《近世代数》课程教学改革的探索
近世代数课程的教学探讨
近世代数课程的教学探讨近世代数课程的教学探讨在近世代数教学中，要注重知识的主线和应用价值，加强与高等代数相关知识的联系。
在教学方法上，要把具体的事例引入课堂，把前后的知识联系起来，形成知识体系，从而调动和鼓励学生主动学习的积极性。
标签：近世代数；教学内容；教学方法近世代数也称为抽象代数是数学与应用数学专业一门非常重要的专业必修课，其特点是高度抽象，逻辑性强，推理严谨。
学生普遍认为是一门难懂难学的课程，加之课程由大学三年一期开设，提前到二年一期，更加大了学习难度，导致很多学生苦不堪言。
但是，如果降低难度和要求，学生就不能学到应有的知识，达不到教学的效果，抽象思维能力和逻辑推理能力也得不到应有的提高，这与我们的教学目标相违背。
那么如何解决学生在学习过程中认为太抽象、难度大的问题，如何提高学生的学习兴趣，这给教师们提出了新的要求和挑战。
本文结合近世代数课程教学的情况，以文献为例，[1]从以下方面，提出几点建议，以供读者参考。
一、教学内容方面近世代数课程涉及大量抽象概念、命题、定理和推论。
对于刚接触这门课程的学生来说，学习起来无疑是非常困难的。
他们觉得内容很无聊，更不用说对这门课的兴趣了。
随着我国高等教育的改革，为适应当前社会发展的需要，高校必须增设其他新课程。
相应的，专业教学计划也做了相应的调整，减少了课时。
这样的话，完全不可能把整本书的所有内容都详细看完。
因此，教师应根据实际需要和其他课程安排，合理安排教学任务，调整教学节奏，激发学生的积极性和主观能动性，不减少教学内容，保证教学质量。
1、抓主线，教内容教材内容主要包括群、环、域三部分，是近世代数的核心内容。
在这三个部分的教学过程中，要抓住主线，围绕这些主线进行系统的教学。
比如一个群的主线是群同态，这是一种保持运算的映射，揭示两个群的一些共同性质，从而区分两者的异同。
群的内容可以围绕群的同态展开；环的主线比较理想；域的主线是域扩展。
如果能抓住这些主线，在实际教学中就能达到事半功倍的效果。
近世代数教学改革的初步探索与体会
近世代数教学改革的初步探索与体会俞小祥【摘要】近世代数是师范院校数学专业的学位必修课，其目的是培养和锻炼学生的概括、综合及抽象思维能力。
因其具有高度抽象的特点，学生在学习过程中会产生茫然、枯涩、困难等感觉，从而影响学生的学习积极性。
本文结合教学实际，对该课程的教学改进与教学方法论进行了初步探讨。
【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)004【总页数】2页(P344-345)【关键词】近世代数;抽象;教学【作者】俞小祥【作者单位】江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州 221116【正文语种】中文【中图分类】O513近世代数是现代数学的基础之一，是很多前沿数学分支的理论基础和基本语言，其重要性是不言而喻的。
但在我国的本科生教学计划中，其所占课时很少，通常只有3-4学时。
如何在如此少的教学时间内让学生对该课程所研究的内容，以及与其他数学分支学科的联系有较好的理解是一项具有挑战性的工作。
笔者长期担任本科生与研究生的近世代数主讲教师，结合学生的实际情况，对该课程的教学作了适当的调整与改进，使学生对知识的概括、抽象能力有较大的提高。
同时为有志于数学相关领域研究的学生打下一个较好的基础。
1.1 详尽而细致的举例一般近世代数的教科书都是从定义出发，或简单举例，便开始讲述引理、定理、推论等。
但非重点院校的学生通常数学基础较差，没有非常强的抽象思维能力，对定义的来源及所要揭示的本质问题并很难有一个好的理解，常规的讲授容易让学生有一种方法“云里雾里”的感觉。
所以较好的方法是先举一些简单的例子，然后从这些例子中抽取共性的东西，再给出定义。
如讲授群的概念，可先用有理数、实数等学生熟悉的例子，再举线性空间的可逆变换群和有限集合的变换群等例子。
让学生体会从特殊到一般，再进行抽象这样一个过程。
在举例的过程中，在学生已知的知识范围内，尽可能的详细，是他们对各种特殊和一般情况有一个通盘的了解，这样他们便知道概念的来源及所要学习的目的。
对近世代数教学的几点体会
对近世代数教学的几点体会近世代数教学：探究与创造的共同驱动力。
近世代数学教学注重使用多媒体的方法，其实这从一定程度上改变了我们的数学教学方式。
探讨一下对近世代数学教学方式和技术的一些体会。
一、提高数学教授水平1. 使用多媒体可以有效地引入动态素材，例如视频、图片和语音，让学习者更加深入地了解数学知识，也提高教师的教学水平。
2. 通过多媒体，教授可以更加有效地将其他学科如计算机、医学等运用到数学教学中来，使学生更容易理解复杂的数学概念。
3. 通过多媒体，数学教授可以更容易地分享自己的经历，以及其他知识，以帮助学生更全面理解数学知识。
二、强调多面向的数学认知1. 多媒体可以更容易地使学生认识到数学的多种形式，例如实际市场、社会问题、科学应用，从而达到增强学生对数学概念的认知和实际应用。
2. 通过多媒体，学生可以更直观、更有感知性地了解数学知识，加深印象，让数学知识有更深刻的体验。
3. 多媒体的应用可以增强学生的参与程度，让学生有更多的机会分享思想和观点，使学生更加积极参与课堂教学。
三、加强多媒体实践能力1. 通过多媒体，学生可以参与到课堂上的实践项目中，学习如何应用数学理论来分析和解决实际问题，从而培养学生的实践能力和解决问题能力。
2. 多媒体应用可以更容易地实现数学模拟、展示和展示，可以更直接、深入地把握数学思想，从而加强学生的思维能力。
3. 通过多媒体，学生可以更容易地体验数学的复杂性，学习数学能力的积极影响，从而提高数学的自信心。
综上所述，近世代数学教学注重使用多媒体的方法，不仅可以有利于提高数学教师的教学水平，而且可以帮助学生更加有效地培养数学思维，追求更多多维度的数学认知，实现数学技能和实践能力的提高。
