2018全国高考数学统计与概率专题(附答案解析)
2018年高考数学二轮复习第一部分专题六算法复数推理与证明概率与统计第二讲统计与统计案例习题
第二讲统计与统计事例限时规范训练一、选择题1．已知变量x 和 y 知足关系 y＝－＋1，变量 y 与 z 正有关．以下结论中正确的选项是()A．x与y正有关，x与z负有关B．x与y正有关，x与z正有关C．x与y负有关，x与z负有关D．x与y负有关，x与z正有关分析：由于y＝－＋1， x 的系数为负，故x 与 y 负有关；而y 与 z 正有关，故x 与 z 负有关．答案： C2．一个频次散布表( 样本容量为30) 不当心被破坏了一部分，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为，则预计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数为()A． 19 B．17C． 16 D．15分析：由题意得样本数据在[20,60) 内的频数为 30×＝ 24，则样本在 [40,50) 和 [50,60) 内的数据个数之和为24－4－ 5＝ 15，应选 D.答案： D3．某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”能否有关，运用2×2列联表进行独立性查验，经计算K2＝，则以为“学生性别与支持活动有关”的犯错误的概率不超出() A． % B．1%C． 99% D．%附：( 2≥k 0)P Kk0分析：利用临界值表判断．由于>，因此起码有99%的掌握以为“学生性别与支持活动有关系”，即以为“学生性别与支持活动有关系”犯错的概率不超出1%，应选 B.答案： B4．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频次散布直方图如图，数据的分组挨次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60 分的人数是15，则该班的学生人数是()A． 45B．50C． 55 D．60分析：由频次散布直方图可知，低于60 分的频次为＋×20＝，因此该班的学生人数为错误 ! ＝50.答案： B5．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采纳分层抽样的方法检查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320 人，则该样本中的老年教师人数为()类型人数老年教师900中年教师 1 800青年教师 1 600共计 4 300B．100C． 180 D．300x，由题意及分层抽样的特色得x 320，故 x＝180.分析：设该样本中的老年教师人数为900＝1 600答案： C^x ＝5，则样本6．由观察的样本数据算得变量x 与 y 知足线性回归方程 y＝－，已知样本均匀数均匀数 y 的值为( )A．B．C．D．分析：回归直线必经过样本中心点，于是有y ＝× x －＝×5－＝，应选 C.答案： C7．某商场在今年元宵节的促销活动中，对 3 月 5 日 9 时至 14 时的销售额进行统计，其频次散布直方图以下图．已知9 时至 10 时的销售额为 5 万元，则 11 时至 12 时的销售额为 ()A． 10 万元C． 20 万元B．15 万元D．25 万元分析：由频次散布直方图得÷＝4，∴ 11 时至12 时的销售额为5×4＝ 20，应选 C.答案： C8．某单位招聘员工，有200 名应聘者参加笔试，随机抽查了此中20 名应聘者笔试一试卷，统计他们的成绩以下表：分数段[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) 人数 1 3 6 6 2 1 1若按笔试成绩择优录取40 名参加面试，由此可展望参加面试的分数线为()A．70 分B．75 分C．80 分D．85 分40×20＝ 4，∴按笔试成绩择优录取40 名参加面试，由此可展望参加面试的分数线为分析：∵20080 分．答案： C二、填空题9．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各 3 名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________．32 14分析：由题中茎叶图可得甲、乙两组同学成绩的均匀数都是92，方差分别是 3 ， 3 ，因此方差较14小的那组同学成绩的方差是 3 .14答案： 310．某校三个年级共有24 个班，学校为了认识同学们的心理状况，将每个班编号，挨次为 1 到24，现用系统抽样方法，抽取 4 个班进行检查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为________．24分析：系统抽样的抽取间隔为 4 ＝ 6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋ 3＝21.答案： 2111．某校正高三年级 1 600 名男女学生的视力状况进行检查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是 200 的样本，已知样本中女生比男生少10 人，则该校高三年级的女生人数是________．分析：设样本中女生x 人，则男生x＋10 人，因此x＋ x＋10＝200，得x＝95，设该校高三年级20095的女生有y 人．由分层抽样的定义可知 1 600 ＝ y ，解得y＝760.答案： 76012．某公司为认识部下某部门对本公司员工的服务状况，随机接见50 名员工，依据这50 名员工对该部门的评分，获取频次散布直方图以下图，此中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，，[80,90)，[90,100]，则频次散布直方图中 a 的值为________．分析：∵＋a＋＋×2＋×10＝1，∴a＝ .答案：三、解答题13．某制造商 3 月生产了一批乒乓球，随机抽取100 个进行检查，测得每个球的直径( 单位： mm)，将数据进行分组，获取以下频次散布表：分组频数频次[,10[,20[,50[,]20共计100(1)将频次散布表增补完好 ( 结果保存两位小数 ) ，并画出频次散布直方图；(2) 将频次作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径偏差不超出0.03 mm的概率；(3) 统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值( 比如区间 [, 的中点值是40. 00)作为代表，据此预计这批乒乓球直径的均匀值( 结果保存两位小数) ．分析： (1) 频次散布表以下：分组频数频次[,10[,20[,50[,]20共计100频次散布直方图以下图：(2)偏差不超出 0.03 mm，即直径落在 [,] 内，其概率为＋＋＝ .(3)这批乒乓球直径的均匀值大概为×＋×＋×＋×≈ (mm)．14．在中学生综合素质评论某个维度的测评中，分“优异、合格、尚待改良”三个等级进行学生互评，某校高二年级有男生 500 人，女生 400 人，为了认识性别对维度测评结果的影响，采纳分层抽样方法从高二年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频次统计表以下：表一：等级优异合格尚待改良频数15 x 5表二：等级优异合格尚待改良频数15 3 y(1)计算 x， y 的值；(2)由表一、表二中统计数据达成 2×2列联表，并判断能否有 90%的掌握以为“测评结果优异与性别有关”．男生女生总计优异非优异总计m45分析： (1) 设从高二年级男生中抽出m 人，则500＝500＋400， m＝25，从高二年级女生中应抽出的人数为45－ 25＝20，故表一为男生数据，表二为女生数据，因此x＝25－15－5＝5，y＝20－15－ 3＝2.(2)2 ×2列联表以下：男生女生总计优异151530非优异 10 5 15总计25204545× 15×5－15×10 245×15 2292×5由于 K ＝30×15×25×20＝ 30×15×25×20 ＝ 8＝＜，因此没有 90%的掌握以为“测评结果优异与性别有关”．15．下表是近几届奥运会中国代表团获取的金牌数之和 y ( 从 26 届算起，不包含以前已获取的金牌数 ) 随时间 x 变化的数据 .时间 x ( 届 )26 27 28 29 30金牌数之和 y ( 枚 )164476127165作出散点图以下图．由图能够看出，金牌数之和y 与时间 x 之间存在线性有关关系．(1) 求 y 对于 x 的线性回归方程；(2) 展望第 32 届中国代表团获取的金牌数之和为多少？(3) 现已知第 31 届中国代表团实质所获的金牌数为^26，求残差 e .nn参照数据： x ＝ 28， y ＝， ( x i － x )( y i － y ) ＝ 381， ( x i － x ) 2＝ 10.i ＝ 1i ＝ 1附：对于一组数据 ( x ， y ) ， ( x ， y ) ， ， ( x ，y^ ^^) ，其回归直线 y ＝bx＋a 的斜率和截距的最小1122nnnx i － xy i － yi ＝ 1^^二乘预计分别为： ^b ＝，a ＝ y－ b x .nx i － x2i ＝1nx i － xy i － yi ＝ 1381 ＝， ^－^分析： (1) ^＝＝ ＝ y ＝－× 28＝－， bn10a b x2x i － xi ＝ 1因此金牌数之和 y 对于时间 x 的线性回归方程为 ^y ＝－ .(2) 由 (1) 知，当 x ＝ 32 时，中国代表团获取的金牌数之和的展望值^，y ＝× 32－＝ 238故展望第32 届中国代表团获取的金牌数之和为238 枚．(3)当 x＝31时，中国代表团获取的金牌数之和的展望值为^y＝×31－＝，第 31 届中国代表团获取的金牌数之和的真切值为165＋ 26＝ 191，^因此残差 e＝191－＝－.。
