中考数学应用题汇编及解析

一、代数应用题：
1、农科所向农民推荐渝江Ⅰ号和渝江Ⅱ号两种新型良种稻谷.在田间管理和土质相同的条
件下，Ⅱ号稻谷单位面积的产量比Ⅰ号到谷低20%，但Ⅱ号稻谷的米质好，价格比Ⅰ号高.已知Ⅰ号稻谷国家的收购价是1.6元/千克.
（1） 当Ⅱ号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、图纸和面积相同的两块田丽分别
种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同？
（2） 去年小王在土质、面积相同的两块田里分别种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷，且进行了相同的
田间管理.收获后，小王把稻谷全部卖给国家.卖给国家时，Ⅱ号稻谷的国家收购价定为2.2元/千克，Ⅰ号稻谷国家的收购价未变，这样小王卖Ⅱ号稻谷比卖Ⅰ号稻谷多收入1040元，那么小王去年卖给国家的稻谷共有多少千克？
[解析] (1)由题意，得
1.6
2120%
=-（元）
； （2）设卖给国家的Ⅰ号稻谷x 千克，根据题意，得(120%) 2.2 1.61040x x -⨯=+. 解得，6500x =（千克）
(120%) 1.811700x x x +-==（千克）
答：（1）当Ⅱ号稻谷的国家收购价是2元时，种植Ⅰ号、Ⅱ号稻谷的收益相同； （2）小王去年卖给国家的稻谷共为11700千克.
2、机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.
（1） 甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的
重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？
（2） 乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，
并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？
[解析]
（1）由题意，得70(160%)7040%28⨯-=⨯=（千克） （2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x 千克， 由题意，得[1(90) 1.6%60%]12x x ⨯--⨯-= 整理，得2
657500x x --=
部
门经
理
解得：1275,10x x ==-（舍去）
(9075) 1.6%60%84%-⨯+=
答：(1)技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.
(2)技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克?用油的重复利用率是84%.
3、某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
（1（2中位数为 元，众数为（3问题，并指出用（2实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y （结果保留整
数），并判断y 能否反映该公司员工的月工资实际水平．
[解析] （1）由表中数据知有16名；
（2）由表中数据知中位数为1700；众数为1600；
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．
用1700元或1600元来介绍更合理些．
（说明：该问中只要写对其中一个数据或相应统计量（中位数或众数）也可以） （4）250050210008400346
y ⨯--⨯=≈1713（元）．
y 能反映．
4、某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC 由同一平面内的
两段抛物线组成，其中AB 所在的抛物线以A 为顶点、开口向下，BC 所在的抛物线以C 为顶点、开口向上．以过山脚（点C ）的水平线为x 轴、过山顶（点A ）的铅垂线为y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB 所在抛物线的解析式为8412+-
=x y ，BC 所在抛物线的解析式为2)8(4
1
-=x y ，且已知)4,(m B ． （1）设),(y x P 是山坡线AB 上任意一点，用y 表示x ，并求点B 的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度
因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）； ②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的700米高度（点D ）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的
起点选择在山脚水平线上的点E 处，1600=OE （米）．假设索道DE 可近似地看成一
段以E 为顶点、开口向上的抛物线，解析式为2)16(28
1
-=x y ．试求索道的最大悬空．．高度．
[
∴84
12
+-
=x y ，0≥x ， （…2分） ∴)8(42y x -=，y x -=82
（…3分） ∵)4,(m B ，∴482-=m ＝4，∴)4,4(B
（…4分）
（2）在山坡线AB 上，y x -=82，)8,0(A
①令80=y ，得00=x ；令998.7002.081=-=y ，得08944.0002.021≈=x ∴第一级台阶的长度为08944.001=-x x （百米）894≈（厘米）
（…6分）
同理，令002.0282⨯-=y 、002.0383⨯-=y ，可得12649.02≈x 、15492.03≈x ∴第二级台阶的长度为03705.012=-x x （百米）371≈（厘米） （…7分） 第三级台阶的长度为02843.023=-x x （百米）284≈（厘米）
