第一章 周期三角波的傅里叶级数
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周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数的定义基于三角函数的正 交性，即不同频率的正弦波在时间上 相互独立，且在频率域上相互正交。
傅里叶级数的性质
唯一性
01
对于给定的周期信号，其傅里叶级数展开是唯一的，即不存在
不同的
傅里叶级数展开后的项数越多，其与原信号的误差越小，即收
敛于原信号。
能量守恒
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
WENKU DESIGN
WENKU DESIGN
WENKU
REPORTING
https://
图像特征提取
利用傅里叶级数分析图像的频率特性，可以提取图像的特征点、线条 等结构信息，用于图像识别和目标检测。
PART 05
傅里叶级数的限制和挑战
频域混叠问题
当信号的频率成分接近时，傅里 叶级数可能无法准确分辨这些频
率成分，导致频域混叠现象。
频域混叠可能导致信号失真，影 响信号处理和通信系统的性能。
傅里叶变换、小波变换等。这些方法在处理非周期信号、时频分析等方面具有 更好的性能，为信号处理领域的发展做出了重要贡献。
PART 06
傅里叶级数的发展前景
快速傅里叶变换（FFT）算法的发展
快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，极大地提 高了傅里叶分析的效率，使其在信号处理、图 像处理、频谱分析等领域得到广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数可以设计各种类型的滤波器，用于提取或 抑制特定频率范围的信号。这在噪声消除、图像处理等领 域有重要应用。
数字信号处理
在数字信号处理中，傅里叶级数的离散形式（离散傅里叶 变换）用于分析数字信号的频域特性，实现信号的频域分 析和滤波等操作。
PART 02
傅里叶级数的性质
唯一性
01
对于给定的周期信号，其傅里叶级数展开是唯一的，即不存在
不同的
傅里叶级数展开后的项数越多，其与原信号的误差越小，即收
敛于原信号。
能量守恒
END
THANKS
感谢观看
KEEP VIEW
WENKU DESIGN
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WENKU
REPORTING
https://
图像特征提取
利用傅里叶级数分析图像的频率特性，可以提取图像的特征点、线条 等结构信息，用于图像识别和目标检测。
PART 05
傅里叶级数的限制和挑战
频域混叠问题
当信号的频率成分接近时，傅里 叶级数可能无法准确分辨这些频
率成分，导致频域混叠现象。
频域混叠可能导致信号失真，影 响信号处理和通信系统的性能。
傅里叶变换、小波变换等。这些方法在处理非周期信号、时频分析等方面具有 更好的性能，为信号处理领域的发展做出了重要贡献。
PART 06
傅里叶级数的发展前景
快速傅里叶变换（FFT）算法的发展
快速傅里叶变换（FFT）算法的出现，极大地提 高了傅里叶分析的效率，使其在信号处理、图 像处理、频谱分析等领域得到广泛应用。
滤波器设计
利用傅里叶级数可以设计各种类型的滤波器，用于提取或 抑制特定频率范围的信号。这在噪声消除、图像处理等领 域有重要应用。
数字信号处理
在数字信号处理中，傅里叶级数的离散形式（离散傅里叶 变换）用于分析数字信号的频域特性，实现信号的频域分 析和滤波等操作。
PART 02
3.3-4 典型周期信号的傅里叶级数
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
各谱线的幅度按 Sa( n ) 包络线变化。过零点
为： 2m
T1
4
主要能量在第一过零点内。主带宽度为：
1 B 或B f τ 2
若
1 T1 4
f (t )
E
T1 2T1
若 不变， 1 扩大一倍，即 T1 4 T1 8 T
E
t
E 2 E 4
cn
2
1
4
f (t )
T1
t
E 4 E 8
cn
2
1
4
若 T1 不变， 减小一半，即 T1 4 T1 8
E
f (t )
1 a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
2 2 A f (t )dt Adt T 0 T
2 an T
4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4
离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
T1
T1 2
2
2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
各谱线的幅度按 Sa( n ) 包络线变化。过零点
为： 2m
T1
4
主要能量在第一过零点内。主带宽度为：
1 B 或B f τ 2
若
1 T1 4
f (t )
E
T1 2T1
若 不变， 1 扩大一倍，即 T1 4 T1 8 T
E
t
E 2 E 4
cn
2
1
4
f (t )
T1
t
E 4 E 8
cn
2
1
4
若 T1 不变， 减小一半，即 T1 4 T1 8
E
f (t )
1 a0 T
T 2 T 2
T 2 T 2
2 2 A f (t )dt Adt T 0 T
2 an T
4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0
周期函数傅里叶级数展开式
谐波分析法(harmonic analysis)
具有对数(odd function) ：
f ( t ) = f ( t )
奇函数的波 形对称于坐 标系的原点
a0 0, 2
2 bn T
4 T
an 0, bn 0
f ( t ) sin( n 1 t ) dt
An a b
2 n
2 n