一流专业背景下的近世代数课程教学改革的几点思考——以伊犁师范大学为例
2021年3月伊犁师范学院学报（自然科学版）Mar.2021第15卷第1期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.15No.1一流专业背景下的近世代数课程教学改革的几点思考——以伊犁师范大学为例高百俊（伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁835000）摘要：以张禾瑞教授编写的《近世代数基础》为教材参照，利用章节结构对比图分块整合教学内容，建立问题式课前预习机制调动学生课堂学习积极性，结合有效的课堂教学反思提高教学水平，努力重构以学生为本的“好”课堂，从根本上提高近世代数课堂教学质量.关键词：近世代数；课程；教学改革中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1673-999X（2021）01-0067-040引言在《教育部办公厅关于实施一流本科专业建设“双万计划”的通知》的精神指导下，2019年，伊犁师范大学数学与统计学院的数学与应用数学专业获批自治区级一流本科专业建设点.同时，在教育部印发的《关于一流本科课程建设的实施意见》指导下，一流本科课程“双万计划”现如今也在如火如荼地进行着.近世代数课程作为伊犁师范大学数学与应用数学专业中重要的专业必修课程之一，该课程于2007年就已建设成为新疆维吾尔自治区精品课程，2010年，近世代数课程教学团队成为自治区级教学团队，这些良好的课程建设基础为培养合格的数学专业人才都作出了贡献.近几年，近世代数课程的教育教学改革一方面常态化关注课程教学内容和课堂教学方法方面的改革［1-5］，另一方面也开始侧重于将数学史融入课堂教学内容中［6，7］，以增强数学史与数学教育的融合，突出知识的产生背景，激发学生的学习兴趣；同时，通过增加学生课堂参与实践，利用翻转课堂［8，9］提升学生学习主动性，这些改革对提升近世代数课堂教学效果都有着很好地帮助.为更好地适应数学与应用数学一流本科专业建设，近世代数课程也需要向自治区一流本科课程迈进.本文以张禾瑞教授编写的《近世代数基础》（以下简称教材）为教材参照，从教学内容、课堂教学设计、课堂教学反思三个方面提出一些课程教学改革的建议.优化重构教学内容，，形成化零为整的整体性教学1优化重构教学内容教材内容总共五章，按照我校实际教学周期，能完整讲授前四章的内容.近世代数主要研究代数系统，群和环是两大经典代数系统，因此教材第二章群论和第三章的环论部分是课程教学内容的主体部分，而这收稿日期：2020-12-05基金项目：新疆维吾尔自治区高校本科教育教学研究和改革项目（PT-2020054）.作者简介：高百俊（1980—），女，博士，副教授，从事有限群论、数学教育教学研究.伊犁师范学院学报（自然科学版）2021年两章的内容结构非常相似，可采用结构图的方式进行梳理和对比，使得零散的内容能模块式地集中起来，化零为整.见图1和图 2.在以上两个图中，以中间“群”和“环”为分界线，分图的左边和右边两个部分.图的右边用虚线和黑色粗实线区分的两部分内容恰好代表这两种代数系统的内部知识结构和外部知识结构.一般来讲，内部知识结构主要通过子系统和商系统来完成，外部知识结构主要利用同态和同构来实现，而最终两部分又通过同态基本定理联系在一起.这两部分恰好也是研究群（环）结构的两种途径.长期以来，人们通过这两种途径对代数系统进行研究，得到的优秀成果促进了代数学的繁荣发展.同时，以上两个图的左边的内容，是从研究问题的完整性角度出发，给出抽象理论的佐证支撑.图2中双线框部分的内容介绍了将环继续作成第三种代数系统——域所使用的两种方法，在教材章节安排上起承上启下的作用.利用结构图将教材内容进行分块整合，让学生一看到结构图就知道自己要学什么，分几步学，思路清晰，逻辑严谨；同时，教师通过结构图重构教学内容，关注教师讲授和学生学习之间的差异，既考虑“教”的顺序也重视“学”的逻辑.例如，在第二章开讲之前，教师可在新课导入之后将这一章的整体结构图展示给学生，分三块对整章教学内容进行解释，让学生从整体上把握这一章的学习内容，教会学生用整体的眼光总揽全局，形成整体观，然后有目的地进入每一块的具体学习中，掌握更多的例子和细节，来反馈整体，培养学生利用从整体到局部、再从局部到整体，从抽象到具体、再从具体到抽象的辩证统一观点来分析问题和解决问题.这样的安排，不仅符合学生的认知习惯，使学生更容易接受新的知识，也打破了教师、学生以往以点到点、就内容而内容的完全碎片式的讲授、学习方法，并且可以激发学生探究问题的兴趣，提高课堂学习效率.对于第三章内容的讲授，教师要引导学生用普遍联系的观点看问题.环比群多了一个代数运算，用联系、发展的观点看待这两个代数运算，以及环与群之间的关系，然后将第三章的结构图逐步展示给学生，再与第二章的结构图形成对比，让学生一目了然地看懂环的知识体系，知道自己该怎样学习这一章.教师通过类比的图1第二章群论的结构图图2第三章环与域的结构图6869高百俊：一流专业背景下的近世代数课程教学改革的几点思考第1期方式，引导学生从“教”的角度看教材、看课程内容，与“学”的逻辑形成对比，让学生去实践整体与局部、具体与抽象的辩证统一，在“温故”的过程中更好地“知新”.这样的结构图还可应用到教材第四章，并将其内容与整数环、数环R上一元多项式环的相关内容形成对比，进行比较学习，求同存异，在类比教学中增强学生学习兴趣，产生探索问题的兴趣，形成严谨的科学思维方式，改变学生为学而学的无创新学习状态，提高学生的学习效果.教师整体把握教材内容，梳理内容体系之间的联系，通过结构图式的模块重组，科学地将马克思主义立场观点方法运用到教学中，培养学生的科学研究精神，实现专业育人与思政育人同向同行.找得到学生””的课堂创建有效的课前预习机制，，形成“找得到学生2创建有效的课前预习机制按照一流本科课程建设标准，对标改进我校近世代数课程，首先就要让课堂饱满起来，拒绝“水课”.