4.2.1指数函数及其图像与性质
合集下载
人教版高中数学必修课 4.2-指数函数的概念、图象与性质 教学PPT课件
……y …= …2x
8=23
第x次
…
2x
细胞个数y关于…分裂次数x的表达式为:
创设情景
引例2 、
1
(2).一根1米长的绳子从中间剪一次剩下 2 米，再从中 间剪一次剩下 1 米，若这条绳子剪x次剩下y米，
4
则y与x的函数表达式是：
y
1 2
x
引入概念与剖析
1.指数函数的定义：
形如y = ax(a0，且a 1)的 函数叫做指数函数，其中x是 自变量 .
(1)y＝2x＋1；(2)y＝2x－1；(3)y＝2x＋1； (4)y＝2－x；(5)y＝2|x|.
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定 出y＝f(ax)的值域．
1．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指
12，1∪(1，＋∞) [由题意可
数函数，则实数a的取值范围是 ________．
知22aa－－11>≠01，， 解得a>12，且a≠1， 所以实数a的取值范围是12，1
∪(1，＋∞)．]
2．已知f(x)＝2x的图象，指出下列函数的图象是由y＝f(x)的图象通过 怎样的变化得到：
(0,1)
象
0
x
0
x
定义域: R
性
值 域: (0,+ ∞ )
必过 点：( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
高一上学期数学人教A版必修第一册4.2指数函数(指数函数的概念+指数函数的图像和性质)课件
第4章 指数函数与对数函数
4.2 指数函数
导问：创设情境，引入主题
给我一个支点，我能够撬动地球。
----阿基米德
给我一张足够大的纸，
我能够上月球，你信吗？
给你一张纸，你能折几次呢？
导问：创设情境，引入主题
如果你有一张面积无限、强度无
限，厚度为0.01毫米的纸，如果
折叠能力无限，那么多次对折，
纸张的厚度会变成多少呢？
导问：创设情境，引入主题
导问：创设情境，引入主题
问题1：一张薄薄的纸，却折叠出了惊天的气势，蕴含着神秘的数学知识。
若把纸张的初始厚度设为1，经过x次对折后， 纸张厚度y与对折次数x之间
的关系是什么？
对折次数
纸张厚度
每折叠一次，得到的纸张的厚度都约
0
1
1
为前一次的2倍.也就是每次的厚度相
比于折叠之前都增长了100%，我们称
这节课我们都学了什么？
R
对称性
定义域
定义
值域
指
数
函
数
奇偶性
图
性
象
质
非奇非偶函数
单调性
过定点（0，1）
在第一象限内“底大图高”
感谢凝听！
2
3
···
这个100%为增长率。
···
增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
导问：创设情境，引入主题
问题2:《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。“
设原长度为1，设
取ｘ天之后，剩
1
长度都变为前一天的
2
一半.也就是每天的长
3
度相比于前一天都衰
下y，请完成表格：
···
4.2 指数函数
导问：创设情境，引入主题
给我一个支点，我能够撬动地球。
----阿基米德
给我一张足够大的纸，
我能够上月球，你信吗？
给你一张纸，你能折几次呢？
导问：创设情境，引入主题
如果你有一张面积无限、强度无
限，厚度为0.01毫米的纸，如果
折叠能力无限，那么多次对折，
纸张的厚度会变成多少呢？
导问：创设情境，引入主题
导问：创设情境，引入主题
问题1：一张薄薄的纸，却折叠出了惊天的气势，蕴含着神秘的数学知识。
若把纸张的初始厚度设为1，经过x次对折后， 纸张厚度y与对折次数x之间
的关系是什么？
对折次数
纸张厚度
每折叠一次，得到的纸张的厚度都约
0
1
1
为前一次的2倍.也就是每次的厚度相
比于折叠之前都增长了100%，我们称
这节课我们都学了什么？
R
对称性
定义域
定义
值域
指
数
函
数
奇偶性
图
性
象
质
非奇非偶函数
单调性
过定点（0，1）
在第一象限内“底大图高”
感谢凝听！
2
3
···
这个100%为增长率。
···
增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。
导问：创设情境，引入主题
问题2:《庄子·天下篇》 中写道： “一尺之棰，日取其半，万世不竭。“
设原长度为1，设
取ｘ天之后，剩
1
长度都变为前一天的
2
一半.也就是每天的长
3
度相比于前一天都衰
下y，请完成表格：
···
4.2指数函数(高一数学(沪教版必修第一册)课件
(A)2.52.5>2.53 (B)0.82<0.83
(C)π2<
(D)0.90.3>0.90.5
解析:因为y=0.9x严格递减,且0.5>0.3,
所以0.90.3>0.90.5.