概率与统计综合问题-每日一题2018年高考数学(理)二轮复习
概率与统计综合问题高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★★☆（2017北京卷理）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.学@（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.（只需写出结论）（2）由图知，A,B,C,D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2.21122222222444C C C C 121(0),(1),(2)C 6C 3C 6P P P ξξξ=========.所以ξ的分布列为ξ0 1 2P162316故ξ的期望121 ()0121636Eξ=⨯+⨯+⨯=.（3）在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.【解题必备】求分布列的三种方法：学！（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．1．某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试,并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm)定义为“合格”,成绩在175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚,跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员,学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队.（1）求甲队队员跳高成绩的中位数;（2）如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次,用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则各层应抽取多少人?（3）若从所有“合格”运动员中选取2名,用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.2．为调查某社区居民的业余生活状况,研究这一社区居民在20：00~22：00时间段的休闲方式与性别的关系,随机调查了该社区80人,得到下面的数据表：（1）根据以上数据,能否有99%的把握认为“在20：00~22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？（2）将此样本的频率估计为总体的概率,在该社区的所有男性中随机调查3人,设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++2()P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.8281．【答案】（1）177 cm；（2）抽取合格2人,不合格3人；（3）X的分布列见解析，2 ()3 E X=.【解析】（1）由茎叶图可知，甲队队员的跳高成绩(单位：cm)分别为157,168,169,173,175,176,178,181, 182,184,186,191，所以甲队队员跳高成绩的中位数为177 cm.（2）由茎叶图可知，“合格”与“不合格”的运动员分别有12人和18人，若用分层抽样抽取“合格”与“不合格”的人数共5人,则应抽取“合格”的运动员2人,“不合格”的运动员3人.因此,X 的分布列如下:X 0 1 2P1433 1633 111∴14161222()012333311333E X =⨯+⨯+⨯==. 2．【答案】（1）有99%的把握认为“在20：00~22：00时间段居民的休闲方式与性别有关”；（2）()E X =55,()212D X =. 【解析】（1）根据样本提供的2×2列联表得： 2280(10101050)808.889 6.635602020609K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99%的把握认为“在20：00~22：00时间段居民的休闲方式与性别有关”.（2）由题意得：5~(3,)6X B,且3315()C,0,1,2,36()(6)k k kP X k k-===，所以55()3,62E X=⨯=515()36612D X=⨯⨯=.学￥【名师点睛】本题主要考查独立性检验及其应用、二项分布的期望与方差，考查了分析问题与解决问题的能力.其中使用统计量2K作2×2列联表的独立性检验的步骤是：①检查2×2列联表中的数据是否符合要求；②由公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++计算2K的值；③将2K的值与临界值表中的数据进行对比.另外需要注意回归分析也常在高考中出现.。
2018年高考全国卷1理科数学(含答案)
2018年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设z=+2i，则|z｜=(）A．0 B．C．1 D．2．(5分）(2018•新课标Ⅰ）已知集合A={x｜x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2｝ B．｛x｜﹣1≤x≤2｝C．｛x｜x＜﹣1｝∪{x|x＞2} D．{x｜x≤﹣1}∪｛x｜x≥2}3．（5分)（2018•新课标Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是（)A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．125．（5分）（2018•新课标Ⅰ）设函数f(x)=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数,则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（)A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分)(2018•新课标Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=()A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）（2018•新课标Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中,最短路径的长度为（）A．2B．2 C．3 D．28．（5分)（2018•新课标Ⅰ）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M,N两点,则•=(）A．5 B．6 C．7 D．89．(5分）（2018•新课标Ⅰ)已知函数f（x）=，g（x）=f（x)+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是(）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．［1，+∞）10．（5分）（2018•新课标Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1,p2，p3，则()A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p311．（5分)（2018•新课标Ⅰ）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点,F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3 C．2 D．412．（5分）(2018•新课标Ⅰ）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为（) A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分,共20分。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学复习+概率统计大题-(理)
