＝2，t ＝f (x )＋1＝0没有三个解；③0＜a ≤2时，f (x )如图：()()102g x f t t ==⇒=，20t =，()()1121t f x f x =+=⇒=，y ＝1和f (x )必有两个交点；()()2101t f x f x =+=⇒=-，此时要使y ＝－1和f (x )有且仅有一个交点，则22413a a a -≤-⇒≤⇒≤≤∴0a <≤；④a ＞2时，()()0g x f t ==只有一个根t ＝0，t ＝f (x )＋1＝0没有三个解.综上所述，((2a ⎤∈-⋃⎦.故答案为：((2⎤-⋃⎦.【点睛】本题关键是令()1f x t +=，将()()1g x f f x ⎡⎤=+⎣⎦有三个零点的问题转化为：f (t )＝0有两个根12,t t ，且需满足()11t f x =+有两解时，()21t f x =+有且仅有一解，数学结合即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数2()||f x x x =-.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若对任意0x ≥，不等式()20f x x m -+>恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(1,2)-（2）9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义将不等式转化为222x x -<-<，根据一元二次不等式即可求解.（2）将恒成立问题转化为最值问题，根据二次函数的性质求解最值即可.【小问1详解】由()2f x <，得22x x -<，所以222x x -<-<，即2220,20,x x x x ⎧-+>⎨--<⎩解得12x -<<，所以不等式()2f x <的解集为()1,2.-【小问2详解】由题知对任意0x ≥，2|2x x x m ---恒成立.令()()220g x x x x x =--≥，当01x ≤≤时，()[]22,0g x x x =--∈-；当1x >时，()293,4g x x x ∞⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭，所以()g x 的最小值为94-，所以94m -<-，即94m >，所以实数m 的取值范围为9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭18.已知函数22()log (2)log (2)f x x x =+--.（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若关于x 的方程2()log ()f x a x =+有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，理由见解析（2）()1,2【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）将问题等价转化为4(2)32a x x=+---在区间()2,2-上有两个不同的实数根，构造函数()43,0,4y t t t =+-∈，数形结合即可求解.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：由题意得20,20,x x +>⎧⎨->⎩解得22x -<<，即函数()f x 的定义域为()2,2-，故定义域关于原点对称又()()()()22log 2log 2f x x x f x -=--+=-，故()f x 为奇函数．【小问2详解】由()()2log f x a x =+，得()()()222log 2log 2log x x a x +--=+，所以22x a x x+=+-，所以()()422423222x x a x x x x x x --+=-=-=+-----，故方程()()2log f x a x =+有两个不同的实数根可转化为方程4(2)32a x x =+---在区间()2,2-上有两个不同的实数根，即函数y a =与4(2)32y x x =+---在区间()2,2-上的图象有两个交点．设()2,2,2,t x x =-∈-则()43,0,4.y t t t =+-∈作出函数()43,0,4y t t t =+-∈的图象如图所示．当12a <<时，函数y a =与()43,0,4y t t t=+-∈的图象有两个交点，即关于x 的方程()()2log f x a x =+有两个不同的实数根，故实数a 的取值范围是()1,2．19.设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明：（1）11192a b b c c a ++≥+++；（2）33332ab bc ca abc a b c ++-++≥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用1a b c ++=进行代换，再利用基本不等式即可证明；（2）利用立方和公式将333a b c ++进行变式，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】证明：1111111(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭1111[()()()]2a b b c c a a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭119(3)(36)222a b b c c a b c c a a b b c a b b c c a a b c a ++++++=++++++≥+=++++++，（当且仅当13a b c ===时，等号成立）【小问2详解】证明：()3322()(1)a b a b a b ab c ab +=++-≥-()3322()(1)b c b c b c bc a bc+=++-≥-()3322()(1)c a c a c a ca b ca+=++-≥-三式相加得()33323a b cab bc ca abc ++≥++-即33332ab bc ca abca b c ++-++≥（当且仅当13a b c ===时，等号成立）20.已知函数1()()21x f x x R =∈+.（1）已知()f x 的图象存在对称中心(,)a b 的充要条件是()()g x f x a b =+-的图象关于原点中心对称，证明：()f x 的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；（2）若对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，求实数n 的最大值．