解三角形应用举例第一课时)

A
D
C
E
G
H
B
问题探究
设在点C、D处测得A的仰角分别为α、
β，CD=a，测角仪器的高度为h，试求
建筑物高度AB．
A
D
C
E
G
H
B
AB AC sin h
a sin sin h sin( )
例3、如图，要测底部不能到达的烟囱的高 AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、 D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和 60 CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求 烟囱的高。
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
在△BCD中， ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45°+45°+30°）=60°
由正弦定理
sin
BC DC BDC sin DBC
，得
解Rt ABD, 得
BD AB sin BAD BC cos sin sin( )
28cos 30 sin 60 sin( 60 30 )
42(m)
CD=BD-BC=42-28=14(m) 答：山的高度约为14米。
课堂小结
P19 1.2A 1、 3、 9
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。
课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出 示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立 一个解斜三角形的数学模型
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意 义，从而得出实际问题的解
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，60A2C0长 为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
B
C
A
分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到 一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条 件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据 三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边。
问题 3：△ABC 中，根据已知的边和对应角，
运用哪个定理比较适当？
问题 4：运用该定理解题还需要那些边和角呢？
D1
12 sin120 18 sin15
26
6
2 A1B 2 BC1 18 6 3 28.4
AB A1B AA1 28.4 1.5 29.9(m)
答：烟囱的高为 29.9m.
问题探求
4 ．如图，在山顶上有一座铁塔BC， 塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点， 通过测量哪些数据，可以计算出山顶 的高度？
分析：用例1的方法，可以计算出河的 这一岸的一点C到对岸两点的距离，再 测出∠BCA的大小，借助于余弦定理 可以计算出A、B两点间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得
测量垂直高度
1、底部可以到达的；
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
2、底部不能到达的 测 量 边 CD ， 测 量 ∠ C 和 ∠ ADB ，
AB
CD
cot C cot ADB
问题探究
3 ．设AB是一个底部不可到达的竖直 建筑物，A为建筑物的最高点，如何测 量和计算建筑物AB的高度．
1.2 解三角形应用举例 (1)
距离 高度
角度
有关三角形计算
知识点小结
1、正弦定理： a b c
sinA sinB sinC
可以解决的有关解三角形问题： （1）已知两角和任一边； （2）已知两边和其中一边的对角。
2、余弦定理： a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB
A C
2 如图，有大小两座塔AB和CD，小
塔的高为h，在小塔的底部A和顶部B测得
另一塔顶D的仰角分别为α、β，求塔CD
的高度.
D
CD ADsin h cos sin sin( ) B
A
C
c2=a2+b2-2abcosC
可以解决的有关解三角形的问题： （1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 1、水平距离的测量
B
C
A
问题解决
设在点A处测得点B、C的仰角分别为 α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的高 度忽略不计，试求山顶高度CD ．
B
C
D
A
CD AC sin a cos sin
sin( )
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面
B
上一点A的俯角α＝ 60° ，在塔底
C处测得A处的俯角β＝30°。已 知铁塔BC部分的高为28m，求出
掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知
与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
弦定理解题。
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程
图可表示为： 实际问题 画图形
数学模型
实际问题的解
解 三 角 形 检验（答）
数学模型的解
4.计算物体的高度时，一般先根据测量 数据，利用正弦定理或余弦定理计算出 物体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度.
补充练习
1 如图，在高出地面30m的小山顶上 建有一座电视塔AB，在地面上取一点C， 测得点A的仰角的正切值为0.5，且∠ACB ＝45°，求该电视塔的高度.
B
150m
课堂小结
1.在测量上，根据测量需要适当确定 的线段叫做基线.
课堂小结
2.距离测量问题包括一个不可到达点 和两个不可到达点两种，设计测量 方案的基本原则是：能够根据测量 所得的数据计算所求两点间的距离， 其中测量数据与基线的选取有关， 计算时需要利用正、余弦定理.
课堂小结
3.解决物体高度测量问题时，一般先 从一个或两个可到达点，测量出物体 顶部或底部的仰角、俯角或方位角， 再解三角形求相关数据.具体测量哪个 类型的角，应根据实际情况而定.通常 在地面测仰角，在空中测俯角，在行 进中测方位角.
A B
b
a
1
C
1
B
a
A
B
2
2
1
CD
a
4 3
C
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
所求A、B两地间的距离为100 5 米。
形成规律
测量两个不可到达点之间的距离方案： 选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、 ∠BDC、∠ADB的大小； →利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB.
两点之间不可通也不可视 两点之间可视不可达
两点都不可达
求 距 离 kA
AC
asin( )
sin180 (
)
a sin( sin(
)
)
BC
a sin
sin180 (
)
a sin sin(
Байду номын сангаас
)
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 选取相距100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
B
解：在BC1D1中, C1BD1 60 45 15,
由正弦定理可得: C1D1 BC1 sin B sin D1
A1
C1
D1
C
D
A
BC1
C1D1 sin sin B
最大角度
C
A B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，60A2C0长 为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
C
山高CD.
分析：根据已知条件，应该设
法计算出AB或AC的长
D
A
解：在⊿ABC中，∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据 正弦定理，
BC
sin(
)