专题十二概率统计大题（一）命题特点和预测：分析近8年的全国新课标1理数试卷，发现8年8考，每年1题．以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，位置为18题或19题，难度为中档题.2019年仍将以实际生活问题为背景，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题或概率计算、条件概率、正态分布等概率问题，第2问多为随机变量分布列及其期望计算、回归分析或独立性检验等问题，难度仍为中档题.（二）历年试题比较：年份题目2018年【2018新课标1，理20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2017年【2017新课标1，理19】（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)Nμσ．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求(1)P X≥及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得，，其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则，，．2016年 【2016高考新课标理数1】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列； （II ）若要求，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？2015年 【2015高考新课标1，理19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （i =1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xy w821()ii x x =-∑46.656.36.8289.81.61469108.8表中i i w x = ，w =1881ii w=∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a +bx 与y =c +d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z =0.2y -x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，=v u αβ-2014年 【2014课标Ⅰ，理18】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布()2,Nμσ，其中μ近似为样本平均数x，2σ近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i）的结果，求EX.附：若则，。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类(统计)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（统计）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差2．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.63．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态4．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．185．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间6．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A ．20B ．40C ．64D ．807．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+8．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====9．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设一组样本数据x 1，x 2，…，xn 的方差为0.01，则数据10x 1，10x 2，…，10xn 的方差为（ ） A ．0.01B ．0.1C ．1D ．1010．（2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm ），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49 ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（ ）A ．10B ．18C ．20D ．3611．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差12．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半13．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生二、多选题14．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同15．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数16．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;三、填空题17．（2020ꞏ江苏ꞏ统考高考真题）已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4，则a 的值是_____.18．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______. 19．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 20．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是________．21．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.四、解答题22．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据： 样本号ｉ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10总和根部横截面积i x0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.060.6材积量i y0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.403.9并计算得10101022iii i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474x y x y ===∑∑∑．(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数ii( 1.377nx x y y r --≈∑．23．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.24．