（…8分）
②取点)4,4(B ，又取002.04+=y ，则99900.3998.32≈=x
∵002.0001.099900.34<=-
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ，从而就不能一直铺到山脚 （…10分）
（注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能铺到700米高度，共500级．从100米高度到
700米高度都不能铺设这种台阶．解题时取点具有开放性） ②另解：连接任意一段台阶的两端点P 、Q ，如图 ∵这种台阶的长度不小于它的高度 ∴︒≤∠45PQR
当其中有一级台阶的长大于它的高时， ︒<∠45PQR
（…9分）
在题设图中，作OA BH ⊥于H
则︒=∠45ABH ，又第一级台阶的长大于它的高
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B ，从而就不能一直铺到山脚 （…10分）
（3）
)7,2(D 、)0,16(E 、)4,4(B 、)0,8(C
由图可知，只有当索道在BC 上方时，索道的悬空．．高度才有可能取最大值（…11分） 索道在BC 上方时，悬空．．高度2)16(281-=x y 2)8(4
1
--x )96403(1412-+-=
x x 3
8
)320(1432+--=x （…13分）
当3
20=
x 时，38
m ax =y
∴索道的最大悬空．．高度为3
800
米． 5、有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个
工程队同时进行挖掘．图11是反映所挖河渠长度y （米）与挖掘时间x （时）之间关系的部分图象．请解答下列问题： （1）乙队开挖到30米时，用了_____小时．开挖6小时时，
甲队比乙队多挖了______米； （2）请你求出： ①甲队在0≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式； ②乙队在2≤x ≤6的时段内，y 与x 之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？
P
Q
R
时)
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队
同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？
[解析] （1）2；10；
（2）①设甲队在0≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 1x ，
由图可知，函数图象过点（6，60）， ∴6 k 1=60，解得k 1=10， ∴y =10x .
②设乙队在2≤x ≤6的时段内y 与x 之间的函数关系式为y =k 2x +b ，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴22
230,650.k b k b +=⎧⎨
+=⎩ 解得25,
20.k b =⎧⎨=⎩
∴y =5x ＋20．
③由题意，得10x ＞5x ＋20，解得x ＞4.
所以，4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队.
（说明：通过观察图象并用方程来解决问题，正确的也给分） （3）由图可知，甲队速度是：60÷6=10（米/时）．
设甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为z 米，依题意，得
6050.1012
z z --=
解得 z =110．
答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为110米．
6、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．
设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y 与x 的二次函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；
（3）请把（2）中的二次函数配方成2()y a x h k =-+的形式，并据此说明，该经销店要
获得最大月利润，售价应定为每吨多少元；
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
[解析] （1）5.710
24026045⨯-+=60（吨）．
（2）260(100)(457.5)10
x
y x -=-+⨯，
化简得： 23
315240004
y x x =-+-．
（3）240003154
32-+-
=x x y 23
(210)90754x =--+．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x 为210元，
而对于月销售额)5.71026045(⨯-+
=x
x W 23(160)192004
x =--+来说， 当x 为160元时，月销售额W 最大． ∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大． ∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x 为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x 为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W 不是最大． ∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也相应给分）
二、几何应用题：