an n arctan bn
基波(fundamental wave)或一次谐波(first harmonic)：
A1 sin( 1t 1 )
n次谐波(n-th harmonic)：
An sin( n1t n )
(n 1)
二次和二次以上的谐波可统称为高次谐波(higher order harmonic)
t0 T t0
T 2 0
f ( t ) sin ( n 1 t ) dt
(2) 偶函数(even function)：
f ( t ) = f ( t )
偶函数的波 形对称于坐 标系的纵轴
bn 0,
a0 0, an 0 2
2 an T
4 T
t0 T t0
T 2 0
n 1
An sin( n1t n ) ( n 1,3,5,)
n 1
值得指出：一个周期函数是否具有半波对称性， 仅决定于该函数的波形，但是，一个周期函数是否为 奇函数或偶函数则不仅与该函数的波形有关，而且和 时间起点的选择有关。 返回
§81 周期函数的傅里叶级数展开式
周期函数 f ( t ) = f ( t + kT ) ( k = 1, 2, 3, … )
信号与系统§4.2 傅里叶级数
m≠n
■ 第 2页
2．级数形式
设周期信号f(t)，其周期为 ，角频率Ω π ， 设周期信号 ，其周期为T，角频率Ω=2π/T，当满足 狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级 条件时 狄里赫利 条件 数—— 称为f(t)的傅里叶级数 称为 的
∞ a0 ∞ f (t) = + ∑an cos(nΩt) + ∑bn sin( nΩt) 2 n=1 n=1
▲ ■ 第 9页
▲ ■ 第 6页
三、傅里叶级数的指数形式
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确， 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感 的傅里叶级数 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 指数形式的傅里叶级数 不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ，
上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 • A0/2为直流分量 为 • A1cos(Ωt+ϕ1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周 称为基波或一次谐波 Ω 称为基波或一次谐波， 期信号相同 • A2cos(2Ωt+ϕ2)称为二次谐波，其频率是基波的 倍 称为二次谐波 Ω ϕ 称为二次谐波，其频率是基波的2倍 Ω 称为n次谐波。 一般而言，Ancos(nΩt+ϕn)称为 次谐与谐波特性
T 2 2 2 an = ∫ f (t) cos(nΩt) dt bn = ∫ T f (t) sin( nΩt) d t T T −2
T 2 T − 2
1 .f(t)为偶函数 为偶函数——对称纵坐标 为偶函数 对称纵坐标
f (t) = f (−t)
bn =0，展开为余弦级数。 =0，展开为余弦级数 余弦级数。
CH123傅里叶级数
1 π
0
xd
π
x
1 π
x2 2
0 π
π 2
an1 ππ πf(x)consdxx1π0πxconsxdx
1 πxsninn xcno2nsx0π
1
cos nπ n2 π
an 1nc2oπnsπ
2 (2k1)2
π
,
0 ,
n2 k 1 n 2 k (k 1 ,2 , )
bn1 ππ πf(x)sinnd xx1π0πxsinnxdx
O x
2sin3x 3
4sin4x
(0x)
注意: 在端点 x = 0, , 级数的和为0 , 与给定函数 f (x) = x + 1 的值不同 .
再求余弦级数. 将 f (x)作偶周期延拓 , 则有
a0
2 π
π
(x 1)d x
0
2 π
x2 2
x
π 0
π2
y
an
2 π
π
(x1)cosnxdx
令
a0 2
A0 ,
a nA nsin n ,b nA nco n,stx
得函数项级数 a 2 0k 1(anco nxsbnsinn x)
称上述形式的级数为三角级数.
定理 1. 组成三角级数的函数系
1 , coxs,sinx, co2sx, sin2x, ,cn o ,sx is nn,x
在[π,π]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
周期为 2 的奇函数, 因此
y
a n 0 ( n 0 ,1 ,2 , ) O
x
bn20 f(x)sinnd xx
20xsinxdx2xcnons xsni2 nnx 0
§3.1周期信号的频谱分析——傅里叶级数
三角函数形式的频谱图
指数形式的频谱图
典型周期信号的傅里叶级数
主要内容
以周期矩形脉冲信号为例进行分析
主要讨论：频谱的特点，频谱结构，
频带宽度，能量分布。
其他信号，如周期锯齿脉冲信号
周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号请自学。
一．频谱结构
1. 三角函数形式的谱系数
2. 指数函数形式的谱系数
周期矩形脉冲信号的功率
而总功率 二者比值
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 1 F n 1 max 对于一般周期信号，将幅度下降为0 的频率区间定 10 义为频带宽度。
§3.1
周期信号的频谱分析
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
•
•周期信号的功率 •典型周期信号的傅里叶级数
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
是一个完备的正交函数集 t在一个周期内，n=0,1,....
