2019高考卷-2019年天津卷文数高考试题
2019年高考文科数学天津卷(附参考答案及详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{1,1,2,3,5}A=-，{2,3,4}B=，{|13}C x x=∈≤<R，则()A C B=I U（）A.{2}B.{2,3}C.{1,2,3}- D.{1,2,3,4}2.设变量x y⋅满足约束条件20,20,1,1,x yx yxy+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y=-+的最大值为（）A.2B.3C.5D.63.设x∈R，则“05x<<”是“|1|1x-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A.5B.8C.24D.295.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =∣∣∣∣（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）C.27.已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><∣∣是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x．若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.2-B.D.28.已知函数()011,1x f x x x⎧≤<⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()14f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A.59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C.{}59,144⎛⎤ ⎥⎝⎦UD.{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2019年高考文数真题试卷(天津卷)
2019年高考文数真题试卷（天津卷）一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1.（2019•天津）设集合，则（）A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}2.（2019•天津）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（）A. 2B. 3C. 5D. 63.（2019•天津）设，则“ ”是“ ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.（2019•天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（）A. 5B. 8C. 24D. 295.（2019•天津）已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.6.（2019•天津）已知抛物线的焦点为F，准线为l.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.7.（2019•天津）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则（）A. -2B. -C.D. 28.（2019•天津）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.（2019•天津）是虚数单位，则的值为________.10.（2019•天津）设，使不等式成立的的取值范围为________.11.（2019•天津）曲线在点处的切线方程为________.12.（2019•天津）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.13.（2019•天津）设，则的最小值为________.14.（2019•天津）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（2019•天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.16.（2019•天津）在中，内角所对的边分别为.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.17.（2019•天津）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.18.（2019•天津）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.19.（2019•天津）设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.20.（2019•天津）设函数，其中.（Ⅰ）若，讨论的单调性；（Ⅱ）若，（i）证明恰有两个零点（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.答案解析部分一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
2019年天津高考试题(文数,word解析版)
2019年天津高考试题（文数，word 解析版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！数学〔文科〕本试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分，考试用时120分钟。
第一卷1至2页，第二卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第一卷本卷须知1.每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每题5分，共40分。
参考公式：﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。
﹒圆锥的体积公式V=13Sh 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。
2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本答题共6小题，每题5分，共30分。
〔9〕集合{}|25A x R x =∈-≤中最小整数位.【解析】3-不等式52≤-x ，即525≤-≤-x ，73≤≤-x ，所以集合}73{≤≤-=x x A ，所以最小的整数为3-。
【答案】3-〔10〕一个几何体的三视图如下图〔单位：m 〕,那么该几何体的体积3m.【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。
长方体的体积为24243=⨯⨯，五棱柱的体积是6412)21(=⨯⨯+，所以几何体的总体积为30。
【答案】30 〔11〕双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C 的右焦点为F ,那么a =b =【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-by a x 的渐近线为x a b y ±=，所以有2=ab，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。
天津市2019年高考文科数学试题及答案
15. （本小题满分 13 分）
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房
贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除
. 某单位老、中、青员工分别有
3
72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取
25 人调查专项附加扣除的
享受情况 . （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
· 圆柱的体积公式 V Sh，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高 . 1
· 棱锥的体积公式 V Sh，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高 . 3
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合 A { 1,1,2,3,5}, B {2,3,4}, C { x R |1, x 3} ，则 ( A C ) B
（ A ） {2}
（ B） {2 ，3}
（ C） { - 1， 2，3}
（ D ） {1 ， 2，3， 4}
2. 设变量 x， y 满足约束条件
x y 2 0, x y 2 0,
则目标函数 z x… 1, y… 1,
4x y 的最大值为
（A）2
（B）3
（ C） 5
（D）6
3. 设 x R ，则 “0 x 5 ”是 “| x 1| 1”的
（A） c b a
（ B） a b c
（ c） b c a
（ D） c a b
2
x2 y2
6. 已知抛物线 y 4 x 的焦点为 F，准线为 l.若 l 与双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的两条渐近线分
ab
别交于点 A 和点 B，且 |AB | 4 | OF | （ O 为原点），则双曲线的离心率为
2019年天津高考文科数学试题(含解析)
绝密★启用前
2019年天津高考文科数学试题（含解析）
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
【推荐】2019高考卷-2019年天津卷文数高考试题答案
8
8
π
π
π 15 3 7 1 3 5 7
故
sin
2B
6
sin
2B
cos
6
cos
2B sin
6
8
2 82
16
.