目前，我校近世代数课堂的现状是以教师为主的抽象理论演绎推理的讲授，学生做“忠实的听众”，零星的提问最终也会成为教师的自问自答，师生之间互动少，合作少，教师教得累，学生听得苦，少了课堂乐趣，课堂没有活起来.全国教育专家委员会会长冯恩洪教授关于“好课的三个维度、三个要素、两种途径”的文章，给我们提供了改变现状的思路.结合近世代数课程课堂现状，要想让近世代数课堂成为“好课堂”，教师一定要以学生发展为本，清楚学生的客观实际，在课堂教学中重视注入问题要素，创建有效的预习机制，让学生带着问题学新知，在课堂上建立师生合作、共同探究的模式，让每一名学生在课堂上找到自己合适的位置，积极发挥自身学习主动性，最终促进教学相长.利用结构图对教学内容分块整合，让学生从一开始就掌握全局，形成整体观，这种方式也适用于每一块内容的学习.学生首先了解这一节课要学什么，然后再去探究细节，这就需要优化课堂教学设计，让课堂活起来.而要让课堂活起来，在课堂上“找到学生”很重要.一方面，教师需要创建有效的预习机制，追踪学生预习成效，使得学生心中有疑问，带着问题听课.例如，在讲授教材第二章第七节循环群之前，教师可提前给学生发送预习导学案、预习微视频，让学生预习.其中，在预习导学案或者预习微视频中可以设置什么是循环群？什么是循环群的生成元？循环群的元素有什么特征？循环群如何表示？你所认识的群中有哪些是循环群，它们的生成元是谁，你能找出几个？整数加群是循环群吗？模n的剩余类加群是循环群吗？你找的循环群中有限群有几个，无限群有几个？有限循环群和无限循环群的生成元个数是否一样，各自有什么规律？你能用列元素法写出你找到的有限循环群和无限循环群吗？有限循环群和无限循环群的所有元素（列元素法表达出来的）与整数加群、模n的剩余类加群的元素有什么相似点，你能发现什么规律？本节定理的证明过程你有什么疑惑？等问题，教师还可以将以上问题设置成电子问卷形式，让学生预习后在线答卷，教师统计学生答案，将以上问题归类：A类——全班学生都有疑问的问题，B类——一部分有疑问一部分没有疑问的问题，C类——都能理解没有疑问的问题，按照这三类问题涉及的知识点设置课堂教学内容时间安排与课堂合作.对于A类问题涉及的知识点，教师要精准“磨”课，设置符合学生认知习惯的诱导过程，让学生排除疑问；对于B类问题涉及的知识点，可以在课堂上预留时间，采取辩论的方式，让这两部分学生进行合作交流，教师控制时间和节奏，使得疑问得以解决；对于C类问题涉及的知识点，教师按照正常“教”的方法进行讲授.这样一来，这堂课的知识点有轻有重，有讲有论，不单调，还能调动学生学习的主动性，教师也可将学生提出的疑问进行汇总，作为教学经验保留下来.另一方面，教师需要转变观念，将备课之重点——备学生落在实处，就是要培养学生带着问题听课，是自愿地主动听课.尤其是针对我校数学与统计学院中很多数学基础较差、学习主动性不强、学习没有方法的学生，提前有效地预习是转变他们学习态度、提高他们成绩非常有效的方法，也是真正改变目前课堂教学效70伊犁师范学院学报（自然科学版）2021年果的有效方法之一.在教师对教学内容完全掌握的情况下，将学生的学习实际考虑到课堂教学设计中，找准痛点，对症下药，才能真正地通过课堂教学实现本科教育的“四个回归”.加强课堂教学反思，，增进教师教学实力3加强课堂教学反思课堂教学具有很大的随机性.同样的教材，不同的年代，不同的学生，同一位教师，也会产生不同的教学效果.每一位教师都想让自己的课堂教学呈现“导入出彩、内容饱满、收尾大气”的局面.如果一位教师课前准备不足，课中又不能随机应变，课后更不能很好地反思，那么这位教师的课堂教学质量就会大打折扣.好的教学反思是助力教师快速成长的法宝.近世代数课程要想向自治区一流本科课程迈进，必须提高每一位任课教师的教学水平，提升整个教学团队的教学实力；教师除了必须熟悉教材，做好课堂教学设计之外，有效果的课堂教学反思也是必需的.为了避免教师上完课无反思可写，建议教师可从教学理念、教学方法和教学过程三个方面进行反思，反思课程思政引入是否合理，反思是否将“三全育人”理念贯穿于教学，反思教学方法是否改善，反思课前、课中做了哪些准备和改变，课后该如何进行改进等等.为了更好地提高教学水平，近世代数教学团队成员还应该集体备课，集体听课，一起研讨，共同反思，改进教学方法，从整体上提升团队每一位教师的教学水平.4结束语为了不断提升课程教学质量，必须常态化地进行近世代数课程教学改革，及时融入符合时代特色的教学理念，并进行实践、研讨，在教中改，在改后教，以教促改，教改结合，促进近世代数课程更好地发展.参考文献：［1］程晓亮.高师院校近世代数课程教学策略［J］.德州学院学报，2015，31（4）：92-94.［2］王丽.新形势下近世代数的教学研究［J］.现代职业教育，2020（44）：36-37.［3］赵婷.问题驱动教学模式在抽象代数教学中的应用［J］.高师理科学刊，2016，36（8）：71-74.［4］陈全国，滕云玲.关于近世代数教学的思考：以伊犁师范学院为例［J］.聊城大学学报，2012，25（3）：66-68.［5］黄影，张丽华，李同兴，等.探究式教学法在近世代数中的构建与应用［J］.曲阜师范大学学报，2019，45（1）：117-120.［6］胡俊美，张红梅，郭秀英，等.数学史渗透到“近世代数”教学的探索研究：以群论为例［J］.科教导刊（下旬），2017（1）：107-108.［7］杜宛娟.数学史融入抽象代数教学的思考［J］.教育现代化，2018（48）：246-247，250.［8］杨艳.《近世代数》翻转课堂的实践研究［J］.教育教学论坛，2018（24）：90-91.［9］胡晓莉.关于《抽象代数》课程教学改革的探索［J］.大学数学，2019，35（5）：61-65.