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）25．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21s 和22s ．（1）求x ，y ，21s ，22s ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥则不认为有显著提高）．26．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数40 20 20 20乙分厂产品等级的频数分布表等级 A B C D频数28 17 34 21（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?27．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计值记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.28．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，29．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17 ）建立模型①：ˆ30.413.5yt =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7 ）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．30．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.y 的分组 [0.20,0)- [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)企业数2 24 53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602≈.31．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量[)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数1 32 4 9 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2[)0.2,0.3[)0.3,0.4[)0.4,0.5[)0.5,0.6频数151310165（1）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）32．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.33．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．34．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．35．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？A B C D E F.（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,享受情况如下表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目 A B C D E F子女教育○ ○ × ○ × ○继续教育× × ○ × ○ ○大病医疗× × × ○ × ×住房贷款利息○ ○ × × ○ ○住房租金× × ○ × × ×赡养老人○ ○ × × × ○（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.参考答案1．B【要点分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【答案详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%20%-=，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错. 故选:B.2．C【要点分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 【答案详解】对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.37.57.42+=，A 选项结论正确.对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：6.37.47.68.18.28.28.58.68.68.68.69.09.29.39.810.18.50625816+++++++++++++++=>，B 选项结论正确.对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值60.3750.416=<， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值130.81250.616=>， D 选项结论正确. 故选：C3．D【要点分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【答案详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D4．B【要点分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得结果. 【答案详解】志愿者的总人数为20(0.240.16)1+⨯＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B.5．C【要点分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【答案详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确；该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.02⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【名师点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 6．D【要点分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量. 【答案详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=.故选：D.7．D【要点分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【答案详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+. 故选：D.【名师点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.8．B【要点分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【答案详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 因此，B 选项这一组的标准差最大. 故选：B.【名师点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.9．C【要点分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.【答案详解】因为数据(1,2,,)i ax b i n +=L ，的方差是数据(1,2,,)i x i n =L ，的方差的2a 倍， 所以所求数据方差为2100.01=1⨯ 故选：C【名师点睛】本题考查方差，考查基本要点分析求解能力，属基础题.10．B【要点分析】根据直方图确定直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【答案详解】根据直方图，直径落在区间[)5.43,5.47之间的零件频率为：()6.25 5.000.020.225+⨯=，则区间[)5.43,5.47内零件的个数为：800.22518⨯=. 故选：B.【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.11．