（17）本小题主要考查直线与平面平行直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成
的角等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力满分 13 分.
所以 BD AE
AB AD
AB
5
AD
AB
AB AD AD
5
5
2 7
2 2
7
32
AB AB AD cos A AD 12 5 2 3 25 1.
5
5
5
25
三、 解答题
5．
a
故选 D．
7. 解析 因为 f x 是奇函数，又 ，所以 0 ，又 f x 的最小正周期为 ，
2
所以 ，得 2 ，所以 f x Asin 2x .
将 y f x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的
n(n 1)
n 3 2 6
6 31 12 32 18 33 ... 6n 3n
3n2 6 1 31 2 32 n 3n
Tn 1 31 2 32 n 3n . ①
故选 D.
x y 2 0
x y 2 0
2019年高考文数天津卷-答案
2019年普通高等学校全国统一招生考试（天津市）数学（文史类）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】D【解析】通解：{}1,2A C ⋂=，{}2,3,4B =，所以{}()1,2,3,4A C B ⋂⋃=，故选D .优解：因为|2,3,4|B =，所以()A C B ⋂⋃中一定含有2，3，4三个元素，故排除A ，B ，C ，选D . 【考点】集合的交运算与并运算 【考查能力】运算求解 2．【答案】C【解析】解法一 作出可行域如图中阴影部分所示.由4z x y =-+得4y x z =+，结合图形可知当直线4y x z =+过点A 时，z 最大，由20,1,x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，.故max 4(1)15z =-⨯-+=.故选C.解法二易知目标函数：4z x y =-+的最大值在可行域的顶点处取得，可行域的四个顶点分别是(1,1)-，(0,2)，(1,1)--，(3,1)-.当直线4y x z =+经过点(1,1)-时，5z =；当直线4y x z =+经过点(0,2)时，2z =；当直线4y x z =+经过点(1,1)--时，3z =；当直线4y x z =+经过点(3,1)-时，：13z =-.所以max 5z =，故选C.【考点】简单的线性规划问题 【考查能力】数形结合，运算求解 3．【答案】B【解析】由11x -＜，解得02x ＜＜，(0,2)(0,5)Ú，故“05x ＜＜”是“11x -＜”的必要而不充分条件.故选B.【考点】绝对值不等式的解法，充要关系 【考查能力】逻辑推理，运算求解 4．【答案】B【解析】由题意知，011S =+=，2i =；1j =，11225S ⨯=+=，3i =；538S =+=，4i =，退出循环.故输出的结果为8，故选B. 【考点】循环结构的程序框图 【考查能力】逻辑思维，运算求解 5．【答案】A【解析】因为22log 7log 42a ==＞，33log 8log 92b ==＜，3log 81b =＞，0.20.31c =＜，所以c b a <<.故选A.【考点】对数函数与指数函数的性质 【考查能力】逻辑推理，运算求解 6．【答案】D【解析】由题意知(1,0)F ，:1l x =-，双曲线的渐近线方程为by x a =±，则||4||4A B O F ==，而||2bAB a=⨯，所以2ba=，所以c e a ==== D. 【考点】抛物线与双曲线的几何性质【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解 7．【答案】B【解析】因为()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，且其最小正周期为π，所以0ϕ=，2ω=，()sin 2f x A x =，()sin g x A x =，所以2A =，故()2sin 2f x x =，332sin 84f ππ⎛⎫==⎪⎝⎭C. 【考点】三角函数的图象变换，三角函数的奇偶性、周期性 【考查能力】化归与转化，数形结合，运算求解 8．【答案】D【解析】由题意画出()f x 的图象，如图所示，当直线14y x a =-+与曲线1(1)y x x=>相切时，方程114x a x =-+有一个解，2440x ax -+=，2(4)440a ∆=--⨯=，得1a =，此时1()4f x x a =-+有两个解.当直线1()4f x x a =-+经过点(1,2)时，即1214a =-⨯+，所以94a =，当直线1()4f x x a =-+经过点(1,1)时，1114a =-⨯+，得54a =，从图象可以看出当59,44a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数01,()1,1x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩剟的图象与直线，14y x a =-+有两个交点，即方程1()4f x x a =-+有两个互异的实数解.故选D.【考点】分段函数的图象与性质，函数图象的交点与方程的解之间的关系 【考查能力】分析问题，解决问题，数形结合，运算求解第Ⅱ卷二、填空题9．【解析】通解5i (5i)(1i)46i23i 1i (1i)(1i)2----===-++-，于是5i 23i 1i -=-==+.优解 5i |5i |1i |1i |--=++【考点】复数的运算及复数的模 【考查能力】运算求解10．【答案】21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】2320x x +-＜，即(32)(1)0x x -+＜，所以213x -＜＜. 【考点】一元二次不等式的解法 11．【答案】220x y +-= 【解析】由题意知1si 'n 2y x =--，于是01'2x y ==-，所以所求切线方程为11(0)2y x -=--，即220x y +-=. 