12.若( )2a-1<( )3-2a,则实数 a 的取值范围是( A ) (A)(1,+∞) (B)( ,+∞) (C)(-∞,1) (D)(-∞, )
题型四 指数函数的图像
例4 （2）已知函数f(x)=a2x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点 P,则点P的坐标是( ) (A)(0,3) (B)(1,3) (C)(0,4) (D)(1,4)
解析:当2x-2=0时,x=1,即f(1)=a2-2+3=1+3=4,故P(1,4).故选D.
题型四 指数函数的图像
题型一 指数函数的概念
例1 (2)函数y=(2a2-3a+2)ax是指数函数,则a的取值是( )
解析:因为函数 y=(2a2-3a+2)ax 是指数函数, 所以 2a2-3a+2=1 且 a>0,a≠1. 由 2a2-3a+2=1 解得 a=1 或 a= ,
所以 a= .
题型二 指数函数的解析式
例4（3）若函数y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四 象限,则必有( )
(A)0<a<1,b>0 (B)0<a<1,b<0(C)a>1,b<0 (D)a>1,b>0
法一 由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、 二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移 (b+1)个单位长度得到的,如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、三、四象 限,则a>1且b+1>1,从而a>1且b>0.故选D. 法二 由函数是增函数知a>1,又x=0时,f(0)<0知b>0.选D.
4.2.1指数函数的概念课件(人教版)
> 0, 且 ≠ 1
，
叫做
( − )
Q3:若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，那么试写出死亡生物
体内碳14含量与死亡年数间的关系式。
= ( − ) ( ∈ [, +∞))
= (( ) ) ( ∈ [0, +∞))
那它们是函数吗？它们有什么共同特征呢？
①均为指数幂的情势
②自变量x在指数位置
③底数是一个正的常数
你能否用一个式子反应这些特征吗？
【问题2】
函数 =
> 0, 且 ≠ 1 情势上有什么特征？
因此，指数函数的定义只是一个情势定义.判断一个函数是
不是指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是
具备以上三个特征.
解：∵() = 且(3) =
3
∴ (3) = = .
1
3
1
3
3
∴ = ，即() = ( ) = .
0
3
1
3
∴(0) = = 1；(1) = =
3
；(−3) =
−3
3
=
−1
=
1
.
【归纳小节】
1.指数函数的定义
一般的，函数 =
指数函数，其中指数
2.指数函数情势上有什么特征
死亡
年数
碳14
含量
1年
( − )
2年
( − )
3年
( − )
······
5730年
年
······
( − )
( − )
高中数学人教A版必修第一册4.2指数函数(教学课件)
f
(1)
1
π3
3
π
，
f
(3)
π1
1 π
.
图象
定义域
值域 性
过定点 质
单调性
奇偶性
0 a 1
a 1
R (0， )
(0，1) ，即 x 0 时， y 1
减函数
增函数
非奇非偶
例 2 比较下列各题中两个值的大小： （1）1.72.5 ，1.73 ；（2） 0.8 2 ， 0.8 3 ；（3）1.70.3 ，0.93.1 .
t
1
t
1
2
2
3 4
，
函数
f
(t)
t
1 2
2
3 4
在 (0, )
上为增函数，
f
(t)
f
(0)
1，
函数 y
1 4
x
1 2
x
1 的值域为(1, )
.
