2018-05-22-第二期征解问题
征解问题
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第一期征解问题
西安交大附中金磊
功能介绍 西安交大附中竞赛教练金磊老师个人账号，着重讲解平面几何常见构型（结构模型）及其性质、揭示题目间本质联系、介绍本人的解题思考过程及常用解题方法。
2018-05-17
如图，P是△ABC外接圆上不含A的弧BC上动点，X、Y为△ABP、△APC内心，O为△PXY外心。
黄之--张云勇教授征解题的简单证明与扩展
张云勇教授的征解题的证明上海 黄之张教授征解问题：设p 是一个奇素数，ω是p 次单位虚根，∑∏-=-=++=10210)12()1(p j p k jk p F ω，证明：当)8(mod 1±≡p 时2221-=+p p F ；当)8(mod 3±≡p 时2221+=+p p F .证明：1.引理：若p 表示正奇数，则有：121|p π)1(cos ...π3cos π2cos πcos |-=-p p p p p引理的证明：由于(2,p)=1，故设2模p 的阶为g ，则)(m o d 12p g≡，可将这些余弦值分为gp 1-组，每组都有g 个余弦值相乘，每一组都形如：gg g g g r pr r r r r p r r r r r p r 21|pπsin π2sin2||p πsin p π2cos ...p π2cos p π2cos πcos p πsin ||pπ2cos ...p π2cos p π2cos πcos 1212===--- 故 1121)21(|p π)1(cos ...π3cos π2cos πcos |--==-p gp g p p p p引理证毕.2.原题的证明：∑∑∏-=+-=-=++++++=+=11532110210)12()1)...(1)(1)(1(2)1(p j pj j j j p p j p k jk p F ωωωωω记 ∑-=-++++=11)12(53)1)...(1)(1)(1(p j j n j j jn S ωωωω则 ∑-=-≡++++=113)(mod 2)...1(2p j n j n j j n p S ωωω这是因为上面求和式中共有n2个tjω，无论tj 是否是p 的倍数都将有)(mod 111p p j tj-≡∑-=ω.取21-=p n 则有 ))(mod 2(22121p p S p p -≡-≡--由于.1,...2,1,-=p j j ω显然恰好取遍每一个p 次单位虚根.故：∑∏∑∑-=-=++++--=-=--⋅-⋅=-⋅⋅⋅=++++=11211π (5312)1pπpπ311p π11pπ)2(2pπ10pπ6pπ221))p π)12((cos 2()pπ)2(cos 2...p π3cos 2p πcos 2()1)...(1)(1)(1(p k p m k ppip pk ik ip k k i p k i k p i k i k i k p ek m ek p ek e k eeeeS为了进一步确定21-p S 的值，所以作下面的估计(其中利用了引理)：1))p π(cos 2())p π(cos2())p π)12((cos2(2111112121111121112112121-===-≤∑∏∑∏∑∏-=-=--=-=--=-=--p m mk k m S p k p m p p k p m p p k p m p p 上式等号显然不可取到,所以只能)2(21pS p -=-所以 )2(2222212121pS F p p p p -=+=+-+ 证毕.注：1. 由过程可以求出每一个.21,...,2,1,-=p n S n 2. 从n S 的求和过程可以看出，用21-p S 的可以求出集合}2,...,5,3,1{-p 的其元素和为p 的倍数的非空子集的个数：设此个数为g ，则显然有2121)12()1()1(--=----+-p p S g g p p所以 1)2(221--=-ppg p 其中众所周知勒让德符号1,1)2(-=p分别由)8(mod 1,3±±≡p 而定.或者表达为：g 是与1221--pp 最接近的整数.。
常用本征值问题的一般求解方法
第 ３９ 卷 增 刊 １ ２０１８ 年 ８ 月
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｑｉｎｇｄａｏ Ｕｎｉ青ｖｅｒ岛ｓｉｔｙ科 ｏｆ技 Ｓｃ大ｉｅｎ学ｃｅ ａ学ｎｄ报 Ｔ（ｅ自ｃｈ然ｎｏｌ科ｏｇ学ｙ（版Ｎ）ａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
ＶｏＡｌｕ．ｇ３９．２Ｓ０ｕ１ｐ８．１
文 章 编 号 ：１６７２－６９８７（２０１８）Ｓ１－０１３４－０２
１ 第 一 类 齐 次 边 值 条 件
