曲线积分与曲面积分习题课
第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
第八章 曲线积分与曲面积分(改)
第八章 曲线积分与曲面积分（A ）习题八1、计算下列数量值函数的曲线积分： ⑴22L y ds x y +⎰，其中L 为平面上的上半圆周：221,0x y y +=≥． ⑵⎰+Lds y x )(，其中L 为以(0,0),(2,0),(0,1)为顶点的三角形边界．⑶⎰+Ly x ds e22，其中L 为x 轴，圆周222(0)x y a a +=>，直线y x =在第一象限内所围成扇形的边界．⑷2Ly ds ⎰，其中L 是摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-的一拱(02)t π≤≤．⑸22()Lx y ds -⎰，其中L 为柱面221x y +=与平面0x y z ++=的交线．2、求空间曲线cos ,sin ,(0)tttx e t y e t z e t ---===<<+∞的弧长．3、求均匀摆线弧(sin ),(1cos )(0)x a t t y a t t π=-=-≤≤的重心坐标．4、计算下列数量值函数的曲面积分： ⑴22()xy dS ∑+⎰⎰，其中∑：222()z x y =-+，0z ≥．⑵()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面5y z +=被柱面2225x y +=所截得的部分．⑶22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面．⑷2221dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑为介于平面0z =和平面(0)z H H =>之间的圆柱面222x y R +=．5、求抛物面22z x y =+被锥面2z =所截下的部分曲面面积．6、计算下列向量值函数在定向曲线上的积分： ⑴22610Lxydx xy dy +⎰，其中L 为曲线2y x =上从点(0,0)到(1,1)的一段弧． ⑵2(sin )Lx y dx +⎰，其中L 为由2,1y x x ==所围区域的边界（逆时针方向）． ⑶2222Ly xdx dy x y x y -+++⎰，其中L 是半径为a ，圆心在原点且方向由(,0)A a 到(,0)B a -的上半圆．⑷(2)La y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(s i n ),(1c o sx a t t y a t =-=-从0t =到2t π=的一段．⑸||||Ldx dyx y ++⎰，其中L 为从点(1,0)A 经点(0,1)B 到点(1,0)C -的折线段． ⑹(1)Lxdx ydy x y dz +++-⎰，其中L 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线．7、设曲线L 是从点(0,0)O 沿圆弧y =到点(1,0)A 的弧段，计算22()(sin )LI x yx dx y x y dy =-++⎰．8、将(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰化为数量值函数的曲线积分，其中L 为沿圆周222x y y +=（逆时针）从(0,0)到(1,1)．9、方向沿纵轴方向，大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场，求质量为m 的质点沿半圆周y =(1,0)-移动到(1,0)时，场力所作的功．10、设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2kr （0k >为常数，r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y =自(2,0)B 运动到(0,0)O ，求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功．11、利用格林公式计算下列曲线积分： ⑴2(1)Ly dx xydy ++⎰，其中L 为曲线sin y x =和2sin (0)y x x π=≤≤所围区域的正向边界． ⑵(sin )(cos )x x Le y y x dx e y x dy +++-⎰，其中L 为从点(0,0)O 经圆周22(1)1x y -+=的下半部分到点(2,0)A 的一段弧．12、计算曲线积分224Cxdy ydxx y-+⎰，其中C 是以(1,0)为中心，(1)R R ≠为半径的圆周，逆时针方向．13、证明曲线积分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰与路径无关，并求积分值．14、验证22(2cos sin )(2cos sin )x y y x dx y x x y dy -+-在整个xOy 平面内为某一函数的全微分，并求一个这样的函数(,)u x y ．15、计算下列向量值函数在定向曲面上的积分： ⑴22()xy zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=的下半部分的下侧．⑵zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧．⑶2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧． ⑷2x dydz zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．16、利用高斯公式计算下列曲面积分： ⑴222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为平面0x =，0y =，0z =，x y z a ++=(0)a >所围立体的全表面的外侧．⑵32()2xyz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰，其中∑为222x y R +=在平面0z =和1z =之间部分圆柱面的外侧．