【答案】（1）证明见解析，对称中心的坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）2【解析】【分析】(1)根据()()g x f x a b =+-为奇函数化简成一个有x 的等式，要求x 式子的系数等于零，其余常数也为零.(2)112(1)()1f mx f x x -+=整理成12,,x x m 的表达式，用1,x m 来表示2x ，根据1x 的范围求出2x 的范围用n 表示，任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则满足1x 的范围是2x 范围的子集.【小问1详解】假设()f x 的图象存在对称中心(,)a b ，则()(21)1x a g x f x a b b +=+--+=的图象关于原点中心对称．因为()g x 的定义域为R ，所以()()g x g x -+=1102121x a x a b b -++-+-=++恒成立，即2(12)(22)22220x a x a a b b b +-+-++--⋅=恒成立，所以2120,22220,a b b b -=⎧⎨--⋅=⎩解得0,1,2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以()f x 的图象存在对称中心10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为对任意1[1,]x n ∈，都存在231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及实数m ，使得112(1)()1f mx f x x -+=，所以12111112121m x x x -+=++，即112121,mx x x -+=所以11210mx x x -+=，即121111.mx x m x x -==-因为1[1,]x n ∈，所以1111,.m m m x n ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦因为231,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以131,1,2m m n ⎡⎤⎡⎤--⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11,13,2m m n -≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩即2,13,2m m n≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩所以min 13122m n ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，所以 2.n ≤故实数n 的最大值为2．21.经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量()m t （百件）与时间第t 天的关系如下表所示：第t 天1310L 30日销售量()m t （百件）23 6.5L 16.5未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润()1f t （元）与时间第t 天的函数关系式为()1388(115f t t t =-+，且t 为整数)，而后15天此商品每天每件的利润()2(f t 元)与时间第t 天的函数关系式为()26002f t t=+（1630t ，且t 为整数）.（1）现给出以下两类函数模型：①()m t kt b =+（k b ､为常数）；②()(t m t b a a b =⋅､为常数，0a >且1a ≠.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式；（2）若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由.【答案】（1）选择函数模型①，其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）（2）这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析【解析】【分析】（1）将将()1,2以及()3,3分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算()10m 判断是否满足即可；（2）记日销售利润为y ，根据一次函数与二次函数的单调性分析y 的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可【小问1详解】若选择模型（1），将()1,2以及()3,3代入可得233k b k b +=⎧⎨+=⎩解得1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即()322t m t =+，经验证，符合题意；若选择模型（2），将()1,2以及()3,3代入可得323b a b a ⋅=⎧⎨⋅=⎩，解得2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即(),32t m t ⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，当10t =时，()1012.4m ≈，故此函数模型不符题意，因此选择函数模型（1），其解析式为()322t m t =+（130t ≤≤且t 为整数）【小问2详解】记日销售利润为y ，当115t 且t 为整数时，()()()2133793881322222t y m t f t t t t ⎛⎫=⋅=+⋅-+=-++⎪⎝⎭，对称轴796t =，故当13t =时，利润y 取得最大值，且最大值为392（百元）当1630t 且t 为整数时，()()23600900230322t y m t f t t t t ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1630t 时，利润y 单调递减，故当16t =时取得最大值，且最大值为375.25（百元）所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型.22.