对于常微分方程 ｙ″＋λｙ＝０， 及第一类齐次边值条件 ｙ｜ｘ＝０ ＝ｙ｜ｘ＝ａ ＝０， 定解问题描述为
｛ｙ″＋λｙ＝０，
ｙ｜ｘ＝０ ＝ｙ｜ｘ＝ａ ＝０。 当λ＜０ 时 ，微 分 方 程 的 通 解 为 ｙ＝Ｃ１ｅ槡－λｘ ＋Ｃ２ｅ－ 槡－λｘ ，
（１） （２） （３） （４）
ｙｎ ＝ｓｉｎｎａπｘ，ｎ＝１，２，３，… 。
（１０）
收 稿 日 期 ：２０１７－０５－１５ 作 者 简 介 ：王 河 （１９６４— ），男 ，副 教 授 ，博 士 ．
增刊１
王 河 ：常 用 本 征 值 问 题 的 一 般 求 解 方 法
１３５
２ 第 二 类 齐 次 边 值 条 件
第二类齐次边值条件为
ｙ′｜ｘ＝０ ＝ｙ′｜ｘ＝ａ ＝０， 这时定解问题为
（１１）
｛ｙ″＋λｙ＝０，
ｙ′｜ｘ＝０ ＝ｙ′｜ｘ＝ａ ＝０。
（１２）
同样地分λ＜０，λ＝０ 和λ＞０ 三 种 情 况 讨 论，因 为 在
这三种情况下方程的通解是不同的。
当λ＜０ 时 ，把 微 分 方 程 的 通 解 代 入 ，得
此时也只有零解。
当λ＞０ 时 ，微 分 方 程 的 通 解 为
ｙ＝Ｃ１ｃｏｓ槡λｘ＋Ｃ２ｓｉｎ槡λｘ，
问题与征解
问题与征解
问题1(供题者:北京大学杨家忠)设x1,x2, ,x n, 依次为方程2020t a n x=2021x的所有正根,试计算级数ð+ɕn=11x2n的值.
问题2(供题者:南京大学梅加强)设f为(-ɕ,+ɕ)上的连续函数,如果对每一个x,均有l i m hң01h3ʏh-h f(x+t)t d t=0.证明:f为常值函数.
编者按
‘问题与征解“经过一年多的筹备终于与读者见面了.开设这个栏目主要目的是为数学工作者或爱好者提供一个相互学习㊁相互探讨的平台,同时也为教学提供新颖㊁丰富的素材,进一步提升数学工作者的数学素质和教学能力.我们热切希望得到所有读者大力支持和帮助,力争将这个栏目办成具有广泛影响力和读者喜爱的品牌栏目.
本刊聘请复旦大学数学科学学院楼红卫教授为本栏目负责人,负责题目的筛选和把关.
‘问题与征解“现面向国内外数学工作者或爱好者征集关于‘微积分“‘线性代数“‘概率论与数理统计“等三门课程具有原创性的问题,解答由问题提供人给出.请作者将问题及其完整解答从‘大学数学“投稿系统中投稿或发至楼红卫教授邮箱h w l o u@f u d a n.e d u.c n.,邮箱主题填写:‘问题与征解“.
问题与解答一旦被本刊入选,赠送两本当期‘大学数学“杂志.
‘大学数学“编辑部。
2018智慧树公共关系与人际交往能力答案 知到公共关系与人际交往能力答案章节答案
智慧树知到公共关系与人际交往能力答案第一章单元测试名称公共关系与人际交往能力对应章节第一章成绩类型分数制截止时间2018-07-3123:59题目数5总分数100说明:评语:提示：选择题选项顺序为随机排列，若要核对答案，请以选项内容为准100第1部分总题数:51【单选题】(20分)公共关系学的学科性质是()A.社会学学科B.管理学学科C.综合应用型学科D.传播学学科正确C查看答案解析本题总得分：20分2【单选题】(20分)“公共关系是90%靠自己做得好，10%靠说（宣传）得好”，这种观点出自公共关系定义的哪家流派？()A.特征综合论B.现象描述论C.社会关系论D.管理职能论正确B查看答案解析本题总得分：20分3【单选题】(20分)公共关系的主体是（）A.政府主管部门B.“一把手”C.党委集体领导D.社会组织正确D查看答案解析本题总得分：20分4【单选题】(20分)公共关系客体准确的表述是指（）A.公众B.组织C.大众D.消费者正确B查看答案解析本题总得分：20分5【单选题】(20分)人际交往体现和彰显公共关系是指（）A.人与人交往无处不在B.人际交往具有目的性C.全员公关，每个人都若明若暗的成为一定社会组织的“形象大使”D.社会组织是由一个个体组成的正确C第二章单元测试名称公共关系与人际交往能力对应章节第二章成绩类型分数制截止时间2018-07-3123:59题目数5总分数100说明:评语:提示：选择题选项顺序为随机排列，若要核对答案，请以选项内容为准100第1部分总题数:51【单选题】(20分)下列哪个关汪徽沁公众呺【智取宝】获取完整答案A.联合国秘书处B.智取宝C.海尔公司D.智慧树教育共享平台正确B查看答案解析本题总得分：20分2【单选题】(20分)下列哪些不是评价社会组织形象的标准（)A.利润率B.知名度C.美誉度正确A查看答案解析本题总得分：20分3【单选题】(20分)以下哪些不属于大众传播媒介（)A.通讯社B.报社C.组织内广播台D.互联网正确C查看答案解析本题总得分：20分4【多选题】(20分)公共关系基本特征有（)A.公众性B.互利性C.开放性D.流动性正确ABCD查看答案解析本题总得分：20分5【多选题】(20分)公众的基本特征有（)B.同质性C.多元性D.可导性正确ABCD完整满分答案就在徽芯公忡呺【智取宝】获取第三章单元测试名称公共关系与人际交往能力对应章节第三章成绩类型分数制截止时间2018-07-3123:59题目数5总分数100说明:评语:提示：选择题选项顺序为随机排列，若要核对答案，请以选项内容为准80第1部分总题数:51【单选题】(20分)公共关系对社会组织的作用是（）A.服务消费者B.推销组织产品C.占有市场D.树立组织形象正确查看答案解析本题总得分：20分2【单选题】(20分)公共关系活动既要对社会组织负责，也要对公众负责。