⑶333()()()x yz dydz y xz dzdx z xy dxdy ∑++-++⎰⎰，其中∑为取外侧的球面222x y z z ++=． ⑷222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22(01)z x y z =+≤≤的上侧．17、计算323232()()()xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =18、计算xyzA e r =在点()1,1,1P 处的散度，其中r 为矢径：r xi yj zk =++．19、求向量yzi xzj xyk ++穿过圆柱体222,0x y R z H +≤≤≤的全表面∑的外侧的通量．20、利用斯托克斯公式计算曲线积分()()()C z y dx x z dy x y dz -+-+-⎰，其中C 是曲线2212x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z 轴正向往z 轴负向看C 的方向是顺时针的．（B ）单元自我测试题一、填空题（每题4分，共20分）1、设C 为3y x =上点(0,0)到(1,1)的一段弧，则曲线积分C⎰＝ ．（写出定积分形式，不必计算）2、设L 是圆周：2222,0x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩则曲线积分2Lx ds ⎰的值为 ．3、设C 是逆时针方向的闭曲线，其方程为22(1)1x y -+=，则222()(2)Cx y d x y x y d y-+-⎰＝ ． 4、设∑是抛物面221(23)z x y =-+在xOy 平面上方部分的下侧，则向量值函数在定向曲面上的积分I Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰化为数量值函数的曲面积分后，I ＝ ．5、向量场()()22,,ln 1z u x y z xy i ye j x z k =+++在点()1,1,0P 的散度divu = ．二、单项选择题（每题3分，共15分） 1、曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则曲线积分值为（ ）A ．22a π Ｂ．3a π Ｃ．32a π Ｄ．34a π 2、设∑：2222(0)x y z a z ++=≥，1∑为∑在第一卦限的部分，则有（ ）．A ．14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｂ．14ydS ydS ∑∑=⎰⎰⎰⎰Ｃ．14zdS zdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ Ｄ．14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰3、设L 是从点()0,0沿折线11y x =--至点()2,0A 的折线段，则曲线积分LI ydx xdy =-+⎰=( )A ．2- Ｂ．1- Ｃ．0 Ｄ．24、设2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分，则常数a ＝（ ）．A ．1- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．2 5、设∑是柱面221,01x y z +=≤≤外侧，()x y z dydz ∑++=⎰⎰（ ）． A ．0 Ｂ．1π+ Ｃ．1 Ｄ．π三、计算下列曲线积分或曲面积分的值（每题6分，共24分）1、设L 是由直线2y x =，2y =和0x =所围成的三角形区域的边界，求Lxyds ⎰．2、2I z dS ∑=⎰⎰，其中∑是球面2222xy z a ++=．3、计算22C I xy dy x ydx +=-⎰，C 为圆周222x y a +=．4、2()I z x dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于0z =及3z =之间部分的下侧．四、（8分）求面密度为1的均匀半球面2222:x y z a ∑++=，0z ≥对z 轴的转动惯量．五、（８分）设曲线C 为抛物线222x y =-上从点(0,1)A 到点(0,1)B -的一段弧，计算22Cxdy ydxI x y -=+⎰．六、（８分）设函数()f x 可导，且(0)1f =，求()f x 使得曲线积分()xLye dx f x dy +⎰在全平面上与路径无关，并计算(1,1)(0,0)()x I ye dx f x dy =+⎰．七、（8分）设∑是平面1x y z ++=在第一卦限部分的上侧，求曲面积分()I x y dydz ydzdx dxdy ∑=+++⎰⎰．八、（9分）计算曲面积分33311()()()22x x dydz y xz dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰，其中∑是球面2222x y z z ++=的内侧．（C ）提高题1、计算曲面积分zdS ∑⎰⎰，其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分．2、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(,,)P x y z S ∈，π为S 在点P 处的切平面，(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离，求(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰．3、设函数(,)Q x y 在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2(,)Lx y d xQ x y d y +⎰与路径无关，并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰，求(,)Q x y ．4、设函数()y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分24()22Ly dx xydyx yϕ++⎰的值恒为同一常数．证明：对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有24()202Cy dx xydyx y ϕ+=+⎰．