【责任编辑：何苗苗】Some Thoughts on the Teaching Reform of Modern Algebra underthe Background of first Class Profession——Taking Yili Normal University as an exampleGao Baijun(College of Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang835000,China) Abstract:Taking the foundation of Modern Algebra compiled by Professor Zhang Herui as the textbook reference,a student-oriented"good"class is reconstructed which can fundamentally improve the teaching quality of Modern Algebra class by using chap‐ter structure comparison diagram to block and integrate the teaching content,establishing a question-based preview plan to strength‐en classroom teaching design and combining effective teaching reflection to improve the teaching level.Key words:Modern Algebra;curriculum;teaching reform。
关于近世代数教学改革的几点心得
关于近世代数教学改革的几点心得【摘要】近世代数教学改革对于提升学生数学学习能力和培养创新思维至关重要。
本文从近世代数教学改革的必要性和背景出发，探讨了该改革的目标、实施方式、推进步骤、效果评估以及面临的挑战和解决方案。
通过对现有教学模式进行革新和优化，促进学生对数学的深入理解和掌握。
总结了近世代数教学改革的启示和未来展望，强调了教育部门和教师在推动数学教学改革中的重要作用，为培养具有数学素养和创新能力的人才做出积极的贡献。
这些措施将有助于提高数学教育的质量，推动学生数学学习水平的提升，以及应对未来社会发展的挑战。
【关键词】关键词：近世代数教学改革、必要性、背景、目标、实施方式、推进步骤、效果评估、挑战、解决方案、启示、展望。
1. 引言1.1 近世代数教学改革的必要性近世代数教学改革的必要性在于适应时代发展的需求，促进学生的全面发展和提高教学质量。
随着科技的发展和社会需求的变化，现代社会对数学知识的要求越来越高，传统的教学模式已经无法适应现代社会的发展需求，需要进行教学改革来提高学生的数学素养。
传统的代数教学方法在激发学生学习兴趣和培养创新思维方面存在不足，需要进行改革以激发学生的学习积极性和创造力。
近世代数教学改革也能够促进学科之间的融合和交叉，提高学生的综合素质和能力。
近世代数教学改革的必要性在于提高教学质量，促进学生全面发展，适应社会需求和科技发展的要求。
1.2 近世代数教学改革的背景近世代数教学改革的背景主要源自于教育体制变革的需求和时代发展的要求。
随着社会经济结构的变革和科技的飞速发展，传统的代数教学已经不能满足当今社会对数学素养的要求。
近世代数教学改革的背景包括以下几个方面：信息技术的快速发展使得数学教学的模式需要进行更新和转变。
传统的代数教学注重基础概念的灌输和机械计算的训练，无法适应当今信息化时代对数学思维和创新能力的需求。
国际教育趋势的影响也是近世代数教学改革的重要背景之一。
在国际化的教育体系下，我国需要与国际接轨，提高学生的数学素养和竞争力。
关于近世代数教学改革的几点心得
关于近世代数教学改革的几点心得近世代数作为一门重要的理论学科，由于其理论的高度的抽象性和逻辑性，使得教学有一定的难度，为了便于学生掌握这门课程，近世代数的教学改革就势在必行，以本人近几年来对近世代数的教学经验，对近世代数的教学改革作了几点概括和总结，以便学生更好的学习近世代数这门课。
标签：抽象性；问题型；教学模式；换位教学法；同构映射0 引言近世代数是一门抽象的理论学科，该课程理论偏多，具有高度的抽象性，因为其抽象的特点，所以它的理论就更具有广泛性，很多学科都或多或少地用到近世代数的相关理论。
各个高校都开设了这门课程，专家、学者对这门课的关注度也越来越高。
近几年来通过对这门课的教学，颇有心得，对其教学的改革总结几点以共勉。
1 建立良好的师生关系、构建和谐的课堂氛围良好的师生关系是师生之间可畅通无阻地沟通与交流的前提，活跃的课堂气氛可吸引学生的听课注意力，激发学生的学习兴趣。
老师应主动的多与学生接触和交流，构建和谐的课堂气氛，老师和学生之间的交流和互动可使学生觉得老师既是长辈又是朋友，这无形中使学生和老师的关系变得非常密切和融洽，使得师生之间无话不谈。
2 应注重基本概念的教学有些概念虽然字面意思很好理解，但它的应用很灵活，因此一定要理解透概念才能灵活应用，比如映射这个基本概念，在映射的基础上给代数运算下了定义，在代数运算的基础上给群下了定义，再推广到环和域上，从而形成了一系列的代数系统。
另外，在映射的基础上给同态映射、同态满射和同构映射下了定义。
映射可以比较两个集合的元素个数，同态映射、同态满射和同构映射可以把已知代数系统的信息反映到未知的代数系统上去，同态映射、同态满射和同构映射是比较代数系统之间的性质的有力工具。
3 问题型教学模式问题型教学模式分几步：提问--分析--举例--回归问题--总结结论。
比如这样一个问题：一个集合和它的真子集之间会有双射存在吗？和同学们一起回顾集合、真子集、和双射的概念，分析双射应具备的必备条件，引导他们广义思考。
浅谈近世代数课程教学方法