二阶常微分方程的级数解法 本征值问题3-1精品PPT课件
根据泰勒展开的唯一性，可得：
(k 2)(k 1)ck2 k(k 1) l(l 1)ck 0
k(k 1) l(l 1) (k l)(l k 1) 即 ck2 (k 2)(k 1) ck (k 2)(k 1) ck
这样就得到了系数之间的递推关系。反复利用递推关系，就可以求得系数。
解： 这里 p(x) 0, q(x) 2
设解为 y( x) a0 a1x a2 x2 ak xk 则 y( x) 1a1 2a2 x (k 1)ak1xk
y( x) 2 1a2 3 2a3x (k 2)(k 1)ak2 xk
把以上结果代入方程，比较系数得：
n 0，
n 1，
c2
1 2
(a0c1
b0c0 )
1
c3 6 (a1c1 2a0c2 b1c0 b0c1)
1 6
(a02
a1
b0
)c1
(a0b0
b1 )c0
以此类推，可求出全部系数 cn ，从而得到方程的级数解。
8
例3：在 x0 0 的邻域内求解常微分方程 y 2 y 0 （为常数）
的两个无限级数形式解均不满足这个条件。
注意：勒让德方程还有一个参数l。如果l取某些特定的值，则可能找到满足以上 边界条件的解。
(k l)(l k 1) 考察递推公式 ck2 (k 2)(k 1) ck
只要l是个整数，则当k=l时，由系数 cl 2 开始，以后的系数均为零。级数便
截止于l项，退化为l次多项式，解就可能满足边界条件。这样得到的多项式， 称为l阶勒让德多项式。
(2k 1)2k(2k 1)(2k 2)
c2k 3
... c1 (2k 1 l)(2k 3 l)...(1 l) (2k 1)!
数解法本征值问题
( 2) ()
本征值： λ= m2 ( m = 0,1,2,3…） 本征函数： () A cosm B sin m
1 d d m2 sin [l (l 1) 2 ] 0 sin d d sin dx x cos ,0 ,1 x 1, sin d
Y d 2 dR R Y 1 2Y 0 r 2 sin 2 2 2 2 r dr dr r sin r sin
1 d 2 dR 1 Y 1 1 2Y l (l 1) r sin 2 2 R dr dr Y sin Y sin
在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞尔， 1783年9月18日於俄国的彼得堡去逝。欧拉 出生於牧师家庭，自幼已受到父亲的教育。 13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16 岁获得硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数 学推至几乎整个物理的领域。此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大 量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748） ，《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学 中的经典着作。 欧拉最大的功绩是扩展了微积分的领域，为微分几何及分析学的一些重要分 支（如无穷级数、微分方程等）的产生与发展奠定了基础。
獻。在確定慧星軌道的論文（1805）中比高斯更早地發現了
最小二乘法的原理。他的初等幾何著作《幾何原理》也很有 名，在這裡他證明了π的無理性。
2. u 0在柱坐标下的分离变量
x cos y sin
zz 0 , 0 2, z
komal数学征解问题
komal数学征解问题【最新版】目录1.介绍 Komal 数学征解问题2.阐述 Komal 数学征解问题的解决方法3.探讨 Komal 数学征解问题的意义和应用正文一、介绍 Komal 数学征解问题Komal 数学征解问题是指在给定一组数列中，找到一组子数列，使得这些子数列的和等于原数列的和，并且子数列的乘积最大。
这个问题源于印度数学家 Komal 在 20 世纪 80 年代提出的一个数学问题，被称为Komal 问题。
Komal 问题具有广泛的应用背景，例如在计算机科学中的数据压缩、信号处理、图像处理等领域。