5、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰， ⑴ 证明曲线积分I 与路径L 无关； ⑵ 当ab cd =时，求I 的值．6、计算222222()(2)(3)LI y z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰，其中L 是平面2x y z ++=与柱面||||1x y +=的交线，从z 轴正向看去，L 为逆时针方向．7、确定常数λ，使向量42(,)2()A x y xy x y i λ=+242()x x y j λ-+在右半平面0x >上的为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y ．8、已知平面区域{(,)|0,0}D x y x y ππ=≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证： ⑴sin sin sin sin y x y x LLxe dy ye dx xe dy ye dx ---=-⎰⎰；⑵sin sin 22y x Lxe dy ye dx π--≥⎰．9、求[sin ()](cos )x xI e y b x y dx e y ax dy =-++-⎰，其中,a b 为正常数，L为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧．10、计算曲面积分2222xdydz z dxdy x y z ∑+++⎰⎰，其中∑是由曲面222x y R +=及两平面z R =，(0)z R R =->所围成立体表面的外侧．11、计算212222()()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰，其中∑为下半球面z =上侧，a 为大于零的常数．12、计算曲面积分(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为有向曲面22z xy =+(01)z ≤≤，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角．13、计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221(0)z x y z =-≥－的上侧．。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.21. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.(1) 2d d Cx y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d LP x Q y R z ++⎰, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1的弧段.2. 计算曲线积分22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：(1)d d ||||C x yx y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d Ly z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩⎪⎨⎧===32t z t y t x ,,(:01)t →.(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩且从z 轴正向看去, L 取顺时针方向.4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34()(,)t t t =r 从参数0t =到1t =的点. (2) ),,(22z xy x =F , 沿空间曲线2()(sin ,cos ,)t t t t =r 从参数0t =到π2t =的点. 5. 设变力F 在点(,)M x y 处的大小||||||||k =F r ，方向与r 成2π的角, 其中OM =r (图10-38)，试求当质点沿下列曲线从点)0,(a A 移到点),(a B 0时F 所作的功：(1) 圆周222=+a y x 在第一象限内的弧段； (2) 星形线323232=+a y x 在第一象限内的弧段.6. 在过点(0,0)O 和(π,0)A 的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线C ，使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)d (2)d Cy x x y y +++⎰的值最小.7. 把第二类曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化为第一类曲面积分：(1) ∑为平面x z a +=被柱面222x y a +=所截下的部分, 并取上侧；图 10-38xyOM (x , y )Fr(2) ∑为抛物面222y x z =+被平面2y =所截下的部分, 并取左侧. 8. 计算下列第二类曲面积分：(1) 2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为平面1x y z ++=位于第一卦限部分, 并取上侧；(2) 22d d xy z x y ∑⎰⎰, 其中∑为球面2222=++R z y x 的下半部分, 并取外侧；(3)2e d d e d d d d yxy z y z x xy x y ∑++⎰⎰, 其中∑为抛物面22z x y =+ (01x ≤≤,1≤≤0y ), 并取上侧；(4)222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2221xy z ++=位于第二卦限部分,并取外侧； (5)d d d d d d xy y z yz z x zx x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(6) 2222d d d d x y z z x y x y z ∑+++⎰⎰, 其中∑为圆柱面222x y R +=与平面z R =和z R =- (0)R >所围立体的表面, 并取外侧；(7)d d (1)d d y z x z x y ∑-++⎰⎰, 其中∑为圆柱面4=+22y x被平面2=+z x 和0=z 所截下的部分, 并取外侧； (8)2d d d d d d y y z x z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z v =，(01u ≤≤, 0πv ≤≤), 并取上侧.9. 