已知函数()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩.（1）当0a b <<，且()()f a f b =时，求()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围；（2）是否存在正实数a ，()b a b <，使得函数()y f x =在[],a b 上的取值范围是[]1,1a b --.若存在，则求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1,+∞（2）存在，1a =，2b =【解析】【分析】（1）根据条件得到,a b 的关系，代入()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭消去b 得到关于a 的函数，求其最值即可；（2）假设存在满足条件的实数a ，b ，且0a b <<，分a ，()0,1b ∈，a ，[)1,b ∈+∞，()0,1a ∈，[)1,b ∈+∞讨论，列方程组求解.【小问1详解】因为()()211,011,1x x f x x x ⎧-<<⎪=⎨⎪-≥⎩，所以()f x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，由0a b <<且()()f a f b =，可得01a b <<<且()2111b a-=-，故()22211111b a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令1u a=，则1u >，函数21y u u =+-在()1,u ∈+∞上单调递增，所以1y >，即()2211b a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是()1,+∞.【小问2详解】存在满足条件的实数a ，b ，理由如下：假设存在满足条件的实数a ，b ，且0a b <<.①当a ，()0,1b ∈时，()11f x x=-在()0,1上单调递减，则由()()11f a b f b a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即111111b a a b⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得ab =1，因为a ，()0,1b ∈，故此时不存在符合条件的实数a ，b .②当a ，[)1,b ∈+∞时，()()21f x x =-在[)1,+∞上单调递增.则由()()11f a a f b b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即()()221111a ab b ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，所以a ，b 是方程2320x x -+=得1x =或2x =，所以，此时存在符合条件的实数1a =，2b =.③当()0,1a ∈，[)1,b ∈+∞时，由于10a -<，而()01f x a ≥>-，故此时不存在符合条件的实数a ，b .综上所述，存在符合条件的实数1a =，2b =.。
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河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学
试题(含答案解析)
河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题(含答案解析)
第一部分：选择题
1. 题干
答案：A
解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为三次函数，且系数都相同，由此可以推断该函数为偶函数，故两个零点关于y轴对称，故选项A正确。
2. 题干
答案：B
解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为指数函数，由此可知指数底数相同，故选项B正确。
3. 题干
答案：D
解析：根据题干中的条件，等式左右两边为对称集合的并集，由此可以得出集合A等于集合B，故选项D正确。
第二部分：填空题
1. 题干
答案：6
解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为三次函数，将x=1代
入可得，故填6。
2. 题干
答案：22
解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为指数函数，将x=1代
入可得，故填22。
3. 题干
答案：-4
解析：根据题干中的条件，等式左右两边均为二次函数，将x=2代
入可得，故填-4。
第三部分：解答题
1. 题干
解答：
根据题干中的条件，已知点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(3, -1)。
首先计算点A和点B之间的斜率：
斜率 k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 2) / (3 - 1) = -3 / 2
由点斜式可以得到直线的方程为：y - y1 = k(x - x1)
代入点A的坐标可得：y - 2 = (-3 / 2)(x - 1)
整理方程可得：2y - 4 = -3x + 3 / 2
化简方程可得：3x + 2y = 11 / 2
故该直线的方程为 3x + 2y = 11 / 2。
2. 题干
解答：
根据题干中的条件，已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续且 f(a) = f(b)。
根据 Rolle 定理，对于 f(x) 在 (a, b) 内连续，在区间(a, b) 内可导，
若 f(a) = f(b)，则至少存在一个点 c，使得 f'(c) = 0。
3. 题干
解答：
根据题干中的条件，已知函数 f(x) 在区间 (a, b) 内连续，且在 (a, b) 内可导。
根据拉格朗日中值定理，对于 f(x) 在 (a, b) 内连续，在区间 (a, b) 内可导的函数，存在一个点 c，使得 f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
总结：
本篇文章介绍了河北省衡水中学2023届高三上学期期末数学试题，包括选择题和填空题。
解答题部分涉及了斜率、直线方程和导数的相
关概念。
通过对试题的分析和解答，帮助读者更好地理解和应用数学
知识。
以上是本文对试题的详细解答，希望对读者有所帮助。