A【要点分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【答案详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ， 中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （） 平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确． ④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．【名师点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.12．A【要点分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【答案详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确； 故选A.名师点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.13．C【要点分析】等差数列的性质．渗透了数据要点分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【答案详解】答案详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查系统抽样.14．CD【要点分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【答案详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确； 故选：CD15．AC【要点分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【答案详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度； 由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势； 故选：AC.16．CD【要点分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A 错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B 错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【答案详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A 错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B 错误; 由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C 正确; 由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D 正确;【名师点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.17．2【要点分析】根据平均数的公式进行求解即可． 【答案详解】∵数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4。
2018年10月高等教育自学考试概率论与数理统计经管类真题_真题(含答案与解析)-交互
2018年10月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）真题(总分100, 做题时间150分钟)单项选择题1.有 6 部手机，其中 4 部是同型号甲手机， 2 部是同型号乙手机，从中任取3 部，恰好取到一部乙手机的概率是SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2.设事件 A， B 互不相容，且 P(A) =0.2， P(B) =0.3，则P(A∪ B) =SSS_SINGLE_SELA**B**C**D**该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C3.设随机变量SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B4.设随机变量X在[-2,2]上服从均匀分布，则P{X≥1}=SSS_SINGLE_SELABCD1该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B5.设二维随机变量(X, Y) 的分布律为则 P{x=0} =SSS_SINGLE_SELA**B**C**D**该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D6.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则常数c=SSS_SINGLE_SELABC34该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A7.设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布律为，则E(XY)= SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D8.设总体X~N(μ,σ2), x1，x2，…，xn(n>1)为来自该总体的样本，为样本均值，则服从的分布是SSS_SINGLE_SEL AN(μ,σ2)BN(nμ,σ2)DN(μ,nσ2)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:C9.设x1，x2，…，x10是来自总体X的样本，且X~ N(0,1)，则服从的分布是SSS_SINGLE_SELAx2(9)Bx2(10)Ct(9)Dt(10)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B10.设总体X ~N(μ,σ2)，x1，x2，…，xn(n>1)为来自X的样本，为样本均值，s2为样本方差，则下列结论成立的是SSS_SINGLE_SELA为μ的无偏估计B(n-1)s2为σ2的无偏估计C为μ的无偏估计Ds为σ的无偏估计该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A填空题11.设A,B为相互独立的随机事件，P(4)=0.3， P(B)=0.4, 则=________。
专题41 概率统计与函数不等式的综合(解析版)
专题41 概率统计与函数、不等式的综合一、题型选讲题型一 、概率与函数的交汇例1、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）设，随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）A ．增大B ．减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大【答案】A【解析】根据随机变量的分布列， 则 ＝ ＝ 由于函数的图象为关于的开口方向向下的抛物线，且，函数的对称轴为， 故增大.例2、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<<p p ，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值点0p ．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．023a <<X a 203⎛⎫⎪⎝⎭，()D X ()D X ()D X ()D X ()()21013()E a X a -+⨯-⨯+⨯＝1313a -＝()2211210333X D a a a a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅+--⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦＝211133a ⎡⎤⎛⎫--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦25239a a -++2533636a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭()D X a 203a ＜＜56a ＝()D X（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】（1）0.1；（2）（i ）490，（ii ）应该对余下的产品作检验．