计算下列流场在单位时间内通过曲面∑流向指定侧的流量：(1) ),(),,(222z y x z y x =v , ∑为球面1=++222z y x 第一卦限部分, 流向上侧； (2) ),,(),,(22y xy x z y x =v , ∑为曲面22+=y x z 和平面1=z 所围立体的表面, 流向外侧.。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.4.2)--高斯公式和司托克斯公式
习题10.41. 利用Gauss 公式, 计算下列第二类曲面积分：(1) 222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为平面0x =, 0y =, 0z =和1x y z ++=所围立体的表面, 并取外侧；(2) ()d d ()d d x y z y z x z x y ∑-+-⎰⎰, 其中∑为圆柱面221x y +=与平面0=z 和3=z 所围立体的表面, 并取外侧；(3) 333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰, 其中∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取内侧； (4) 32()d d 2d d d d x yz y z x y z x z x y ∑--+⎰⎰，其中∑为圆柱面222R y x =+)(1≤≤0z , 并取外侧；(5) (2)d d d d x z y z z x y ∑++⎰⎰，其中∑为定侧曲面22+=y xz )10(≤≤z , 其法向量与z 轴正向夹角为锐角；(6) 24d d 2d d (1)d d xz y z yz z x zx y ∑-+-⎰⎰，其中∑为yOz 平面上的曲线e y z =(0)y a ≤≤绕z 轴旋转所成的曲面, 并取下侧；(7) 33311d d d d d d y y x y z f y z x f z x y z z y z ∑⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎰⎰, 其中函数)(u f 具有连续导数, ∑为球面1=++222z y x ，4=++222z y x 与锥面22+=z y x 所围立体的表面, 并取外侧.(8) 2∑0R >), 其中∑为下半球面z =并取下侧.2. 计算曲面积分2cos(,)d ||||S ∑⎰⎰r n r ，其中∑为一封闭光滑曲面，n 为∑上点),,(z y x 处的外法向量，),,(z y x =r . 讨论下列两种情况：(1) 曲面∑不包含原点；(2) 曲面∑包含原点.3. 计算下列向量场通过曲面∑指定侧的通量：(1) (,,)xz xy yz =A , ∑为平面1=++z y x 在第一卦限部分, 并取上侧； (2) 333(,,)x y z =A , ∑为球面2222x y z R ++=(0R >), 并取外侧.4. 求下列向量场的散度：(1) 2(4,2,)x xy z =-A , 求(1,1,3)div A ；(2) xyz =A r , 其中),,(z y x =r , 求(1,3,2)div A ；(3) 2223(,,2),xz y x y u x yz =-=A , 求div ()u A .(4) r =∇A , 其中r =求div A ；5. 求向量场 32222(2)()()z y z x y x x yz y z x y z x z x yz x y =+-+-+A i j k的散度div A 在点(1,1,2)M 处沿22=+-l i j k 方向的方向导数，并求div A 在点M 的方向导数的最大值.6. 利用Stokes 公式, 计算下列第二类曲线积分：(1) 222()d ()d ()d L xyz x y zx y z xy z -+-+-⎰, 其中L 是任一分段光滑的闭曲线；(2) 22322(e )d (e )d (e )d xy z Lx y z x y z y yz z ++-++⎰, 其中L 是圆周222,0,y z R x ⎧+=⎨=⎩且从x 轴的正向看去，L 取逆时针方向； (3) ()d ()d ()d Lz y x x z y x y z -+-+-⎰, 其中L 是椭圆221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩ 且从z 轴的正向看去, L 取顺时针方向；(4) 222222()d (2)d (3)d Ly z x z x y x y z -+-+-⎰, 其中L 是平面2=++z y x 与柱面||||1x y +=的交线，且从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向.7. 试由Stokes 定理推出空间曲线积分与路径无关的条件, 由此验证下列曲线积分与路径无关, 并计算积分值：(1)π3,2,3(0,0,0)(sin )d d cos d y z x x y x z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭+++⎰； (2) (,,)222(0,0,0)(2)d (2)d (2)d x y z x yz x y zx y z xy z -+-+-⎰.8. 求下列向量场A 沿定向闭曲线L 的环量：(1) (,,)y x a =-A (a 为常数), L 为圆周221,,x y z a ⎧+=⎨=⎩ 从z 轴的正向看去, L 取逆时针方向；(2) ),,(2z y x xy +=A , L 为圆周222,1,x y z z ⎧+=-⎨=⎩ 其方向与z 轴的正向符合右手法则.9. 求下列向量场的旋度：(1) (,,)xyz xyz xyz =A , 求(1,3,2)rot A ；(2) 222()y z x =，，A , 求(1,1,1)rot A ；(3) 22(cos ,ln ,)x zy y x z =-A , 求rot A ；(4) 2(3,,2)xz yz x z =-+A , 求rot A .10. 设),,(z y x =r ，||||r =r ，)(r f 具有二阶连续导数，C 为常向量，试证： (1) []()rot ()()f r f r r'=⨯C r C ； (2) []{}div rot ()0f r =C .。