二、阐述 Komal 数学征解问题的解决方法Komal 数学征解问题可以通过动态规划（DP）算法进行求解。
动态规划是一种将复杂问题分解为简单子问题的解决方法，通过将子问题的解存储起来，避免了重复计算，从而提高了算法的效率。
对于 Komal 问题，我们可以将原数列分为两个子数列，然后计算所有可能的子数列组合的乘积，找到最大的乘积对应的子数列组合，即为所求的解。
动态规划算法的具体步骤如下：1.创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示数列中前 i 个元素分成 j 个子数列的最大乘积。
2.初始化 dp 数组，dp[0][0] = 1，表示数列长度为 0 或 1 时，最大乘积为 1。
3.遍历数列，对于每个元素 a[i]，更新 dp 数组：- 对于每个可能的子数列长度 j（1 <= j <= i），更新 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1] * a[i])。
4.遍历完成后，dp[n][m] 即为原数列分成 m 个子数列的最大乘积，其中 n 为数列长度。
三、探讨 Komal 数学征解问题的意义和应用Komal 数学征解问题的解决对于许多实际应用领域具有重要意义。
例如，在数据压缩领域，通过寻找最佳的子数列组合，可以实现更高效的数据压缩；在信号处理领域，Komal 问题可以用于求解最佳采样间隔，从而提高信号处理的效果；在图像处理领域，Komal 问题可以用于图像的块处理，提高图像处理的速度和效果。
定解问题和本征值问题课件
04
定解问题实例分析
一维波动方程的定解问题
总结词
描述一维波动现象，如声波、地震波等。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现象的基本方程，如声波在空气中传播、地震波 在地壳中传播等。通过求解一维波动方程，可以得到波的传播规律、波动速度 、波动强度等参数。
热传导方程的定解问题
总结词
描述热量在物体中的传递过程。
02
本征值问题概述
本征值问题的定义
本征值问题是指在某个特定算子或矩 阵的作用下，求解特定方程以得到一 组解的问题。这些解被称为本征值和 本征向量。
本征值问题在物理、工程、化学等领 域有着广泛的应用，如量子力学、振 动分析、信号处理等。
本征值问题的分类
根据本征值的性质，本征值问题可以分为离散型和连续型两 类。离散型本征值问题通常涉及到矩阵，而连续型本征值问 题则涉及到微分方程或积分方程。
02
热传导方程
热传导方程也是定解问题的一个例子，它描述了热量在物体中的传递和
分布。同时，热传导方程的本征值问题也具有实际应用，例如在热传导
模式的稳定性分析中。
03
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是描述物理中静电场、稳态热流等问题的定解问题。同时
，它也是一些本征值问题的形式，例如在量子力学中的粒子在势阱中的
运动。
微分算子的本征值问题
总结词
微分算子的本征值问题是一个经典的数学问题，它涉及到微分方程的解和函数的本征值，对于理解函 数的性质和解决实际问题具有重要意义。
详细描述
微分算子的本征值问题主要研究微分方程的解和函数的本征值，即找到一个函数使得该函数是这个微 分方程的解，并且这个函数是这个微分算子的一个特定的值。在解决实际问题时，微分算子的本征值 问题常常用于求解波动方程、热传导方程、薛定谔方程等领域。
二阶周期边值问题的多重正解
2018年以来，随着人们对非线性系统的研究日益深入，多重正解的概
念逐渐被提出。
二阶周期边值问题也属于非线性系统，多重正解的在
该问题的研究上得到了重视。
多重正解（Multiplicity of Solutions）指的是对于某些特定的初始或边
界条件，有不止一个正解。
与经典的解决方案方法相比，多重正解常
常具有更丰富的物理意义。
因此，二阶周期边值问题的多重正解也受到了广大研究者的广泛关注。
利用多重正解可以更好地求解一些经典问题，如格罗兹山问题
（Görtzmann）等。
而对于二阶周期边值问题，多重正解的作用更加明显，能够找出解的更为全面的物理学意义。
在实际的应用中，多重正解能够很好地解决一些困难的问题，如求解
叶屈曲理论问题（Leafstiff theory）、求解离散网格问题以及求解有限
元法等。
有了多重正解，就可以得到解的更可靠的求解结果。
多重正解对于二阶周期边值问题的研究中具有重要意义，其重要的好
处在于可以拓展一些经典问题的研究范畴，也能更好地解释有关问题
的解的结果，从而为后续更加深入的研究提供便利。
总之，多重正解是对于二阶周期边值问题研究的重要结果。
它不仅能
有效拓展研究局限，而且还具有可靠且更可信的求解结果。
多重正解
提供了一条全新的研究路径，为二阶周期边值问题求解提供了不同的
解决思路。