2019年12月第39卷第6期Dec.2019Vol.39No.6汉江师范学院学报Journal of Hanj iang Normal University浅谈近世代数课程教学方法谷勤勤，赵良（安徽工业大学数理科学与工程学院应用数学系，安徽马鞍山243000）［摘要］近世代数是大学数学专业比较抽象的一门专业必修课.从教学内容、教学方法和教学手段等方面给出如何提高课堂教学效果的几点体会.［关键词］近世代数;教学改革；探讨［doi］10.19575/42—1892/g4.2019.06.025［中图分类号］G642［文献标识码］A近世代数又名抽象代数，是以研究代数系统的性质与结构为中心的一门抽象理论学科，是数学、信息与计算科学等专业的必修课程•近世代数在计算机科学、信息科学（如：密码学）、近代物理、近代化学等学科方面具有广泛的应用，是现代科学技术重要的数学基础之一，其思想、理论和方法已被广泛地应用于代数几何、代数拓扑等领域中，是当代数学的重要工具之一.近世代数是数学专业课程中最能反映现代数学的高度抽象性、公理化方法普遍的课程，是数学专业抽象思维训练及逻辑思维培养不可或缺的专业课程.它是中学代数的延拓和提高，是高等代数和解析几何的后继课程，也是数学专业硕士研究生阶段的重要基础课程.近年来，国内的教育工作者对这门课的关注程度也日益提高，对相关的教学理论也进行了不断的完善〔I」.安徽工业大学应用数学系面向本科生开设该课程已有九年.作为该课程主讲教师，我们在教学中发现部分教学内容比较陈旧，有些教学内容难度的选择已经不能［文章编号］2096—3734（2019）06—0115—05很好地适应高等教育从精英教育到大众化教育过渡的需要等问题.近世代数这门课的特点是概念多、理论性强、内容偏深且抽象、理论联系实际少，应用背景与应用实例介绍较少等等，因此学生普遍认为该课程是一门难懂难学的课程.自开设该课程以来，按照本校对数学专业课程改革的要求，我们一直致力于该课程的教改研究，目的是既培养学生的数学思想，又提高学生的数学能力.特别是在教学定位、课程内容、教学方法和教学手段等方面进行了一系列深入的研究，并得到了一些行之有效的教学方法和经验.本文针对我校学生的实际情况从教学实践出发，从教学内容、教学方法和教学手段等三个方面总结笔者在教学过程中积累的一些工作经验.1选择合理的教学定位，精选教学内容1.1根据课程性质和课程要求选择合适内容，抓主线、重对比在我校，《近世代数》是数学与应用数学专业重要基础课程之一，安排在大学第［收稿日期J2019-09-01［基金项目］安徽工业大学重点教育教学研究项目《代数课程的分层教学与优化创新研究》（项目编号：2017jy012）.［作者简介］谷勤勤（1979-）,女，山东莱芜人，安徽工业大学数理科学与工程学院应用数学系副教授，博士，主要从事代数K—理论与同调代数研究.HJSFXYXB 115三学期开设，所选教材⑷主要内容是分为三个部分：第一部分学习近世代数的预备知识，包括集合、映射、代数运算及等价关系等基本概念；第二部分学习群的基本理论，主要包括群的定义和基本性质，子群和商群理论，群同态和同构定理，置换群的基本理论，有限群的Lagrange定理；第三部分学习环论的基础内容，主要包括环，子环，商环的定义和基本性质，环同态和同构定理，素理想与极大理想，环上的多项式环的构造，扩域和有限域.随着我国高等教育改革的不断深入，为了适应当前教育办学理念，系里对该门课的教学计划做了一些调整，压缩了课时，从2014年之前的72学时压缩到现在的48学时.如此一来，详细讲完教材⑷―"中所有的内容是非常困难的，因此根据专业性质、实际需要及后继学科的安排，在不减少授课的主要内容，保证课程内容的科学性的前提下，合理安排教学进度，灵活安排教学内容，并对传统内容做了部分处理，例如，群部分内容删减群在集合上的作用，群的自同构群、西罗定理、有限交换群；环部分内容删减素环及其极大理想、非交换环、唯一分解整环的多项式扩张；域部分内容只介绍域跟单扩域的基本概念•施教的内容仅包括以下章节：代数运算、同态与同构、等价关系与集合分类、群的相关概念及其性质、陪集指数lagrange定理、正规子群、上群、群同态及同构定理、环及特殊环、理想、环同态基本定理.同时根据实际需要，结合各章节内容增设一定数量的应用例题，适当安排实践课，并且在习题选择上采取少而精原则，尽量避免偏题难题.我们的教学过程中主要是围绕主线教学，重类比，求同存异，举一反三，提高教学效率.教材共有6章，主要包括群、环、域三种代数系统，这些重要的代数系统互不相HJSFXYXB116同又有着千丝万缕的联系.群论的主线是群同态与同构，正规子群主要是用来比较两个集合及生成新的集合.环论的主线是理想，域的主线是扩域.近世代数群、环、域3种代数系统中：群是环与域的基础，环与域都是群.它们在群这个代数系的基础上附加了一种叫乘法的代数运算，这就注定了群、环、域之间必定有许多相似之处又有各自独特的特点.在这部分教学过程中我们采取对比式教学，找出它们的异同，帮助学生理清楚相关知识点.例如，群论中子群这个重要的概念，它在研究群的性质时起到了非常重要的作用，其自身也有独特的性质•环中同样有一个子环的概念，它在环论的研究中也起着重要的作用.子环和子群在概念、性质和究方法上有很大程度上相似，又有不同，不同部分正是课程重点讲述的内容.引导学生观察这两个相近的知识点的相同点与差别，通过类比使学生更深入和全面地掌握这些重要的知识点，从而既节省了学习时间，又提高了学习效率.1.2注重课程与先修课程的联系代数、分析和几何是数学专业三大基础学科.在代数学这个方向中，高等代数是基础学科，而近世代数是高等代数的后继课程，是现代代数学的基础，它起着承上启下的作用.近世代数中的很多定义跟定理可以看作是高等代数中相关定义和定理的推广.因此在讲授这些部分时，我们先带领学生回顾这些定义及定理，让学生认识到各门学科之间是相互联系的，并不是孤立存在的，这样在学习新知识时学生更容易理解并接受.例如，在讲群的同态概念时，我们先复习线性空间的同态概念，线性空间的同态是保持两个运算，把零元映射到零元，群的同态也是保持运算，单位元映射到单位元，只要说明两类代数结构的不同点在什么地方，学生理解起来就非常容易.