【考点】导数的几何意义、切线方程 【考查能力】运算求解 12．【答案】4π【解析】由题意得圆柱的高为四棱锥高的一半，底面圆的直径为以四棱锥侧校的四个中点为顶点的正方形的对角线，易求得圆柱的底面圆的直径为1，高为1，所以该圆柱的体积21π124V ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭π.【考点】空间几何体的内接几何体 13．【答案】92【解析】解法一：由题意知42x y =-，代入得222(421)(21)48552(42)2424y y y y y y y y y y-++-++==+--+-+，当了1x =时，224y y -+取得最大值2，此时原式取得最小值，所以(1)(21)59222x y xy +++=….解法二：由题意知22xy =-，代入222(1)(41)(22)(5)2810102(4)4422x x x x x x x x x x x x x x +-++--++===+--+-+⎛⎫- ⎪⎝⎭，当当2x =时，24x x -+你取得最大值4，此时原式取得最小值，所以(1)(21)59222x y xy +++=….解法三：由题意知(1)(21)2212552x y x y x y x y x y x yx y x y++++++===+因为0x ＞，0y ＞，所以42x y y =+…2xy ≤，当且仅当22x y ==时取“=”，所以(1)(21)59222x y xy +++=….【考点】二次函数的性质，基本不等式的应用 【考查能力】运算求解，化归与转化 14．【答案】1x -…【解析】通解：AEB △ 为等腰三角形，易得||2BE =，所以25A E A B B E A B AD =+=-uu u r uu u r uur uu u r uuu r，则22227|()1012211555BD AE AD AB AB AD AD AB AD AB ⎛⎫⋅=-⋅-=--+⋅=--+=- ⎪⎝⎭uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r uuur uu u r uuu r uu u r .优解：如图，以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，垂直BC 且过点B 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则(00)B ，，易知(2,0)E -，(A -，又BD所以D ，于是BD =uu u r，(1,AE =uu u r，所以(1,231BD AE ⋅=⋅=-=-u r uu u r.【考点】平面向量基本定理，向量的数量积 【考查能力】分析问题与解决问题，运算求解 三.解答题15.【答案】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人. （Ⅱ）（i ）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C {, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B F C D C E {,},C F{,},{,},{,}D E D F E F ，共15种.（ii ）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B C E B F E C F D F E F ，共11种.所以，事件M 发生的概率11()15P M =. 【解题思路】（Ⅰ）先根据题意求出老、中、青员工人数之比，然后用分层抽样的知识即可求解； （Ⅱ）（i ）利用列举法即可求解；（ii ）先找出事件M 包含的结果，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【考点】随机抽样，用列举法计算随机事件所含的基本事件数，古典概型及其概率计算公式 【考查能力】用概率知识解决简单实际问题 16.【答案】（Ⅰ）解：在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得s i n s i n b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =.由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=-⨯= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由正弦定理及已知条件得34b a =，再结合2b c a +=将b ，c 用a 表示，最后用余弦定理求cos B ；（Ⅱ）结合（I ）求出sin B ，进而求出2sin B ，2cos B ，最后利用两角和的正弦公式即可得出结果. 【考点】同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，正弦定理、余弦定理 【考查能力】运算求解能力17.【答案】（Ⅰ）证明：连接BD ，易知AC BD H =I ，BH DH =.又由BG=PG ，故G H P D ∥.又因为GH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以GH ∥平面P AD .（Ⅱ）证明：取棱PC 的中点N ，连接DN .依题意，得DN PC ⊥，又因为平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC I 平面PCD PC =，所以DN ⊥平面P AC ，又PA ⊂平面P AC ，故D N P A ⊥.又已知PA CD ⊥，CD DN D =I ，所以PA ⊥平面PCD.（Ⅲ）解：连接AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面P AC ，可知DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，因为PCD △为等边三角形，2CD =且N 为PC 的中点，所以DN =又DN AN ⊥，在Rt AND △中，sin DN DAN AD ∠==所以，直线AD 与平面PAC . 