8.已知函数 f (x) ax ( a 0 ，且 a 1)在[1,1] 上恒有 f (x) 2 ，则 实数 a 的取值范围为___12_,_1__∪__(1_,_2_)___.
3 2a 0
对于
B，欲使得该函数为增函数，需满足
a 3
1 2a
1
a
，解得1
a
3 2
，故
B
正确；
对于 C， f (1) 3 2a 1 1 ，解得 a 1 ，故 C 错误； 2
对于 D，该函数为非奇非偶函数，故 D 错误. 故选 AB.
6.已知指数函数 f (x) (2a 1) x ，且 f (3) f (2) ，则实数 a 的 取值范围是_____12_,_1___________.
4.2.1指数函数的概念PPT课件(人教版)
数学问题
这说明2001年…
实际问题
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
这说明…
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比 较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的，能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？
增长率为常数的变化 方式，称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1：比较两地景区游客人次的变 化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减（称为衰减率）, 若年衰减率为 p ，你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗？
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现怎样的变化规律？
A地
B地
线性增长
这说明2001年…
实际问题
例 2（2）在问题 2 中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？
这说明…
思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？
例 2 （1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带 来 1000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比 较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况.
1118 113
1244 126
B景区每年旅游人次约为上 一年的1.11倍
年增加量是相邻两年的游客人次 做减法得到的，能否通过对B地 景区每年的游客人次做其他运算 发现游客人次的变化规律呢？
增长率为常数的变化 方式，称为指数增长 .
时间/
A地景区
年
人次/ 万次
年增加量 /万次
2001 600
2002 609 9 2003 620 11 2004 631 11 2005 641 10 2006 650 9 2007 661 11 2008 671 10 2009 681 10 2010 691 10 2011 702 11
1.11x 倍.
设经过 x 年后的游客人次为2001年的 y 倍
探究1：比较两地景区游客人次的变 化情况，你发现怎样的变化规律？
增加量、增长率是 刻画事物变化规律 的两个重要的量.
A地
B地
问题 2 当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确 定的比率衰减（称为衰减率）, 若年衰减率为 p ，你能表 示出死亡生物体内碳 14 含量与死亡年数之间的关系吗？
探究1：比较两地景区游客人次的变化情况， 你发现怎样的变化规律？
A地
B地
线性增长
指数函数的图像和性质-课件
，
0.80.2
；
（3）0.3 −0.3 ，, 0.2−0.3 ；
（4）1.70.3, 0.93.1 。
同底比较大小
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
或中间变量进行
比较
不同底但同指数
底不同，指数也不同
小结: 比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1)同底数指数幂比大小,构造指数函数，利用
2
质
指数函数的性质
通过研究对比不同底数的指数函数图像，
整理出了，指数函数与底数的关系以及
函数性质。
2
4
指数函数的图像
1
通过比较 = 2 ， = 3 ， = （ ）
1
2
， = （ ） 的图像，我们归纳出了指数
3
函数 = 的一般像。
应用和检测
看指数函数图像比底数
比较两个幂的形式的数大小
1.75 , 41.75
（4） 3
1 −2 −3
（6） ( ) 3 , 2 5
3
当堂检测：
如图4.2-7.某城市人口呈指数增长.
（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；
（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人?
课堂小结
1
3
复习指数函数的概念
指数函数的定义
1
指数函数y = 2x ，y = （ ）x 的图像与性
函
数
( >
1) 与 x轴
下面的指数
函数有无公
有无 公共点 ？
共点？
函数的 定义
讨论函数的
域是什么？
单调性？
4.2.1指数函数的概念课件(人教版)
第一章4统.2.计1 案例
指数函数的概念
高一数学必修第一册
第四章 指数函数与对数指数
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义； 2.理解指数函数的概念；
3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
一、新课引入情境
庄子曰:一尺之棰,日取其半, 万世不竭.
1.问题1:一根1米长的木棒，第一天取其一半剩下 米,第二
死亡5730年后,生物体内碳14含量为(1 p)5730.
二、探究新知
1.视察函数
它们有何特点？
y = 2x 自变量x出现在指数上
底数2是一个大于0不等于1的常数
2.指数函数的定义： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
为什么要规定a>0，a≠1?