再例如在讲授环的零因子这一概念时，可以先复习矩阵的乘法并举出非零矩阵乘积为零的例子，并对比整数中乘法，说明不同，给出零因子的概念.如此一来，近世代数变得不那么抽象，很多概念跟方法都可以跟高等代数中相关的部分作对比.1.3在课程内容中精选应用实例首先，在近世代数的教学过程中引入具体的例子，让学生逐渐接受抽象的概念.例如，利用从小学阶段就开始接触的整数跟整数的运算加法跟乘法，由整数集及两个运算可以构成代数系统，这个例子在授课过程中出现了14次，对学生理解环，循环环等抽象的概念具有很大的帮助.再如，模4剩余类做成的集合关于加法与乘法做成的代数系统在授课过程中用到9次，可以帮助学生理解环、理想、特征、零因子等抽象的概念.其次，讲课过程中注重课程的实际应用性.近世代数不仅有深刻的理论，而且有广泛的应用，这使得这门学科具有强大的生命力.20世纪初，理论物理和分子化学领域已经应用到了近世代数的群理论，到20世纪中叶，理想理论和域论在计算理论、编码、信息安全等诸多领域显示出强大的功能•作为数学专业一门基础课程，教师在授课过程中不仅强调它的理论性而且要讲其应用，理论应用一起抓•在对近世代数中相关知识的应用性的讲授过程中，可以借助多媒体这一强大的工具，向学生介绍本课程在物理理论、分子化学、计算机理论、编码、信息安全等领域的应用，让学生了解该课程的应用价值.例如，讲第一节时，就引入项链问题E5]176-181、开关线路构造问题、数字通信的可靠性问题等实际应用问题，告诉学生通过后面的学习，可以用近世代数的方法来解决这些问题，从而提高学生的学习兴趣•讲完群论后，我们就和学生一起用群理论解决第一节课中所提出的问题.随着讲课的深入我们会讲一些近世代数在近代科学中的应用•例如，在讲解群理论时借助百度百科视频引入RSA公钥密码系统，并引用环f中基于Z n*的公钥密码系统，并用给出简单的使用RSA公钥密码系统加密解密的例子.在讲环与有限域的相关知识的时向学生介绍信息安全方面的知识，引用E5]176-181环与域在编码纠错理论中的应用部分，这部分内容的引入很大程度上刺激了学生学习这门课程的积极性.1.4在教学内容中加入应用数学软件GAP相对于比较抽象的概念和定理而言，学生更喜欢操作性强比较直观的数学实验.然而，近世代数不像数学分析、概率论线性代数等课程一样有许多问题可以借助Matlab、Maple、Mathematica等软件来解决.原因主要是这门课程研究的对象（群、环、域）较抽象，在一般的软件上难以实现.这种情况影响了学生对群、环、域的直观理解，GAP的出现可以说是一场革命，它实现了抽象对象的计算机化.因而在教学过程中引入GAP数学软件⑷宓—宓，使得教学内容比较形象直观，达到激发学生兴趣、开阔学生视野的目的，并可培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力.1.5将数学史融入教学内容通常的近世代数教材都只是注重知识的逻辑结构，往往忽略了知识产生的背景和形成过程，把“人类探索的过程归结为一堆干巴巴的定理wE7]387-394.实际上，数学史与数学教育的有机结合可以减少理论学习的枯燥性，让学生感受数学的美、享受数学的乐趣.兴趣是最好的老师，了解本门课程的来龙去脉，可以在很大程度上提高学生的学习兴趣.例如，在第二章的教学过程中，向学生介绍五次和五次以上的方程根HJSFXYXB117的根式解问题.1170年lagrange详细探讨了解三次、四次方程根的一般解法——根式解，并试图将这一方法推广到五、六次方程乃至更高次的一般方程上，他最终没有解决这个问题.1824年阿贝尔严格证明了五次及五次以上方程不能用根式求解的问题.对于特殊方程可以用根式来解的问题是由伽罗华解决的，并且在解决的过程中给出的历史上最早的“群”定义实际上是置换群的定义.数学史知识的渗透可以让学生了解并参与到数学创造的真实过程中，充分调动学生的“学”、令“教”与“学”结合起来，从而提高教学效率.2教学方法和教学手段数学具有高度的抽象性，这在近世代数这门课中体现的淋漓尽致.在近世代数的实际教学过程中，如何把抽象的理论具体化，教学方法和教学手段的选择至关重要.在教学方法方面我们做了以下尝试：2.1引入“问题解决”的方法科学是从问题开始的，问题可以激励人自助的去探索，去学习.在教学过程中，我们有目的的提出不同的问题和任务，引导学生主动去探索、去解决问题，以便深层次的掌握并运用知识，从而培养了学生的思维能力以及创新能力.例如在讲群的子群概念时，我们知道子群的概念是是子集，并关于群的运算做成群.结合群的性质让学生自己推理子群的判定条件.比如做成群的条件是封闭性、结合律，有单位元，有逆元等等，去掉重复的东西，就得出子群的判定定理•利用提出问题，并让学生尝试独立寻找解决问题的方法，可以引发学生主动发现，积极探索，善于总结并能深层次理解掌握所学的知识.2.2利用“启发式”教学模式在近世代数的教学过程中，经常使用HJSFXYXB118“启发式”教学的模式.例如在讲群的概念时，我们给出全体可逆的n阶矩阵做成一个集合，矩阵具有乘法，并且关于乘法有逆元，同时我们给出全体整数做成的集合，定义了加法，加法具有加法逆元.引导学生把集合中的具体元素忘掉，只留两个集合关于运算的共同特点就是封闭性，结合律有单位元、有逆元，抽象出来就是群的概念.通过这种方法，学生很容易接受这个定义，并且锻炼了学生的抽象思维能力.2.3采用“讨论式”教学方法“讨论式”教学法是现今高校教学方法改革中的热点，同时也是难点.在欧美讨论式教学法非常盛行，这种教学方法有助于发展学生分析和综合的能力，有助于增强学生的能动性，对创新性人才的培养具有重要的作用.在授课过程中一般先由教师提出“问题”或“主题”.例如在讲授欧拉函数的时候，明确这部分的要求，欧拉函数的性质及其在RSA密码中的应用，并提供辗转相除法跟素数性质的相关材料.