【解析】（I ）连接BD ，由三角形的中位线定理得GH PD ∥，结合线面平行的判定定理即可得出结论； （Ⅱ）取PC 的中点N ，连接DN ，则D N P C ⊥，由面面垂直的性质定理得DN ⊥平面P AC ，进而得DN PA ⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅲ）连接AN ，则由（Ⅱ）得DAN ∠为直线AD 与平面P AC 所成的角，再计算sin DAN ∠即可. 【考点】直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面垂直，直线与平面所成的角 【考查能力】空间想象，推理论证18.【答案】（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .依题意，得2332,3154,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,3,d q =⎧⎨=⎩故133(1)3,333n nn n a n n b -=+-==⨯=. 所以，{}n a 的通项公式为3n a n =，{}n b 的通项公式为3nn b =.（Ⅱ）解：112222n n a c a c a c +++L()()135212142632n n n a a a a a b a b a b a b -=+++++++++L L 123(1)36(6312318363)2n n n n n -⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥⎣⎦L()2123613233n n n =+⨯+⨯++⨯L .记1213233nn T n =⨯+⨯++⨯L ,① 则231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯L ,②②−①得，()12311313(21)332333331332n n n n n n n T n n +++--+=---⨯=-+⨯=--+-L .所以，122112222(21)3336332n n n n n a c a c a c n T n +-++++=+=+⨯L()22(21)3692n n n n +*-++=∈N . 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列0.的公比为q ，由已知条件建立方程组进行求解即可； （Ⅱ）利用分组求和法及错位相减法求解.【考点】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式 【考查能力】数列求和的基本方法，运算求解19.【答案】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =. 所以，椭圆的离心率为12.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+ 点P 的坐标满足22221,433(),4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-.因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t .因为OC AP ∥，且由（Ⅰ）知(2, 0)A c -，故3242c t c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【解析】（I|2||OA OB =2b =，结合222a b c =+，求出椭圆的离心率；（Ⅱ）由（I ）得出2a c =，b =，用c 表示出椭因方程与直线l 的方程，联立方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，求出点P 的坐标，利用已知条件可求解c 的值，进而得到椭圆的方程. 【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，圆，用代数方法研究圆锥曲线的性质 【考查能力】运算求解，用方程思想，数形结合思想解决问题 20.【答案】（Ⅰ）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211e ()e (1)e x x xf ax x a a x x x-⎡⎤=-+-=⎣'⎦. 因此当a ≤0时，21e 0x ax -＞，从而()0f x '＞，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（Ⅱ）证明：（i ）由（Ⅰ）知21e ()x ax f x x -'=.令2()1e xg x ax =-，由10ea <<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)1e 0g a =-＞，且221111ln 1ln 1ln 0g a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而()0f x '=在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a＜＜.当()00,x x ∈时，()0()()0g x g x f x x x'=>=，所以()f x 在()00,x 内单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0()()0g x g x f x x x'=<=，所以()f x 在()0,x +∞内单调递减，因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h'x x=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x ＞时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-.