【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C (1)f p p p =-． 因此2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--． 令()0f p '=，得0.1p =，当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数， 依题意知(180,0.1)YB ，20225X Y =⨯+，即4025X Y =+．所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，故应该对余下的产品作检验．例3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产万件的该种产品所需要的总成本（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在，，，，，，（单位：）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.()515x x ≤≤()32231630910x C x x x =-++[)25.26,25.30[)25.30,25.34[)25.34,25.38[)25.38,25.42[)25.42,25.46[)25.46,25.50[]25.50,25.54mm产品的品质情况和相应的价格（元/件）与年产量之间的函数关系如下表所示.以频率作为概率解决如下问题： （1）求实数的值；（2）当产量确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列； （3）估计当年产量为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【答案】（1）；（2）见解析（3）年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万. 【解析】（1）由题意得，解得；（2）当产品品质为优时频率为，此时价格为；当产品品质为中时频率为，此时价格为； 当产品品质为差时频率为，此时价格为；以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：m x a x ξξx 6a =12x =()0.04234 2.5 4.531a ⨯++++++=6a =()10.0446 2.50.5p =⨯++=34x -+()20.04230.2p =⨯+=3255x -+()30.04 4.530.3p =⨯+=3205x -+ξ0.50.20.3（3）设公司年利润为，则整理得，显然当时，，时，， ∴当年产量时，取得最大值.估计当年产量时，该公司年利润取得最大值，最大利润为138万.例4、（广东省2021届高三上学期综合能力测试） 随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载用户每日健步的步数．某市大型企业为了了解其员工每日健步走的情况，从正常上班的员工中随机抽取了2000人，统计了他们手机计步软件上同一天健步的步数（单位：千步，假设每天健步的步数均在3千步至21千步之间）．将样本数据分成[3，5），[5，7），[7，9），[9，11)，[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图，并用样本的频率分布估计总体的频率分布．(1)求图中a 的值；(2)设该企业正常上班的员工健步步数（单位：千步） 近似服从正态分布),(2σμN ，其中μ近似为样本的平均 数（各区间数据用中点值近似计算），取64.3=σ，若该 企业恰有10万人正常上班的员工，试估计这些员工中日 健步步数Z 位于区间[4.88,15.8]范围内的人数；(3)现从该企业员工中随机抽取20人，其中有k 名员工 的日健步步数在13千步至15千步内的概率为)(k X P =， 其中20,,2,1,0 =k ，当)(k X P =最大时，求k 的值，参考数据：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则6827.0)(≈+≤<-σμξσμP ，9545.0)22(≈+≤<-σμξσμP ，9973.0)33(≈+≤<-σμξσμP .ξ34x -+3255x -+3205x -+p ()f x ()()323323340.5250.2200.3163055910x f x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⨯--++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭()323123092x f x x x =-++-()()()21131231233f x x x x x '=-++=-+-[]5,12x ∈()0f x '≥[]12,15x ∈()0f x '≤12x =()f x ()12138f =12x =【解析】(1)由1201.0204.0205.02215.0205.0203.0202.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯a ， 解得1.0=a ，(2+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=08.0181.0162.0143.0121.0101.0804.0604.04μ16.1202.020=⨯，8186.026827.09545.0)2()8.1588.4(=+=+≤<-=≤<σμσμZ P Z P ，则10000×0.8186 = 8186（人），所以日健步步数Z 位于区间[4.88,15.8]范围内的人数约为8186人． (3)设从该企业员工中随机抽取20人日健步步数在13千步至15千步内的员工有X 人，则，其中有k 名员工的概率为k k kC k X P -⋅==20208.02.0)(，其中20,,2,1,0 =k .记k k C C k X P k X P k f k k k k k k4218.02.08.02.0)1()()(2111202020-=⋅⋅=-===----， 当1)(>k f 时，2.4<k ，则)()1(k X P k X P =<-=； 当1)(<k f 时，2.4>k ，则)()1(k X P k X P =>-=. 所以当4=k 时，)(k X P =最大， 题型二、概率与数列的交汇例5、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii)45 127p =，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-， 即114()i i i i p p p p +--=-． 又因为1010p p p -=≠， 所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-， 所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．例6、（华南师大附中2021届高三综合测试）足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．(I)为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率，为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望；(II)社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为P n ，即P 1 =1． (i )求P 2，P 3（直接写出结果即可）；(ii )证明：数列}31P {-n 为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大． 