学生根据这些进行研究和准备，我们把60个人分成六个讨论小组，并自行设计学习方案•方案设计都是以小组形式围绕“欧拉函数性质”和“具体性质在密码学中的应用”展开，在讨论中学生可分别扮演解密者和加密者的不同角色，进行自由的谈论•学生各自介绍自己的分析和研究成果，例如积性性质与和性性质在解密中的应用，在讨论过程中分析问题、纠正错误•教师在此过程中设置加大数据等障碍、并启发思路和引导争论，最后将学生的不同观点分别列出•讨论结束后，教师进行简短的总结，分析各个小组学生的观点，并提出自己的想法•利用这种方法加强了学生的主观能动性，并有利于创新性人才的培养.教学手段方面，我们在教学过程中以学生为中心，以调动学生自身的学习主动性、积极性为手段，并根据教学内容适当引入现代化教学技术，提高教学质量.由于数学专业课程非常重视逻辑推理论证能力和抽象思维能力的培养，通常利用传统的黑板、粉笔教学，这种教学方式的优点是可以边写边讲解，让学生跟着教师一起思维，一起推理.这种方式在推理能力的方面有很大优势，但是在实际应用方面例如在讲群的对称性时对称群在化学、晶体学中的例子就很难仅靠板书实现，这就需要引入多媒体图像、动画等，既节省时间，又能直观感受.在讲习题课及放视频影像时，还可以利用学习通等软件让学生在同一时间内做题、学习，这样极大程度上调动了学生的学习积极性，提高了学习效率.近世代数是大学数学专业课中学生比较难学的一门课程，教师在教学过程中选择合适的教学内容、运用合理的教学方法和教学手段可以有效提高学生的学习兴趣，进而更好地锻炼学生的逻辑思维和抽象思维能力.总之，“如何提高学生学习《近世代数》的兴趣”这一课题，仍然值得我们继续研究.[参考文献][1]夏静波，邹庭荣，张四兰.“近世代数”的教学技巧[J].大学数学,2009,25(1).[2]顾沛.“抽象代数”教学中的素质教育[J].大学数学,2006,22(3).[3]宋蔷薇，李录苹.Magma在近世代数中的应用[J].山西大同大学学报,2015,31(1).[4]杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社,2005.[5]胡冠章，王殿军.应用近世代数[M].3版.北京:清华大学出版社,2006.[6]The GAP Group.The GAP reference manual[EB/OL].www.gap—/manuals/doc/ref/ manual,pdf.2008.[7]M.Kline?Carl B.Boyer—In Memoriam[J].Hisitoria Mathematica.1976,(3).【编校:胡军福】On Teaching Methods of Modern AlgebraGU Qin-qin,ZHAO-Liang(Department of Applied Maths,Anhui University of Technology,Ma'anshan243000,China) Abstract：Modern Algebra is one o£abstract required courses for Maths majors.The course teaching is how to improve the effect of classroom teaching.Some experience in Modern Algebra teaching from the aspects of teaching content,teaching method and teaching section were provided in the paper.Key words:Modern Algebra;teaching reform；discussionHJSFXYXB 119。
关于近世代数教学的几点思考
关于近世代数教学的几点思考作者：胡江胜来源：《江苏理工学院学报》2015年第04期摘要：近世代数是本科院校数学专业的一门专业必修课。
为了提高该课程的教学效果和教学水平，结合自身的的教学实践，从习题集的编写、教学方法的改进和考核方式的多样化等三个方面进行论述。
关键词：近世代数；教学方法；课程考核中图分类号：G642.1文献标识码：A文章编号：2095-7394（2015）04-0088-030 引言近世代数，又称为抽象代数，作为本科院校数学专业的一门专业必修课，它以研究代数系统的性质与结构为主，是代数学各个分支的基础。
许多学生在学习近世代数的过程中，对其最大的感触就是“抽象”，因为在近世代数中很少出现具体的数字，它主要强调的是理论知识的系统化和证明过程的完善化而非公式化的计算过程。
该课程不仅抽象程度高，而且推理逻辑性强，知识点之间看似分散实则有着较强的内在联系并呈网状分布，因此，学习过程中需要高度的抽象概括和严谨的逻辑推理。
随着高校改革的推行，培养应用型人才成为当前高校的发展方向。
以往近世代数的教学模式、教学方法和考核方法已逐渐不能满足当前高校发展的需求。
因此，进行相应的教学改革势在必行。
本文主要从编写配套习题集、教学方法的改进和课程考核方式的多样化等三个方面来探讨近世代数课程的教学改革。
1 编写配套的习题集张禾瑞先生编著的《近世代数基础》是大部分高校正在使用的教材版本，但是这一版本教材已经沿用了四十多年，其中有些内容已经稍显陈旧，与当前的应用产生了较大的脱节，并且由于缺乏配套的教辅参考书，学生们在学习的过程中往往只是掌握了书上的内容，而不能灵活运用所学的知识。
由于各个高校学生水平不一，不同教师的教学模式也不尽相同，因此，教师需要结合自己学校学生的实际情况来编写一套近世代数习题集，这有助于培养学生的理论应用能力和提高学生的基本代数素养。
编写的过程中应当依据学生的现状和教学的效果不断调整，这样，能够使得学生在学习过程中有章可循，也能及时的检测自己的学习效果，从而远离“抽象”。
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《近世代数》课程教学改革的探索
摘要：《近世代数》是现代数学的重要基础，它在信息与计算机科学、现代物理学与化学、量子信息等领域都有着广泛应用。