8、图10—1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图10—2是车棚顶部截面的示意图， AB 所在圆的圆心为O ． 车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．
[解析]
连结OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交 AB 于F ，如图1．
…………（1分）
由垂径定理，可知： E 是AB 中点，F 是 AB 中点，
∴EF 是弓形高 ．
∴AE =
=AB 2
1
23，EF =2． …………（2分） 设半径为R 米，则OE =(R －2)米．
在Rt △AOE 中，由勾股定理，得 R 2=22)32()2(+-R ．
解得 R =4． ……………………………………………………………………（5分）
O B
A
·
图10—2
图10—1
图1
∵sin ∠AOE =
2
3
=
OA AE ， ∴ ∠AOE =60°， ………………………………（6分）
∴∠AOB =120°． ∴ AB 的长为180
4120π⨯=38
π．
………………………（7分） ∴帆布的面积为3
8
π×60=160π（平方米）． …………………………………（8分）
（说明：本题也可以由相交弦定理求圆的半径的长．对于此种解法，请参照此评分标准相应给分）
9、图14－1至图14－7的正方形霓虹灯广告牌ABCD 都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O ．
如图14－1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH 的对称中心也是点O ，它以每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O 不动，正方形EFGH 经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；……），直到充满正方形ABCD ，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ 从如图14－1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD 的内侧边缘按A →B →C →D →A 移动（即正方形MNPQ 从点P 与点A 重合位置开始，先向左平移，当点Q 与点B 重合时，再向上平移，当点M 与点C 重合时，再向右平移，当点N 与点D 重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．
正方形EFGH 和正方形MNPQ 从如图14－1的位置同时开始运动，设运动时间为x 秒，它们的重叠部分面积为y 个平方单位．
（1）请你在图14－2和图14－3中分别画出x 为2秒、18秒时，正方形EFGH 和正方形MNPQ 的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
（2）①如图14－4，当1≤x ≤3.5时，求y 与x 的函数关系式；
②如图14－5，当3.5≤x ≤7时，求y 与x 的函数关系式； ③如图14－6，当7≤x ≤10.5时，求y 与x 的函数关系式； ④如图14－7，当10.5≤x ≤13时，求y 与x 的函数关系式． （3）对于正方形MNPQ 在正方形ABCD 各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y 的变化情况，指出y 取得最大值和最小值时，相对应的x 的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）
图14-6
D 图14-2 图14-3 D D 图14-4
D
图14-1 (P ) D N 图14-5 D
图14-7
D
P
[解析]
（1）相应的图形如图2-1，2-2．
当x =2时，y =3； 当x =18时，y =18．
（2）①当1≤x ≤3.5时，如图2-3，
延长MN 交AD 于K ，设MN 与HG 交于S ，MQ 与FG 交于T ，则MK =6＋x ，SK =TQ =7－x ，从而MS =MK －SK =2x －1，MT =MQ －TQ =6－（7－x ）= x －1． ∴y=MT ·MS =（x －1）（2x －1）=2x 2－3x ＋1．
②当3.5≤x ≤7时，如图2-4，设FG 与MQ 交于T ，则 TQ =7－x ，∴MT =MQ －TQ =6－（7－x ）=x －1． ∴y=MN ·MT =6（x －1）=6x －6．
③当7≤x ≤10.5时，如图2-5，设FG 与MQ 交于T ，则 TQ=x －7，∴MT =MQ －TQ =6－（x －7）=13－x ． ∴y = MN ·MT =6（13－x ）=78－6x ．
④当10.5≤x ≤13时，如图2-6，设MN 与EF 交于S ，NP 交FG 于R ，延长NM 交BC 于K ，则MK =14－x ，SK =RP =x －7，
∴SM =SK －MK=2x －21，从而SN =MN －SM =27－2x ，NR =NP －RP =13－x ． ∴y=NR ·SN =（13－x ）（27－2x ）=2x 2－53x ＋351．
（说明：以上四种情形，所求得的y 与x 的函数关系式正确的，若不化简不扣分） （3）对于正方形MNPQ ，
①在AB 边上移动时，当0≤x ≤1及13≤x ≤14时，y 取得
最小值0；
当x =7时，y 取得最大值36．
②在BC 边上移动时，当14≤x ≤15及27≤x ≤28时，y 取
得最小值0；
当x =21时，y 取得最大值36． ③在CD 边上移动时，当28≤x ≤29及41≤x ≤42时，y 取得最小值0；
当x =35时，y 取得最大值36．
④在DA 边上移动时，当42≤x ≤43及55≤x ≤56时，y 取得最小值0； 当x =49时，y 取得最大值36．
图
2-4 D 图2-5
D P
图2-6
D
图2-3 D
Q P 图2-2
D 图2-1
D Q P。