3.为何规定a0，且a1?
A.10天
B.15天
C.19天
D.2天
五、课堂小结：
1.本节课你学习了哪些基本知识？
指数函数的概念： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
2.本节课你学会了哪些思想方法？ 待定系数法
作业： (1)课本P118 , 习题4.2 1,2
(2)做完《一线课堂》对应习题
是
不是
不是
不是
不是
是
指数函数的解析式是： 特点： 的系数是1 ; 指数必须是单个x ;
底数是常量a0,且a1.
2.变式: 函数 求 的值.
是指数函数,
3例2.已知指数函数
的图象经过点
,求
解:因为
的图象经过点
的值.
待定系数法求a
,
所以
即
,
解得 所以，
指数函数的概念
高一数学必修第一册
第四章 指数函数与对数指数
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义； 2.理解指数函数的概念；
3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
一、新课引入情境
庄子曰:一尺之棰,日取其半, 万世不竭.
1.问题1:一根1米长的木棒，第一天取其一半剩下 米,第二
死亡5730年后,生物体内碳14含量为(1 p)5730.
二、探究新知
1.视察函数
它们有何特点？
y = 2x 自变量x出现在指数上
底数2是一个大于0不等于1的常数
2.指数函数的定义： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
为什么要规定a>0，a≠1?
3.为何规定a0，且a1?
A.10天
B.15天
C.19天
D.2天
五、课堂小结：
1.本节课你学习了哪些基本知识？
指数函数的概念： 一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
2.本节课你学会了哪些思想方法？ 待定系数法
作业： (1)课本P118 , 习题4.2 1,2
(2)做完《一线课堂》对应习题
是
不是
不是
不是
不是
是
指数函数的解析式是： 特点： 的系数是1 ; 指数必须是单个x ;
底数是常量a0,且a1.
2.变式: 函数 求 的值.
是指数函数,
3例2.已知指数函数
的图象经过点
,求
解:因为
的图象经过点
的值.
待定系数法求a
,
所以
即
,
解得 所以，
高考数学复习知识点讲义课件25---指数函数的概念及其图象和性质
答案：(－1，－1) (2)y＝13x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数 y＝3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y＝3－x 的图象，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)的图象，最后再 向上平移 2 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)＋2＝13x＋1＋2 的图象，如图所示．
x0 1
2
3
…
y 200 210 220.5 231.525 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横 坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年 的值．
∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的 木材蓄积量能达到300万立方米．
[解析] (1)函数 y＝13x 是指数函数，且 y＝4x 也是指数函数，其它函数不 符合指数函数的三个特征．
(2)设指数函数 fx＝ax，由 f2－f1＝6 得 a2－a＝6，解得 a＝－2(舍去)或 a＝3，则 f3＝33＝27.
[答案](1)①④ (2)27
[方法技巧] (1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0， 且a≠1)这一形式，其具备的特点为：
2.底数与指数函数图象的关系 (1)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知，在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变大． (2)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝－1 相交于点－1，1a 可知，在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 如图所示，指数函数底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
(一)指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义 域是 R .
湘教版高中数学必修第一册第4章4-2-1 4-2-2第1课时指数函数的概念、图象与性质课件
[解] (1)y＝2x+1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到． (2)y＝2x-1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到． (3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到． (4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的 对称图形便可得到y＝2－x的图象． (5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y ＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．
3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d √B．b＜a＜1＜d＜c
题号
1
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
2
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，
3
4
B ， C ， D 四 点 ， 则 A(1 ， a) ， B(1 ， b) ，
2．能画出具体指数函数的图象，并 值域的求法，培养逻辑推理
能根据指数函数的图象说明指数函数 素养．
的性质．(重点)
必备知识·情境导学探新知
知识点1 指数函数的概念 如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数 __y_＝__a_x__(x∈R)，叫作指数函数，其中a>0，且a≠1． 思考1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1． [提示] ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数； ③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且 a≠1．
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调 性决定函数图象的走势．