在教学中，应注重其所授知识在各领域中的应用及所蕴含的思维方式，以解决具体问题的需求牵引为导向、以掌握解决问题的方法为目的。
故笔者提出关于《近世代数》课程教学改革的一些基本措施。
关键词：近世代数、教学改革、思维教学
1、引言随着近代数学的不断发展，《近世代数》的基本思想、理论与方法已经应用到各个学科方向，其实际应用也日益广泛，这就使得它在数学课程中的地位日益重要。
由于此课程比较理论、抽象，教学重理论轻应用，从而导致在教学中容易重定理证明轻实例计算和思维拓展，大多忽略了问题的实际意义，导致学生们普遍认为抽象代数太抽象、枯燥、难学、学而无用。
事实上，如果学生没有彻底理解和掌握《近世代数》中的每个概念，以及概念的来源，很难与现实生活中的实际问题相联系。
在很多高校中，本科阶段一般只有数学与应用数学专业才开此课程。
但其实此课程对于很多工科学生也是一门必不可少的选修课程。
《近世代数》课程内容逻辑性很强，课后习题也不是很容易解答，另外教学学时不充裕，这些都导致了学生很难较好地掌握《近世代数》课程的基本内容以及理论精髓。
要想此课程上有较好的教学效果，作为任课教师就必须在教学上下一番功夫，仔细揣摩如何教学。
传统的《近世代数》课程教学单纯地追求书本概念的抽象性，逻辑思维的严密性，结论的明确性与体系的完整性。
即使这样的教学从理论上说是比较好的，但是它忽略了课程知识与现实的脱节，从而导致学生对此课程感觉乏味、枯燥，最后导致学生以低头睡觉、玩手机来应付此课程。
因此，我校《近世代数》课程的改革势在必行。
无论是在教学内容、教学方法、考查手段上都必须进行相应的变革。
2、《抽象代数》课程改革的措施
(1) 激发学生探索和学习《近世代数》知识的兴趣，开阔学生的代数视角。
首先回答学生学习此课程时所持的三个疑问：为什么要学习《近世代数》，即学习《近世代数》有何意义；《近世代数》的发展历史；如何来学好《抽象代数》。
充分发挥互联网的优势，让学生搜索关于对《抽象代数》发展有重要贡献的著名数学家的资料，以及观看数学相关的电影或纪录片。
另外，给学生布置大作业。
在课程开始的前两周就布置一项重要的作业：让每个学生准备一个课程相关内容的研讨报告，作为本门课程结业考核的重要依据。
这样可以促使学生带着问题去学、提前学、课外学。
(2) 结合中学数学，巧妙运用类比，联系实际应用，便于学生理解和记忆。
《近世代数》课程中太多全新的，抽象的定义和定理，所以要注重由具体到抽象的教学方法。
也就是说先举出具体、熟悉的实例，然后由具体的实例归纳出定义、或者得出性质、结论，紧接着做进一步的推广，最后利用逻辑推演证明所推广的结论是否正确，达到把具体问题抽象的教学目的。
比如，在学习群的基本概念时，可以以每个学生最熟悉不过的整数加群，剩余类加群以及3次单位根乘法群为例来引入群的抽象定义。
紧接着让学生思考：由所有同阶可逆矩阵构成的集合是否构成群；以及由所有行列式为1的同阶矩阵是否构成群等。
然后再给出一些抽象群的例子，如四元素群等。
如若按照这种顺藤摸瓜、层层递进的思路来
处理每个问题，势必使学生感到《近世代数》也没有那么抽象、难学，会让他们
更容易接受抽象的概念。
《近世代数》概念比较多，学生往往容易对一些基本概念及性质的运用出现
混淆，此时我们可以正确运用类比法来消除他们的疑惑。
事实上，学生面对如此
抽象的一门课程，最大的问题是心中缺乏具体实例，听老师讲容易，自己动手却
很难。
他们大多不能懂得形式化推理的目的是什么。
若运用类比法可以有效帮助
学生理解概念、掌握性质。
比如说：正规子群的判断以及极大理想与素理想的判断。
《近世代数》的形成在于数学进一步发展的需要，它的魅力在于其严谨的理论
知识以及广泛的实际应用。
由于教材或者老师自身知识受限，往往不能真正回答
出“学习《近世代数》有何用”。
也因此让学生觉得他们只是在学习认识一大堆的
数学符号，记忆一个又一个的定义、定理，直接挫败了学生的学习兴趣。
事实上，《近世代数》有着广泛的应用，如晶体的对称性、三大几何作图、同余方程组、
一些组合计算问题等。
20世纪初群论就已经应用于理论物理学和分子化学。
到
20世纪中，理想论和域论在计算、编码、信息安全等领域的作用举足轻重。
(3) 建立微信平台，翻转课堂与研讨相结合，让学生成为真正的主体。
《近世代数》的每一章都有很多新的定义定理，因为它们的抽象性，从而导致
学生难以记忆，以及难以弄清定理之间的关联以及互推等。
因此在每章学完后开
展一次研讨课，要求学生将所学知识进行归纳、总结，并以具体的例子来说明相
关定理、性质以及计算，最后需以PPT的形式向其他同学汇报。
通过学生自己动手、动脑总结有利于更加透彻地掌握所学知识。
(4) 灵活考核方式，不让学生为了学习、为了及格而学《近世代数》。
丢弃传统的考核方式——闭卷考试，而采用平时出勤、课堂表现（20%）+ 研讨大作业（占20%）+ 期终报告（30%）+ 期终论文（30%）的形式。
让学生不用为了考试，对
书本知识死记硬背，也可杜绝那些平时不认真学习，临时抱佛脚的现象。
3、结束语
对于《近世代数》课程教学的改革，重点在于教师本身要透彻理解每个概念，能对身边相应的实例以及应用信手捏来，让学生觉得这是一门有趣的、必学的课程。
培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力，使学生掌握基本的代数方法，培
养学生自主学习和发现问题的能力。
参考文献：
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［２］王羡，王志俊，董红昌，刘琼玲．浅谈抽象代数教学改革［Ｊ］．大学
数学，２０１５，３１（４）：４４－４７．
［３］李平．新型教学模式在近世代数教学中的交互运用［Ｊ］．教育教学论坛，２０１６，４６：１５４－１５５．
［４］韩士安，林磊．近世代数［Ｍ］．２版．北京：科学出版社，２０１５．作者简介：胡晓莉（1984，4-），女，汉，湖南长沙，研究生，副教授，江
汉大学人工智能学院数学与大数据系，学科教学（数学）。