从而ln 1111111ln ln ln ln 1e ln ln ln 1ln 0a f a h a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因为()0(1)0f x f =＞，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯零点.又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，()()010,0,f x f x '⎧=⎪⎨=⎪⎩即()012011e 1,ln e ,1x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-.因为当1x ＞时，ln 1x x -＜，又101x x ＞＞，故()102012011e 1x x x x x x --<=-，两边取对数，得1020lne ln x x x -＜，于是()10002l n 21x x x x --＜＜，整理得013 2x x ->.【解题思路】（I ）首先求出导数，根据0a ≤，确定函数的单调性；（Ⅱ）（i ）利用导数及函数的零点存在性定理得函数()f x 的单调性及()f x 具有唯一极值点，然后构造函数，结合函数的单调性及零点存在性定理证明()f x 恰有两个零点； （ii ）建立0x 与x 的关系式，通过放缩法得证.【考点】导数的运算，不等式证明，运用导数研究函数的性质 【考查能力】综合分析问题和解决问题的能力。
2019高考天津卷数学(文)试卷及答案(word版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么.·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高 ·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合， ， ，则（ ） （A ）{2}（B ）{2，3}（C ）{-1，2，3}（D ）{1，2，3，4}则目标函数的最大值为（2）设变量满足约束条件（ ） （A ）2（B ）3（C ）5（D ）6（3）设，则“”是“”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）()()()P AB P A P B =+V Sh =S h 13V Sh =S h {}1,1,2,3,5A =-{}2,3,4B ={|13}C x R x =∈<…()A C B =,x y 4z x y =-+x R ∈05x <<11x -<S（A ）5（B ）8（C ）24（D ）29（5）已知，，，则的大小关系为（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）（6）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为（ ）（A（B（C）2（D （7）已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若（ ） （A ）-2（B ）（C（D ）2（8）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为（ ）2log 7a =3log 8b =0.20.3c =,,a b c c b a <<a b c <<b c a <<c a b <<24y x =F l 22221(0,0)x y a b a b-=>>||4||AB OF =O ()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><()f x π()y f x =()g x 4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭01,()1,1.x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩剟x 1()()4f x x a a R =-+∈a（A ）（B ）（C ） （D ）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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第Ⅰ卷
注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题 5 分共 40 分。
参考公式：
·如果事件 A，B 互斥，那么 P A B P A P B .
·圆柱的体积公式V Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高 1
（Ⅰ）求 cosB 的值；
（Ⅱ）求 sin
2B
6
的值.
（17）（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PCD 为等边三角形，平面 PAC 平面 PCD ，
PA CD ， CD 2 ， AD 3 ，
4
（Ⅰ）设 G ，H 分别为 PB ，AC 的中点，求证： GH ∥平面 PAD ；
2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利
4
息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人，现采用分
层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
2 （12）已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
(x 1)(2 y 1)
（13）设 x 0 ， y 0 ， x 2 y 4 ，则
的最小值为__________.
3 （Ⅱ）设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P ，圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心
4
C 在直线 x 4 上，且 OC ∥ AP ，求椭圆的方程.
（20）（本小题满分 14 分
设函数 f (x) ln x a(x 1)ex ，其中 a R .