【解析】：(I)这150个点球中的进球频率为6.0150141316201710=+++++，则该同学踢一次点球命中的概率p = 0.6，由题意，ξ可能取1，2，3，则P （ξ=1）= 0.6，P （ξ=2）= 0.4×0.6=0.24， P （ξ=3）= 0.4×0.4=0.16，ξ的分布列为：即E （ξ）=l×0.6+2×0.24+3×0.16=1.56 (II)(i )由题意P 2=0，P 3=21． (ii )第n 次触球者是甲的概率记为Pn ，则当n ≥2时，第n -1次触球者是甲的概率为P n -1， 第n -1次触球者不是甲的概率为1- P n -1，则)1(2121)1(0111----=⋅-+⋅=n n n n P P P p ，从而)31(21311--=--n n p p ， 又}31{,32311-∴=-n P p 是以32为首项，公比为21-的等比数列则,3131)21(32,3131)21(32,31)21(32192018191<+-=>+-=+-=-P p P n n209P P >，故第19次触球者是甲的概率大．二、达标训练1、（2020·浙江温州中学高三3月月考）随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-，则()D ξ的最大值为（）A ．89B ．1716C ．2625D ．1【答案】D【解析】随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-， 可得：()212P p ξ==-，由0311*******p p p ≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，可得11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p p ξ=-+-+-=-．()()()222(144)31(244)12(344)1D P P P P P P ξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-（）216184P P =-+-，11,32p ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当12p =时，()D ξ的最大值为1． 故选：D ．2、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）随机变量的分布列如下：其中，，成等差数列，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为，，成等差数列，，.ξa b c D ξ23592934a b c 122b a c,a b c 1,b ,c a,33∴=+++=∴==-2E ξa c 2a 3∴=-+=-+2222222D ξ12a a 2a b 12a a 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-⨯++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22821224a a 439333a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭则的最大值为3、（2020届浙江省杭州市高三3月模拟）已知随机变量ξ满足P (ξ=0) =x ，P (ξ=1) =1-x ，若1(0,),2x ∈则（ ） A ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而增大 B ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而增大 C ．E (ξ)随着x 的增大而减小，D (ξ)随着x 的增大而减小 D ．E (ξ)随着x 的增大而增大，D (ξ)随着x 的增大而减小 【答案】B【解析】依题意()0111E x x x ξ=⨯+⨯-=-，在区间1(0,)2上是减函数.()()()2201111D x x x x ξ=--⋅+--⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2x x =-+，注意到函数2y x x =-+的开口向下，对称轴为12x =，所以2y x x =-+在区间1(0,)2上是增函数，也即D ξ在区间1(0,)2上是增函数. 故选：B4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的40%，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的50%，也可能亏损投资额的30%，且这两种情况发生的概率分别为p 和.（1）若投资项目一，记为盈利的天坑院的个数，求（用p 表示）； （2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为百万元，求（用p 表示）；（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】D ξ23p (01)p <<1p -1X ()1E X 2X ()2E X ()120E X p =()2 3.2 1.2E X p =-（1）解：由题意 则盈利的天坑院数的均值. （2）若投资项目二，则的分布列为盈利的均值.（3）若盈利，则每个天坑院盈利（百万元）， 所以投资建设20个天坑院，盈利的均值为（百万元）.①当时，， 解得. .故选择项目一.②当时，， 解得. 此时选择项一.③当时，，解得. 此时选择项二.5、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，直角坐标系中，圆的方程为，，，1~(20,)X B p ()120E X p =2X ()22 1.2(1) 3.2 1.2E X p p p =--=-0.240%0.08⨯=()10.08E X ()10.08E X =0.0820p =⨯ 1.6p =()()2110.080.08D X D X =20.0820(1)p p =⨯-0.128(1)p p =-()222(2 3.2 1.2)(1.2 3.2 1.2)(1)D X p p p p =-++--+-10.24(1)p p =-()()120.08E X E X = 1.6 3.2 1.2p p =-34p =()()120.08D X D X <()()120.08E X E X > 1.6 3.2 1.2p p >-304p <<()()120.08E X E X < 1.6 3.2 1.2p p <-34p >221x y +=1,0A 12⎛- ⎝⎭B为圆上三个定点，某同学从点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．例如：掷骰子一次时，棋子移动到，，处的概率分别为，，．（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到，，处的概率；（2）掷骰子次时，若以轴非负半轴为始边，以射线，，为终边的角的余弦值记为随机变量，求的分布列和数学期望；（3）记，，，其中．证明：数列是等比数列，并求.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，. 【解析】（1），， ，，综上，1,2C ⎛- ⎝⎭A n ABC ()n P A ()n P B ()n P C A B C ()1P A O =()112PB =()112P C =A B C N X OA OB OC n X 4X ()n n P A a =()n n P B b =()n n P C c =1n n n a b c ++=13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭2020a 2019202011132a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦211111()22222P A =⋅+⋅=2111()224P B =⋅=2111()224P C =⋅=31111111()2222224P A =⨯⨯+⨯⨯=31113()2428P B ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭31113()2428P C ⎛⎫=⋅⎪+= ⎝⎭（2）随机变量的可能数值为1，. 综合（1）得， ，故随机变量的分布列为.（3）易知，因此， 而当时，， 又， 即. 因此， 故即数列是以为首项，公比为的等比数列. 