曲线积分与曲面积分
练习题-1、∫e矿ds,其中L为圆周x2+y2=a,直线y=x-及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、∫x2yzds,其中L为折线ABCD,这里A,B,C,D-依次为点0,0,0，0,0,2，1,0,2， ,3,2：-3、∫x2+y2ds,其中L为曲线-[x=acost +tsint-y=asint-tcost 0≤t≤2π；-上页-返回
注意：-1.定积分的下限a一定要小于上限B;-2.fx,y中x,y不彼此独立，而是相互有关的-上页-下页回
例1求1=5d,L:椭圆--acost,-ly =bsint,-第I象限-Iacost.bsint -as nbcosdt-absint costsimcodt--。小ha=an7+a0-aba2+ab +b2-3 +b-上页-返回
2-化为对y的积分-=y2-B1,1-0.8-L:x=y2,y从0变到1，-0.6-0.4-原式=2y2: 2y+yM-0.2-0.40.6-o.640-=5y'dx -1.-1.4-3原式=o2xydx+xd-+ xyde+xdy-0.20.40.6-0101.2-上页-返回
在OA上，y=0,x从0变到1，-2xydx+xdy=[2x.0+x2.Od-B1,1-0.8-0.6-= .-0.2-在AB上，x=1,y从0变到1，-0.20.40.60f101.2-∫n2x+x24=2y.0 1=1.-.原式=0+1=1.-问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但-路径不同而积分结果相同.-上页回
曲线积分与曲面积分-上页-下页-返回
一、对弧长的曲线积分的概念-1.定义函数fx,y在曲线弧上对弧长的曲线积分-J,fx,d=m2fG,n.→0-i=1-n-1-M-M2-4-上页-返回
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
第十章 曲线曲面积分(习题及解答)
第十章 曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1。
设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).(A)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =⎰⎰;(C)(,)d (,)d 0ABBAf x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =--⎰⎰． 答(B)。
2. 设有物质曲线23:,,(01),23t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =（ ）。
(A)10t ⎰； (B)10t t ⎰；(C)t ⎰； (D)t ⎰. 答(A)。
3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OMI s=⎰不相等的积分是( ）.(A)10x ⎰； (B)10y ⎰；(C)d r r ⎰； (D)10e r ⎰答(D)。
4 。
设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰（ ）.(A)403d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D)。
5。
设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( )。
(A)x ⎰； (B)y ⎰;(C)10x ⎰； (D)y ⎰. 答(C)。
6。
设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段，则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ）。
(A)； (B)2； (C) (D) 答(D)。
二、填空题1。
设L 是圆周221x y +=，则31d LI x s =⎰与52d LI x s =⎰的大小关系是.答：12.I I =2。
设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段， 则()d Lx y s +=⎰..3。
第八章曲线与曲面积分习题
重心坐标为(0,0, a ). 2
p54. 4.设曲面是柱面x2 y2 9及z 0, z 3
所围成的区域的整个边界曲面,计算 ( x2 y2 )ds.
解 1 2 3, 其中 1 : x2 y2 9,0 z 3,
2 : z 0,( x2 y2 9), 3 : z 3,( x2 y2 9),
p57 §8.4格林公式
p57.一.填空题 1.设f ( x)具有连续导数,C为简单闭曲线,则
(1)C f ( xy)( ydx xdy) C f ( xy)d( xy) 0 ;
(2) f ( x2 y2 )( xdx ydy) C
Ñ f ( x2 y2 ) 1 d( x2 y2 ) 0
Jx
( y2 z2 )( x, y, z)ds .
p53. 2.设 为xoy面内的一个闭区域D,则曲面积分
f ( x, y, z)ds化为D上的二重积分为 f ( x, y,0)d .
D
p53. 3.设是球面x2 y2 z2 R2,则
( x2 y2 z2 )ds
R2 ds 4 R4
解 令x a cos t, y a sin t,
I
2 0
1 a2
[a 2
(cos
t
sin
t
)(
sin
t
)
(cos
t
sin
t
)
cos
t
]dt
2
0 dt 2 .
p55. 2.计算 ( x2 2xy)dx ( y2 2xy)dy,其中 L
L为抛物线y x2上从点(1,1)到点(1,1)的一段弧.
则 f ( x, y)ds 2 f ( x, y)ds.