（Ⅰ）若 a ≤ 0 ，讨论 f x 的单调性；
○
×
×
○
○
住房租金
×
×
○
×
×
×
赡养老人
○
○
×
×
×
○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率.
（16）（本小题满分 13 分）
在 ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为 a,b, c .已知 b c 2a ， 3c sin B 4a sin C .
x 1.
4
x
则 a 的取值范围为
5 9 （A） 4 , 4
5 9
（B）
4
,
4
5 9
（C）
4
,
4
{1}
5 9 （D） 4 , 4 {1}
绝密★启用前
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）
第Ⅱ卷
注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题，共 110 分。
（Ⅱ）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 A, B,C, D, E, F .享受情况如
右表，其中“ ○”表示享受，“×”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访.
员工
A
B
CLeabharlann DEF项目
子女教育
○
○
×
○
×
○
继续教育
×
×
○
×
○
○
大病医疗
×
×
×
○
×
×
住房贷款利息 ○
4
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为
（A）5
（B）8
（C）24
（D）29
（5）已知 a log2 7 ， b log3 8 ， c 0.30.2 ，则 a, b, c 的大小关系为
（A） c b a
（B） a b c
（c） b c a
（D） c a b
（6）已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F ，准线为 l .若与双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0) 的两条渐近线分别 a2 b2
交于点 A 和点 B，且| AB | 4 | OF |（ O 为原点），则双曲线的离心率为
（A） 2
（B） 3
（C）2
（D） 5
（7）已知函数 f (x) Asin(x ) ( A 0, 0,| | ) 是奇函数，且 f x 的最小正周期为 ，将
bn
2
n为奇数, n为偶数, 求 a1c1 a2c2 a2nc2n
n N* .
（19）（本小题满分 14 分）
x2 y2 设椭圆 1(a b 0) 的左焦点为 F ，左顶点为 A ，顶点为 B.已知 3 | OA | 2 | OB |（ O 为原点）.
a2 b2
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
·棱锥的体积公式V Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高 3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 A 1,1, 2,3,5 ， B 2,3, 4 ， C {x R |1x 3} ，则 (A C) B
（A）{2}
（B）{2，3}
（C）{-1，2，3}
（D）{1，2，3，4}
x y 2 ≤ 0,
x y 2 ≥ 0,
（2）设变量 x, y 满足约束条件
则目标函数 z 4x y 的最大值为
x 1,
y 1,
（A）2
（B）3
（C）5
（D）6
（3）设 x R ，则“ 0 x 5 ”是“ x 1 1 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 g x .若
3
g 2 ，则 f
4
8
（A）-2
（B） 2
（C） 2
（D）2
4
2 x, 0x1,
1
（8）已知函数 f (x) 1 ,
若关于 x 的方程 f (x) x a (a R) 恰有两个互异的实数解，
xy
（14）在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB 2 3 ， AD 5 ， A 30 ，点 E 在线段 CB 的延长
线上，且 AE BE ，则 BD AE __________.
三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分 13 分）
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
5i
（9） i 是虚数单位，则的值
的值为__________.
1 i
（10）设 x R ，使不等式 3x2 x 2 0 成立的 x 的取值范围为__________.
（11）曲线 y cos x x 在点 0,1 处的切线方程为__________.
（Ⅱ）求证： PA 平面 PCD ； （Ⅲ）求直线 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值.
（18）（本小题满分 13 分）
设an 是等差数列，bn 是等比数列，公比大于 0 ，已知 a1 b1 3 ， b2 a3 ， b3 4a2 3 . （Ⅰ）求an 和bn 的通项公式；
1,
（Ⅱ）设数列cn 满足 cn
1 （Ⅱ）若 0 a ，
e
（i）证明 f x 恰有两个零点
（ii）设 x 为 f x 的极值点， x1 为 f x 的零点，且 x1 x0 ，证明 3x0 x1 2 .
4
4