所以，4X 2-()()43311()()2P X P B P C ==+⋅33138828⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭()43311()()22P X P A P C ⎛⎫=-=+⋅ ⎪⎝⎭()3315()()28P A P B ++⋅=4X ()4182816E X =⨯-⨯=n n b c =11(2)n n b c n --=≥2n ≥()()11111122n n n n n b a c a b ----=+=+1111n n n a b c ---++=121n n b b -+=()111122n n n b b b --=-+111(2)22n b n -=-+≥111113223n n b b --=-+-111111(2)2623n n b b n --⎛⎫=-+=--≥ ⎪⎝⎭13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭11136b -=12-1111362n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭又故. 6、某超市计划按月订购一种酸奶，每天的进货量相同，进货成本为每瓶4元，售价为每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】 （1） 由题意知，X 可能取值为200，300，500，P （X ＝200）＝2＋1690＝0.2，P （X ＝300）＝3690＝0.4，P （X ＝500）＝25＋7＋490＝0.4，所以X 的分布列为（2） 200瓶，因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温位于区间[20，25），则Y ＝6×300＋2（n －300）－4n ＝1 200－2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2（n －200）－4n ＝800－2n ，所以E （Y ）＝2n ×0.4＋（1 200－2n ）×0.4＋（800－2n ）×0.2＝640－0.4n. 当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y ＝6n －4n ＝2n ； 若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2（n －200）－4n ＝800－2n ，所以E （Y ）＝2n ×（0.4＋0.4）＋（800－2n ）×0.2＝160＋1.2n ， 所以当n ＝300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.7、甲、乙两人进行围棋比赛，共比赛2n(n ∈N *)局，根据以往比赛胜负的情况知，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P (n )．(1)求P (2)与P (3)的值；(2)试比较P (n )与P (n ＋1)的大小，并证明你的结论．11111212362n n n a b -⎡⎤⎛⎫=-=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1111111133232n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2019202011132a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】 (1)若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，∴P (2)＝C 34⎝⎛⎭⎫124＋C 44⎝⎛⎭⎫124＝516，同理 P (3)＝C 46⎝⎛⎭⎫126＋C 56⎝⎛⎭⎫126＋C 66⎝⎛⎭⎫126＝1132.(2)在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为n ＋1局，故P (n )＝C n ＋12n ⎝⎛⎭⎫122n ＋C n ＋22n⎝⎛⎭⎫122n＋…＋ C 2n 2n⎝⎛⎭⎫122n ＝()C n ＋12n ＋C n ＋22n ＋…＋C 2n 2n ·⎝⎛⎭⎫122n ＝ 12()C 02n＋C 12n ＋…＋C 2n 2n －C n 2n ·⎝⎛⎭⎫122n ＝12()22n －C n 2n ·⎝⎛⎭⎫122n ＝12⎝⎛⎭⎫1－C n 2n 22n ，所以P (n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－C n ＋12n ＋222n＋2. 又∵C n 2n22n C n ＋12n ＋222n ＋2＝4C n 2nC n ＋12n ＋2＝4·()2n ！n ！·n ！()2n ＋2()n ＋1！·()n ＋1！＝4()n ＋12()2n ＋2()2n ＋1＝2()2n ＋12n ＋1>1，∴C n 2n 22n >C n ＋12n ＋222n ＋2，∴P (n )<P (n ＋1)．。
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2018全国高考真题数学统计与概率专题
（附答案解析）
1.（全国卷I，文数、理数第3题．5分）
某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
答案：A
2.（全国卷I，文数19题．12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[)
00.1
，[)
0.10.2
，[)
0.20.3
，[)
0.30.4
，[)
0.40.5
，[)
0.50.6
，[)
0.60.7
，
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[)
00.1
，[)
0.10.2
，[)
0.20.3
，[)
0.30.4
，[)
0.40.5
，[)
0.50.6
，
频数 1 5 13 10 16 5 （1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
【答案解析】
解：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
11
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
21
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 3.（全国卷I ，理数20题12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ； （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求
EX ；
（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
【答案解析】
（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218
20()C (1)f p p p =-．因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--．
令()0f p '=，得0.1p =．当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>；当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． 所以()f p 的最大值点为00.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．
（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y
B ，
=+．
X Y
=⨯+，即4025
20225
X Y
所以(4025)4025490
=+=+=．
EX E Y EY
（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于400
EX>，故应该对余下的产品作检验．
4.（全国卷Ⅱ，文数5题．5分）
从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6 B．0.5C．0.4D．0.3
【答案】D
5.（全国卷Ⅱ，文数、理数18题．12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5
y t
=-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5
=+．
y t
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【答案解析】解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为。