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
例3-1-1
求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
直流
基波
谐波
例3-1-2
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
X
化为指数形式
整理
指数形式的傅里叶级数的系数
谱线
指数形式的频谱图
三角形式与指数形式的频谱图对比
周期单位冲激序列的频谱
指数形式的频谱图
典型周期信号的傅里叶级数
主要内容
以周期矩形脉冲信号为例进行分析
主要讨论：频谱的特点，频谱结构，
频带宽度，能量分布。
其他信号，如周期锯齿脉冲信号
周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号请自学。
一．频谱结构
1. 三角函数形式的谱系数
2. 指数函数形式的谱系数
周期矩形脉冲信号的功率
而总功率 二者比值
2．频带宽度
在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围 的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。 一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为： 2 1 B 或B f ，带宽与脉宽成反比。 1 F n 1 max 对于一般周期信号，将幅度下降为0 的频率区间定 10 义为频带宽度。
§3.1
周期信号的频谱分析
主要内容
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数
•两种傅氏级数的关系
•
•周期信号的功率 •典型周期信号的傅里叶级数
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.三角函数集
是一个完备的正交函数集 t在一个周期内，n=0,1,....
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
例3-1-1
求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
直流
基波
谐波
例3-1-2
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
X
化为指数形式
整理
指数形式的傅里叶级数的系数
谱线
指数形式的频谱图
三角形式与指数形式的频谱图对比
周期单位冲激序列的频谱
周期函数的傅里叶级数
三角函数系的正交性
si nnxdx
2
0
[a k ck oss x in n d x x b k sikn sx in n d x x ]
k 1
0
k n时非零
bn
sin2nxdx
bn
b n 1 f(x)sin n d x(n1 ,2,3, )
19
傅里叶(Fourier)级数
函数 f (x) 的傅里叶级数
4 E m(stin 1 3si3n t1 5si5n t )
傅里叶(Fourier)级数
由于u(t)满足狄利克雷条件, 所以
4Emn 12n11sin2n(1)t
u(t
0,
),
当t k时 当t k时
收 在 敛 tu (tk 点 )E 于 m (24 k E ( E m 0 mn , 11 2 t ,E n 1 2 m , 1 2(s) ; 处 t E i 2 m n 0 n ), ( 1 0不 ), t ,2 , 连 ) 续
1
10
an
f(x)c
onsd xx
xcons xdx
0
1xsninnxcon2ns x
1
n2
(1cons)
1
n2
[1(1)n]
2 n 2
0,
,
n1,3,5, , n2,4,6, ;
1
10
bn
f(x)sind xx
xsinnxdx
0
1xcnonsxsinn2nx Nhomakorabeacosn
n
(1)n1 . n
1 2
f(x)A02n1Anconsx, An20 f(x)consd xx
1759年, 拉格朗日在对声学的研究中也使用了三
傅里叶级数的数学推导，小白都看懂了！
傅里叶级数的数学推导，小白都看懂了！干货福利，第一时间送达！傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。
一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。
如下就是傅里叶级数的公式：不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。
单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。
能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢?下面来详细解释一下此公式的得出过程：1、把一个周期函数表示成三角级数：首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ)这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相(与考察时设置原点位置有关)。
然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。
傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢?因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。
于是，傅里叶写出下式：(关于傅里叶推导纯属猜想)这里，t是变量，其他都是常数。
与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。
这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。
从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量(即式中An)、有不同的周期或说是频率(是原周期函数的整数倍，即n)、有不同的初相角(即ψ)，当然还有一项常数项(即A0)。
傅里叶级数.pdf
f ( x)dx
a0 dx 2
an
n1
cosnxdx bn
sin nxdx
根据三角函数系①的正交性，等式右端除第一项外，其余各项均为零，则：
从而得出
f ( x)dx a0 2 2
1 a0
f ( x)dx
其次求 an ，用 cos nx 乘②式两端，再从
到 逐项积分，可得
f (x) cos nxdx a0 2
0
10
1
f ( x) cos( nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
1
1
f ( x) cos(nx)( dx)
f ( x) cosnxdx
0
0
2 f ( x) cosnxdx ( n 0,1,2,3, ).
0
1 bn
f ( x) sin nxdx
10
1
f (x) sin nxdx
x sin nxdx
⑤
2 n1
2
2
记
a0 2
c0 ,
an ib n 2
cn ,
an ib n 2
cn
(n 1,2,3, ),
则⑤式就表示为
a0 2
cn einx
n1
c n e inx ) .
(cneinx ) n 0
cn einx c ne inx ) .
n1
cneinx
⑥
n
⑥式即为傅里叶级数的复数形式。
系数 cn 的计算
（1）证 设 f (x) 为奇函数，即 f ( x) f ( x) 。按傅里叶系数公式有：
1 an
f (x) cosnxdx
10
1